radon transform theory

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

VIỆN CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG

ĐỀ TÀI: TÌM HIỂU PHÉP BIẾN ĐỔI RADON VÀ PHÂN TÍCH ỨNG DỤNG THỰC TẾ PHÉP BIẾN ĐỔI RADON

TRONG CẤC MÁY CHỤP CẮT LỚP

Giảng viên hướng dẫn:

PGS-TS. Nguyễn Thị Hoàng Lan

Nhóm sinh viên:

Nguyễn Huy Hoàng 20071237

Dương Mạnh Linh 20071697

Nguyễn Đức Long 20071778

Vũ Văn Thiện 20072737

Lớp Hệ thống thông tin K52

Mục lụcMục lục

Mục lục …………………………………………………………………………………………….1

Phần 1 Mở đầu……………………………………………………………………………………2

1.1 Mục đích đề tài ……………………………………………………………………………3 1.2 Giới thiệu về máy chụp cắt lớp và ứng dụng ……………………………………....4

Phần 2 Lý thuyết…………………………………………………………………………………6

2.1 Tổng quan………………………………………………………………………………….6

2.1.1 Sơ đồ hoạt động của máy chụp cắt lớp…………………………………………….6

2.1.2 Thiết bị…………………………………………………………………………………..6

2.1.3 Nguyên lý vật lý………………………………………………………………………..72.1.4 Mô hình toán…………………………………………………………………………..9

2.2 Phép biến đổi radon..............................................................................................102.2.1 Phép biến đổi Radon....................................................................................10

2.2.2 Tính chất của phép biến đổi Radon……………………………………………11

2.3 Phép chiếu quay lui...............................................................................................112.4 Lọc và phép biến đổi Radon ngược....................................................................11

Phần 3 Thí nghiệm và giới thiệu về chương trình........................................................12

3.1 Matlab……………………………………………………………………………………...13

3.1.1 Nhận xét……………………………………………………………………………….19

3.2 Chương trình Computerized Tomography………………………………………….19

Phần 4 Các tài liệu tham khảo………………………………………………………………..24

Phần 5 Phân công công việc…………………………………………………………………25

Mục lục hìnhMục lục hình

Hình 1.1 G.N Housfield........................................................................................................6Hình 1.2 Máy chụp cắt lớp..................................................................................................6Hình 2.1 Mô hình hoạt động của máy..................................................................................8Hình 2.2 Mô hình hoạt động của máy chụp cắt lớp.............................................................8Hình 2.3 Phép chiếu..........................................................................................................10Hình 2.4 Mô hình 1............................................................................................................10Hình 2.5 Mô hình2.............................................................................................................11Hình 3.11 Ví dụ trong MatLAb - Ảnh đầu vào....................................................................22Hình 3.12 Ví dụ trong MatLab -Sinogram..........................................................................24Hình 3.13 Ví dụ trong MatLab – hình dựng lại với số góc chiếu nhỏ.................................25Hình 3.14 Ví dụ trong MatLab – hình dựng lại với số góc chiếu trung bình......................26Hình 3.15 Ví dụ trong MatLab - dựng lại hình với số góc chiếu lớn..................................27Hình 3.16 Chương trình Computerized Tomography dựng lại hình không dùng lọc.........28Hình 3.17 Chương trình Computerized Tomography dựng lại hình dùng bộ lọc RamLak 29

Phần 1 Phần 1 Mở đầuMở đầu

1.1 Mục đích đề tàiMục đích của đề tài là tìm hiểu phép biến đổi Radon sử dụng trong máy chụp cắt lớp (Computed Tomography scanner), một trong những thiết bị được sử dụng rộng rãi trong ngành y tế.

1.2 Giới thiệu về máy chụp cắt lớp và ứng dụng

Năm 1917, J. Radon, nhà toán học người Áo, nghiên cứu lý thuyết lực hấp dẫn và ông đã chứng minh rằng vật thể hai hay ba chiều có thể được dựng lại từ vô số hình chiếu của vật.

Năm 1956, Bracewell, nghiên cứu phóng xạ vũ trụ và ông xây dựng bản đồ mặt trời từ hình chiếu các tia.

Năm 1961, Oldendorf và Cormack đã hiểu khái niệm “chụp hình cắt lớp vi tính” và họ đã xây dựng được mô hình thực nghiệm.

Máy chụp cắt lớp sử dụng tia X (X-ray CT scanner) được phát minh năm 1970 bởi Godfrey N. Hounsfield. Phát minh của ông đã đoạt giả Nobel vào năm 1979.

1.

Hình 1.1 G.N Housfield

Chiếc máy của ông giúp cho các bác sỹ có thể “nhìn”, quan sát các kết cấu của các mô bên trong các bộ phận của cơ thể mà không cần phải tiến hành phẫu thuật. Nhờ vào đó các bác sỹ có thể chẩn đoán bệnh một cách nhanh chóng và chính xác.

Hình 1.2 Máy chụp cắt lớp

Phần 2 Phần 2 Lý thuyếtLý thuyết

2.1 Tổng quan

2.1.1 Sơ đồ hoạt động của máy chụp cắt lớp

2.1.2 Thiết bị

Về căn bản, máy chụp cắt lớp có hai bộ phận chính là máy phát tia X và máy thu các tia X. Các tia này được gọi là các tia chiếu. Nếu máy phát phát ra n tia X thì máy thu sẽ có n đầu cảm biến thu nhận cường độ của n tia X đó. Mỗi đầu cảm biến tương ứng với một tia chiếu. Hai máy thu và phát này có thể quay xung quanh đối tượng cần chụp để chụp nhiều góc độ khác nhau, gọi là các góc chiếu.

2

2.

Hình 2.1 Mô hình hoạt động của máy

2.1.3 Nguyên lý vật lý

Giả sử mỗi tia X được phát ra với cường độ ban đầu là . Dọc theo đường đi của mình, mỗi tia chiếu sẽ gặp các mô khác nhau của cơ thể; các mô này sẽ khuếch đại hoặc làm giảm cường độ của tia chiếu. Loại mô khác nhau thì tính chất làm thay đổi cường độ của các tia chiếu khác nhau. Hiện tượng này được diễn đạt bởi hàm đặc trưng cho tính chất của mô tại toạ độ (x, y) trên lát cắt cần chụp.

Hình 2.2 Mô hình hoạt động của máy chụp cắt lớp

Mặt khác cường độ tia chiếu sẽ tự suy giảm dần theo hàm số mũ e với số mũ âm theo khoảng cách. Vậy, cường dộ thu được tại mỗi đầu cảm biến của máy là:

(Với là đường đi của tia chiếu và là vi phân đường trên L.)

Như vậy ở đầu ra của máy chụp, tín hiệu thu được là tập các cường độ của các tia chiếu. Sau đó những tín hiệu này được xử lý, tính toán chuyển đổi về hình ảnh của lát cắt được chụp.

Xuất phát từ Công thức 2.1, ta có biến đổi sau:

Xét một chùm tia chiếu từ máy thu đến mày phát, quy ước như sau:

Chọn tia chiếu ở chính giữa máy phát làm mốc, gọi đó là tia chiếu gốc. Khoảng cách từ một tia chiếu bất kỳ đến tia chiếu gốc là s. Tia chiếu gốc có s = 0.

Hai máy thu và phát này có thể quay xung quanh đối tượng cần chụp để chụp nhiều góc độ khác nhau. Chọn một góc độ làm mốc, gọi đó là góc chiếu gốc. Gọi góc giữa một góc chiếu bất kỳ với góc chiếu gốc là . Với góc chiếu gốc = 0.

Để hiểu rõ hơn về s và , xem Hình 2.3 ở dưới.

Bây giờ đặt , ta có công thức sau:

Vậy có thể nói là tổng tích luỹ tính chất của các mô đối với tia X, dọc theo tia chiếu ở khoảng cách s và góc chiếu

Công thức 2.1 Công thức 2.2

2.1.4 Mô hình toán

Dựa trên nguyên lý vật lý này, phép biến đổi Radon thuận và nghịch đã được xây dựng dựa trên các chứng minh và phân tích về mặt toán học. Mục đích cuối là để thu được hình chụp cắt lớp của lát cắt được chụp từ các tín hiệu chụp được đã nói ở trên.

Phép biến đổi Radon ngược lại được chia làm hai loại tuỳ thuộc vào kiểu lọc được sử dụng mà ta sẽ xét ở các phần sau.

Hình 2.3 Phép chiếu

Hình 2.4 Mô hình 1

2.2 Phép biến đổi radon

2.2.1 Phép biến đổi Radon

Từ Hình 2.3 ta có hai công thức chuyển đổi từ (s, u) sang (x, y)

Từ Công thức 2.2 và hai công thức trên, ta có phép biến đổi Radon được định nghĩa như sau:

Nếu rời rạc hoá thì

(trong đó được gọi là chu kỳ lấy mẫu)

Vậy tần số lấy mẫu là

Hình 2.5 Mô hình2

Công thức 2.3 Công thức 2.4 Công thức 2.5 Công thức 2.6 Công thức 2.7

2.2.2 Tính chất của phép biến đổi Radon

Tính chất

Công thức ban đầu Công thức sau biến đổi

Tuyến tínhHạn chế không gian

Đối xứng

Chu kỳ

Dịch

Đổi tỷ lệ

2.3 Phép chiếu quay luiPhép chiếu quay lui được định nghĩa như sau:

Về ý nghĩa có thể phát biểu phép chiếu quay lui như sau: Năng lượng tại mỗi điểm (x, y) trên đối tượng sau phép chiếu quay bằng tổng tích lũy của những điểm tương ứng trên tại mỗi góc chiếu .

Phép chiếu quay lui cho kết quả bị “mờ” đi so với ảnh của đối tượng gốc, để xây dựng lại chính xác hình ảnh của đối tượng, cần phải thông qua một phép nhân chập

2.4 Lọc và phép biến đổi Radon ngượcPhép biến đổi Radon ngược có mục đích là xây dựng lại hình ảnh của đối tượng được chụp với tín hiệu vào là kết quả của phép biến đổi Radon.

Phép biến đổi ngược dựa chủ yếu vào phép chiếu quay lui. Như ta đã biết phép chiếu quay lui không cho kết quả giống hệt như hình ảnh ban đầu của đối tượng mà bị mờ đi. Vì vậy cần phải sử dụng phép chiếu quay lui phối hợp với các phép biến đổi khác.

Công thức 2.8 Công thức 2.9

Có hai con đường đi (xem Hình 2.5): chiếu quay lui trước, lọc sau và lọc trước, chiếu quay lui sau

2.4.1 Chiếu quay lui trước, lọc sau

Con đường này được thực hiện dựa vào Công thức 2.8 và Công thức 2.9. Nghĩa là hình chiếu quay lui được dựng trước bằng phép chiếu quay lui như công thức Công thức 2.8 và sau đó được lọc bằng Công thức 2.9 cho hình ảnh giống với ảnh gốc ban đầu. Phép biến đổi theo Công thức 2.9 có tên gọi là Hilbert Transform.

2.4.2 Lọc trước, chiếu quay lui sau

con đường này có thể mô tả chi tiết hơn như sau:

Trong đó phép biến đổi Fourier thuận và ngược được thực hiện bằng DFT hoặc FFT, cũng như IDFT và IFFT.

Lọc trên miền tần số được thực hiện bởi một số bộ lọc sau, với các dáp ứng tần số tương ứng

Bộ lọc Đáp ứng tần số

RamLak

Shepp – LoganCosine thông thấp

Hamming

Trong bảng trên f ( -0.5 f 0.5) là biến trong miền tần số, d là tần số lấy mẫu. Hàm rect là hàm chữ nhật được định nghĩa như sau

Phần 3 Phần 3 Thí nghiệm chương trìnhThí nghiệm chương trình

3.1 MatlabMatlab được trang bị một toolbox có chức năng thực hiện phép biến đổi Radon và dựng lại hình chiếu chỉ với một vài lệnh đơn giản.

Những ví dụ dưới đây được thực hiện với Matlab phiên bản 7.0.

Trong matlab đã chứa sẵn ảnh gốc.Nạp ảnh đó vào bộ nhớ như sau:

P = phantom(256);imshow(P)title(’Anh goc ban dau’);

Kết quả là hình ảnh sau được hiển thị

Đoạn lênh dưới đây tạo góc chiếu cho phép biến đổi Radon, ở đây chương trình định sử dụng ba ví dụ với các góc chiếu khác nhau:

theta1 = 0:10:170; % 18 góc chiếu, cách nhau 100

[R1,xp] = radon(P,theta1); num_angles_R1 = size(R1,2)


[R2,xp] = radon(P,theta2);num_angles_R2 = size(R2,2)


[R3,xp] = radon(P,theta3); num_angles_R3 = size(R3,2)

N_R1 = size(R1,1)N_R2 = size(R2,1)N_R3 = size(R3,1)

P_128 = phantom(128);

Hình 2.6 Ví dụ trong MatLAb - Ảnh đầu vào

[R_128,xp_128] = radon(P_128,theta1);N_128 = size(R_128,1)

Đoạn chương trình sau thực hiện phép biến đổi Radon và hiển thị hình ảnh này

figure, imagesc(theta3,xp,R3)colormap(hot)colorbarxlabel('Goc quanh - \theta (degrees)'); ylabel('vi tri cua cam bien - x\prime (pixels)');

Hình 2.7 Ví dụ trong MatLab -Sinogram

Sau đó hình ảnh gốc ban đầu sẽ được dựng lại, ta thực hiện dựng ba hình khác nhau tương ứng với ba góc chiếu khác nhau đã tạo ra.

Với số góc chiếu nhỏ (18 góc chiếu, cách nhau 100), đoạn mã sau được thực hiện, kết quả cho như hình dưới

output_size = max(size(P));

dtheta1 = theta1(2) - theta1(1);I1 = iradon(R1,dtheta1,output_size);figure, imshow(I1)title(’18 goc chieu’);

Hình 2.8 Ví dụ trong MatLab – hình dựng lại với số góc chiếu nhỏ

Với số góc chiếu trung bình, khoảng 36 góc chiếu cách nhau 20, đoạn mã sau được thực hiện cho kết quả như hình dưới:


Hình 2.9 Ví dụ trong MatLab – hình dựng lại với số góc chiếu trung bình

Với 90 góc chiếu (cách nhau 2o), đoạn lệnh sau được thực hiện và cho kết quả như hình dưới đây:


3.1.1 Nhận xét

Với số góc chiếu càng lớn, ảnh dựng lại sẽ càng chính xác hơn

Hình 2.10 Ví dụ trong MatLab - dựng lại hình với số góc chiếu lớn

3.2 Chương trình Computerized TomographyChương trình do Michael Liebling viết. Đây là một phần mềm chạy trực tuyến trên mạng tại địa chỉ: http://bigwww.epfl.ch/demo/jtomography/index.html

Hai hình dưới đây là màn hình của chương trình thực hiện trên cùng một bức ảnh phantom256 như của hai chương trình trên. Hình thứ nhất là không sử dụng bộ lọc, hình thứ hai là sử dụng bộ lọc RamLak

Hình 2.11 Chương trình Computerized Tomography dựng lại hình không dùng lọc

http://bigwww.epfl.ch/demo/jtomography/index.html

Hình 2.12 Chương trình Computerized Tomography dựng lại hình dùng bộ lọc RamLak

Hình 2.13: Chương trình Computerized Tomography dựng lại hình dùng bộ lọc RamLak

Hình 2.1.4 Chương trình Computerized Tomography dựng lại hình không dùng lọc

Phần 4 Phần 4 Các tài liệu tham khảoCác tài liệu tham khảo

[1] “Fundamentals of digital image processing”, Anil K.Jain, Prentice – Hall, 1998

[2] “Digital image processing, reconstruction from projection”, Bern Girod[3] “The Mathematics of Computerized Tomography”, F.Natterer, SIAM

Publications, Philadelphia, 2001.[4] “Biomedical Imaging Group”, http://bigwww.epfl.ch[5] “Electron microscopy: Back projection”, http://cryoem.berkeley.edu[6] Slide xử lý ảnh

http://cryoem.berkeley.edu/

http://bigwww.epfl.ch/

Phần 5 Phần 5 Phân công công việcPhân công công việc

Dương Mạnh Linh : Tìm hiểu về máy chụp cắt lớp Nguyễn Đức Long : Phép biến đổi Radon Vũ Văn Thiện: Phép chiếu quay lui và biến đổi Radon ngược Nguyễn Huy Hoàng : Thực nghiệm chương trình trên Matlab và

Computerized Tomography

radon transform theory

Documents