ALGEBRA (Ciencias) – ano 2011

Raices primitivas de la unidad.

Dado n ∈ N, denotamos Gn al conjunto de las raices n-esimas de la unidad, es decir al conjuntode cardinal n cuyos elementos son todos los numeros complejos tales que elevados a la n dan 1.

Gn = {wk, 0 ≤ k ≤ n− 1} donde wk = cos2kπn

+ i sen2kπn

Observar que la operacion producto es cerrada en Gn. Ademas, si z ∈ Gn entonces z−1 ∈ Gn yz ∈ Gn.

Un numero complejo w se dice una raız primitiva de orden n de la unidad si

n = menor{m ∈ N/wm = 1}

Observar que si w es raız primitiva de orden n de la unidad entonces wk = 1 ⇔ n/k.

Es claro que si w es una raız primitiva de orden n de la unidad entonces w ∈ Gn. La recıprocaen general no es verdadera, por ejemplo −1 ∈ G4 pero −1 no es raız primitiva de orden 4 sinoque es raız primitiva de orden 2.

Pregunto entonces, ¿Cuales de los wk pertenecientes a Gn, son raıces primitivas de orden n?Respuesta: wk = cos2kπ

n+ i sen2kπ

nes raız primitiva de orden n si y solo si (k, n) = 1.

Resulta que:

w = cos2πn

+ i sen2πn

es raız primitiva de la unidad de orden n.

Si n es primo entonces todos los elementos de Gn distintos de 1 son raices primitivas deorden n.

¿Cual es la ventaja de conocer una raız primitiva de orden n? Respuesta: conociendo una primitivade orden n puedo conocer facilmente todos los elementos de Gn, pues:

Si w es raız primitiva de orden n de la unidad entonces Gn = {w, w2, w3, ..., wn−1, wn = 1}.Ahora, pensando que Gn = {w, w2, w3, ..., wn−1, wn = 1}, me pregunto: ¿existe entre estos ele-mentos algun otro que sea raız primitiva de orden n? Respuesta: Si, si n > 2, pues:

Si w es raız primitiva de orden n,

wk es raız primitiva de orden n ⇔ (n, k) = 1

La suma de las raıces n-esimas de un numero complejo da 0, es decir si z0, z1, ..., zn−1 son los nnumeros complejos que elevados a la n me dan z, entonces z0 + z1 + ... + zn−1 = 0

Si Gn = {wk, 0 ≤ k ≤ n− 1} son las raices n-esimas de la unidad y zk es una cualquiera de lasraices n-esimas de z, entonces las todas las raıces n-esimas de z son:

zk.w0, zk.w1, ..., zk.wn−1

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