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Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e da Educação Curso de Licenciatura em Matemática

Rafael Sodré do Vale

O Ensino dos Números Relativos: Atividades a partir da opinião de estudantes

BELÉM-PA

2009



O Ensino de Números Relativos: Atividades a partir da opinião de estudantes

Trabalho de conclusão de curso apresentado

como requisito para obtenção do título de

Licenciado em Matemática, Universidade do

Estado do Pará. Orientador Prof. Dr. Pedro Franco

de Sá.

BELÉM – PA

2009


FICHA CATALOGRÁFICA



O Ensino de Números Relativos: Atividades a partir da opinião de estudantes

Trabalho de conclusão de curso apresentado

como requisito para obtenção do título de

Licenciado em Matemática, Universidade do

Estado do Pará. Orientador Prof. Dr. Pedro Franco

de Sá.

Data da aprovação: 05/02/2009 Banca Examinadora _______________________________ - Orientador Prof. Pedro Franco de Sá Doutor em Educação Matemática UEPA – UNAMA _____________________________________

Prof. Miguel Chaquiam Mestre em Matemática UEPA - UNAMA _____________________________________

Prof. Rosineide de Sousa Jucá Mestre em Educação Universidade do Estado do Pará - UEPA


Dedico este trabalho àquelas pessoas que, de uma forma ou

outra, foram fundamentais nesse processo. Minha família e, em

especial a minha mãe, pela compreensão, confiança e

estrutura constante não deixando que o desânimo me tomasse

conta e, é claro, ao meu filho RUAN que é a principal pessoa

em minha vida. Ele me fornece muita luz, amor e força para

passar pelos obstáculos.


AGRADECIMENTOS

Agradeço a misericórdia de Deus, que me deu essa oportunidade de

estudar um curso que gostei bastante.

Agradeço a Universidade do Estado do Pará pela oportunidade

profissional.

Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Pedro Franco de Sá, que, não

somente é um orientador excepcional, mas também um ser iluminado.

Agradeço a professora prof. M.Sc. Acylena Coelho pela motivação de

estudar e pela forma especial que ministrava as suas disciplinas contribuindo de

forma incomensurável em minha formação.

Agradeço a Prof. M.Sc. Eliane de Oliveira, por mostrar-me uma outra

visão sobre o estudo e ensino do curso de Matemática e a importância do

profissionalismo em nossa vida.

Agradeço aos amigos da turma que sempre me acolheram bem, mas em

especial a duas pessoas: ao Cássio Garcia que sempre me dava força dizendo que

eu não ia passar e, é claro, ao Mauricio Lima pela palavra amiga e o

companheirismo de sempre, um amigo muito especial, sobrinho do magnífico Rajoli

que respondi tudo só fechando os olhos.

Agradeço a uma amiga especial Tatiane Brito pelo apoio e as palavras

amigas em momentos difíceis.


RESUMO

VALE, R.S. O Ensino dos números relativos: Atividades a partir da opinião de estudantes. 2009.

110f. Trabalho de conclusão de curso (graduação) – Centro de Ciências Sociais e Educação,

Universidade do Estado do Pará. Belém, 2009.

Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa que teve como objetivo analisar o processo de ensino-aprendizagem dos números relativos. A produção das informações foi realizada por meio de uma consulta a 100 (cem) estudantes da 7° série de duas escolas públicas estaduais de Belém, a consulta foi realizada por meio da aplicação de um questionário contendo questões sobre dados pessoais, processo de ensino-aprendizagem dos números relativos e questões sobre as operações com os referidos números. Os resultados indicam que maioria dos alunos gostam um pouco de matemática, são do sexo masculinho, têm 17 anos de idade, não estão em dependência em matemática, recorrem a professores particulares, estudam somente em vésperas de prova, estudaram números relativos em escolas públicas estaduais, os seus professores ensinam o conteúdo de forma tradicional e utilizavam livros didáticos para fixar o conteúdo. Como contribuição para a superação das dificuldades apresentadas são propostas 35 atividades para o ensino do assunto.

Palavras-chaves: Educação, números inteiros, ensino e aprendizagem, atividades.


ABSTRACT

VALE, R.S. O Ensino dos números relativos: Atividades a partir da opinião de estudantes. 2009.

110f. Trabalho de conclusão de curso (graduação) – Centro de Ciências Sociais e Educação,

Universidade do Estado do Pará. Belém, 2009.

This paper presents the results of a survey that aimed to examine the process of teaching and learning of the figures. The production of information was done through a consultation with 100 (one hundred) students of the 7th series of two elementary public schools in Belém, consultation was carried out by the application of a questionnaire containing questions on personal data, the teaching - learning of figures and issues on the operations with these numbers. The results indicate that most students like a bit of mathematics, are the sex masculinho have 17 years of age, are not dependent on mathematics, use of private teachers, students only on the eve of evidence, studied figures in state public schools , their teachers teach the traditional form and content of textbooks used to determine the content. As a contribution to overcoming the difficulties presented are proposed 35 activities for teaching the subject.

Keywords:Education, Whole numbers; teaching and learning; activities


SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO 10

1.1. OBJETIVOS 12

1.1.1. Objetivo Geral 12

1.1.2. Objetivos Específicos 12

2. EVOLUÇÃO HISTÓRICA DOS NÚMEROS RELATIVOS E A

COLABORAÇÃO DE ALGUNS MATEMÁTICOS. 13

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 25

4. RELATO DA PESQUISA 29

4.1. ANÁLISE DOS DADOS PESSOAIS 52

4.2. ANÁLISE DAS QUESTÕES PROPOSTAS 53

5. SUGESTÕES DE ATIVIDADES 63

6. CONCLUSÃO 102

REFERÊNCIAS 103

Apêndice A - Questionário de Pesquisa 105

Apêndice B – Classificação de dificuldade para aprender Números

Inteiros 108

Apêndice C – Cartas do baralho de números inteiros 109


1. INTRODUÇÃO

O ensino dos números relativos tem sido um alvo de muitas discussões e

reclamações por parte dos professores e alunos em qualquer etapa e nível escolar.

Os trabalhos referentes aos números relativos vêm se destacando, principalmente

os de caráter histórico – epistemológicos como os de: Glaeser (1981) e Baldino

(1996) e didático, sendo este último tem apresentado, pesquisas interessantes e

importantes no estudo dos números relativos, como os dos seguintes autores

Passoni (2002), Todesco (2006), Santos (2005), Zeni (2005) e Sá (2008), por

exemplo.

Inicialmente, serão discutidos alguns aspectos que influenciam na

aprendizagem dos alunos referente ao estudo dos números relativos com o auxilio

da história da evolução dos números relativos no decorrer do desenvolvimento da

humanidade. Nesse contexto, mostraremos que as mesmas dúvidas que aparecem

hoje no contato dos alunos com números relativos, já instigavam questionamentos e

discussões de célebres matemáticos como: D’ Alembert, Stieffel, Cauchy e outros.

Diante do exposto, torna-se relevante realizar um estudo que possa

investigar a compreensão dos alunos em relação ao estudo dos números relativos

referente ao que eles entendem, à exemplo, um estudo a cerca da famosa “regra de

sinais”, das operações próprias de números relativos e de seu significado em

diversos contextos

Após este período de investigação, apresentaremos algumas sugestões

de atividades com vista a facilitar o processo de ensino-aprendizagem dos alunos.

Daremos aqui um destaque especial para os jogos, uma vez que o jogo é um

recurso didático de ensino de caráter lúdico e representa uma valiosa ferramenta

no processo de ensino e aprendizagem dos alunos. Diversos autores como: Baldino

(1996), Zeni (2005) entre outros, levantam a eficácia deste tipo de atividade,

evidenciando as vantagens de utilizá-la em sala de aula.


Para Santos (2005), a questão dos jogos para o ensino de matemática

foca um segundo ponto de destaque bastante interessante, pois sua intervenção

pedagógica instiga o raciocínio lógico dos alunos, melhorando o conhecimento

lógico-matemático, o lúdico e a sistematização da estrutura matemática em seu

cognitivo.

“Os jogos podem contribuir para um trabalho de formação de atitudes -

enfrentar desafios, lançar-se à busca de soluções, desenvolvimento da

crítica, da intuição, da criação de estratégias e da possibilidade de alterá-las

quando o resultado não é satisfatório - necessárias para aprendizagem da

Matemática.” (ZENI, 2005).

Este trabalho de números inteiros e o processo de ensino-aprendizagem

foi organizado da seguinte forma:

Na secção 2, apresentaremos o processo de aceitação e

desenvolvimento dos números relativos através dos tempos entre as civilizações e a

colaborações de alguns matemáticos no processo de superação de alguns

obstáculos epistemológicos.

Na secção 3, apresentaremos alguns autores que contribuíram no

processo de ensino e aprendizagem dos números relativos.

Na secção 4, apresentaremos os dados da pesquisa e os seus

respectivos resultados.

Na secção 5, apresentaremos algumas sugestões atividades como

contribuição no processo de ensino – aprendizagem dos alunos.


1.1. OBJETIVOS

1.1.1. OBJETIVO GERAL

Identificar as dificuldades dos alunos em relacionar os números relativos

com situações do cotidiano visando à criação de uma alternativa de ensino que

facilite o processo de aprendizagens dos mesmos nas dificuldades diagnosticadas.

1.1.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Verificar se os alunos conseguem relacionar os números relativos nas

suas práticas do cotidiano.

Observar que estratégias de resolução são utilizadas nas situações

problemas propostas.

Analisar a compreensão dos alunos no que se refere à regra de sinais e

às operações encontradas no estudo dos números relativos


2. EVOLUÇÃO HISTÓRICA DOS NÚMEROS RELATIVOS E A COLABORAÇÃO

DE ALGUNS MATEMÁTICOS.

Neste capitulo iremos abordar a aceitação e o desenvolvimento dos

números (inteiros) em determinados momentos históricos.

A origem dos números inteiros é incerta. Ela vem surgindo e se

desenvolvendo através dos tempos entre as civilizações.

No decorrer dos tempos a humanidade viveu com um tipo de contagem,

trabalhando apenas com um tipo de numeração que era o essencial para suprir suas

necessidades na época, onde essa numeração era o conjunto referente aos

números naturais. Porém, a partir do desenvolvimento da sociedade, a humanidade

evoluiu e a matemática, grande responsável por essa evolução, teve que adquirir

subsídios que justificassem algumas indagações que começaram a surgir entre os

matemáticos da época.

Segundo Passoni (2002), os matemáticos não admitiam a idéia de

valores negativos, as quais utilizamos hoje para representar uma série de situações

do nosso cotidiano como: representar temperaturas abaixo de zero, um saldo

devedor numa conta bancária e etc. Algumas grandes civilizações que contribuíram

para o desenvolvimento da matemática como: egípcios, babilônicos e gregos, não

levaram em conta a idéia de cálculos com obtenção de resultados com números

negativos, ou seja, menores que zero.

Por muito tempo, Passoni (2002) a diferença entre dois números (x-y), só

era definida em N, se x > y, mas, a humanidade evoluiu e a matemática, grande

responsável por essa evolução precisou também de subsídios que representassem

valores que estivessem na forma x – y quando x < y, resultando em um valor

negativo e, esses valores tivessem uma representação.

Para Jahn (apud TODESCO, 2006), na China antiga, os números inteiros

surgiram acerca de 2000 anos, onde eles utilizavam nas execuções de seus cálculos

barras de bambus em tabuleiros representando por cores os números, sendo o

número positivo representado pela cor vermelha e o número negativo pela cor preta,


respectivamente, onde, segundo Boyer (apud, PEREIRA et al, 2006), os chineses

não aceitava ainda a idéia de número negativo como solução de equação. Mas

coube aos hindus a introdução dos números negativos na matemática com o

objetivo de representar débitos.

A aparição dos números negativos na matemática

aconteceu na China acerca de dois milénios. Mas devido a

grande dificuldade de comunicação, em épocas remotas, entre os

diversos povos, em especial entre a China e o restante do mundo,

essa contribuição dos chineses influenciou pouco o

desenvolvimento da matemática no Ocidente, (lEZZI, apud PEREIRA et

al, 2006).

Os gregos foram grandes pensadores e colaboradores no

desenvolvimento da matemática, principalmente, a geometria, mas rejeitavam a

idéia dos números negativos, já que não conseguiam uma aplicação pratica para tais

valores em uma aplicação geométrica, sendo que eles não conseguiam adequar em

sua geometria (PASSONI, 2002).

Mais tarde outro relato sobre os números negativos, segundo Soares

(2008), o povo grego, tinha o objetivo de abreviar cálculos, uma vez que uma das

conseqüências foi desenvolvimento da regra do jogo dos sinais, pois, apesar de tais

regras não estarem claramente condicionadas as tentativas de abreviações, vendo

aparecer, mas tarde na obra de um dos grandes matemáticos , Diofanto de

Alexandria (FIGURA 1) ( 250 d. C), precursor da regra dos sinais, não fez qualquer

referencia aos números negativos. Sendo encontrando no seu livro I da “Aritmética”

fazendo alusão ao produto de duas diferenças, onde escreveu:

“O que esta em falta multiplicado pelo que esta em falta dá o que é positivo; enquanto o que está em falta multiplicado pelo que é positivo, dá o que está em falta”. (GLAESER, apud PASSONI, 2002).


FIGURA 1- Diofanto Fonte:http://portalsaofrancisco.com.br/alfa/biblioteca-alexandria/imagens/nova-11.gif

Os primeiros registros que temos dos números negativos segundo Boyer

(apud, PEREIRA, 2006), foi do matemático e astrônomo hindu Brahmagupta (598-?),

conhecedor das regras para as quatros operações com números negativos,

apresentando a seguinte regra:

“[...] Uma divida subtraída de zero torna-se um bem, e um bem subtraído de zero torna-se uma divida”. (GAUD e GUICHARD, apud, PEREIRA et al, 2006).

Um matemático hindu de nome Báskara, justificava nas suas

interpretações sobre números inteiros com a idéia de perda ou divida, visto que

como Brahmagupta a idéia dos números inteiros era objetivada em débitos.

Entretanto, os hindus eram intolerantes em aceitar que quantidades negativas

fossem escritas através de números (PASSONI, apud, PEREIRA, 2006).

Segundo Todesco (2006), os árabes dominaram militarmente algumas

etnias como os hindus promovendo um estreitamento cultural a partir de um

intercâmbio em seu vasto espaço, contando também com a península ibérica que foi

dominada militarmente por eles. Dessa troca cultural surgiu, por exemplo, o nosso

sistema de numeração incluindo os números negativos, vindo a ser assimilado e

denominado sistema de numeração indu-arábico, mesmo que tenha sido

desenvolvido pelos hindus. Entretanto os árabes não trouxeram nenhuma

contribuição para essa questão.

Para Boyer (apud, PEREIRA, 2006), foi somente a partir de meados do

século VII, os árabes continuadores e divulgadores da cultura matemática dos

hindus, Segundo Howard Eves (apud, PEREIRA, 2006), o processo de divulgação

provavelmente os símbolos (números) foram levados para Europa por comerciantes


e viajantes pela costa do Mediterrâneo, Contudo tais símbolos foram encontrados

num manuscrito espanhol do século X sendo possível que tenha sido introduzido na

Espanha pelos árabes que invadiram a península ibérica no ano de 711 d.C. Mas foi

uma tradução latina do tratado de Al-khowârizmî (descreveu de maneira completa o

sistema hindu num livro do ano de 825 d.C.) que foi produzida no século XII,

acompanhada de alguns trabalhos europeus sobre o assunto, o que fez com que o

sistema se disseminasse mais amplamente.

Por volta do século XIII, o italiano Leonardo de Pisa, conhecido como

Fibonacci, em uma obra sobre álgebra, interpretava um resultado negativo de um

problema como número, onde tal problema pedia o lucro de um comerciante. Sendo

que Fibonacci afirmou que “Este problema não tem solução, a menos que

interpretemos a divida como um número negativo” (PASSONI, apud, PEREIRA,

2006).

Fibonacci ressalta que: (c. 1170 - 1240), o maior matemático europeu da Idade Média, nada inclui sobre os números negativos em sua mais importante obra, Líber abaci (1202) em que se tratando de uma obra de aritmética, álgebra e geométrica esse fato é realmente surpreendente. Já no século XV o francês N. Chuquet (1445 - 1500) e no século XVI o alemão M. Stifel (1486 - 1567) se referem a eles como números absurdos. O maior matemático do século XVI, F. Viète (1540-1603) descartava completamente os números negativos. ( lEZZI, apud PEREIRA et al, 2006).

Aos poucos os números inteiros foram aceitos como número até que, em 1659 (século XVII), onde as letras foram usadas pela primeira vez para representar tanto os números negativos quanto os números negativos.

Segundo Passoni (2002), a grande influência dos árabes no

desenvolvimento da matemática na Europa contribui para o retardamento da

aceitação dos números negativos no ocidente, assim os números negativos foram

deixados de lado, ou seja, foram evitados pelos matemáticos até por volta do século

XVIII.

O conhecimento matemático na Europa estava estagnado e em baixa, ou

seja, sem muitas descobertas e inovações, desde a antiguidade. Porém monges

copistas que se encontravam na época eram os únicos instruídos, pois copiavam e

estudavam obras matemáticas. Mas foi a partir da criação dos primeiros centros de

ensino e das universidades européias nos séculos XVII e século XVIII tais como


Bolonha e Oxford, Paris e outras, a matemática começou a ser desenvolver como,

por exemplo, a descoberta do zero valendo como uma invenção genial, que de

acordo com a regra do jogo de sinais determinava os números positivos e números

relativos e a eles a atribuição de seu oposto em relação ao zero, outra idéia é que o

zero indicava ausência representando um avanço a outras épocas e povos,

ganhando um status de número pelos hindus. Outra contribuição do zero foi no

desenvolvimento da álgebra moderna e outros ramos da matemática e em outras

ciências modernas (PASSONI, apud, PEREIRA, 2006).

A álgebra não teria conhecido tal avanço se esta generalização do

número não tivesse sido acompanhada por uma descoberta igualmente

fundamental, realizada em 1591 por François Viète e aperfeiçoada em 1637 por

René Descartes, (IFRAH, apud PEREIRA et al, 2006)

Para Todesco (2006), em pleno período do renascimento os matemáticos

detinham o domínio de técnicas e de resoluções de equações algébricas, mas

ficavam embaraçados quando em suas resoluções se deparavam com raízes

negativas devido a idéia de número negativo ainda não esta formalizada. Mas o que

veio a fortalecer a necessidade da formação de outro número foi o desenvolvimento

de outras ciências já que os numerais usados na época não atendiam mais suas

necessidades na sua plenitude.

Mas o marco das representações dos nossos sinais (+) e (-), começaram

a ser usados inicialmente nos armazéns para indicar excessos e faltas. Esse período

foi marcado pelo desenvolvimento das relações comerciais entre os povos, onde

nessa relação a matemática foi de vital importância, pois esta permitia as

comerciantes efetuar contas com precisão e rapidez. (TODESCO, apud, PEREIRA,

2006).

Os símbolos + e – são atribuídos a um outro matemático alemão,

Widman, em 1489, publicou um livro de aritmética, utilizando pela primeira vez tal

representação. (TODESCO, 2006).

É nesse contexto que a matemática começou a ser desenvolver, pois ela

seguia o mesmo desenvolvimento do comércio já que ambos estão diretamente


ligados. Dessa prática comerciaria que começou a se representar sinais nas

operações matemáticas.

Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão

com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia

o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não

se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão. Mas se ele resolvesse despejar

no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados

(semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia

2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial (ORIGEM DOS NÚMEROS

INTEIROS, 2008).

Segundo Todesco (2006), na época os matemáticos gostaram tanto da

solução encontrada pelos comerciantes usarem números com sinais, que

começaram a utilizá-los mais em diversas soluções de problemas.

No desenvolvimento da matemática, em relação aos números inteiros,

muitos matemáticos se confrontam com problemas, onde uns aceitavam e outros

não aceitavam soluções com números negativos, vejamos alguns celebres

matemáticos.

O matemático francês Nicolás Chuquet (FIGURA 2) considerava possíveis

raízes negativas para solução de equações quadráticas, sendo que no

Renascimento que apareceu um número negativo ligado à uma equação algébrica,

na sua obra "Triparty", escrita em 1484, que poderíamos dizer hoje 4x = -2 . Sendo

que não existia os símbolos "x", "=", "-". (TALAVERA, 2003).

FIGURA 2- Nicolás Chuquet Fonte:http://www.malhatlantica.pt/mathis/Europa/tamblyon2.jpg


No século XVI, o grande matemático Stieffel (FIGURA 3) considerava os

números negativos como “números absurdos”, ou seja, números de difícil

compreensão, onde a principal consideração do estudo do número negativo esta

relacionada à idéia de débito. (TODESCO, apud ARAÚJO, 2006).

FIGURA 03- Stieffel Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&ndsp=20&hl=ptBR&q=matematico+stieffel&start=40&sa=N

Em relação ao matemático Cardano (FIGURA 4) no século XVI havia a

aceitação dos negativos como solução de raízes de equações, sendo que Cardano

os denominava de números falsos em oposição aos positivos que considerado como

o verdadeiro(TODESCO, apud ARAÚJO, 2006).

FIGURA 04- Cardano Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=matematico+cardano&btnG=Pesquisar+imagens

Tartaglia (FIGURA 5) relatava os números negativos de "termo chamado

menos". Já o Tycho Brahe (astrónomo) chamava-os de "privativos". Napier em


meados do século XVI chamava os positivos de "abundantes" e os negativos de

"defectivi. (TODESCO, apud ARAÚJO, 2006).

FIGURA 05-Tartáglia Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=matematico+tartaglia&btnG=Pesquisar+imagens

Descartes(FIGURA 6) no séc.XVII classificava os negativos de " números

ficticios". Foi Descartes quem pela primeira vez associou os negativos a números

"menores do que nada”.

FIGURA 06- Descartes Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=matematico+descartes&btnG=Pesquisar+imagens

O francês Descartes (séc. XVI) não achava que os negativos

fossem números verdadeiros. Assim, inventou sistema de localização de

pontos no plano (o que hoje chamamos de eixo cartesiano), mas,em seu

sistema, os eixos de referencia tinham apena números positivos,

diferentemente de hoje.Naquela época, as pessoas não acreditavam que

algo poderia ser menor do que nada e, por isso, achavam que não faziam

sentido os números que indicavam quantidades menores do que

nada.(TODESCO, 2006).


Para Glaeser (1981), D’Alembert (figura 07) no final do século XVIII, um

dos textos mais reveladores das questões que apareciam sobre os números

negativos, é certamente, o artigo “Artigo Negativo”, que D’ Alembert escreveu para a

enciclopédia Diderot. Neste artigo, percebeu-se a dificuldade na assimilação dos

números relativos: “Dizer que as quantidades negativas estão abaixo do nada, é

afirmar uma coisa que não se pode cancelar”.

FIGURA 07-D’Alembert Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=matematico+d%27+alembert&btnG=Pesquisar+imagens

Laplace (FIGURA 8), professor da Escola normal, Laplace também

demonstrava o mesmo embaraço de seu antecessores. Chegando a declarar que “a

regra de sinais é um assunto que levantaria dificuldades, principalmente em se

tratando do produto (-) x (-)”. Não evoluiu nestas questões (GLAESER, 1981).

FIGURA 08 - Laplace Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=matematico+laplace&btnG=Pesquisar+imagens

August Cauchy (FIGURA 9), foi o responsável pelo ínicio de uma

confusão entre (+ e -) operatórios e predicativos.


Figura 09 - Cauchy Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=matematico+cauchy&btnG=Pesquisar+imagens

Após a infrutífera de que quantidades negativas são grandezas que

diminuem representadas por um número precedidas pelo sinal (-), Cauchy adota um

novo ponto de vista, apresentando a multiplicação de um modo formal (GLAESER,

1981).

Segundo Glaeser (1981), é atribuido a Herman Hankel (FIGURA 10) a

resolução de todas as questões referentes aos números relativos. Interessante é

notar que este passo tão importante para a matemática ocorreu “ao acaso”.

FIGURA 10 - Hankel Fonte:http://images.google.com.br/images?gbv=2&hl=ptBR&q=matematico+hankel&btnG=Pesquisar+imagens

Isto porque porque a solução a solução foi dada mediante o livro “Teoria

dos sistemas complexos”, que tinha o propósito de definir a teoria sobre números

complexos e foi apenas de passagem, em algumas de suas demonstrações, que

Hankel desvendou por completo todas as dúvidas que pairavam sobre os números

relativos (GLAESER, 1981).


Hankel não buscou a justificativa dos numeros negativos em situações

reais “expliquem” seu comportamento, mas em leis formais, concretamente no

“princípio da permanência” que teria sido introduzido por George Peacock (1791 -

1858), alguns anos antes, afim de fundamentar as operações com expressões

literais e o estudo da Álgebra (GONZÁLES, apud PASSONI, 2002).

Hankel, retomando a iniciativa de Peacock, formulou o princípio de

permanência das leis formais que estabelece o critério geral de algumas ampliações

do conceito de número.

Segundo Gonzales (apud PASSONI, 2002) :

A palavra número responderá a símbolos ou agregados de símbolos

que não representam necessariamente números do campo númerico

previamante dado ou conhecido, posto que seu significado possa ser

qualquer.

Definir-se-ão para o novo campo númerico as operações fundamentais

da Aritmética (Adição e Multiplicação) e o conceito de igualdade, de

maneira que se conservem as definições no campo menos amplo, como

no caso particular das novas definições, e que subsistam as leis formais

de uniformidade, associativa, comutativa, distributiva e conservação do

elemento neutro.

A partir desse momento, os negativos foram completamente admitidos e

ocuparam um lugar reconhecido dentro da Matemática; não obstante, careciam de

uma definição rigorosa e explícita. Até então eram apenas símbolos, com os quais

se operava seguindo determinadas leis (GONZÁLES, apud PASSONI, 2002).

Observamos que no decorrer do estudo e do desenvolvimento dos

números relativos, os matemáticos avançaram no sentido de aceitarem esse

número e na compreensão de algumas lacunas que esse número gerava entre os

matemáticos. Como podemos observar no quadro abaixo:


Alguns

matemáticos

OBSTACULOS

1 2 3 4 5 6

Diofante I

Descartes + ? I ?

Euler + + + ? + +

D’ Alembert + - I I I I

Laplace + + + ? I ?

Cauchy + + I I + ?

Hankel + + + + + +

QUADRO 1- Obstáculos epistemologicos de matemáticos em números relativos. Fonte: Oliveira Junior et al.

I: Obstáculo não – assimilado.

?: Obstáculo cuja situação é indefinida, por falta de informações

suficientes nos textos pesquisados.

+: Obstáculo ultrapassado.

- : Obstáculo não ultrapassado, apesar de pesquisado pelo autor.

Portanto, uma vez que, a partir do estudo de Cauchy sobre os números

relativos, este desperta o interesse de Herman Hankel , que foi quem finalmente

desvendou toda a questão em torno dos números negativos, como por exemplo, a

formalização da regra dos sinais. A partir da compreensão dessas lacunas o estudo

dos números relativos teve uma grande evolução, uma vez que esse número,

começou a ser usado como um advento em outras áreas da matemática e de outras

ciências.


3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

O estudo do processo de aprendizagem dos alunos decorrente da

análise realizada neste trabalho fundamenta-se em algumas vertentes que tentam

exemplificar algumas discussões referentes ao processo de ensino e aprendizagem.

A natureza desse estudo envolve toda uma análise do conteúdo de

números relativos em seu caráter abstrativo e operatório. A aprendizagem operatória

dos números inteiros pressupõe que o aluno compreenda o significado e domine, de

forma gradual, as propriedades que regem esses números.

Como observamos na perspectiva histórica e na evolução da humanidade

os números inteiros encontraram uma série de dificuldades e obstáculos em sua

aceitação, devido as suas características não comuns ao nosso dia-dia, e no

seguimento de nossas vidas acadêmicas e até na vida social, pois não encontramos

de forma explícita em nossas necessidades do cotidiano.

Segundo Piaget (apud, REIS et al, 2006) desde a formação, observamos

que o conjunto dos números naturais, representado pela letra N, é o conjunto

numérico mais utilizado em nossas necessidades do dia-a-dia. Utilizamos esses

números para enumerar uma certa coleção de objetos, animais, pessoas e etc. Daí

nossa mente sempre realizar interconexões com ações que produzimos com esses

números em nosso cotidiano, visto que esse é o primeiro número que nos é

apresentado e que estudamos por cerca de 5 anos em nossa formação acadêmica.

A partir disso, todas as relações que construímos está estreitamente relacionada aos

números naturais, como por exemplo, ordenação composição, fazer

correspondências e de pensar.

Mas segundo Piaget ( apud, CASTRO et al, 2006) não podemos descartar

que até antes do nível de 6° serie, os alunos espontaneamente podem ter realizado

operações inerentes aos números inteiros em jogos de diversão de perda e ganho e

etc.

Nesse processo de construção do conceito desse conjunto se supõe que

devemos dominar em diferentes níveis de compreensão, desde o simples

reconhecimento até as tematizações que esse número constrói referente, claro, ao


sistema de numeração que esse número está incluso na forma de elemento. Assim,

temos a necessidades de compreender a linguagem que se é aplicada nesse

contexto, assim como as propriedades subjacentes às operações de adição,

multiplicação, divisão e potenciação.

A partir do estudo na 6° série, os números naturais não são mais

suficientes para os estudos de alguns conteúdos matemáticos, daí o advento da

apresentação de um conjunto que do ponto de vista matemático é uma ampliação

dos números naturais, com suas propriedades e seu rigor matemático.

Para Piaget (apud CASTRO et al, 2006), menciona que os números

inteiros são números que apresentam uma estrutura matemática de difícil

compreensão e uma complexidade alta, uma vez que não há muitas opções de se

fazer relações de alguns desses números com a realidade vivenciada pelos alunos,

gerando grandes dificuldades entres os alunos.

Segundo Glaeser (apud CASTRO et al, 2006), a construção formal dos

números inteiros sofreu substancialmente uma evolução a partir das transformações

da humanidade para atender suas necessidades, sendo que no século XIX, Hankel

deixou de extrair situações do plano real para explicar os números relativos,

propondo uma explicação formal para o mesmo. E segundo Bachelard (apud,

CASTRO et al, 2006), o desenvolvimento dos números inteiros no decorrer de seu

percurso teve uma série de paradoxos e confrontos, onde este identifica vários

obstáculos de natureza epistemológica devido à má adaptação desses números.

Para Glaeser, (apud CASTRO et al, 2006) enumera esses obstáculos da

seguinte ordem: (1) Inaptidão para manipular quantidades isoladas; (2)dificuldades

em dar um sentido a quantidades negativas isoladas; (3)dificuldades em unificar a

reta numérica manifestada pela diferenciação qualitativa entre quantidades positivas

e negativas, pela concepção da reta como mera justa posição de duas semi-retas

opostas, ou ainda por desconsideração do caráter simultaneamente dinâmico e

estático dos números; (4) ambiguidade dos dois zeros: Zero absoluto e Zero como

origem; (5) dificuldades de afastar-se de um sentido "concreto" atribuído aos seres

numéricos: fixação no estágio das operações concretas por oposição ao formal; (6)


desejo de um modelo unificador: utilização de um modelo aditivo para o campo

multiplicativo, ao qual não se aplica.

É fácil perceber o quão dificil é para os alunos da 6º série do ensino

fundamental o trabalho com os números inteiro, uma vez que, além de entender e

aceitar as propriedades desses números relacionadas às operações, é necessário

fazer conexões com situações cotidianas.

Uma pertubação que os alunos se deparam na introdução do estudo de

números relativos é aquela famosa situação (x-y), com y>x, gerando resultados até

em então inexistentes na vivencia dos alunos , mostrando que as operações se

delinhiam , a partir da geração de um novo conteúdo, satisfazendo a necessidade

que vão se apresentando. Uma vez que , a partir dessa situação observaremos a

introdução de uma nova categoria de número o “número negativo”, com suas

peculiaridade e propriedade.

Assim, observaremos que os números inteiros vão surgindo,

apresentando abstrações e generalizações, uma vez que na medida que o aluno

tem o contato com número negativo,vai descobrindo que este será sempre menor

que um número positivo, com um ponto em comum suas origens. Com isso há uma

necessidades de ampliarmos esse estudo, já que o zero (origem) utilizado nos

números naturais representa a idéia de “ausencia” de quantidade já nos números

inteiros essa origem (marco zero), representará uma nova concepção, consistindo

em um isolamento por oposição entre números positivos e negativos, integrando-os

em um sistema no qual essa oposição determinará regras. Segundo Skemp (apud

CASTRO et al, 2006), essa junção entre positivos e negativos resulta num novo

sistema o “sistema dos inteiros”, que ao passo representará um novo significado ao

número, quebrando a idéia que o número consiste em apenas uma representação

de uma contagem, dando agora valores reversiveis ao número quanto à sua

natureza do sinal.

Entretanto, na construção desse novo conjunto númerico, os valores

absolutos dos números (positivos e negativos) permaneceram o mesmo,

caracterizando como inteiro a posição que ele ocupa em relação a origem na reta

númerica.


Posteriormente, apresentaremos as propriedades desse novo sistema,

observando as operações realizas com seus elementos e, os seus novos significado

e simbolos em diversas situações do cotidiano. Uma vez que nos números naturais

foi verificado que a ideia da operação de adição indica somente o ato de acrescentar

algo. No entanto, no campo dos números inteiros a operação de adição representa

uma ampliação dos naturais, já que indicará casos que podemos obter um

acréscimo, outros casos devemos diminuir, bem como resultados que resultarão em

zero (NETO, apud CASTRO, 2006).

O caso da operação de multiplicação deve ser observado com bastante

atenção, pois no sistema dos inteiros a operação multiplicativa indica significados e

resultados diferentes. Nos números naturais, a operação multiplicativa representa a

ideia de um conjunto que se repete, ou seja, uma adição de parcelas iguais (Ex:. 5 x

3= 5 + 5 + 5).

Em se tratando do conjunto dos números inteiros, essa operação se

mostrará bem mais complexa, uma vez que além da adição propriamente dita, os

sinais desses números e seus significados também poderão trazer grandes

dificuldades.

“[...] um ganho será representado por um número positivo e a perda por um número negativo. Igualmente, o tempo no futuro será representado por um número positivo e no passado por um número negativo. Se perde 5 dólares por dia, então daqui a 3 dias terá perdido 15 dólares... (-5) . (+3) = -15 ...se perde 5 dólares por dia, então há 3 dias atrás estava 15 dólares mais rico...(-5)(-3) = +15”. (LIMA, apud ANGELO, 2008).

Segundo Baldino (apud CASTRO et al, 2006), as dificuldades e

obstáculos encontradas pelos alunos atualmente, eram as mesmas dos pensadores

matemáticas na antiguidade, ou seja, em outros termos observarmos que as

dificuldades e erros cometidos na aprendizagem dos números inteiros esta ligado a

esses obstáculos.Porém dos obstáculos colocado por Glaeser apenas alguns deles

são vistos como obstáculos de relevância como: Dificuldades em unificar a reta

numérica manifestada pela diferenciação qualitativa entre quantidades positivas e

negativas, pela concepção da reta como mera justa posição de duas semi-retas

opostas, ou ainda por desconsideração do caráter simultaneamente dinâmico e

estático dos números; Ambiguidade dos dois zeros: Zero absoluto e Zero como


origem; Dificuldades de afastar-se de um sentido "concreto" atribuído aos seres

numéricos: fixação no estágio das operações concretas por oposição ao formal;

desejo de um modelo unificador: utilização de um modelo aditivo para o campo

multiplicativo, ao qual não se aplica, são as principais fontes dos erros dos alunos.

Mas Brousseau coloca que outros obstaculos a ser analisado, como obstaculos de

cunho didatico no estudo dos números inteiros.

Entretanto, Baldino (apud CASTRO et al, 2006), coloca que uma

importante alternativa metodológica para que os alunos possam entender os

números inteiros, os jogos, esse instrumento de ensino se torna uma alternativa

muito interessante ,pois constroi de forma sistematico o conceito dos números

inteiros e minima os obstaculos que os alunos possuem no estudo dos numeros

inteiros.

É partindo da importancia dos numeros inteiros que decidimos fazer um

estudo sistematico verificado as dificuldades e obstáculos que os alunos possuem,

sugerindo alternativas de ensino que possam contribuir em sua aprendizagem.

4. RELATO DA PESQUISA: ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS OBTIDOS

A pesquisa tem como finalidade investigarmos o nível de conhecimento

dos alunos acerca do conhecimento de números inteiros relativos, onde houve a

necessidade de aplicarmos um protocolo de pesquisa (apêndice A) que contém

dados de caráter pessoais e questões relacionadas ao conteúdo de números inteiros

relativos.

É importante ressaltarmos que a pesquisa foi realizada num período

que coincidiu com o processo avaliativo dos alunos, sendo que a maioria destes não

se comprometeu em preencher os campos e resolver as situações propostas, já que

a pesquisa não representaria nenhum um acréscimo quantitativo, não influenciando

em suas avaliações (idéia de ganhar ponto). Por conta disso, alguns alunos se

recusaram a preencher e fazer as questões do protocolo e, outros, mostraram

desinteresse em desenvolver o trabalho, daí se inviável verificarmos algumas das


principais dificuldades que eles apresentam no estudo dos números inteiros

relativos.

Na realização da pesquisa verificamos que a maioria dos alunos está

em defasagem em relação à idéia posicional de idade-série, sendo que 70% dos

alunos estão com idade superior para cursarem a 7° serie do ensino fundamental, e

que 17% destes já ficaram em dependência em matemática.

Observamos que 56% dos alunos classificaram que gostam de matemática

pelo menos um pouco, porém verificaremos mais adiante que nos protocolos de

questões essa afirmativa se torna uma contradição. É importante também

ressaltarmos que a maioria das famílias (pai e mãe) desses alunos possui apenas o

ensino básico, precisamente o ensino médio incompleto, e exercem profissões

como: pedreiro, doméstica, faxineira, pintor e etc.

Os dados obtidos na sondagem com os alunos se desenvolveram em sala

de aula com a supervisão do professor. Os protocolos foram aplicados em duas

escolas públicas estaduais da região metropolitana de Belém, localizado nos

conjuntos Promorar e Marex em turmas da 7° série do ensino fundamental dos

turnos da manhã e da tarde.

A escolha da 7º série do ensino fundamental para a aplicação dos

protocolos foi motivada pelo fato de que todos esses alunos já terem tido contato

com o conjunto dos números inteiros relativos.

Neste momento apresentamos as tabelas e gráficos com os principais

resultados obtidos. Com relação às idades dos alunos verificamos que a idade

predominante no grupo de estudo é de 17 anos seguido dos alunos com 16 anos

(TABELA 1).


TABELA 1- Idades dos alunos pesquisados

Idade Nº de Alunos

12 14

13 15

14 16

15 17

16 18

17 20

Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

Idade dos alunos

Idade

12

14%

Idade

13

15%

Idade

14

16%

Idade

16

18%

Idade

17

20%

Idade

15

17%

GRAFICO 01: Idade dos alunos pesquisados Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008


TABELA 2- Sexo dos alunos pesquisados

Sexo Nº de Alunos

Masculino

56

Feminino 44


GRAFICO 02: Sexo dos alunos pesquisados Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008

Foi verificado que a maioria dos alunos (56%) pertencia ao sexo

masculino e, com percentual menor de 44%, ao sexo oposto.


TABELA 3- gosto dos alunos entrevistados pela matemática

Você gosta de matemática N° de alunos

Nenhum pouco 9

Muito pouco 13

Um pouco 56

Muito 22


GRAFICO 3: Gosto dos alunos entrevistados pela matemática. Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

Observamos nesse gráfico que a maioria gosta um pouco de Matemática,

fato este incomum, pois a maioria dos alunos não gostam de matemática devido sua

abstração e os cálculos que ela apresenta.


TABELA 4- Você está em dependência em matemática?

Você está em dependência em Matemática? N° de Alunos

Sim 17

Não

83


GRAFICO 4: Você está em dependência em Matemática? Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

Observamos (GRÁFICO 4) outro fator importante é que a maioria dos

alunos entrevistados não estarem em dependência, já que a disciplina de

matemática é a que mais favorece para o aumento do número de repetência e

evasão nas escolas.


TABELA 5 - Período que os alunos costumam estudar fora da escola

Você costuma estudar matemática. Fora da escola N° de alunos

Só no período de prova 30

Só no fim de semana 26

Todo dia 8

Só na véspera da prova 36

Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008

GRAFICO 5: Período que os alunos entrevistados estudam matemática. Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

No (GRÁFICO 5) é mostrada uma realidade no processo educacional dos

alunos que a grande maioria estuda somente em vésperas ou em semanas de

prova.


TABELA 6 - Quem ajudava os alunos entrevistados no estudo de números inteiros

Quem lhe ajudava nas tarefas de matemática na 6° série? N° de alunos

Professor particular 27

Pai 6

Mãe 23

Irmão 15

Amigo 11

Outros 18


GRAFICO 6: Quem lhe ajudava nas tarefas de matemática na 6° série? Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

Esse gráfico mostra a participação ativa e abrangente de profissionais no

aprendizado dos alunos, uma vez que a maioria dos pais desses alunos não tem de

uma participação ativa nos estudos de seus filhos devidos fatores como trabalho, por

exemplo.


TABELA 7 - Você costuma fazer compras?

Você costuma fazer compras? N° de

alunos

Sim 47

Não 5

Às vezes 48


GRAFICO 7: Você costuma fazer compras? Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

No GRÁFICO 7, que quase todos os alunos entrevistados, realizam a

pratica de fazer compras constantemente nas suas vidas diárias.


TABELA 8 - Em que tipo de escola os alunos entrevistados estudaram números relativos.

Em que tipo de escola você estudou os números relativos N° de alunos

Pública Estadual 77

Pública Municipal 13

Pública Federal 2

Privada 3

Outro 5


GRAFICO 8: Em que tipo de escola os alunos entrevistados estudaram números relativos. Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

O GRÁFICO 8 mostra que a maioria dos alunos teve o primeiro contato

com os números inteiros nas unidades da rede pública.


TABELA 9 - Quando você estudou números inteiros relativos a maioria das aulas foi:

Quando você estudou números inteiros relativos a maioria das aulas foi: Nº de alunos

Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios 69

Começando com uma situação problema para depois introduzir o assunto 18

Criando um modelo para situação e em seguida analisando o modelo 11

Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos 2


GRAFICO 9- Como os professores ensinam números inteiros. Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

Esse gráfico indica de que a maioria dos alunos entrevistados estudou

esse assunto da maneira tradicional de ensino.


TABELA 10 - Para fixar o conteúdo estudado de Números Inteiros Relativos o seu professor:

Para fixar o conteúdo estudado de Números Inteiros Relativos o seu professor Nº de alunos

Apresentava jogos envolvendo o assunto 8

Mandava resolver os exercícios do livro didática 78

Não propunha questões de fixação 4

Mandava que você procurasse questões sobre o assunto para resolver 9


GRAFICO 10: Como os professores exercitam os conteúdos de números relativos. Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008

O GRÁFICO 10 reafirma o que foi colocado no GRÁFICO 9, que o

assunto de números relativos foi ensinado e conseqüente fixado através de

exercícios dos seus livros didáticos, reafirmando a forma tradicional de ensino.


Tópicos do conteúdo de números inteiros relativos:

TABELA 11 - Idéia de número inteiro Relativos

Grau de dificuldade para aprender N° de alunos

Muito fácil 17

Fácil 25

Regular 49

Difícil 13

Muito difícil 2


GRAFICO 11: Idéia de número inteiro Relativos. Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008

Nesse gráfico (GRÁFICO 11), os alunos entrevistados classificaram como

fácil a idéia de números relativos.


TABELA 12 - Adição de mesmo Sinal.

Grau de dificuldade para aprender N° de

alunos

Muito fácil 30

Fácil 42

Regular 24

Difícil 4

Muito difícil 0


GRAFICO 12: Adição de mesmo Sinal.

Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008.

No GRÁFICO 12 mostra que os alunos entrevistados, sua maioria,

classificam o estudo da adição de mesmo sinal como fácil.


TABELA 13 - Adição de Sinais Diferente.


Muito fácil 22

Fácil 40

Regular 29

Difícil 8

Muito difícil 1


GRAFICO 13: Adição de Sinais Diferente. Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008

O GRÁFICO 13 reforça a classificação dos alunos entrevistados sobre o

estudo da adição dos números inteiros, visto pela maioria como fácil.


TABELA 14 - Multiplicação de mesmo Sinal.


Muito fácil 27

Fácil 33

Regular 30

Difícil 9

Muito difícil 1


GRAFICO 14: Multiplicação de mesmo Sinal. Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008

A análise observada no GRÁFICO 14 constata que os alunos

entrevistados têm certa dificuldade com a operação de multiplicação sendo que

entre 27% e 33% classificam de fácil a regular.


TABELA 15 - Multiplicação de Sinais diferente.


Muito fácil 11

Fácil 32

Regular 46

Difícil 7

Muito difícil 4


GRAFICO 15: Multiplicação de Sinais diferente. Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008.

No GRÁFICO 15, observamos que a multiplicação com sinais distintos

eleva o nível de dificuldade dos alunos entrevistados, devido, principalmente, a

presença do jogo da regras de sinais.


TABELA 16 - Divisão de mesmo Sinal.


Muito fácil 9

Fácil 35

Regular 42

Difícil 11

Muito difícil 3


GRAFICO 16: Divisão de mesmo Sinal. Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008

No GRÁFICO 16, a maioria dos alunos entrevistados classifica como

regular o nível de dificuldade no estudo da divisão, podendo ser justificada, a partir

da analogia que há no estudo da regra do jogo de sinais, com a operação de

multiplicação.


TABELA 17 - Divisão de Sinais diferente.


Muito fácil 10

Fácil 20

Regular 49

Difícil 19

Muito difícil 2


GRAFICO 17: Divisão de Sinais diferente. Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

De acordo com o GRÁFICO 17, os alunos têm uma dificuldade

significativa nesse estudo em relação com a operação de adição devido à regra dos

sinais.


TABELA 18 - Potenciação com expoente positivo par.


Muito fácil 10

Fácil 24

Regular 35

Difícil 24

Muito difícil 7


GRAFICO 18- Potenciação com expoente positivo par. Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

Um número relativamente pequeno de alunos classificou como fácil essa

operação, visto que nessa operação será utilizada a operação de multiplicação e sua

regra no jogo se sinais.


TABELA 19 - Potenciação com expoente positivo ímpar.


Muito fácil 11

Fácil 21

Regular 44

Difícil 16

Muito difícil 8


GRAFICO 19: Potenciação com expoente positivo impar. Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008

Nesse gráfico (GRÁFICO 19), observamos o contrario do que foi analisado

no GRÁFICO 18, de que a potenciação representa uma operação de grande

dificuldade.

TABELA 20 - Potenciação com expoente negativo.



Muito fácil 8

Fácil 21

Regular 43

Difícil 21

Muito difícil 7


GRAFICO 20: Potenciação com expoente negativo. Fonte: Protocolo de Pesquisa, 2008.

Nesse gráfico (GRÁFICO 20) há uma oposição interessante, já que os

alunos entrevistados classificam com mesmo valor a potenciação de expoente

negativo como fácil e difícil.


TABELA 21 - Situações Problemas com Números Inteiros Relativo.


Muito fácil 9

Fácil 10

Regular 36

Difícil 27

Muito difícil 18


GRAFICO 21: Situações Problemas com Números Inteiros Relativo Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008

O GRÁFICO 21 representa uma situação que gera uma serie de

pesquisa, que é o estudo de números inteiros a partir de uma situação-problema,

uma vez que os alunos têm muitas dificuldades quando os estudos são

apresentados dessa forma.

Os resultados obtidos referentes aos tópicos dos conteúdos de números

relativos podem ser vistos de forma quantitativa em APÊNDICE B.


4.1. ANÁLISE DOS DADOS PESSOAIS.

Os dados das tabelas e gráficos supracitados, observamos que os

sujeitos da pesquisa estudaram números relativos em escolas publicas, sendo que

69% dos alunos colocaram que seus professores utilizavam na maioria das vezes

uma metodologia para ensinar números inteiros na forma tradicional (definição-

exemplos e exercícios ) e aplicando exercícios dos livros didáticos como completo e

fixação do conteúdo.

Em relação a isso observaremos que os alunos se sentem

desestimulados e com uma série de dificuldades, pois dessa maneira de ensino os

alunos ficam apenas como expectadores, já que os professores não utilizam

alternativas que desenvolvam o cognitivo e o lúdico essencial no estudo dos

números inteiros relativos, visto que esse conteúdo é muito abstrato, isolado e de

difícil compreensão entre eles. Com isso, a maioria dos alunos entrevistados recorre

a professores particulares, que muitas vezes se torna uma ação inválida, já que

esses profissionais se preocupam mais com o processo de fixação dos alunos, a

partir de resoluções de exercícios.

Com esses fatores os alunos ficam sem vontade de estudar gerando um

grave problema em suas vidas acadêmicas, principalmente no estudo da

matemática que é uma ciência que requer uma atenção e estudo sistemático, pois

trabalha bastante com o raciocínio lógico- dedutivo. Outro agravante é o fato de que

a maioria dos alunos estuda somente um dia antes das provas ou no decorrer da

semana que a prova será realizada ocasionado uma série de problemas em suas

jornadas acadêmicas, pois o estudo dos números inteiros é pré-requisito nos

estudos de outros conteúdos matemáticos a serem vistos na frente.

Os alunos, apesar de afirmarem gostar um pouco de matemática e

considerarem o conteúdo de números inteiros como fácil, não obtiveram êxito nas

questões propostas nos protocolos de pesquisa, nos levando a crer que o que

acontece de fato é uma memorização do conteúdo e não o seu aprendizado. Uma

vez que, observamos que os alunos não estudam o suficiente para compreenderem

o conteúdo e, sim esporadicamente em semana de prova ou em véspera para


somente obter uma nota que possa lhe dar a condição de aprovado no fim do ano

letivo.

Nossa maior dificuldade do transcorrer do desenvolvimento da pesquisa

foi o período das aplicações, pois coincidiu com o período de avaliações dos alunos

e, além disso, houve o problema da greve nas escolas públicas estaduais levando

uma dificuldade na aplicação dos protocolos e, quanto foi aplicado o professor

forneceu pouco tempo para nos aplicarmos, justificando que não poderia ceder

muito tempo, já que estava bem atrasado em seu cronograma de ensino devido a

greve.

Com relação às questões elaboradas podemos analisar que grande parte

dos alunos resolveu as questões e, além disso, observamos que houve um pequeno

desenvolvimento em relação a compreensão e resolução de questões que

apresentam situações- problemas que abrangeram diversas aspectos de seu

cotidiano.

Além de analisarmos questões que abrangessem situações-problemas do

cotidiano do aluno enfocamos também questões de caráter operatório no intuito de

observamos se os alunos compreenderam as definições de números relativos e a

regra do jogo de sinais para as operações propostas.

4.2. ANÁLISE DAS QUESTÕES PROPOSTAS.

A partir dessas observações no item (4.1), apresentaremos algumas

situações sobre números relativos e sua respectiva análise.

Questão 01. Resolva as questões abaixo:

a) 3 – 5 = g) (-2).(+4) =

b) 5 – 2 = h) (+2).(+5) =

c) - 3 – 5 = i) (+10)÷(+2) =

d) + 4 + 2 = j) (-10)÷(-2) =

e) 2 .(-3) = l) (-10)÷(+2) =


f) (-2). (-5) = m) (+15)÷(-3) =

n) (-3)² = o) (-3)² =

p) -3² = q) (-4)º =

r) 2-1 = s) 3-2 =

Comentários da questão 01:

TABELA 22 – Resultado dos itens da questão 01

Itens da questão 01 Acerto Erro Branco

a) 3 - 5 = 36 57 7

b) 5 - 2 = 86 8 6

c) - 3 - 5 = 28 63 9

d) + 4 + 2 = 73 19 8

e) 2 .(-3) = 47 37 16

f) (-2). (-5) = 54 28 18

g) (-2).(+4) = 53 28 19

h) (+2).(+5) = 63 19 18

i) (+10)÷(+2) = 61 19 20

j) (-10)÷(-2) = 51 29 20

l) (-10)÷(+2) = 56 24 20

m) (+15)÷(-3) = 45 35 20

n) (+3)² = 11 71 18

o) (-3)² = 19 60 21

p) -3² = 19 64 17

q) (-4)0 =

5 76 19

r) 2-1

= 1 73 26

s) 3-2

= 1 69 30



A questão 01 tem o objetivo de verificar se os alunos entrevistados sabem efetuar

operações aritméticas e se os mesmos compreendem a regra de sinais em

problemas sem contextualização.

Na primeira questão observamos que o nível de acerto pode ser

classificado como insuficiente, uma vez os alunos tiveram contato com o conteúdo

no ano anterior e o utilizam em estudos na sétima série, dentre vários conteúdos

matemáticos, pois o estudo de números relativos é pré- requisito no assunto, por

exemplo, de equações do 1° grau e entre outros. Observamos que na maioria dos

casos os alunos entrevistados não operam com competência as quatro operações

fundamentais da aritmética, sendo que também em muitos casos como nos itens f,

g, h, i, j, l, m, respectivamente, verificamos que os alunos entrevistados não

calculam as operações de forma correta, invertendo as operações ou mostrando até

mesmo o desconhecimento da mesma. Porém é importante ressaltarmos que as

dificuldades dos mesmos podem está sendo gerada, por não compreenderem a

regra do jogo de sinais, já que a maioria dos alunos trabalha essa regra de forma

isolada, como por exemplo:

I) Sinais iguais: Soma-se e conserva-se o mesmo sinal.

II) Sinais diferentes: Diminui-se e dá-se o sinal do maior.

III) Multiplicação e Divisão: Aplica-se a regra dos sinais

( + ) ( + ) = ( +)

( + ) ( - ) = ( - )

( - ) ( + ) = ( - )

( - ) ( - ) = ( + )

Nos itens h, i, j, l e m os alunos em grande parte fizeram confusão com a

regra do jogo de sinais, aplicando nesses itens a regra da adição e não a que

deveria ser aplicada (multiplicação e divisão) sendo que ambas possuem a regra do

jogo de sinais análogo:

A partir disso o rendimento dos alunos em relação ao número de acertos

ficou em 55% justificando a classificação dos alunos referente esse tópico como

regular em seus estudos. Mas já em relação aos itens b,d,h e i, respectivamente, o


desenvolvimento da competência dos alunos na resolução destas foi elevado para

um número de acertos superior a 70%.

Em se tratando dos itens n, o, p, q, r e s verificamos que cerca de 90%

erraram as questões, uma vez que a maioria deixou esses itens em branco,

mostrando que não possuem compreensão ou que não dominam o conteúdo dos

números relativos, pois os mesmos classificaram esses tópicos com nível de

dificuldades na faixa entre fácil e regular.

Como por exemplo:

FIGURA 11: Exemplo de resolução a questão 1 de algoritmos dos números inteiros Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008


Questão 02

Em um campeonato de futebol jogaram 6 times. Complete a tabela,

sabendo que cada vitória vale 3 pontos positivos, cada derrota 3 pontos negativos e

cada empate vale 1 ponto positivo.

TABELA 23 – Questão 02

Clube Vitória Derrota Empate Total de pontos

Remo

4

2

4

+10

Paysandu 4 4 2

Tuna luso 2 6 2

Águia 6 4 0

Castanhal 7 2 1

Ananindeua 5 4 1


a) Qual é o time que está em primeiro lugar?

b) Qual é o time que está em último lugar?

c) Coloque os times em ordem decrescentes de pontos

Comentário da questão 02:

O objetivo da questão 02 era verificarmos se os alunos conhecem e

sabem relacionar os significados dos sinais em uma situação vivenciada por eles e

também a questão sonda o se os alunos entendem a idéia de valor posicional dos

números inteiros e se sabem classificá-los.

TABELA 24 – Resultado dos itens da questão 02

Itens das questão 03 Acerto Erro Branco

Item a 51 31 18

Item b 52 28 20

Item c 14 46 40



Em relação aos itens a e c verificamos que o número de acertos ficou em

média de 52% significando que um pouco mais da metade dos alunos detém a idéia

do significado do sinal em uma situação proposta, porém 43% em média dos alunos

erraram ou deixaram em branco o item c, mostrando uma realizada que a grande

maioria destes não sabem ou tem dificuldades de compreensão sobre a idéia de

valor posicional dos inteiros e na distinção de qual o número inteiro é maior ou

menor (> ou


Questão 03

A cidade de Belém, no estado do Pará, amanheceu com uma temperatura

de 25°C. Durante o dia, a temperatura subiu 8°C, mas à noite desceu 10°C. Qual foi

a temperatura mínima atingida durante a noite?


TABELA 25 – Resultados da questão 03

Resultado N° de alunos

Acerto 48

Erro 35

Em branco 17


A Questão 03 aborda uma situação pouca trabalhada pelos professores

em exercícios e em situações-problema.Todavia observamos que 35% dos alunos

não acertaram a questão e não se utilizaram de nenhum método de resolução para

questão, mostrando não ter compreensão da situação e sem orientação no processo

de resolução, uma vez que, 17% deixaram em branco a questão. Talvez tal

resultado já pudesse ser relativamente esperado, baseando-se em alguns autores

referenciados.

“O contexto de temperatura não parece ser muito inçado para auxiliar a compreensão de números relativos num país tropical como o nosso, onde as variações de temperatura não são muito grandes e onde raramente, e em apenas algumas regiões, chegam a valores abaixo de zero. Além disso de não familiares, as situações nesse contexto não são de fenômenos fisicamente observáveis (........)”. (SCHLIEMANN, CARRAHER, 2003).


Questão 04

O elevador do prédio onde moro indica os andares acima do térreo com

sinal positivo, e abaixo, com sinal negativo. Se o elevador descer do térreo ao 2°.

subsolo e depois subir 7 andares, em que andar ele pára?


TABELA 04 – Resultados da questão 04


Acerto 35

Erro 44

Em branco 21


A questão 04 foi proposta uma situação onde o aluno teria que analisar o

significado que o sinal representa na questão e efetuar a operação de adição sem

esquecer-se do “jogo de sinais”, mas observamos que 44% dos sujeitos da pesquisa

erraram a questão tendo o mesmo problema visto na questão anterior, apresentando

a mesma deficiência de compreensão.


Questão 05

O Sr. Roberto, para saldar a sua dívida cm o Banco A, deposita R$

700,00.Como ele deve $500,00, ficará com um crédito de R$ 200,00 no Banco A. Ao

Banco B, ele deve $700,00. Se ele depositar R$ 300,00, saldará sua dívida com o

Banco B?


TABELA 5 - Resultados dos alunos entrevistados que responderam de forma

correta a questão.


Acerto 26

Erro 31

Em branco 43


TABELA 6 - Resultados dos alunos que responderam de forma incompleta a

questão.


Acerto 23

Erro 34

Em branco 43


Essa questão 05 representa uma situação clássica do estudo e aplicação

dos números inteiros no processo de ensino- aprendizagem dos alunos, mas assim

como nas questões anteriores com contexto os alunos apresentaram a mesma

dificuldade na interpretação e no desenvolvimento de resolução da questão.

É importante ressaltar nessa questão que um certo número de alunos

chegaram a compreender de maneira genérica que a questão proposta representava


um débito onde “o Sr. Roberto ficaria devendo R$ 400,00” , sendo que 23%

responderam somente “não” como solução da questão (FIGURA 4).

FIGURA 14: Exemplo 1 de resolução da questão 05 Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008

No entanto, 46% dos alunos entrevistados compreenderam a situação e

aplicaram o formalismo e o rigor matemático adequado a questão (FIGURA 5).

FIGURA 15: Exemplo 1 de resolução da questão 05 Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008

Questão 06

Quem nasceu no ano -14, ou seja, no ano 14 antes de Cristo, e viveu 75

anos, em que ano morreu?


TABELA 06 - Resultados da questão 06


Acerto 26

Erro 35

Em branco 39


Nessa questão é interessante observamos que maioria dos alunos

chegaram muito próximo da compreensão da questão e,conseqüentemente no


acerto da mesma, porém os alunos esbarraram na falta de atenção ou em uma

análise mais criteriosa e aguda da mesma, pois um grande número de alunos

assinalou como solução da questão “89 d.C”( FIGURA 6) visto que estes tiveram o

raciocínio de somar (14 + 75) , não se atentando que o valor 14 antes de Cristo

representa uma temporalidade. Com isso, a questão teve um número de acerto de

somente 26%.

FIGURA 16: Exemplo de resolução da questão 06 Fonte: Protocolo de pesquisa, 2008

Portanto, a partir da análise dos resultados obtidos podemos identificar

que os alunos entrevistados sofrem uma série de dificuldades no processo de

compreensão dos números relativos, devido principalmente a maneira que os

professores ensinam esse conteúdo (modelo tradicional). A partir disso o trabalho

sugerirá o uso de coleção de atividades como alternativa metodológica de ensino

para os números relativos.

5. SUGESTÕES DE ATIVIDADES

Nessa seção apresentaremos algumas atividades de caráter pedagógico

e didático de ensino de números relativos, uma vez que essas atividades contribuem

de forma significativa no desenvolvimento dedutivo, no raciocínio-lógico matemático

e lúdico dos alunos criando uma ambiente que trará uma maior interação com o

estudo.

Ressaltaremos também nessa seção, atividades que abrangeram uma

diversidade de situações que podem ser colocadas em salas de aula, de forma que

esse tipo de metodologia contribui na amenização de obstáculos. Assim

apresentaremos algumas alternativas que vão desde jogos a algumas situações

problemas.


Os jogos no ensino da matemática é uma ferramenta interessante e

eficaz, visto que desenvolvi e estimula o cognitivo do aluno e também é um

instrumento pedagógico que retém a concentração dos alunos e estimula uma maior

participação e interação destes. (BORIN, 2004).

A atividade de jogar desempenha papel importante no desenvolvimento:

de habilidades de raciocínio lógico, dedutivo e indutivo; da linguagem; da

criatividade; da atenção e da concentração. Habilidades estas, essenciais para o

aprendizado em Matemática (BORIN, 2004). A justificativa dada por Schwartz pode

ser vista em um material “Três Jogos para o Ensino e Aprendizagem de Números e

Operações no Ensino Fundamental” apud Zeni (2008):

...a noção de jogo aplicado à educação desenvolveu-se com lentidão e penetrou, tardiamente, no universo escolar, sendo sistematizada com atraso. No entanto, introduziu transformações decisivas... materializando a idéia de aprender divertindo-se... (ZENI, 2008).

E segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino da

Matemática (BRASIL, 1997):

“os jogos podem contribuir para um trabalho de formação de atitudes – enfrentar desafios, lançar-se a busca de soluções , desenvolvimento da crítica, da intuição, da criação de estratégias e da possibilidade de alterá-las quando o resultado não é satisfatório – necessárias para a aprendizagem Matemática”.

Apresentamos as atividades:

5.1. Atividade 01

Jogo da Adição extraída de (BONGIOLO, BRAGA, SILVEIRA, 1998).

Objetivos: Construção progressiva da noção de adição de números

relativos.

Recursos: O computador

Descrição do Jogo


Após as telas iniciais de apresentação do jogo, são explicados o objetivo

do jogo e suas regras (Figura A).

FIGURA A: Como jogar Fonte: BONGIOLO, BRAGA, SILVEIRA, 1998

Após as explicações sobre o funcionamento do jogo, o usuário deverá

escolher com qual personagem irá jogar, selecionando, com o auxílio do mouse, o

escolhido. Desta forma, inicia-se o jogo com o personagem escolhido posicionado

na casa zero (FIGURA B). Caso necessário, é possível retornar à tela do

personagem e fazer uma nova escolha.

FIGURA B: Tela do Jogo com sua Trilha Numérica Fonte: BONGIOLO, BRAGA, SILVEIRA, 1998

Para iniciar o jogo deve-se pressionar o cursor do mouse sobre os dados,

o vermelho primeiro, em seguida o dado azul e aguardar até que eles parem de

rodar e forneçam os números. A criança deverá colocar seu personagem na casa

correspondente ao resultado da operação a seguir.

Casa onde está o personagem + Valor do dado vermelho - Valor do


dado azul = Posição atual.

Esquema de Deslocamento

Para posicionar seu personagem, a criança deverá selecionar a casa

correspondente da trilha (soará um aviso, que indicará se a casa escolhida está

correta), considerando sua posição inicial e os valores dados para subir e descer,

respectivamente. Esta nova posição é denominada Posição Atual. Caso coloque o

personagem na casa errada, ele deverá observar o quadro de status (ao lado do

jogo), que exibirá informações sobre a jogada.

Ao longo do jogo são apresentadas mensagens de orientação e/ou

reforço, exibidas no quadro de status ou através de avisos sonoros, a fim de que o

aluno saiba a sua situação com relação ao andamento do jogo. Caso o personagem

chegue na casa –10, o usuário deverá iniciar novamente o jogo ou não, conforme

sua vontade.

Sempre que necessário o usuário poderá optar por obter um auxílio por

parte do jogo (ao selecionar a opção AJUDA). Nesta opção é mostrada uma tela,

com a reta numérica, marcando a última posição e os assistentes da montanha (um

menino e uma menina, personagens que tem a função de auxiliar o usuário durante

o jogo) retomarão os valores sorteados e o significado destes valores (FIGURA C).

FIGURA C: Tela de Ajuda com Explicações Auxiliares Fonte: BONGIOLO, BRAGA, SILVEIRA, 1998

Após esta retomada, retornar-se-á à tela do jogo com o personagem

colocado na posição correta (retificada pela AJUDA).

A menina-assistente também deverá aparecer quando o personagem,

durante o jogo, cair nas casas –2 e 3, onde o aluno deverá realizar uma tarefa


específica. A idéia de associar tarefas a estas casas é trabalhar com o dado que

representa valores positivos (vermelho) e o dado que representa os valores

negativos (azul), onde serão operados apenas números positivos ou negativos, e

observar a posição resultante na reta O jogo terminará quando o personagem

chegar na casa 10. Alcançando assim o topo da montanha, o jogo será encerrado

com a aparição de animações na tela. Após o usuário ter conhecimento das regras

de funcionamento do jogo, lhe poderão ser oferecidos desafios (Figura 5). O objetivo

desta parte do jogo é criar situações mais complexas onde o aluno estará sendo

desafiado, ficando assim incentivado a prolongar mais a sua sessão de estudos no

jogo. Nesta tela, haverá uma suposta jogada onde o aluno deverá colocar a posição

em que ficou o personagem. Após este registro, ele poderá continuar respondendo

novas questões, pressionando o botão do mouse sobre o botão QUESTÕES.

FIGURA C: Tela de desafios Fonte: BONGIOLO, BRAGA, SILVEIRA, 1998

Ao escolher o botão QUESTÕES, serão exibidas novas perguntas

sorteadas aleatoriamente (FIGURA D).

FIGURA C: Tela com Perguntas a Responder Fonte: BONGIOLO, BRAGA, SILVEIRA, 1998


Alguns exemplos de questões implementadas são as seguintes: · Uma jogada foi registrada assim: 4 + 4 - 6 = 2. Que número saiu no dado azul? · Na 1ª rodada, é possível alguém cair fora da brincadeira? · Veja: - 5 + 2 – 6 = ? Nessa jogada, em que casa foi parar o

personagem? · É possível alguém, na 1ª rodada, já vencer o jogo?

Estas questões também poderão ser criadas pelo professor, através de

um módulo de autoria (um arquivo de texto). É fundamental controlar a exatidão das

respostas recebidas pelo usuário, onde e como armazená-las e o possível feedback

ao aluno que deverá receber uma pontuação. Por isto, o sistema está protegido

contra atitudes e respostas inadequadas pois estas provocariam erros na execução

do jogo.

O professor deve ter presente que para introduzir um novo conceito não

deve desprezar o conhecimento anterior do aluno, uma vez que o novo

conhecimento pode ser construído a partir do existente. A nova ação deve ajudar a

estabelecer a complementação ou a negação do conhecimento anterior, em direção

ao mais elaborado. De acordo com a abordagem cognitivista, o ponto principal para

a aprendizagem é o processo e este deverá ser conduzido ao longo das diferentes

atividades realizadas pelo aluno. O Subindo e Escorregando deverá ser utilizado

como um recurso inicial, cabendo ao professor, ao término deste, criar várias

situações desequilibradoras (desafiadoras) para o aluno, a fim de que ele construa

progressivamente a noção de adição de números inteiros.

O aluno deve ter a oportunidade de defrontar com o objeto do

conhecimento para sentir a possibilidade de compreensão dos problemas. Uma

importante tarefa para o professor é extrair do conteúdo a ser trabalhado, suas

perguntas básicas, geradoras a fim de resgatar as situações que deram origem ao

conceito. Com este objetivo, serão apresentadas algumas questões para serem

exploradas e conseqüentemente, desencadear, de forma significativa e participativa

a ação do aluno sobre o objeto do conhecimento: · quais os símbolos matemáticos

que poderíamos adotar para indicar a subida e a descida do personagem na

montanha?

· vamos supor que pudéssemos jogar apenas o dado vermelho, o que

aconteceria com o seu personagem? · e se pudéssemos jogar apenas o dado azul?

· o que acontece com o personagem se os valores obtidos nos dois dados

forem iguais?


· quando o valor obtido no dado vermelho é maior que o valor obtido no

dado azul, o que acontece com seu personagem?

· e se o dado azul possui o maior valor, o que acontece com seu

personagem?

· como chegamos a posição correta mais rapidamente, no caso em que

os dois d

rafael sodré do valea origem dos números inteiros é incerta. ela vem surgindo e se desenvolvendo...

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