radicales
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GUIA DE RADICALES
Radicación: Es la operación inversa de la potenciación.
Llamamos raíz n-ésima de un número dado “a” al número “b” que elevado a “n” nos da “a”
⇔ nn a = b a = b
Donde:
n: Índice de la raíz.
a: Cantidad sub-radical.
: Radical.
Operaciones con Radicales
Extracción de factores fuera del radical.
Pueden extraerse factores fuera del radical; cuando los factores de la cantidad sub-radical
contiene un exponente igual o mayor que el índice del radical, para ello debemos tomar en
cuenta la siguiente propiedad:m
n mna a= .
Ejemplos:
22 2
2
3 6 123 36 12 3 6 12 2 43 3 3
4 2 2 2
8 2 *3 2 3
8* * 2 * * 2 * * 2* *a b a b a b a b
= = =
= =
= = =
Introducción de factores dentro del radical.
Está operación es inversa a la extracción de radicales. Para introducir factores dentro del radical;
se eleva los factores de la cantidad situada fuera del signo radical a una potencia igual al índice
de la raíz, está cantidad se escribe dentro del radical y se multiplica por la cantidad sub-radical
si lo hubiera, y finalmente se efectúan las operaciones indicadas dentro del radical.
Ejemplos:
*n nna b a b=
( ) ( )
2
3 3 3 32 2 6 3 4 73 3
5 *5
* * * ( * ) * * * *
a a
b a a b b a a b b a a b a b
=
= = =
Conversión de radicales al mínimo común índice.
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Está operación consiste en convertir radicales de distinto índice en radicales del mismo índice.
Para eso, hallamos el m.c.m. de los índices que será el índice común; luego elevamos cada
cantidad sub-radical a la potencia resultante de dividir el índice común con el índice de cada
radical.
Ejemplos:
3 62 ; 3 ; 5
1) Los índices son 2, 3 y 6. Hallamos el m.c.m. de los índices.
El m.c.m es 6
2) Dividimos el índice común 6 con el índice de cada radical.
6/2=3, 6/3=2, 6/6=1
Luego, elevamos cada cantidad sub-radical a una potencia resultante de la división entre los
índices.
6 63 2 62 3 5
3) Efectuamos las operaciones indicadas dentro del radical.
6 6 68 9 5
Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad
sub-radical; diferenciándose solamente en los signos y en los coeficientes.
Ejemplos:
2 7 35, 5, -2 5, 5
3 2 4−
Suma y resta de radicales.
Está operación se efectúa; primeramente extrayendo los factores de los radicales dados, luego
verificamos si hay radicales semejantes y si los hay procedemos a sumarlo algebraicamente sus
coeficientes acompañado del radical común y finalmente se escriben los radicales no semejantes
con su propio signo si los hubiera.
Observación: Se recuerda que solamente se puede sumar o restar radicales, si dichos radicales
son únicamente semejantes.
Ejemplos:
a) 1 1 1 15
5 3 5 5 5 3 5 8 5 * 52 2 2 2
+ − = + − = − =
b) ( )− = − = − + = + − = −2 245 27 + 20 3 * 5 27 + 2 * 5 3 5 27 2 5 3 2 5 27 5 5 27
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c)
− = −
− = −
− = + −
− =
6 2 6 2 6 2 6 2 5 6 2 6 25 5 5 55 5
6 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 25 5 5 55 5
6 2 6 2 6 2 6 25 5 55
6 2 6 2 6 2 6 25 55
2 1 2 1x y + 3 32x x y + 3 2 x
5 4 5 4
2 1 2 1x y + 3 32x x y + 3*2 2x
5 4 5 4
2 1 2 1x y + 3 32x 6
5 4 5 4
2 1 123x y + 3 32x
5 4 20
y x y y x y
y x y y x y
y x y x y
y x y x y5
Multiplicación de radicales.
Caso I: Multiplicación de radicales del mismo índice: se multiplican previamente los signos,
luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común las cantidades sub-
radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas dentro del radical y se
extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.
n n na · b = a·b
Ejemplos:
a) 3 36 3 23 3 364* 27 64 * 27 2 * 3 2 *3 12= = = =
b) 55 10 5 10 25 55 5* * * *x y z x y z x y z= =
Caso II: Multiplicación de radicales compuestos de distinto índice: primeramente se
reducen los radicales al mínimo común índice y luego se multiplican como si fueran
radicales del mismo índice.
Ejemplo:
a) 3 2 2 26 4*x y x y m.cm (6,4)=12, por lo tanto:
3 2 3 2 2 6 46 6*2 12( )x y x y x y= = y 3
2 2 2 2 6 64*34 12( )x y x y x y= = multiplicamos ahora las
expresiones halladas:
( ) ( )6 4 6 6 6 4 6 6 10 12 101212 12 1212* *x y x y x y x y x y y x= = =
División de radicales.
Caso I: División de radicales del mismo índice: se dividen previamente los signos,
luego los coeficientes entre sí y finalmente bajo un mismo radical común se dividen las
cantidades sub-radicales entre sí. A continuación se efectúa las operaciones indicadas
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dentro del radical y se extraen los factores posibles fuera del radical si los hubiera.
Matemáticamente es:
n
n
n
a a =
bb
Ejemplos:
a)2 44 2
2 2 2
525 5
24 2
yy y
xx x= =
b) 33 3 3
39 33 93
4 4 4
27 33
x x x
y yy= =
Caso II: División de radicales de distinto índice: primero se reducen los radicales al
mínimo común índice y luego se dividen como si fueran radicales del mismo índice.
Ejemplo:
a) 2 24
3 26
x y
x y m.cm (6,4)=12, por lo tanto:
2 2 3 6 6 6 64*3 1221212
6 43 2 2 6 46*2 12
( )
( )
x y x y x yy
x yx y x y= = =
Raíz de una raíz: Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de
ambos. Matemáticamente es:
n m n·ma = a
Ejemplos:
a) 10 20 10 20 25 10x y x y xy= =
b) 12 8 6 12 8 6 12 2 6 2 23 6 6 664 2 2 2x y x y x y y x y y= = =
Racionalización: Consiste en convertir expresiones de denominador irracional en
expresiones equivalentes de denominador racional.
Caso I: cuando el radical es una raíz cuadrada.
Ejemplos:
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a)2
3 3 5 3 5 3 5*
55 5 5 ( 5)= = =
b)( )
2 2
2
x x ax x ax x ax ax
ax aax ax ax ax
= = = =
Observación: Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la
fracción por el factor racionalizador del denominador, en éste caso por sí mismo.
Caso II: cuando el radical tiene índice diferente de dos.
Para racionalizar el denominador de una fracción bastará multiplicar la fracción por el
radical del mismo índice con la misma cantidad sub-radical pero el exponente de la
cantidad sub-radical debe expresar la diferencia que existe entre el índice del radical y el
exponente de la cantidad sub-radical.
Ejemplos:
a)8 8 8 85 5 5 5
8 8 8 8 8 83 3 5 5 3 3 5
6 6 6 6 6x x x x
axa x a x x a x x a x x= = = =
b)7 7 7 74 3 5 4 3 5 4 3 5 4 3 5
7 7 7 7 73 4 2 3 4 2 4 3 5 4 3 5 3 4 2 7 7 7
x x x a b c x a b c x a b c x a b c
abca b c a b c a b c a b c a b c a b c= = = =
Caso III: Cuando se tiene una suma o resta en el denominador, pudiendo ser esta un
binomio.
Se debe multiplicar por la conjugada el denominador y el denominador, siendo la
conjugada la expresión que esta en el denominador pero cambiando el operador suma o
resta.
Ejemplo: La conjugada de 3+ x es 3- x
Ejemplos:
a)( )2
1 1 4 3 4 3 4 3 4 3
16 3 134 3 4 3 4 3 16 3
+ + + += = = =
−− − + −
b)2
(2 3) 5(2 3)5 5 2 3 2 13 15
4 92 3 2 3 2 3 (2 ) 9
x x xx x x x x
xx x x x
− − −− − − − += = =
−+ + − −
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Guía de Ejercicios
1-. Simplificar:
10 1530
12 6 18
6 9 12 2
15 310 15 20 2
4
6 3
9 3
8
12
4 2 4
32 2
64 2
343 7
9 3
4 2
27 3
16 2
3 64 3 2
25 5
x y xy y
m n n mn
a x ax a
m n x nx m x
a b ab
1. R.
2. R.
3. R.
4. R.
5. R.
6. R.
7. R.
8. R.
9. R.
10. R.
11.6 32 4 2
4 88
5 49 5 7
81 3
a b ab
x y y x
R.
12. R.
2-. Multiplicar:
3 33
1 2 14 21 62 7
12 9 3 4
3 6 3 2
5 21 2 3 30 7
5 12 3 75 450
3 6 14 2 35 84 15
×
×
×
×
×
× ×
1. R.
2. R.
3. R.
4. R.
5. R.
6. R.
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3-. Simplificar:
80 2 252 3 405 3 500 5 12 7
7 450 4 320 3 80 5 800 5 2 20 5
45 27 20 5 3 3
175 243 63 2 75 2 7 3
1 1 3 1 12 18 48 72 4 32 3 4 6
3 2 1 176 45 320
4 3 8
− + − −
− + − −
− − −
+ − − −
− + +
− +
1. R.
2. R.
3. R.
4. R.
5. R.
6.
( )
2 2
2 2 2 2
2
1275 4 11 5
5
1 1 3 5 1 3 2
3 2 4 6 2
1 5 1 2 700 15 4 56 12 7
45 16 7
25 49 9 2 7
2 9 16 4 2
320 7 5 4 5
ax b ax x a b
m n m n mn mn n m m n
a x a x a b
+ −
− + −
− + −
+ − +
− + − −
− − −
R.
7. R.
8. R.
9. R.
10. R.
11.
4 4 2 4 4 2
3 33 3 3
3 3 3 3 3
33 3 3
4 5
9 9 4 4 5 1 0
2 3 9 27 25 75 4 3
54 24 16 2 2 3
40 1029 625 7 3 3 5
2 250 4 24 6 160 2187
x b x
x x x
a x ya y a x y a x a y a x y
− + − − −
+ − + + + +
− − −
+ − −
− − +
R.
12. R.
13. R.
14. R.
15. R.
16.33
3 3 3 3 3 3
33 3 3 3
3 33 3 3 3
3 33
3 2 2
5 48 3 3645 2 384 4 1715 2 6 5
81 3 375 686 2 648 7 2
1 2 3 1 24 54 375 128 4 3 3 2
2 3 5 4
1 1 2
4 3 27
−
− − + +
− + +
− + − −
+ −
R.
17. R.
18. R.
19. R.
20.3 31 1
2 96 3
+R.
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4-. Multiplicar:
3 2 6
4 43 2
62 5 3 23 6
3 4 122 2 3 5 11
62 3 2 10 94 12
3 52 4
2 4
3 2 4 8 24 2
9 81 3 9
2 3 2 27
25 125 5
2 3 4 16
3 4
x x x x
ab a a ab
x y x x x y
a b a b a a b
x y x x y
m m n
×
×
×
×
×
×
1. R.
2. R.
3. R.
4. R.
5. R.
6. R15 7 3
3 2 6
128
1 1 8
2 2
m m n
x xx×
.
7. R.
5-. Dividir:
2 3
3 35 2
4 6 2 3 2 2
1 2 3a 10 3
5
1 3 2 3 3
2 4 3
75 5 3
3 3 16 4 2
2
5 1 10 2 1 3
6 2 3 3 8
a
xy x y
x y xy y x
aa a
÷
÷
÷
÷
÷
÷
1. R.
2. R.
3. R.
4. R.
5. R.
6. R.
6-. Dividir:
6 64 5
3 6
3 62 5
3 643 2 3 2
1 1 1 2 16 32
2 4
1 2 2 32
2
1 9 3 81
8 4 8
x x xx
x x xx
a b a a b
÷
÷
÷
÷
1. R.
2. R.
3. R.
4. R.
![Page 9: RADICALES](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f22a49795947648c4571/html5/thumbnails/9.jpg)
3627
23
3425
19
522
532
57
527
52
52
34
325
21
23
4
4
22
22
1
1
−
−
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−++
−−+
++
−+
−+
++
++
+−
baba
baba
aa
aa
x
x
aa
aa
7-. Racionalizar:
4 3
4
3 23
33 2
3 2
3
2 1 3 1 2 9
2ax 9
5 5 6 2 2 9
2a 55 34
1 1
3 39
aax a
x aa
a xxxa
xxx
7. R. 10. R.
8. R. 11. R.
9. R. 4 2
4 2
x 1 3
327x
x12. R.
8-. Racionaliza el denominador de:
2
2
2 2
2 2 1
4 2 2 4
2 4
2
4 2 5
2 3
2 10 7
3
17 3 35
2
19 7 10
3
95 2 76 3
2
9 6 21
5
a a a
x x
x
a a a
a a b
b
+ − −
+ + +
+ − +
− −
−
+
−
+
−
+
+−
R.
R.
R.
R.
R.
R.
R.
R.
R.
R.
R.
R.5 4
2
1a
a
R. mnm
n
3
5
R.4 25
25
1x
ax
R. 33
1
R. 22
5
R. 520
3 54
3
2
5
3
1
255
1
3
5
8
1
4 3
2
5 4
xa
mn
n
a
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
![Page 10: RADICALES](https://reader038.vdocuments.pub/reader038/viewer/2022100506/5571f22a49795947648c4571/html5/thumbnails/10.jpg)
9-. Efectuar:
1. 3 32 1024 2000− R. 36 2
2. 3 33 189 6 448+ R. 333 7
3. 3 3 32 3 2 5 2+ + R. 3
9 2
4. 3 324 81+ R. 35 3
5. 3 3 32 48 432 384+ − R. 36 2
63 316 250+ R. 3
7 2
7. 3 3648 1029+ R. 313 3
8. 3 3 340 1715 320+ + R. 313 5
9. 3 31 116 250
2 3+ R. 38
23