radikand oder auch basis
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Wurzelgesetze
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Wurzeln
โ๐๐
Die Wurzel einer Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder a
ergibt.
Die 2-te Wurzel nennt man auch Quadratwurzel, dabei lรคsst man die 2 (als Wurzel-
exponent) รผblicherweise weg, dann spricht man einfacher nur noch von der Wurzel:
โ๐๐
= โ๐
Beispiel: โ100 Gesucht ist die Wurzel aus der 100
Ergebnis: Die Wurzel aus 100 ist die 10, weil 10 mal 10 = 100 ergibt.
Was du auch wissen musst:
Das Quadrat-Wurzelziehen (โ๐22) ist das Gegenteil des Quadrierens.
Das Wurzelziehen ( โann) ist das Gegenteil des Potenzierens (an)
Wurzelziehen heiรt auch โradizierenโ
Wurzelziehen geht zum Beispiel mit Probieren.
Negative Zahlen haben keine Wurzeln. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist
positiv: โ๐ mit a โฅ 0 (der Radikand muss positiv sein)
Negative Zahlen gelten nicht als Wurzeln. Aber eine Wurzel kann ein negatives
Vorzeichen haben. Ein negatives Vorzeichen heiรt so viel wie โmultipliziere mit
minus einsโ: โ โ๐ = (โ1)โ๐
Viele Wurzeln sind irrationale Zahlen, also Zahlen die man nicht durch einen Bruch
ausdrรผcken kann: ๐, โ2 ๐๐ก๐.
โ๐๐
Ist der Wurzelexponent eine 3, dann ist die Kubikwurzel gesucht,
man sagt auch: โdie dritte Wurzel aus aโ.
โ๐๐
Ist der Wurzelexponent eine 4, sagt man โdie vierte Wurzel ausโ usw.
โ๐๐
Fรผr beliebige Zahlen sagt man โdie n-te Wurzel ausโ
โ๐๐ = a Ist der Wurzelexponent eine 1 heiรt das so viel wie a
11 = a1 = a
Da die Wurzel einer Zahl auch als Potenz geschrieben werden kann,
folgt, dass der Wurzelexponent nicht null sein darf, da man durch null
nicht teilen darf.
โ๐๐ =(โ๐)๐ = a Quadratwurzel und eine Quadratzahl unter/รผber der Wurzel heben
sich gegenseitig auf, ebenso heben sich die dritte Wurzel aus aยณ
durch die dritte Potenz von a auf (โ๐33= a) etc.
Radikand oder auch Basis
Wurzelexponent
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Wurzelgesetze: Rechenregeln
1) Wurzeln multiplizieren:
Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die
Radikanden multipliziert und daraus die Wurzel zieht (alles unter eine Wurzel
schreiben), dabei bleibt der der Wurzelexponent unverรคndert:
โ๐๐
โ โ๐๐
= โ๐ โ ๐๐
bei Quadratwurzeln: โ๐ โ โ๐ = โ๐ โ ๐
Bsp.: โ2 โ โ8 = โ2 โ 8 = โ16 = 4
Anstatt zwei Zahlen unter eine gemeinsame Wurzel zu ziehen, wie oben gezeigt, kann
man Produkte auch trennen: Die Wurzel des Produkts kannst du in das Produkt zweier
Wurzeln umwandeln
โ๐ โ ๐ = โ๐ โ โ๐
Bsp.: โ3 โ 9 = โ3 โ โ9 = โ3 โ 3 = 3โ3
โ2304 = โ36 โ โ64 = 6 โ 8 = 48
Multiplikation einer ganzen Zahl und einer Wurzel: Bei der Multiplikation einer Zahl mit
einer Wurzel wird oft das Multiplikationszeichen-Zeichen weggelassen.
Bsp.: 3 โ โ5 = 3โ5
Aufgaben:
โ2 โ โ8 = โ10 โ โ10 =
โ54 โ โ1,5 = โ500 โ โ1,25 =
โ1
5 โ โ125 = โ
1
25 โ โ625 =
โ70 โ โ2,8 = โ64 โ โ4 =
โ16 โ 16 = โ16 โ 4 =
โ169 โ 196 = โ1,44 โ 6,25 =
โ0,16 โ 144 = โ3
25 โ
27
16 =
โ9
25 โ 0,09 = โ โ
45
36 โ
5
9 =
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2) Wurzeln dividieren:
Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die Radikanden
dividiert und dann die Wurzel zieht, dabei bleibt der Wurzelexponent gleich
โ๐
๐
โ๐๐ = โ
๐
๐
๐ bei Quadratwurzeln:
โ๐
โ๐= โ
๐
๐
Bsp.: โ4
โ25=
2
5 oder:
โ75
โ3 = โ75
3= โ25 = 5
Wurzeln aus Bruch:
Auch bei der Division kann man den Bruch trennen: Die Wurzel eines Bruchs kann man in
den Quotienten zweier Wurzeln umwandeln:
โ๐
๐=
โ๐
โ๐
Bsp.: โ 9
16=
โ9
โ16=
3
4
oder: โ3
25=
โ3
โ25=
โ3
5=
1
5 โ3
Aufgaben:
โ64 โถ 16 = โ225 โถ 9 =
โ196 โถ 49 = โ36 โถ โ2,25 =
โ64
โ25=
โ144
โ49=
โ196
โ625= โ0,64
โ0,36=
โ0,8
โ20=
โ32
โ200=
โ9
โ144=
โ720
โ5=
โ0,09
โ1,44=
โ1,21
โ1,69=
โ0,0009
โ14400=
โ0,81
โ0,0625=
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3) Wurzel addieren und subtrahieren
Wurzeln kรถnnen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie den gleichen
Exponenten und den gleichen Radikanden haben.
Wurzeln werden addiert (subtrahiert) indem man den Faktor vor der Wurzel addiert (bzw.
subtrahiert):
๐ฅ โ๐ ๐
+ ๐ฆ โ๐๐
= (๐ฅ + ๐ฆ) โ๐๐
๐ฅ โ๐ ๐
โ ๐ฆ โ๐๐
= (๐ฅ โ ๐ฆ) โ๐๐
Addition: 3 โ8 3
+ 4 โ83
= (3 + 4)โ83
= 7โ83
= 7 โ 2 = 14
4โ8 + ๐ฅ โ โ8 = โ8(4 + ๐ฅ)
Subtraktion: 7 โ8 3
โ 4 โ83
= (7 โ 4)โ83
= 3โ83
= 3 โ 2 = 6
4โ8 โ ๐ โ โ8 = โ8(4 โ ๐)
Aufgaben:
โ๐ 4
+ 3 โ๐4
= 4โ33
+ 5โ33
=
13โ75
โ 5โ75
= 8โ64
+ โ64
=
4โ19 + ๐ฅ โ โ19๐ = 4
5โ5 +
3
10โ โ5 =
4) Wurzeln ausklammern
Wie beim Ausklammern von Zahlentermen oder Variablentermen kann man auch
Wurzelterme zusammenfassen oder ausklammern:
Bsp.: 3โ โ2 + 17โ2 โ 19โ2 + 3โ2 = 4โ2
(3 + 17 - 19 +3)โ2 = 4โ2
Solche Umformungen helfen dabei, Terme zu vereinfachen. Meist ergeben sich
vorteilhafte Mรถglichkeiten zu kรผrzen.
Aufgaben:
aโ5 - bโ5 + ๐โ5 = 6โ12 - 1
2โ5 =
2โ๐ยณ +3โ๐ยณ = 4โโ13+๐ฅโ13
(4+๐ฅ) =
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5) Teilweise die Wurzel ziehen:
Um den Radikand mรถglichst klein zu machen, zieht man die Wurzel teilweise. Dazu
spaltet man den Radikanden in ein Produkt auf. Aus den einzelnen Faktoren dieses
Produktes kann man dann die Wurzel ziehen:
Beispiele:
โ9๐ = โ9 โ โ๐ = 3โ๐
โ27 = โ9 โ 3 = โ9 โ โ3 = 3โ3
Aufgaben:
โ45๐ยฒ = โ6
โ54=
3โ3 = 3๐โ5 =
1
4 โ5 =
โ845
โ5=
6) Vor-Faktor unter die Wurzel bringen:
Manchmal lassen sich Wurzelausdrรผcke dadurch vereinfachen, dass man den Vorfaktor
unter die Wurzel zieht. Bei Quadratwurzeln wird dazu der Vorfaktor quadriert und als
Faktor unter die Wurzel geschrieben:
๐ฅ โ๐ ๐
= โ๐ฅ๐๐๐
oder: ๐ฅ โ โ๐ = โ๐ฅ2๐
Bsp.: 2โ5 = โ22 โ 5 = โ4 โ 5 = โ20
Den Vorfaktor unter die Wurzel bringen ist die Gegenoperation zum โteilweise die Wurzel
ziehenโ.
Aufgaben:
2โ3 = 6โ3 =
3โ2 = 10โ9 =
3โ2
3= 2โ2
3=
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7) Nenner rational machen: (Beseitigen eine Wurzel aus dem Nenner)
a) Steht im Nenner ein Produkt mit einer Wurzel als Faktor, dann erweiterst Du den
Bruch mit dieser Wurzel:
Bsp.: 1
โ๐=
โ๐
โ๐โโ๐ =
โ๐
(โ๐2
)=
โ๐
๐=
1
๐โ๐
1
5โโ2=
1โโ2
5โโ2โโ2=
โ2
5โ2=
โ2
10=
1
10โ2 = 0,1โ2
b) Steht im Nenner eine Summe oder Differenz mit einer Wurzel, dann erweiterst Du
den Bruch unter Anwendung der binomischen Formeln:
Beispiel: Erweiterung mit Hilfe der 1. Binomischen Formel
1
โ๐+๐=
1โ(โ๐+๐)
(โ๐+๐)โ(โ๐+๐) = =
โ๐+๐
โ(๐+๐)(๐+๐) =
โ๐+๐
โ(๐+๐)2 =
โ๐+๐
๐+๐
Beispiel: Erweiterung mit Hilfe der 2. Binomischen Formel
1
โ๐โ๐=
โ๐โ๐
โ๐โ๐โโ๐โ๐ =
โ๐โ๐
(โ๐โ๐)2=
โ๐โ๐
๐โ๐=
1
๐โ๐โ๐ โ ๐
Beispiel: Erweiterung mit Hilfe der 3. Binomischen Formel
1
1+โ๐=
1โ (1โโ๐)
(1+ โ๐)โ(1โ โ๐)=
1โโ๐
(1ยฒ+(โ๐2
) =
1โโ๐
1+๐
Aufgaben:
5
โ5=
โ2
โ3=
โ๐โ๐
โ๐+๐=
5
3โโ2=
โ๐
โ5+๐=
1
1+โ๐=
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Zusatzaufgaben ab der Klasse 9:
8) Wurzel als Potenz
Wurzeln lassen sich auch als Potenz schreiben:
โ๐๐
= ๐1
๐ und โ๐๐๐ = ๐
๐๐
oder: โ3 = 312 (man darf auch schreiben 30,5)
Bsp.: โ49 = 4912
Aufgaben:
โ23
= 1000,2 =
โ644
= โ325
9) Wurzel aus Potenz:
Steht im Exponent einer Zahl ein Bruch, dann kann man diese Zahl auch als Wurzel einer
Potenz schreiben:
๐๐๐ = โ๐๐๐
Bsp.: 523 = โ523
= โ253
(siehe auch Potenzgesetze)
Aufgaben:
41
2 = 161
4 =
252
3 = 23
2 =
Wurzel und Potenz kรผrzen:
Eine Wurzel wird mit einem Exponenten potenziert, indem der Radikand mit dem
Exponenten potenziert wird:
(โ43
)6
= โ463= 4
36 = 4
12 = โ4 = 2
Aufgaben:
โ593 = โ763
=
โ1084=
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10) Wurzel aus Wurzel:
Die Wurzel wird aus einer Wurzel gezogen (oder eine Wurzel wird radiziert), indem die
Wurzelexponenten multipliziert werden, und die Basis gleich bleibt:
Bsp.: โ โ๐๐๐
= โ๐๐โ๐
= ๐๐
๐โ๐ (a hoch eins durch m mal n)
โโ16 = โ162โ2
= โ164
โ168
= โ162โ4
= โ โ1642
= โ22
โ โ409632
= โ40966
= โ466= 4
Aufgaben:
โโ625 =
โโ6423
=
โโ7292
=
Zusammenfassung Wurzelgesetze:
Rechenoperation Voraussetzung Rechengesetz
Wurzeln multiplizieren gleicher Wurzelexponent โ๐๐
โ โ๐๐
= โ๐ โ ๐๐
Wurzeln dividieren
Wurzel aus Bruch gleicher Wurzelexponent
โ๐๐
โ๐๐ = โ
๐
๐
๐
โ๐
๐=
โ๐
โ๐
Wurzeln addieren gleicher Radikand,
gleicher Wurzelexponent ๐ฅ โ๐
๐+ ๐ฆ โ๐
๐= (๐ฅ + ๐ฆ) โ๐
๐
Wurzeln subtrahieren gleicher Radikand,
gleicher Wurzelexponent ๐ฅ โ๐
๐โ ๐ฆ โ๐
๐= (๐ฅ โ ๐ฆ) โ๐
๐
Wurzel aus Potenz ๐๐๐ = โ๐๐๐
Wurzel aus Wurzel โ โ๐๐๐
= โ๐๐โ๐
= ๐๐
๐โ๐
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Gemischte Aufgaben:
1) โ2 โ โ18 = โ3 โ โ27 =
2) โ7 โ โ28 = 14 โ12 โ โ27 =
3) 4
5โ5 +
3
10โ โ5 = โ
9๐4
๐3 =
4) โ2๐ฅ โ โ32๐ฅ = โ3
๐ฅโ โ
๐3
6โ โ3๐ฅ =
5) 11โ7 = โ2,5
โ10=
6) โ0,5 โ โ18 = โ160 โ โ3,6 =
7) โ10,5 โ โ12,5 = โ3 + โ3 =
8) Nenner rational machen: โ๐
7+โ5=
9) โ2๐4
๐6 = โ1,8 โ โ5 =
10) โ0,7 โ โ2,8 = (โ54
)12
=
11) โ6,48 โ โ200 = โ50
โ32=
12) 2
โ8=
โ108
โ12=
13) โ432
โ3=
14) 12โ4 โ โ4 =
15) โ480 โ โ0,3 =
16) โ48
โ147=
โ5
โ405=
17) โ338
โ32=
โ80
โ5 =
18) 4โ3 + 0,5โ3 = 5โ9 + 2
3โ9 =
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19) 10โ273
โ 5โ273
= 2
โ5=
20) โ45๐ยฒ = โ163
=
21) Teilweise Wurzel ziehen: โ75 = โ98 =
22) โ๐ฅ
121 = โ
8๐ฅ
๐ยณ =
23) โ700 = โ98 =
24) โ81๐3
๐ฅ3 = โ
13๐ยฒ
๐ยฒ๐ยณ =
25) Vorfaktor unter die Wurzel ziehen: 2aโ๐
2=
26) โ50 =
27) 2
3โ2= 6โ7 โ 4โ7 =
28) 15โ16 + 2
5โ16 = 5โ3
4โ 2โ3
4=
29) โ3
โ3โโ5=
30) โ2
โ3+โ2=
31) โ2โโ3
โ2+โ3=
32) 2โ5+โ2
โ5โโ2=
33) โ5+โ7
โ5โโ7=
34) โ7โโ5
โ7+โ5=
35) โ5โโ7
2โ7+3โ5=
36) (๐ + ๐)1
2 (๐ + ๐)2
3 + (๐ + ๐)1
2 - (๐ + ๐)2
3 =
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Lรถsungen:
1. Wurzeln multiplizieren:
โ2 โ โ8 = โ2 โ 8 = โ16 = 4 โ10 โ โ10 = โ100 = 10
โ54 โ โ1,5 = โ81 = 9 โ500 โ โ1,25 = โ625 = 25
โ1
5 โ โ125 = โ25 = 5 โ
1
25 โ โ625 = โ25 = 5
โ70 โ โ2,8 = โ196 = 14 โ64 โ โ4 = 8 โ 2 = 16
โ16 โ 16 = โ16 โ โ16 = 4 โ 4 = 16 โ16 โ 4 = โ16 โ โ4 = 4 โ 2 = 8
โ169 โ 196 = โ169 โ โ196 = 13 โ 14 = 182 โ1,44 โ 6,25 = 1,2 2,5 = 3
โ0,16 โ 144 = โ0,16 โ โ144 = 0,4 12 = 4,8 โ3
25 โ
27
16 = โ
81
400 =
9
20
โ9
25 โ 0,09 = โ
9
25 โ โ0,09 =
3
5โ 0,3 = 0,18 โ
45
36 โ
5
9 = โ
225
342 =
15
18 =
5
6
2. Wurzeln dividieren:
โ64 โถ 16 =โ4 = 2 โ225 โถ 9 = โ25 = 5 oder โ225
9=
โ225
โ9 =
15
3 = 5
โ196 โถ 49 =โ4 = 2 โ36 โถ โ2,25 = 6 : 1,5 = 4
โ64
โ25=
8
5
โ144
โ49=
12
7
โ196
โ625=
14
25
โ0,64
โ0,36=
0,8
0,6 = 11
3
โ0,8
โ20=
โ0,8
โ0,8โ25=
1
โ25 =
1
5
โ32
โ200=
โ8
โ50=
โ4
โ25=
2
5 = 0,4
โ9
โ144=
3
12=
1
4
โ720
โ5=
โ5โ144
โ5 =
โ5โโ144
โ5 =12
โ0,09
โ1,44=
0,3
1,2=
1
4
โ1,21
โ1,69=
1,2
1,3
โ0,0009
โ14400=
0,03
120=
1
400
โ0,81
โ0,0625=
0,9
0,25= 3,6
3. Wurzeln addieren und subtrahieren:
โ๐ 4
+ 3 โ๐4
= (1 + 3) โ๐4
= 4โ๐4
4 โ33
+ 5 โ33
= (4 + 5) โ33
= 9โ33
13โ75
โ 5โ75
= (13 โ 5)โ75
= 8โ75
8 โ64
+ โ64
= (8 + 1) โ64
= 9โ64
4โ19 + ๐ฅ โ โ19๐ = 4โ19 + ๐ฅโ19 โ โ๐ = (4 + ๐ฅโ๐)โ19
4
5โ5 +
3
10โ โ5 = (
4
5+
3
10) โ5 =
11
10โ5 = 1,1โ5
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4. Wurzeln ausklammern:
aโ5 - bโ5 + ๐โ5 = (๐ โ ๐ + ๐)โ5 6โ12 - 1
2โ5 = (6 โ
1
2) โ12 = 5,5โ12
2โ๐ยณ +3โ๐ยณ = (2 + 3)๐โ๐ 4โโ13+๐ฅโ13
(4+๐ฅ) =
(4+๐ฅ)โโ13
(4+๐ฅ) =โ13
5. Teilweise die Wurzel ziehen:
โ45๐ยฒ = โ9 โ 5 = โ9 โ โ5 โ โ๐ยฒ = 3๐โ5 โ6
โ54=
โ6
โ6โ9=
1
โ9=
1
3
3โ3 = โ9 โ โ3 = โ27 3๐โ5 = โ9 โ โ๐2 โ โ5 = โ45๐ยฒ
1
4 โ5 = โ 1
16 โ5 = โ
5
16
โ845
โ5=
โ5โ169
โ5 =
โ5โโ169
โ5 =13
6. Vorfaktor unter die Wurzel ziehen:
2โ3 =โ4 โ 3 = โ12 6โ3 =โ6 โ 3 = โ18
3โ2 = โ9 โ 2 = โ18 10โ9 = โ100 โ 9 = โ900
3โ2
3= โ9โ2
3= โ
18
3 = โ6 2โ2
3= โ4โ2
3= โ
8
3
7. Nenner rational machen:
5
โ5=
5โ โ5
โ5โโ5=
5โโ5
5 = โ5
โ2
โ3=
โ2โ โ3
โ3โโ3=
โ2โ3
3=
1
3โ6
โ๐โ๐
โ๐+๐=
(โ๐โ๐)โ(โ๐+๐)
(โ๐+๐)โ(โ๐+๐) = =
โ๐โ๐ โ โ๐+๐
โ(๐+๐)(๐+๐) =
โ(๐โ๐)(๐+๐)
โ(๐+๐)2 =
โ๐ยฒโ๐ยฒ
๐+๐
5
3โโ2=
5โ(3+โ2)
(3โโ2)โ(3+โ2)=
15+5โ2
9โ2=
15+5โ2
7
โ๐
โ5+๐=
โ๐โ โ5+๐
โ5+๐โโ5+๐=
โ๐(5+๐)
โ(5+๐)ยฒ =
โ๐ยฒ+5๐
5+๐
1
1+โ๐=
1โ (1โโ๐)
(1+ โ๐)โ(1โ โ๐)=
1โโ๐
(1ยฒ+(โ๐2
) =
1โโ๐
1+๐
8. Wurzel als Potenz:
โ23
= 213 1000,2 = 100
15 = โ100
5
โ644
= 6414 โ32
5 = 32
15 = 2
9. Wurzel aus Potenz:
41
2 = โ4 161
4 = โ164
= 2
252
3 = โ2523= โ625
3 =โ5 โ 5 โ 5 โ 5
3= 5โ5
3 2
3
2 = โ232 = โ8 = โ2 โ 4 = 2โ2
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Wurzel und Potenz kรผrzen:
โ593 =โ(53)33
=53 = 125 โ763 =โ(72)33
=72 = 49
โ1084=โ(102)44
= 10ยฒ = 100
10. Wurzel aus Wurzel:
โโ625 = โ6252โ2
= โ6254
= 5 โโ6423
= โ643โ2
= โ646
=2
โโ7292
= โ7293โ2
= โ7296
= โ366 = 3
Gemischte Aufgaben:
1) โ2 โ โ18 = โ2 โ 18 = โ36 = 6 โ3 โ โ27 = โ3 โ 27 = โ81 = 9
2) โ7 โ โ28 = โ7 โ 28 = โ196 = 14 โ12 โ โ27 = โ12 โ 27 = โ324 = 18
3) 4
5โ5 +
3
10โ โ5 = (
4
5+
3
10) โ5 =
11
10โ5 = 1,1โ5โ
๐ฅ
64= โ๐ฅ
8 โ
9๐4
๐3 =3๐ยฒ
๐โ๐
4) โ2๐ฅ โ โ32๐ฅ = โ2 โ 32๐ฅยฒ = โ64๐ฅยฒ = 8x โ3
๐ฅโ โ
๐3
6โ โ3๐ฅ = โ
3โ๐2โ3๐ฅ
๐๐ฅ= โ
9๐2
๐=
3๐
โ๐
5) 11โ7 =โ121 โ 7 = โ847 โ2,5
โ10=
โ2,5
โ4โ2,5 =
1
โ4=
1
2
6) โ0,5 โ โ18 = โ0,5 โ 18 = 3 โ160 โ โ3,6 = โ160 โ 3,6 = โ576 = 24
7) โ10,5 โ โ12,5 = โ0,5 โ 12,5 = โ6,25 = 2,5 โ3 + โ3 = 2โ3
8) Nenner rational machen: โ๐
7+โ5=
โ๐โ โ5โ๐
(7+ โ5)โ(7โ โ5)=
โ๐(5+๐)
(7ยฒ+(โ52
) =
โ๐ยฒ+5๐
49+5
9) โ2๐4
๐6 =๐ยฒโ2
๐3 โ1,8 โ โ5 = โ1,8 โ 5 =3
10) โ0,7 โ โ2,8 = โ0,7 2,8 =โ1,96 = 1,4 ( โ54
)12
= 53 = 125
Wurzelgesetze
08_wurzelgesetze.docx 13.09.16
11) โ6,48 โ โ200 = โ6,48 200 = โ1296 = 36 โ50
โ32=
โ25
โ16==
5
4= 1
1
4
12) 2
โ8=
2โ โ8
โ8โโ8=
2โโ8
8 =
โ8
4
โ108
โ12=
โ12โ9โ
โ12= 3
13) โ432
โ3=
โ3โ144
โ3 =
โ3โโ144
โ3 =12 oder โ432
3=โ144 = 12
14) 12โ4 โ โ4 = (12-1)โ4 =11โ 2 = 22 โ8155= 83
15) โ480 โ โ0,3 = โ480 โ 0,3 = โ144 = 12 โ3
16=
โ3
4
16) โ48
โ147= โ
48
147= โ
16
49=
4
7
โ5
โ405= โ
5
405= โ
1
81=
1
9
17) โ338
โ32= โ
338
32= โ
169
16=
13
4= 3
1
4
โ80
โ5 =
โ5โ16
โ5 =
โ5โโ16
โ5 =4 oder โ80
5=โ16 = 4
18) 4โ3 + 0,5โ3 = 4,5โ3 5โ9 + 2
3โ9 = 5
2
3 โ9 = 5
2
3โ 3 = 17
19) 10โ273
โ 5โ273
= 5โ273
=5โ3 =15 2
โ5=
2โ โ5
โ5โโ5=
2โโ5
5=
2
5โ5
20) โ45๐ยฒ = โ9 โ 5 โ ๐ยฒ = โ9 โ โ5 โ โ๐ยฒ = 3๐โ5 โ163
=โ2 โ 83
= 2โ23
21) Teilweise Wurzel ziehen: โ75 = โ3 โ 25 = 5โ3 โ98 = โ2 โ 49 = 7โ2
22) โ๐ฅ
121 =
โ๐ฅ
11 โ
8๐ฅ
๐ยณ = โ
2โ4๐ฅ
๐ยฒ=
2
๐โ2๐ฅ
23) โ700 = โ4 โ 175 = 2โ7 โ 25 = 10โ7 โ98 = โ2 โ 49 = 7โ2
24) โ81๐3
๐ฅ3 =
9๐
๐ฅโ
๐
๐ฅ โ
13๐ยฒ
๐ยฒ๐ยณ =
๐
๐๐โ
13
๐
25) Vorfaktor unter die Wurzel ziehen: 2aโ๐
2= โ
4๐ยฒโ๐
2 =โ2๐ยณ
26) โ50 = โ2 โ 25 = 5โ2
27) 2
3โ2=
2โ โ2
3โ2โโ2=
2โโ2
3โ2=
1
3โ2 6โ7 โ 4โ7 = (6 - 4)โ7 = 2โ7
Wurzelgesetze
08_wurzelgesetze.docx 13.09.16
28) 15โ16 + 2
5โ16 = 5,4 โ16 = 5,4 โ 4 = 21,6 5โ3
4โ 2โ3
4= 3โ3
4
29) โ3
โ3โโ5=
โ3(โ3+โ5)
(โ3โโ5)(โ3+โ5)=
โ9+โ15
3โ5=
3+โ15
โ2= โ
3
2โ15
30) โ2
โ3+โ2=
โ2(โ3โโ2)
(โ3+โ2)(โ3โโ2)=
โ2(โ3โโ2)
3โ2 =
โ6โโ4)
1 = โ6 โ โ4 = โ6 โ 2
31) โ2โโ3
โ2+โ3=
(โ2โโ3)(โ2โโ3)
(โ2+โ3)(โ2โโ3)=
2โ2โ3โ2+9
2โ3=
11โ2โ6
โ1= โ(11 โ โ6)
32) 2โ5+โ2
โ5โโ2=
(2โ5+โ2)(โ5+โ2)
(โ5โโ2)(โ5+โ2)=
2โ5โโ5+2โ5โ2+โ5โ2+2
3=
10+3โ10+2
3=
12+3โ10
3=
4+โ10
1= 4 + โ10
33) โ5+โ7
โ5โโ7=
(โ5+โ7)2
(โ5โโ7)(โ5+โ7)=
5+2โ5โ7+7
5โ7=
12+2โ35
โ2=
6+โ35
โ1= โ(6 + โ35)
34) โ7โโ5
โ7+โ5=
(โ7โโ5)2
(โ7โโ5)(โ7+โ5)=
7โ2โ5โ7+5
7โ5=
12โ2โ35
2=
6โโ35
1= 6 โ โ35
35) โ5โโ7
2โ7+3โ5=
(โ5โโ7)โ(2โ7โ3โ5)
(2โ7+3โ5)โ(2โ7โ3โ5)=
2โ35โ15โ14+3โ35
4โ7โ9โ5=
โ29+5โ35
โ17
36) (๐ + ๐)1
2 (๐ + ๐)2
3 + (๐ + ๐)1
2 - (๐ + ๐)2
3 = 2(๐ + ๐)1
2