radicaciÓn

Radicacin de nmeros Reales Aritmtica2 Ao INSTITUCION EDUCATIVA CIENCIA Y TECNOLOGIA PRE - UCT

I. E. Ciencia y Tecnologa, Honor a la excelencia

Tema Asignatura

1

ARITMTICA II I TRIMESTRE

Saben matemticas las abejas?

Este hecho ya fue constatado por Paps de Alejandra, matemtico griego que vivi del ao

284 al 305. Su afirmacin se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las

abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios

problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un

mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al

mximo. Solo podran hacerlo con tringulos, cuadrados y hexgonos. Por qu eligieron

entonces los hexgonos, si son ms difciles de construir?

La respuesta es un problema isoperimtrico (del griego "igual permetro"). Paps haba

demostrado que, entre todos los polgonos regulares con el mismo permetro, encierran ms

rea aquellos que tengan mayor nmero de lados. Por eso, la figura que encierra mayor rea

para un permetro determinado es el crculo, que posee un nmero infinito de lados. Por eso

las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad

de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: y

quin le ense esto a las abejas?...

El poema de nunca acabar.

El poema ms largo jams escrito es obra de Raymond Quenau. Publicado en 1961, consta

de tan slo diez pginas. En Cent mille milliards de pomes, concibi un soneto para cada

pgina del libro, pero presentado en forma de catorce lengetas mviles independientes unas

de otras. En cada lengeta, un verso. Cada verso, intercambiable con los otros. De esa

manera, cada vez que arbitrariamente se disponen catorce lengetas distintas se da a la luz

un soneto diferente. El autor calcul que haran falta muchsimos aos para leer todos los

poemas capaces de formarse a partir de los ciento cuarenta versos iniciales.



Tema Asignatura

2

NDICE

1. INTRODUCCIN: PAG 2

2. CLASIFICACION DE LOS RADICALES PAG3

3. RACIONALES: PAG3

4. IRRACIONALES: PAG4

5. RADICALES REALES: PAG4

6. RADICALES IMAGINARIOS: PAG4

7. RADICALES HOMOGNEOS: PAG5

8. RADICALES HETEROGNEOS: PAG5

9. RADICALES SEMEJANTES:: PAG5

10. PROPIEDADES DE LA RADICACIN: PAG5

11. RAZ DE UN PRODUCTO: PAG5

12. RAZ DE UN COCIENTE: PAG5

13. RAZ DE RAZ: PAG5

14. TRANSFORMACIN DE EXPRESIONES IRRACIONALES A RADICALES. PAG5

15. EXTRAER UN FACTOR DE UN RADICAL: PAG6

16. INTRODUCCIN DE FACTORES DENTRO DEL SIGNO RADICAL: PAG5

17. SIMPLIFICACIN DE RADICALES: PAG8

18. REDUCCIN DE RADICALES AL COMN NDICE: PAG8

19. OPERACIONES CON RADICALES: PAG8

20. ADICIN Y SUSTRACCIN DE RADICALES: PAG8

21. MULTIPLICACIN DE RADICALES HOMOGNEOS: PAG9

22. MULTIPLICACIN DE RADICALES HETEROGENEOSNEOS: PAG9

23. DIVISIN DE RADICALES HOMOGNEOS. PAG10

24. DIVISIN DE RADICALES NO HOMOGNEOS: PAG11

25. BIBLIOGRAFA: PAG 12



Tema Asignatura

3

II UNIDAD

RADICACIN DE NMEROS REALES

INTRODUCCIN:

La radicacin se expresa con el smbolo , no todos conocen que este signo (smbolo)es una variante de la letra latina r primera de la palabra latina radixque significa raz.en otros tiempos(en el sigloXVI)el smbolo de la ,no era la r minscula,sin la mayscula, laR y junto a ella se escriba la primera letrade las palabras latinas quadratusla q o la primeraletra cubusla c ,sealandocon ello que la raz a extraer era cuadrada o cbica, se escriban por ejemplo :Rq 4352

lugar de la moderna expresin 4352

Definicin:

As: la raz de a; denotado por n a

es b, si se cumple que: bn

= a

ban b n = a

Donde:

: Operador radical.

n : es el ndice del radical (es igual al

exponente a que hay que elevar la raz para

obtener el radicando).

A : es la cantidad sub radical (numero cuya

raz se quiere hallar).

b : es la raz o radical.

APRENDIZAJES ESPERADOS

Clasificar con facilidad los radicales.

Aplicar las propiedades de radicales a la solucin de problemas.

Efectuar operaciones de adicin y multiplicacin de radicales.

Aprende la siguiente teora, sobre radicacin y llena los espacios en blanco elaborando tus propios ejemplos luego de la explicacin del profesor elabora en tu cuaderno auxiliar un mapa conceptual http://www.youtube.com/watch?v=yRRZZu_TUGwhttp://www.youtube.com/watch?v=yRRZZu_TUGw

http://www.youtube.com/watch?v=yRRZZu_TUGw

Observamos

http://www.youtube.com/watch?v

=vAH_w49KhUg un video sobre

radicacin, luego:



Tema Asignatura

4

Observamos el siguiente video

http://www.youtube.com/watch?v=U9jp

RD9xdc0

I. CLASIFICACION DE LOS RADICALES

1. Considerando la naturaleza de los radicales

estos pueden ser:

a) Racionales: Son aquellos, de cuyos

subradicales se extraen races exactas.

Ejemplos:

1. 64 = 8

2. 3244 = 182

3. 27693

= 323

..................................................

b) Irracionales: Son aquellos, de cuyos

subradicales no se extraen races exactas.

Ejemplos:

=

=

=

...

...

..

...

...........................

c) Reales: Son aquellos cuyos subradicales

son positivos y cuyos ndices son nmeros

pares.

Ejemplos:

=

.

.

.

.

.

.

d) Imaginarios: Son aquellos cuyos ndices

son nmeros pares y cuyos subradicales

son negativos.

Ejemplos:

....

.

.

.

REGLA DE LOS SIGNOS.



Tema Asignatura

5

+

= + +

= +

=

=

Ejemplos:

.....

....

.

.

2. Con respecto a su especie los radicales

pueden ser:

a) Homogneos:

Son aquellos radicales que tienen el mismo

ndice.

Ejemplos:

;

;

; :

.

.

.

.

b) Heterogneos:

Son aquellos radicales que tienen distintos

ndices.

Ejemplos:

;

;

; ;

;

.

....

...

c) Semejantes: Son dos o ms radicales que

tienen iguales ndices y la misma parte

subradical, slo se diferencian por los

coeficientes.

Ejemplos:

3; 23;1

53;63

3x3

; 3x3

; 3x3

Observamos el siguiente

videohttp://www.youtube.com/watc

h?v=jw854GkyHVk

II. PROPIEDADES DE LA RADICACIN

1. Raz de un producto:

.

= .

Ejemplos:

3. 4

= 44

.

3. 55

= 35

. 55

15.33

= 153

. 33



Tema Asignatura

6

2. Raz de un cociente:

=

Ejemplos:

2

3=

4 24

34

5

4=

3 53

43

53

72=

535

725

..

..

3. Raz de raz:

=

.

Ejemplos:

24

3

= 23.4

= 212

93

65

= 95.6.3

= 990

.

.

.

.

.

4. Raz de una potencia:

= (

)

Ejemplos:

235

= (25

)3

(3)53

= ((3)3

)5

(322)64

= ((322)4

)6

...

...

..........

...

...

......

Observamos el siguiente

http://www.youtube.com/watch?v=1_VNR-

o48wM

III. TRANSFORMACIN DE EXPRESIONES

IRRACIONALES A RADICALES.

Toda expresin irracional se puede expresar

como un radical equivalente.

Ejemplos:

43

2 = 43 = 23 = 8



Tema Asignatura

7

(322)4

6 = ((322)2

)3

Ahora intenta transformar a radicales las

siguientes expresiones:

()

(7abx)

(3

5a3b4x5y4)

()

2

3

IV. EXTRAER UN FACTOR DE UN RADICAL.

Para extraer un factor de un radical debe

verificarse primero que el exponente de la

cantidad su radical sea mayor o igual que el

ndice de la raz. Luego se debe

descomponer el radicando en factores de

modo que alguno de sus exponentes sea

divisible por el ndice de la raz y finalmente

aplicar la propiedad de la raz de la

multiplicacin.

Ejemplo: extraer los factores del radical:

1. extraer los factores del radical: .

Resolucin:

. . .

=

.

.

.

=

.

. .

= . .

=

2. extraer los factores del radical:

Resolucin:

= . . .

=

=

3. extraer los factores del radical:

Resolucin:

= . . .

=

Haciendo uso de tu razonamiento, extrae los

factores de los siguientes ejercicios:

.

.

.

V. INTRODUCCIN DE FACTORES DENTRO

DEL SIGNO RADICAL.

Para introducir un factor en un signo radical

se escribe dicho factor elevado a un exponente

igual que el ndice de la raz y el resultado se

multiplica por el radicando.

Ejemplo,

1. introduce el factor dentro del radical

Resolucin:

Elevamos el factor a un exponente igual que el

ndice de la, 22 ahora multiplicamos esta

expresin por el radicando: 22. 3



Tema Asignatura

8

Entonces: 23 = 4.3 = 12

2. Introduce el factor dentro del radical 3x3

Resolucin:

3x3 = (3x)2. 3 = 9x2. 3 = 27x2

3. Introduce el factor dentro del radical

2x2yy3

Resolucin:

2x2yy3 = (22)3.

3= 863

3=

8643

Para demostrar que has aprendido,

introduce los factores en su respectivo

radical.

=

=

=

=

=

=

=

.

=

=

=


http://www.youtube.com/watch?v=-

VWZyGFC0oI

VI. SIMPLIFICACIN DE RADICALES.

Simplificar un radical es descomponer el

radicando en sus factores primos y luego

extraer todos los factores que sean

posibles.

Ejemplos

1. Simplifica: 45

Resolucin:

Primero descomponemos el radicando en sus

factores primos, as:

45 = 32. 5; A continuacin extraemos los

factores que sean posibles:

45 = 32. 5 = 35

2. Simplifica: 450

Resolucin:

Primero descomponemos el radicando en sus

factores primos, as:

450 = 2.32. 52; A continuacin extraemos los

factores que sean posible

450 = 2. 32. 52 = 3.52 = 152

3. Simplifica: 450

Resolucin:

25687

= 27. 727

= 227

Simplifica los siguientes radicales:



Tema Asignatura

9

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

VII. REDUCION DE RADICALES AL COMN

NDICE.

Para reducir dos o ms radicales al ndice

comn, se halla primero el M.C.M. de los

ndices, este resultado es el ndice comn,

luego se divide este valor entre el ndice de

cada radical y el cociente se multiplica por el

exponente del subradical.

Ejemplos:

1. Reducir al comn ndice:

3; 2;3 3

5

Resolucin:

Primero hallamos el M.C.M. de los ndices:

... (; ) = .

Luego, 30 se divide por el ndice propio de

cada radical y el cociente se multiplica por

el exponente del subradical, as:

3 = (3)1530

= 4530

23

= (2)1030

= 2030

35

= (3)630

= 1830

Luego: son equivalentes a 3; 2;3

35

2. Reducir al comn ndice:

2; 33

; 35

Resolucin

... : 2; 3; 5 = 30

2 = (2)1530

= 2151530

33

= (3)1030

= 3101030

35

= (3)630

= 1830

3. Reducir al comn ndice

; ;

Resolucin

... : ; =

= ()

=

=

= ()

=

=

= ()

=

Para reforzar lo que acabas de aprender,

reduce al ndice comn los siguientes

ejercicios:

1. 3; 53

; 24

2.

3;

2

3; 5

4

3. 2ax9

; 3x3

; 2x56

4. 2;4

223

; 56

=

5. 5;3

7;6

910



Tema Asignatura

10


http://www.youtube.com/watch?v=n

S27Op1a8CA

VIII. OPERACIONES CON RADICALES.

a) Adicin y sustraccin de radicales.

Para sumar radicales semejantes, se suman los

coeficientes y el resultado se multiplica por el

radical comn.

Ejemplo:

1. Sumar:

= + +

Resolucin:

Sumamos los coeficientes de los radicales

multiplicado por el radical comn.

= (8 + 6 + 9)5 = 235

2. Sumar:

= +

Resolucin:

Sumamos y restamos coeficientes de

radicales semejantes (segn su signo)

= +

= +

3. Sumar:

=

+

Resolucin:

Primero simplificamos los radicales

+

.

.

+ .

=

.

.

+ .

=

+

= +

=

Ahora intenta hallar el resultado de las

siguientes expresiones:

1. +

2. 18162 598 + 612 727

3. 45 + 20 125 + 245

4. 163

3543

+ 66866

23

5. 324

31624

+ 24

+ 12504

Visualizamos el siguiente video http://www.youtube.com/watch?v=oQRf4lSIfY4

b) Multiplicacin de radicales homogneos.

Para multiplicar dos o ms radicales se

multiplican entre si sus coeficientes y luego los

sub radicales, conservando el mismo ndice.

Los radicales que han de multiplicarse deben

ser homogneos (con iguales ndices).

Ejemplo.

1. Multiplicar: (72)(93)

Resolucin:

72. 93 = 7.92.3 = 636

2. Multiplicar:

.



Tema Asignatura

11

Resolucin:

.

= . .

=

3. Multiplicar:

.

=

Resolucin

.

=

.

.

=

Para reforzar tu aprendizaje efecta en

forma similar los siguientes ejercicios:

1. (37)(22)

2. (52)(85)(3)

3. (311)(5)(42)

4. (2

53) (

1

25) (32)

5. (1

72) (

3

117) (5)

c) Multiplicacin de radicales no

homogneos.

En este caso los radicales no tienen igual

ndice, por lo que se tendr que homogenizar

previamente y despus se multiplican como en

el caso anterior.

Ejemplo.

1. Multiplicar: 52. 233

Resolucin:

Primero homogenizamos los radicales,

2. 33

veamos:

Hallamos el M.C.M. de los ndices 2 y 3,

siendo este 6, donde:

=

=

= =

Luego:

52. 233

= 586

. 296

= 10726

2. Multiplicar: 326

. 238

Resolucin:

326

. 238

=

26

= (2)424

= 824

38

= (3)324

= 924

326

. 238

= 3. 2 8.24

924

3. Multiplicar: 1026

. 2.3

333

Resolucin:

1026

. 2.3 33

3=

102. (2)2. (33)26

= 1072746



1. (23

)(56

)( 212

)

2. (3 5

4)(2 2

3)

36

3. (2 7

5)(3 2

3)( 5

10)

3 215

4. 2 3

325

3 215

d) Divisin de radicales homogneos.

Para dividir dos radicales, se dividen entre

si sus coeficientes y subradicales.



Tema Asignatura

12

Ejemplos:

1. Dividir:

Resolucin:

=

2. Dividir:1548x63

72x43

Resolucin:

15144x63

72x43

= 15223

3. Dividir:75128x95

4x65

Resolucin:

75128x95

25 4x65

= 33235

En forma similar efectuemos los siguientes

cocientes:

1. Dividir:

2. Dividir:5184x123

1712x113

3. Dividir:57512x195

3264x165

e) Divisin de radicales heterogneos.

Para dividir dos radicales heterogneos

previamente se homogenizan los radicales (se

les reduce al ndice comn) y despus se

procede como en el caso anterior.

Ejemplos:

1. Dividir:

Resolucin:

Primero homogenizamos los radicales por

medio del el M.C.M. de los ndices 5 y 4 es 20,

luego efectuamos la divisin.

Dnde

=

;

:

Luego:

=

2. Dividir:

Resolucin

=4

2(3)2

12 (33)3

12

2 92 27912

= 2 1

37

12

3.

Resolucin:

x4x73

3x1

2x2

4

=6x

3x(4x7)4

12 (

1

2x2)

312

=



1.

2.

3.

4.



Tema Asignatura

13

APLICACIN N 01

1) Efectuar el producto de los radicales

homogneos a2a3 ; a + 1

a+2.

2) Reducir los radicales semejantes :

F = (m n) 2m 32m+1

+ (m + n) m + 213n

3) Calcular:

[1

5 + 3+

1

5 3] [

1

20 + 19

+1

20 19]

4) Efectuar, racionalizando el denominador

y escribiendo el numerador bajo un mismo

radical

R = [1

84 ] [

1

275 ]

5) Si luego de reducir la expresin:

25512554

3

Se obtiene una expresin de la

forma 5 calcular

6) Para qu valor de b los radicales

dados 62b+1

; 13b+7

resultan homogneos?

7) Se sabe que luego de efectuar y reducir la

expresin:348 + 475 5108

8) Luego de simplificar la expresin dada a

continuacin: 650 + 772 998 se

obtiene una expresin de la forma

3A. calcular el valor de 6

9) Reducir la siguiente expresin:

2 (23

3

3) (

393

4) (

223

6)

10) Reducir la siguiente expresin:

23 + 32 + 33 + 22 + 5(3 2)

11) Simplificando la expresin mostrada:

45 + 20 125 Se obtiene:

12) Calcular:(3 2) + 3

13) Simplificar:

[

222222

] 32

14) Calcular:

1

1 3+ 1

1

3 + 1+ 3

15) Calcular: (4

6+2+

1

2+1+ 1)

0,251



Tema Asignatura

14

DESARROLLA EL SIGUIENTE CRUCIGRAMA



Tema Asignatura

15

BIBLIOGRAFIA

1. ACADEMIA CESAR VALLEJO, lgebra y principios del anlisis I, Lima Lumbreras Editores

2000.

2. ARISMEDIZ CAMPOS, Jorge. Mil problemas de Algebra, Lima San Marcos, s/f.

3. CHU MANRRIQUE, Juan. Algebra razonada. Lima Minerva 1982.

4. DOROFEIEV, G Y OTROS, Temas selectos de matemtica elementales. Mosc. Edit. Mir. 1982

5. LIDSKI, V.B. Y OTRO, Problemas de Matemtica elementales, Mosc. Edit. Mir. 1978.

6. TIMOTEO VALENTIN, Salvador. Algebra estructural, Lima San Marcos. 1997.

7. TORI, Armando y RAMOS, Juan. Problemas de lgebra y como resolverlos. Lima Racso

Editores 1998.

radicaciÓn

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