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Département O.S.A.
Rapport de stage en vue du :
Master Recherche 2 ème année
Circuits Systèmes Micro et Nano Technologies pour les Communications Hautes Fréquences et Optiques
Domaine Sciences Technologies Santé
«« DDéétteeccttiioonn ddeess AAnngglleess eenn 22--DD »»
Auteur : Fatna BEN AHMED DAHO
Responsables du stage : Patrick VAUDON
Guillaume NEVEUX.
Juin 2008
3
4
Remerciement Remerciement Remerciement Remerciement
Ce stage s’est déroulé à ESTER –Technopole à Limoges, au sein de
l’équipe de recherche OSA du laboratoire XLIM.
J’adresse ma gratitude à monsieur Dominique Cros –Professeur des
Universités, Directeur d’XLIM- pour m’avoir accueillie au sein du laboratoire
XLIM ainsi qu’ à monsieur Bernard Jecko - Professeur des Universités,
Directeur d’OSA- pour m’avoir accueillie au sein du département OSA.
J’exprime ma reconnaissance à messieurs Patrick Vaudon et Guillaume
Neveux pour avoir encadré ce stage, pour leurs qualités humaines, pour leur
confiance et leurs encouragements et pour leur disponibilité et leurs conseils
précieux, pour l’avancement du stage.
J’adresse mes remerciements à monsieur David Carsenat pour m’avoir
assistée pour ce travail et pour m’avoir accordé de son temps malgré ses
préoccupations.
Je tiens à remercier particulièrement Monsieur Moctar Mouhamadou qui
m’a accompagnée et soutenue durant la période du stage. Il m’a beaucoup
apporté tant sur le plan scientifique qu’humain. Je salue sa sagesse, sa patience,
son implication et son sens du service à l’autrui. Merci pour tout.
Un grand merci également à monsieur Eric Arnaud pour m’avoir accueilli
dans son bureau, pour la qualité de sa personne et pour sa bonne humeur
5
permanente qui favorisait les bonnes conditions de travail, n’est ce pas
Oussama ?… (Oui !!!) Merci à toi aussi Oussama pour ta sympathie.
J’adresse mes remerciements à messieurs Cyril Decroze, Marc Thevenot.
Merci à tous ceux que j’ai le plaisir de rencontrer : Nicolas, Laure, Agnès,
Charles, Adil, Emilien ; et tout le reste de l’équipe OSA à ESTER Technopole.
6
CHAPITRE I
Etat de l’art des méthodes à haute résolution
7
I.1 / Introduction : L’estimation des angles d’arrivée représente un intérêt de prime abord pour plusieurs
études qui essayent d’apporter les améliorations et les innovations aux différentes méthodes
d’estimation. La classification de ces méthodes permet de mieux voir les grandes familles de
méthodes d’estimation des paramètres des signaux (direction d’arrivée, temps d’arrivée,…) et
l’évolution apportée au cours de ces dernières années.
I.2 / Classification des méthodes à haute résolution :
I.2.1 / Méthodes basées sur la notion de sous-espa ce
Elles sont les plus utilisées des méthodes conventionnelles. Elles font appel à la notion de
sous-espace définis par la décomposition en vecteurs et valeurs propres de la matrice de
covariance de l’observation totale.
On distingue deux familles de méthodes basées sur la notion de sous-espace :
• méthodes à recherche spectrale.
• méthodes sans recherche spectrale.
I.2.1.a / Méthodes à recherche spectrale :
Elles sont basées sur l'analyse du spectre obtenu par la projection orthogonale des
vecteurs directionnels des sources sur le sous-espace bruit. Parmi ces méthodes, on cite MUSIC
[1], minimum variance method, null steering, linear predictive method [2]. La performance de ces
méthodes est limitée par la précision des extrémums recherchés pendant l’analyse spectrale. De
plus, MUSIC est sensible au bruit et au couplage mutuel.
I.2.1.b/ Méthodes sans recherche spectrale :
La méthode ESPRIT [1] exploite l'invariance rotationnelle du sous-espace signal et
l’invariance translationnelle de la structure du réseau de capteurs. Elle effectue l'estimation de la
DoA à partir du calcul des valeurs propres de la matrice de covariance du signal reçu.
De nombreux travaux ont contribué à perfectionner cet outil d’estimation en proposant le
LS-ESPRIT [2,3] qui utilise la méthode des moindres carrés, le TLS-ESPRIT qui utilise les
moindres carrés totaux [2,3]. Les études ont montré qu’ESPRIT est la plus performante des
méthodes à haute résolution [4].
I.2.2 / Méthodes du maximum de vraisemblance (ML)
Elles sont asymptotiquement efficaces et sans biais, souvent préférées à d’autres
méthodes lorsqu’elles possèdent des solutions analytiques simples, on cite SAGE (Space-
8
Alternating Generalised Expectation-maximisation) [2] méthodes adaptable à la goniométrie et
WSF (Weighted Subspace Fitting) [5]. Elles sont très efficaces pour l’estimation d’amplitudes
complexes ou d’écart- type du bruit, en revanche, elles sont lentes et difficiles à implémenter.
I.2.3 / Méthodes à réseaux de neurones .
Contrairement à toutes les méthodes citées précédemment, celles-ci sont peu sensibles au
bruit, prennent en compte les couplages mutuels et sont rapides malgré le calcul complexe, le seul
inconvénient est la difficulté de l’implémentation [6]. On cite :
I.2.3.a / RBFNN (Radial Base Function for Neural Ne tworks)
C’est une fonction radiale de base appliquée à un réseaux de neurones artificiels, pour
l'estimation de la direction d’arrivée DoA, utilisable dans le cas de réseaux à très large bande,
même en présence de couplage mutuel.
I.2.3.b / MRAN (Minimal Ressource Allocation Networ k)
Il s'agit d'un essai pour établir un algorithme d'apprentissage séquentiel pour l'estimation de
la Direction d’arrivée.
I.2.4 / Algorithmes Génétiques (AG):
Empruntés à la Biologie et appliqués aux antennes et à la propagation électromagnétique,
ces algorithmes donnent l'accès à tous les renseignements: rayonnement, synthèse du réseau,
déphasage, modulation, temps d’arrivée, direction d’arrivée (DoA) [7]
Bien qu'ils soient efficaces, les AG ne sont pas utilisées dans les télécommunications
mobiles, d’une part car ils ne prennent pas en compte les couplages inter-capteurs, et d’autre part
ils sont très coûteux en temps de calculs à cause de leur complexité.
I.2.5 / Méthodes dont les principes dépendent de st ructures ou de signaux particuliers :
Plusieurs travaux sont consacrés à la définition de nouvelles méthodes pour l'estimation de
la DoA. Ces méthodes ont pour objectif d'être moins complexes en évitant le calcul de valeurs
propres [8]. En revanche, elles ne sont pas universelles, car elles ne s'appliquent qu'à des
structures de réseaux ou des modèles de signaux particuliers
La méthode du propagateur est un opérateur qui est associé à des réseaux parallèles, ou
en forme de L [9]. Les études ont montré la performance relative de cette méthode mais le calcul
itératif qu’elle utilise est relativement lourd par conséquent coûte en temps de calcul.
9
I.3/ CONCLUSION :
Les études récentes projettent d’améliorer les méthodes d’estimation des paramètres
notamment de la DoA et d’accroître à la fois la performance de calcul et la possibilité d’utilisation
dans un système de télécommunication mobile de la façon la plus aisée.
10
CHAPITRE II
L’Estimation de la Direction d’Arrivée en 1-D
11
IIII.. 11 // IInnttrroodduuccttiioonn ::
Ce chapitre est consacré à l’estimation des directions d’arrivée des signaux à bande
étroite en utilisant des réseaux linéaires uniformes (ULA). On s’intéresse principalement aux
méthodes d’estimation basée sur la notion de sous-espaces notamment MUSIC [10] et
ESPRIT [11] qui exploitent les propriétés de la matrice de covariance du réseau d’antennes.
Leurs principes consistent à décomposer l’espace des observations en deux sous-espaces
(sous-espace signal et sous-espace bruit) pour l’estimation de la direction d’arrivée.
Ces méthodes nécessitent au préalable la connaissance du nombre de sources non
corrélées et doivent respecter les hypothèses suivantes :
1. les fronts d’ondes incidents sont plans.
2. le bruit est blanc gaussien et non corrélé avec le signal.
3. le nombre des sources décorrélées est connu et est inférieur à la taille du réseau.
4. les sources sont décorrélées et spatialement cohérentes.
5. le système est stationnaire sur la durée de l’acquisition.
le traitement doit se faire en temps réel.
Dans un premier temps, nous présenterons le modèle du signal reçu et l’estimation
de la matrice de corrélation. La mise en œuvre des méthodes à haute résolution (MUSIC et
ESPRIT) sera ensuite présentée. Enfin, nous nous intéresserons également à leurs
performances.
II.2 / Modèle du signal:
Fig. II.1 : Réseau d’antennes linéaire uniforme accueillant K signaux incidents.
S2
… M-1 3 2 1 M
d
S1
∑
kθ2θ
1θ
( )X t
SK
1( )X t 2( )X t 1( )MX t− ( )MX t 3( )X t
12
Soit un réseau linéaire de M antennes identiques, isotropes et uniformément
espacées de / 2d λ= . Ce réseau reçoit K signaux parfaitement décorrélés avec les angles
d’incidences ,kθ k = 1..K. Le vecteur d’observation à la sortie du réseau s’exprime sous la
forme :
[ ]011 1
022 21 2
0
( )( ) ( )
( )( ) ( )( ), ( ), , ( ) .
( ) ( ) ( )
K
M K M
N tX t S t
N tX t S ta a a
X t S t N t
θ θ θ
= +
⋯⋮ ⋮ ⋮
Où - S est l’enveloppe complexe des K sources de dimension [K x 1].
- A = [ ]1 2( ), ( ), , ( )Ka a aθ θ θ⋯ est la matrice réponse du réseau d’antennes de
dimension [M x K], et 1, 2, ,( ) [ , , , ]k k M kj j j Tka e e eφ φ φθ − − −= … est le vecteur directionnel lié à
la kième source où ,
2( 1)sinm k k
dm
πφ θλ
= − représente le déphasage géométrique introduit
par le mième élément du réseau à la kième source en fonction de l’angle d’incidence.
- No(t) est la matrice de bruit additif blanc gaussien de moyenne nulle et de variance
σ², de dimension [MxN] où N est le nombre d’échantillons temporels.
On note que X la matrice des enveloppes des K signaux est de taille [MxN], La
matrice de covariance des signaux est définie par :
{ . }HxxR E X X=
En supposant les signaux décorrélés et spatialement cohérents d’une part, et décorrélés
avec le bruit d’autre part, la matrice de corrélation du vecteur d’observation ( )X t peut
s’écrire :
. . ²Hxx ss MR A R A Iσ= +
Rss est la matrice de covariance du signal S, elle est carrée, non singulière et de rang
K.
La quantité ² MIσ correspond à la matrice de covariance du bruit de taille MxM, ²σ est la
variance du bruit et est la même pour tous les capteurs, MI est la matrice d’identité MxM.
Dans la pratique, la matrice de corrélation est estimée par la quantité :
1. . H
x xR X XN
=
( ) . ( ) ( )X t A S t No t+≜
13
Dès lors que la matrice de covariance Rxx est estimée, les méthodes à hautes résolution
peuvent être utilisées pour l’estimation des directions d’arrivée des signaux RF.
II.3 / Méthodes à haute résolution basées sur la no tion de sous-espace :
La matrice xxR étant hermitienne et définie positive [4], ses valeurs propres sont
réelles et positives. Ses M valeurs propres non nulles sont classées par ordre décroissants
et les M-K dernières valeurs propres sont égales à ²σ , on peut écrire :
1 2 1 2 ²K K K Mλ λ λ λ λ λ σ+ +≥ ≥ ≥ ≥ = = = =… …
²σ
1
_Amplitude λ
2 Kk K+1 M-1 M
Dimension K
Sous-espace signal
Dimension M-K
Sous-espace bruit
Fig. II. 2 : Représentation des valeurs propres de xxR
Les M vecteurs propres de xxR associés aux M valeurs propres kλ sont : 1 2, , , MV V V…
On désigne par le sous-espace signal, le sous-espace engendré par les K vecteurs
propres liés aux valeurs propres les plus importantes.
1 2,[ , , ]s KE V V V= …
Et on désigne par le sous-espace bruit, le sous-espace engendré par les M-K vecteurs
propres liés aux M-K petites valeurs propres.
1 2,[ , , ]n K K ME V V V+ += …
II.3.1 / MUSIC: MUltiple SIgnal Classification
MUSIC [10] est la méthode la plus répandue. Elle exploite les propriétés du sous-
espace signal et du sous-espace bruit :
… … …
14
• les vecteurs directionnels ( )ka θ , 1..k K= sont colinéaires aux vecteurs du sous-
espace signal 1 2,[ , , ]s KE V V V= …
• les vecteurs directionnels ( )ka θ , 1..k K= sont orthogonaux aux vecteurs du sous-
espace bruit 1 2,[ , , ]n K K ME V V V+ += …
Pour la détermination des différentes directions d’arrivée, il faut :
• diagonaliser la matrice de covariance des données,
• identifier l’espace signal et le sous-espace bruit.
• trouver un projecteur sur le sous-espace bruit.
Le principe est de projeter tous les vecteurs directionnels possibles sur le sous-
espace bruit et de ne retenir que ceux qui minimisent cette projection, ce qui donne une
fonction discriminatrice ( ) ( ) . . . ( )H Hn nF a E E aθ θ θ= , dont les zéros correspondent aux
directions d’arrivée.
L’estimation des directions d’arrivée des signaux revient à rechercher les valeurs maximales
du spectre :
1_ ( )
( ) . . . ( )H Hn n
P MUSICa E E a
θθ θ
=
L’amplitude des pics de ce spectre n’a pas de lien quantitatif avec l’amplitude de la
composante correspondante du modèle [1], car les pics ne servent que pour indiquer
précisément la position angulaire de la source.
II.3. 2 / ESPRIT (Estimation of Signal Parmeters vi a Rotational Invariance Technique)
S2
………… M-1321 M
d
S1Sk
1θ 2θ kθ
Sous-réseau 1
Sous-réseau 2
1( )X t
2( )X t
Fig. II.3 : réseau de M antennes linéaire avec K signaux incidents
15
L’algorithme ESPRIT [11] exploite la propriété de l’invariance par translation du
réseau d’antennes ou la propriété de l’invariance rotationnelle de l’espace signal pour
estimer les directions d’arrivée.
Le principe d’ESPRIT repose sur la décomposition du réseau initial en deux sous
réseaux identiques, l’un est obtenu par translation de l’autre. L’information sur la direction
d’arrivée est contenue dans la matrice de passage liant les vecteurs d’observation en sortie
des sous réseaux. En désignant respectivement par 1( )X t et 2( )X t les vecteurs
d’observation en sortie des sous-réseaux 1 et 2, le vecteur signal reçu en bande de base du
réseau complet s’écrit :
1
2
( )( ) . ( ) ( )
( ) .
X t AX t S t N t
X t A
= = + Φ
Avec 1 2
2 2 2.sin .sin .sin
[ , , , ]Kj d j d j d
diag e e eπ π πθ θ θλ λ λΦ = …
Et la matrice de corrélation complète est donnée par
. . ². .
H
xx ss H H
A AR R I
A Aσ
= + Φ Φ
où - A est la matrice réponse d’un sous-réseau de dimension [M x K]
- ssR est la matrice de corrélation des signaux incidents.
Le sous-espace signal 1 2,[ , , ]s KE V V V= … du réseau entier peut être décomposé en
deux sous-espaces 1E et 2E . Ces deux sous-espaces sont les matrices de dimension
[(M-1) x K] et sont engendrés chacun par les K vecteurs propres correspondant aux K plus
importantes valeurs propres des matrices de covariance des sous-réseaux 1 et 2.
Il est engendré par les vecteurs propres liés au K plus grandes valeurs propres de la matrice
de covariance du vecteur d’observation total. Il peut être décomposé en deux sous-espaces
E1 et E2 de dimension [(M-1) x K] qui sont les sous-espaces signal respectifs des sous-
réseaux 1 et 2. On peut écrire alors :
1
2
1
1.
s
s
EE
E
EE
E
=
= Ψ
On désigne par Ψ , la matrice de translation liant les deux sous-espaces E1 et E2,
16
où 1. .T T−Ψ = Φ , avec 21 11. HT R R= , 11 1 1
1. .R X X
N= et 21 2 1
1. . HR X X
N= .
Les valeurs propres de Ψ et de Φ sont communes et sont de la forme
2 .exp( . .sin ), 1..k k
dj k K
πλ θλ
= − = ,
Les angles d’arrivée sont enfin exprimés par la relation :
1 arg( )sin ( )
2 . /k
k d
λθπ λ
−=
L’intérêt principal de cette méthode est de fournir un résultat numérique directement
exploitable sans passer par analyse spectrale qui coûte en temps de calcul et est lourde en
implémentation. Cette technique est moins sensible au bruit car elle n’exploite que les
propriétés du sous-espace signal contrairement à MUSIC qui exploite les propriétés du sous-
espace bruit.
II.4 / Résultats de simulation : Les figures ci-dessous montrent l’estimation par MUSIC et ESPRIT des DoA de deux
signaux décorrélées de la forme ( ) sin(2 . . ), 1,2k kS t f t kπ= = et 1 2f f≠ , d’incidences
1 10 ,θ = ° 2 45θ = ° . Ces DoA sont simulées pour SNR = 5 et 10 dB. Le nombre total des
antennes est M = 8, le nombre d’échantillon est fixé à N =100.
Θ =10.3° Θ =45.4°
Figure II.4 : résultats de simulation avec 2 sources incidentes sur un réseau de 8 capteurs
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-10
0
10
20
30
40
50
DoA (degrés)
spectre MUSIC
ESPRIT
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
-10
0
10
20
30
40
50
DoA (degrés)
spectre MUSIC
ESPRITΘ = 45.1°
Θ = 9.9°
Θ = 44.7°
Θ = 10.4°
17
On observe que les pics s’élargissent et s’atténuent pour les valeurs faibles de SNR.
On observe aussi que la précision de l’estimation se dégrade aussi quand le bruit
prédomine : l’erreur est de 0.1° pour SNR = 10 dB. Elle est de 0.3° à 0.4° pour SNR =5dB,
elle reste cependant acceptable.
II.5 / Performance de MUSIC et de ESPRIT :
II.5.1 / L’erreur quadratique moyenne (RMSE)
La figure (Fig.II .5) montre l’évolution de l’erreur quadratique moyenne en fonction du
SNR dans le cas d’une sinusoïde arrivant sur un réseau de taille M=8 avec l’angle
d’incidence θ = 40°. Cette erreur est estimée par la quantité
ˆ( )²k kRMSE θ θ= −
L’erreur d’estimation augmente quand le SNR diminue mais elle reste inférieure à 2°
pour des niveaux moyens de bruit. L’erreur quadratique moyenne n’excède pas 1° pour les
valeurs de SNR supérieures à 1dB,
-5 0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
1
1.5
2
2.5
3
SNR
RM
SE
(°)
erreur MUSIC
erreur ESPRIT
II.5.2 / La Résolution: On appelle Résolution l’intervalle angulaire minimal séparant deux sources à partir
duquel l’estimateur estime bien l’angle d’arrivée.
La résolution s’améliore si le SNR augmente, on note que pour le réseau de M
capteurs, la résolution est de 6° pour SNR=10dB. La résolution est aussi influencée par la
Figure II.5 : RMSE fonction du SNR. K = 1, M = 8
18
taille du réseau. Plus le réseau est large, meilleure est la résolution ; comme le montre la
figure (Fig. .II.6)
0 5 10 15 20 25 30 35 401
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
SNR (dB)
Res
olut
ion
(°)
R MUSIC
R ESPRIT
On note aussi que la résolution dépend de la taille du réseau de capteurs, car elle
s’améliore pour ESPRIT et pour MUSIC si le réseau est plus large.
4 6 8 10 12 14 16 18 201
2
3
4
5
6
7
8
Taille du réseau
Res
olut
ion
(°)
R MUSIC
R ESPRIT
Fig. II.6 : Résolution fonction du SNR, M = 8
Fig. II.7 : Résolution en fonction de la taille de réseau, SNR = 10 dB
19
II.5.3 / La dynamique
On étudie les limites des intervalles angulaires sur lesquels le réseau d’antennes
supposées isotropes, associé à MUSIC ou ESPRIT est capable de bien estimer la direction
d’arrivée d’une sinusoïde à un SNR = 10 dB.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
angle theorique
angl
e si
mul
é
DoA MUSIC
DoA ESPRIT
La figure (Fig.II.6) montre la bonne performance des estimateurs des DoA. Les
angles d’arrivée sont bien estimés par les deux méthodes MUSIC et ESPRIT avec des
erreurs relativement faibles. Pour les angles supérieurs à 80° et inférieurs à -80°, les
estimateurs n’arrivent pas à estimer les DoA des signaux, cela est dû à l’utilisation de
réseaux linaires, c'est-à-dire, lorsqu’on s’éloigne de l’axe, on a apparition des lobes du
réseau.
II.3.3 / CONCLUSION :
Dans ce chapitre, MUSIC et ESPRIT ont été décrit et leurs performances ont été
étudiées. Les deux estimateurs présentent pratiquement les mêmes sensibilités au bruit et à
la taille de réseau. En revanche, l’estimation est très précise, l’erreur n’excède pas 1° pour
les deux estimateurs à des valeurs de SNR optimales.
Fig.II.6 : DoA simulée fonction de la DoA théorique. SNR = 10 dB
20
Chapitre III
Estimation de la Direction d’Arrivée en 2-D
21
III. 1 / Introduction
Ces dernières années, l’estimation de la Direction d’arrivée en deux dimensions
(dans le plan azimutal et dans le plan d’élévation) présente de plus en plus un grand intérêt
pour de nombreuses applications notamment le Radar, la Radio astronomie et la Téléphonie
mobile.
Ce chapitre sera consacré à la présentation des méthodes classiques - en l’occurrence
MUSIC et ESPRIT - pour l’estimation des DoA en deux dimensions, puis à l’étude de la
performance de ces méthodes.
III.2 / Modèle des signaux en réception:
X
Y
Z
Mx
S0
dx
dy
0θ
0ϕ
My…
On considère dans le plan (XoY), un réseau rectangulaire de M = Mx.My antennes
isotropes uniformément espacées de dx et dy respectivement suivant les axes OX et OY.
Ce réseau reçoit K signaux parfaitement décorrélés avec les angles
d’incidences ( , ), 1..k k k Kθ ϕ = . kθ et kϕ sont respectivement les directions d’arrivée en
élévation et en azimut. L’antenne à l’origine est prise comme référence de phase.
Le vecteur d’observation [6] ou le vecteur signal reçu est donné par :
( ) . ( ) ( )X t A S t N t= +
( )1 1
2 21 1 2 2
( ) ( )
( ) ( )( , ), ( , ), , ( , ) . ( )
( ) ( )
K K
M K
X t S t
X t S ta a a N t
X t S t
θ ϕ θ ϕ θ ϕ
= +
⋯⋮ ⋮
Fig. III. 1 : Réseau d’antenne planaire dans le plan (XoY)
22
Où - 1 1 2 2[ ( , ), ( , ), , ( , )]K KA a a aθ ϕ θ ϕ θ ϕ= … est la matrice de réponse du réseau
- ( , )k ka θ ϕ est le vecteur directionnel lié à la kième source, traduit la différence de
phase introduite par les éléments du réseau. Il est défini pour 1..k K= par :
2 2( .sin .cos .sin .sin ) ( .( 1).sin .cos .( 1).sin .sin )
( , ) [1, , , ]x k k y k k x k k y k kj d d j d Mx d My T
k ka e eπ πθ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕλ λθ ϕ
− + − − + −= …
A est la matrice de dimension [M x K] formée par la concaténation des vecteurs
directeurs ( , )k ka θ ϕ , 1..k K=
- N(t) est la matrice au niveau du réseau de dimension [MxxMy N ].
La matrice de covariance est estimée par la quantité :
1. . H
xxR X XN
=
III.3 / MUSIC 2-D:
III.3.1 / Description:
Après avoir déterminé la matrice de corrélation du vecteur ( )X t , la méthode
d’estimation décrite dans le passage II. 2, est applicable pour estimer les angles d’arrivée en
élévation et en azimut des sources. L’algorithme MUSIC 2-D [3,4] utilisé est donné par :
1_
( , ) . . . ( , )H Hn n
Spectre MUSICa E E aθ ϕ θ ϕ
=
Pour estimer les directions d’arrivée en élévation et en azimut, il faut :
• Estimer la matrice de covariance du vecteur d’observation total.
• Diagonaliser cette matrice et estimer le sous-espace bruit qui est engendré par les
vecteurs propres liés aux Mx.My –K petites valeurs propres.
1 2,[ , , ]n K K ME V V V+ += …
• Appliquer le projecteur défini par . Hn nC E E= à tous les vecteurs directionnels
possibles qui sont en fonction de θ et de ϕ puis identifier ceux qui minimisent la
projection.
• Les minimums de cette projection correspondent à la direction d’arrivée en élévation
et en azimut.
23
III.3.2 / Résultats de simulation:
La figure ci-dessous présente le résultat de simulation de deux sinusoïdes de DoA
(-10°,25°) et (35°,-45°) arrivant sur un réseau de dimension Mx=5, et My=4, à un SNR = 10
dB. Le tracé de spectre affiche deux pics qui correspondent aux coordonnées angulaires
(35°,-45°) et (-10°,25°).
III.3.3 / Etude des performances de MUSIC 2-D :
III.3.3.a / L’erreur d’estimation: On considère un réseau rectangulaire de dimension Mx =5 et My=4, dont les
antennes sont identiques et uniformément espacées de / 2x yd d d λ= = = , perturbé par
deux sinusoïdes décorrélées et de DoA (-30°,-20°) e t (10°,60°).
On se propose d’évaluer la RMSE (Root Mean Square Error) de MUSIC 2-D pour la
configuration proposée ci-dessus.
ˆ ˆ( )² ( )²k k k kRMSE θ θ ϕ ϕ= − + −
Fig. III.2 : Résultat de simulation de DoA de deux sources décorrélées, SNR = 10 dB
24
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
SNR (dB)
RM
SE
(°)
III.3.3.b / La résolution de 2-D MUSIC :
* La résolution en élévation:
Pour étudier la résolution, on considère deux signaux parfaitement décorrélées arrivant sur
un réseau rectangulaire uniforme avec le même angle d’azimut ϕ et avec des angles
d’élévation différents. Le principe est de déterminer l’intervalle d’angle d’élévation minimal
séparant les deux sources et à partir duquel l’estimation des DoA par MUSIC est bonne.
Soit deux sinusoïdes décorrélés arrivant sur un réseau de dimension [5 x 4] avec le même
angle d’azimut ϕ = 10° à un SNR= 10 dB. On cherche l’intervalle angu laire seuil en élévation
θ∆ à partir duquel MUSIC 2-D est capable d’estimer les deux directions d’arrivée sans les
confondre. De nombreux essais indépendants sont faits.
Spectre MUSIC
( )θ ° ( )ϕ °
Fig. III. 3 : l’erreur quadratique moyenne de MUSIC 2-D en fonction du SNR
25
A SNR= 10 dB, on obtient une résolution en élévation de 8°.
* La résolution azimutale:
On s’intéresse maintenant à la résolution en azimut. On effectue la même démarche
décrite dans le paragraphe précédent, sauf qu’on fixe l’angle d’élévation θ et on cherche
l’intervalle ϕ∆ à partir duquel l’estimation MUSIC 2-D est capable de séparer deux sources
et d’estimer leurs DoA correctement. On considère les mêmes paramètres de réseau, de
bruit. On fixe l’angle d’élévation θ = 20° et on cherche l’intervalle en angulaire seuil ϕ∆ qui
correspond à la résolution azimutale.
On note que cette valeur est la même pour différentes incidences pour un SNR = 10 dB.
La résolution en élévation de MUSIC 2-D est estimée à 8° et la résolution azimutale à 16°.
θ∆ = 8°
20
10
20
26
θ =20°
16°
10ϕ = °
( )θ °
( )ϕ °
26
Qualitativement, cette résolution s’améliore pour les valeurs de SNR optimales.
III .4 / ESPRIT 2-D III.4.1 / Description :
Avec l’utilisation des réseaux planaires, le principe de la méthode ESPRIT 2-D
[3] ne change pas par rapport à ce qui a été décrit dans le chapitre II.3. Cette méthode est
basée sur les propriétés du sous espace signal, engendré par les K vecteurs propres liés
aux K plus grandes valeurs propre de la matrice de covariance.
L’information sur la direction d’arrivée est contenue dans les valeurs propres des
deux matrices de transformation qui lient respectivement les sous réseaux 1 & 2, et les sous
réseaux 3 & 4.
Fig. III.1 : formations des sous-réseaux. On définit ces transformations par :
Es2 = 12T *Es1
Es4 = 34T *Es3
Les sous-espaces Es2 et Es1 sont de dimension [(Mx-1) x K] et les sous-espaces de
dimension [(My-1) x K].
On nomme xλ et yλ , les vecteurs de valeurs propres de 12T & 34T de longueur K.
Pour k = 1…K, on exprime les angles d’arrivée comme suit :
, ,
,1
,
arg( )² arg( )arcsin
(2 / )²
arg( )tan
arg( )
x k y kk
y kk
x k
d
λ λθ
π λλ
ϕλ
−
+=
=
27
III.4.2 / Résultats de simulation: On considère deux sinusoïdes décorrélées arrivant sur un réseau rectangulaire uniforme de
dimension Mx=5 et My =4, avec les DoA (-10°,25°) et (35°,-45°),
L’estimation par ESPRIT pour un SNR = 10dB donne le résultat suivant;
Source1
source 2
θ
-10.0874
34.7861
ϕ 25.6493 -44.7881
On note que l’erreur réelle n’est pas supérieure à 1° à un SNR de 10 dB.
III.4.3 / Performance de 2-D ESPRIT
III.3.3.a / l’erreur de l’estimation des angles d’arrivée :
On considère un RRU (Réseau Rectangulaire Uniforme) de 5x4 éléments, perturbé
par trois signaux décorrélés, On fixe:
On étudie l’influence du bruit sur la précision de l’estimation :
Pour de nombreux essais indépendants, le calcul donne une RMSE de 0.81° à un SNR de 10dB. Cette erreur croît avec le niveau de bruit. III.3.3.b / La résolution
On considère deux sources décorrélées arrivant sur un réseau d’antennes isotropes,
rectangulaire uniforme de dimension Mx=5 et My = 4. Les signaux arrivent avec le même
angle d’élévation fixé à θ = -30°. On fait varier l’angle d’azimut φ pour déterminer la
résolution azimutale à un SNR = 25 dB puis à un SNR = 10 dB
Les résultats de simulation sont présentés dans les tableaux ci-dessous :
source 1 2 3
élévation θ -55 -15 40
azimut ϕ -30 10 -65
ˆ ˆ( )² ( )²k k k kRMSE θ θ ϕ ϕ= − + −
28
Source1
source 2
θ
-29.3402 -30.7334
ϕ 10.5927 15.6262
Source1
source 2
θ
-29.8489 -30.7334
ϕ 12.711 16.7552
On observe que l’estimation est relativement bonne. A SNR = 25 dB, ESPRIT 2-D
arrive à bien estimer les DoA de sources de même élévation θ et séparées d’un intervalle
5ϕ∆ = ° en azimut. A SNR = 10 dB, ESPRIT arrive à estimer les deux sources de même
DoA et séparées d’un intervalle 5ϕ∆ = ° mais tolère une erreur réelle de plus de 2° en
azimut. Une démarche similaire aboutit à une résolution en élévation de 6°, cette quantité est
très sensible au bruit.
III.3.3.c / La dynamique des réseaux rectangulaires :
On étudie la dynamique des réseaux associés à ESPRIT 2-D ou à MUSIC 2-D, ou si
ESPRIT et MUSIC estiment correctement toute valeur de DoA. La figure III. 6. a montre que
le réseau d’antennes isotropes, rectangulaire, uniforme et associé à ESPRIT ou à MUSIC
couvre pratiquement tout l’espace angulaire, et l’erreur est acceptable pour les valeurs de θ
supérieures à 85°, l’erreur n’excède pas 3° et elle diminue pour les RRU de tailles plus
grandes.
La figure III. 6. b montre la bonne estimation de toutes les valeurs d’angle azimutal.
Cela s’explique par le fait que le réseau est placé dans le plan azimutal (XoY).
SNR = 25 dB
SNR = 10 dB
29
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100X: 87.4Y: 90
angle théorique
angl
e m
esur
é
limite de détection en thêta, SNR =10dB, URA 5x4
Fig. III. 6. a : angle d’élévation simulé en fonction de l’angle théorique
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
angle théorique
angl
e m
esur
é
limite de détection en phi, SNR =10dB, URA 5x4
Fig. III. 6. b : angle d’azimut simulé en fonction de l’angle théorique
Cependant si les deux dimensions angulaires ont des valeurs proches, l’estimation
est biaisée, nous présentons les résultats de simulation d’estimation de la direction d’arrivée
d’une source par MUSIC 2-D, la DoA théorique est de (84°,85°).
Le spectre a des pics parasites (Fig. III. 7), cela s’explique par l’apparition des lobes
du réseau quand on s’éloigne de l’axe.
30
-100-50
050
100
-100
-50
0
50
100-20
-10
0
10
20
phi
X: 84Y: 85Z: 17.82
cas particulier DoA(85°,84°)
theta
Fig. III. 7. : Spectre _MUSIC pour une source de DoA (85°,8 5°) à un SNR = 10 dB III.4 / Conclusion :
Dans ce chapitre, nous avons présenté les méthodes classiques MUSIC 2-D et
ESPRIT 2-D. nous avons également effectué une étude paramétrique de leurs
performances notamment la sensibilité au bruit, la résolution angulaire et la précision.
Quant à MUSIC 2-D, sa complexité de calcul n’a pas influencé sa précision, mais la
résolution azimutale est très médiocre.
Et quant à ESPRIT 2-D, sa précision est meilleure que celle de MUSIC 2-D, sa
résolution est plus fine, et le résultat numérique est immédiat.
31
CHAPITRE IV
ESTIMATION DE L’ORDRE DU MODELE
32
IV.1 / Introduction : Dans le chapitre précédent, le nombre de sources était supposé connu, ce qui n’est
pas généralement le cas dans la pratique. Le problème d’estimation du nombre de sources à
fait l’objet de nombreux travaux [12,13,14,15,16,17] car cette quantité est indispensable pour
les méthodes à haute résolution basée sur la décomposition en valeurs propres, tels que
MUSIC et ESPRIT, qui nécessitent la connaissance du nombre de sources décorrélées
avant d’estimer leurs directions d’arrivée.
Plusieurs méthodes ont été proposées dans la littérature [3]. Les méthodes les plus
classiques sont les méthodes du maximum de vraisemblance proposées par Bienvenu et
Kopp en 1983, et les critères issus de la théorie de l’information (ITC) [14]. Nous nous
intéresserons particulièrement au caractère ITC à savoir le critère AIC (Akaike Information
Criterion) proposé par Akaike en 1973 [18] et le critère MDL (Minimum description Length)
proposé par Schwarz en 1976 [19] qui estime les nombres de signaux à bande étroite bruités
par un bruit additif, blanc et gaussien. Ces critères dédiés à l’estimation de l’ordre du modèle
sont utilisés pour l’estimation du nombre de sources. Ces divers critères reposent sur la
similarité des valeurs propres du sous-espace bruit et consistent à minimiser une fonction de
coût d’un premier terme commun et d’un second terme qui constitue le facteur de
pénalisation [3].
1
1
ˆ
( ) log (2 ). ( )1 ˆ
N
M
ii k
M kM
ii p
ITC k k M k C l
M k
λ
λ
= +−
= +
= − + − −
∏
∑
Avec iλ les valeurs propres de la matrice de covariance classées par ordre décroissant.
C(l) est une fonction de la variable l, permet d’éviter de surestimer le nombre de
source K.
M nombre total de capteurs et N le nombre des échantillons.
IV.2 / L’estimation du nombre de sources- les critè res théoriques d’information
IV.2.1 / AIC: Le critère d’information d’Akaike AIC (Akaike Information Criterion) [18] est défini en
posant la fonction ( )C l = 1. Le nombre de source correspond au minimum de l’expression :
33
1
1
ˆ
( ) log (2 )1 ˆ
NM
ii k
M kM
ii k
AIC k k M k
M k
λ
λ
= +−
= +
= − + − −
∏
∑
IV.2.2 / MDL:
MDL (Minimum Description Length) est inspiré du critère précédent [19]. Le nombre
de source correspond au minimum de la quantité décrite ci-dessous, en posant
1( ) ln( )
2C l N= .
1
1
ˆ1
( ) log (2 ) ln21 ˆ
NM
ii k
M kM
ii k
MDL k k M k N
M k
λ
λ
= +−
= +
= − + − ⋅ −
∏
∑
IV.3 / Etude de performance :
Les critères AIC et MDL sont sensibles aux nombreux paramètres : le niveau du bruit,
la taille du réseau de capteurs, la résolution angulaire et le nombre réel des signaux
incidents. Pour vérifier cela, nous allons étudier par la suite le comportement des critères ITC
dans le cas de l’estimation de nombre de sources en utilisant des réseaux linéaires
uniformes. Ensuite, nous allons étudier l’influence des paramètres cités ci-dessus sur les
critères AIC et MDL dans le cas de l’estimation du nombre de sources associée aux réseaux
uniformes multidimensionnels. On rappelle que les antennes élémentaires sont supposées
isotropes.
IV.3.1 / estimation associée à un réseau linéaire u niforme:
IV.3.1.a / Influence du bruit On considère un réseau linéaire uniforme de taille M accueillant K signaux décorrélés
de la forme ( ) sin(2 . . ), 1..k k kS t A f t k Kπ= = ou 1 2 Kf f f≠ ≠ ≠… , d’angles
d’incidence , 1..k k Kθ = . On étudie l’influence du bruit sur l’estimation du nombre de sources.
On observe sur la figure (Fig. IV.1) le comportement du critère MDL et du critère AIC pour un
réseau linéaire de M=8 antennes accueillant 4 signaux décorrélés d’incidences -40°,
-25°,10° et 35° pour différentes valeurs du SNR. MD L et AIC sous-estiment le nombre de
34
sources jusqu’à respectivement un SNR =2 dB et un SNR = 0 dB. De manière générale, les
critères MDL ou AIC donnent le résultat attendu pour les valeurs de SNR plus grandes.
-5 0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
7
X: 2Y: 4
SNR (dB)
nom
bre
de s
ourc
es e
stim
é
MDLAIC
IV.3.1.b / Influence de la taille du réseau Pour étudier l’influence de la taille du réseau sur l’estimation du nombre de sources,
on considère les mêmes paramètres du signal décrit dans le paragraphe précédent et on fixe
le SNR à 10 dB. En faisant varier la taille du réseau d’antenne, on obtient le résultat présenté
sur la figure (Fig. IV. 2). On observe sur cette figure que les deux critères AIC et MDL
estiment bien le nombre de sources.
5 10 15 20 253
3.2
3.4
3.6
3.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
taille du reseau
no
mb
re d
e s
ou
rce
s e
stim
é
MDLAIC
Fig.IV.1 Estimation du nombre de sources par AIC et MDL en fonction du SNR
Fig.IV.2 Estimation par AIC et MDL fonction de la taille du réseau
35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
nombre de sources réel
nom
bre
de s
ourc
es e
stim
é
MDLAIC
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
nombre de sources réel
nom
bre
de s
ourc
es
est
imé
MDL
AIC
Fig. IV.3 : Nombre de sources, M=10, K= [1..9], à un SNRa = 10 dB (a) et à un SNRb = 5 dB(b)
(a)
(b)
_ _
_ max _ _ _convergence
nombre de source estimélim
nombre imal détecté par HR
−=
Cette limite est fonction du SNR et est égale à 1 lorsque l’estimateur estime le bon
nombre de sources. La limite de convergence du AIC est estimée à 1 @ 10 dB et à 0.89
@ 5 dB. La limite de convergence du MDL est estimée à 1 @ 10 dB et à 0.67@ 5 dB.
IV.3.1.c / Influence du nombre réel des signaux incidents:
Soit un réseau d’antennes isotropes, linéaire et uniforme de taille M=10, On envoie
progressivement des associations de K signaux décorrélés, K varie de 1 à 9, pour SNRa=10
dB et SNR b=5 dB.
Les critères AIC et MDL estiment correctement le nombre des signaux pour SNRa.
Pour SNR b, le critère MDL n’arrive pas à estimer le nombre de sources dès que le nombre
de signaux est supérieur à 6 et au delà de 7 signaux.
Nous définissons la limite de convergence d’un estimateur par le rapport entre le
nombre de sources estimé et le nombre maximal de signaux que peut détecter les méthodes
à haute résolution (hypothèse cf. chapitre II).
36
IV.3.2 / Estimation associée à un réseau rectangula ire uniforme: IV.3.2.a / Influence du bruit Considérons une antenne réseau rectangulaire uniforme de dimension [Mx My],
perturbée par K signaux décorrélés de DoA 1..( , )k k k Kθ ϕ = . Nous allons observer le
comportement des critères AIC et MDL en fonction du SNR. Pour cela nous considérons un
réseau de dimension Mx=5, My = 4, le nombre réel de signaux K = 3. Ces signaux sont de la
forme ( ) sin(2 . . ), 1..k k kS t A f t k Kπ= = ou 1 2 3f f f≠ ≠ , et d’angles d’incidence ( 50 ,20 ),− ° °
( 5 , 35 )− ° − ° et (10 ,40 )° ° . La figure (Fig. IV. 4) représente les résultats de simulation
obtenus :
La sensibilité au bruit alors est faible pour AIC et est légèrement plus importante pour
MDL, il donne la bonne valeur à partir de SNR = 2 dB. À partir de SNR= 2 dB, les critères
MDL et AIC sont égaux et estime bien le nombre de sources.
IV.3.1.b / Influence de la taille du réseau :
L’objectif est de déterminer la limite de convergence des critères MDL et AIC en
fonction de la taille du réseau de capteurs. On considère alors un signal incident avec la
DoA 0 0( , )θ ϕ sur un réseau planaire de dimensions [Mx My], Mx varie de 3 à 15 et My varie
aussi de 3 à 15. Les figures (Fig. IV .5.a) et (Fig. IV .5.b) correspondent à l’estimation
respectivement par les critères MDL et AIC d’une source de DoA (-50°,20°) à un SNR = 10
dB. Les deux courbes sont semblables, elles sont plates pour les petites valeurs de Mx et
My, puis croient pour les plus grandes valeurs.
-5 0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
X: 2Y: 3
SNR ,réseau 5x4
est
ima
tion
pa
r le
s IT
C
MDL
AIC
SNR (dB) Fig. IV. 4 : Nombre de sources estimé en fonction du SNR
37
Afin de faciliter l’interprétation des courbes, nous utiliserons leurs tableaux
correspondant qui représentent le nombre de sources estimé par le critère AIC (tableau IV.
a) et par le critère MDL (tableau IV.b).
Pour les réseaux de taille inférieure Mx.My < 36 antennes, l’estimation est juste et
égale à 1 par MDL ou par AIC. Au-delà ; l’estimation diverge très vite : AIC ou MDL estiment
le nombre de sources à 13 pour un réseau de dimension [8 x 6] et à 31 pour un réseau de
dimension [9 x 7].
Fig. IV. 5 : Nombre de sources estimé par MDL (a) et AIC(b) en fonction de la taille du réseau
2 4 6 8 10 12 14 16 0
5
10
150
50
100
150
200
250
dim. reseau suivant (oX)
Estimation AIC fonction de la taille du reseau
dim. reseau suivant (oY)
X: 6Y: 6Z: 1
24
68
1012
1416 0
5
10
15
0
50
100
150
200
250
dim. reseau suivant (oX)
Estimation MDL fonction de la taille du reseau
dim. reseau suivant (oY)
X: 6Y: 6Z: 1
(a) (b)
Tableau IV. b Tableau IV. a
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
4 1 1 1 1 1 1 1 4 9 12 17
5 1 1 1 1 1 3 9 14 21 27 35
6 1 1 1 1 6 13 22 27 36 44 52
7 1 1 1 7 14 22 30 39 50 61 73
8 1 1 4 13 25 32 43 55 68 81 103
9 1 1 10 19 31 43 58 71 98 101 100
10 1 4 15 28 41 54 70 99 101 101 108
11 1 7 22 35 51 67 86 101 101 110 121
12 1 12 28 45 62 81 100 101 110 122 134
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 1 1 1 1 1 1 1 4 9 12 17 5 1 1 1 1 1 3 9 14 21 27 35 6 1 1 1 1 6 13 22 27 36 44 52 7 1 1 1 7 14 22 30 39 50 61 73 8 1 1 4 13 25 32 43 55 68 95 101 9 1 1 10 19 31 43 58 71 98 105 111
10 1 4 15 28 41 54 70 99 104 118 125 11 1 7 22 35 51 67 98 106 116 126 137 12 1 12 28 45 62 95 104 116 122 138 150
Fig. IV. 6 : estimation d’une source en fonction de la taille de réseau suivant les axes (oX) et (oY)
38
IV.3.1.c / Influence du nombre de source:
Soit maintenant un réseau uniforme dont les dimensions ne causent pas de
divergence pour AIC ou MDL accueille K signaux décorrélés de la forme
( ) sin(2 . . ), 1..k k kS t A f t k Kπ= = ou 1 2 Kf f f≠ ≠ ≠… , de DoA ( , ), 1..k k k Kθ ϕ = .
L’estimation par le critère MDL diverge pour le nombre de signaux incidents K > 3 à
SNR = 5 dB, et K> 4 à SNR = 10 dB. L’estimation par le critère AIC diverge dès que le
nombre de signaux arrivant sur le réseau de dimension [5 x 4] est supérieur à K = 4.
Telle que cela est définie au paragraphe IV.3.1.c, la limite de convergence du critère
AIC est estimée à 0.42 @ 5 dB et à 0.52 @ 10 dB. Quand au critère MDL, la limite est
estimée à 0.36 @ 5dB et à 0.42 @10dB. Ces limites sont très inférieures comparées à celles
dans le cas ou l’estimation du nombre de source est associée aux réseaux linéaires.
IV.4 / Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté le critère MDL (minimum description length)
et le critère AIC (Akaike information criterion) comme les critères les plus répandus des
critères de la théorie de l’information. Nous avons étudié les performances de ces
estimateurs pour des réseaux linéaires uniformes et nous avons montrés qu’ils sont
sensibles seulement au bruit. L’estimation ne peut être biaisée ni par l’augmentation de la
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
14
nombre de sources réel
nom
bre
de s
ourc
e es
timé
h mdl
h aic
0 5 10 15 20 251
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
nombre de sources réel
nom
bre
de s
ourc
e es
timé
h mdl
h aic
(a) (b)
Fig. IV. 7 : estimation du nombre de source en fonction des signaux incidents à un SNR =5 dB (a)et à un SNR = 10 dB (b)
39
taille du réseau, ni par la modification du nombre de signaux incidents jusqu’à la limite de
détection des méthodes à haute résolution : 1K M≤ − .
Ensuite, nous avons constaté que l’association du critère MDL ou du critère AIC aux
réseaux rectangulaires réduisait fortement leurs performances en faisant une comparaison
avec le cas où ils sont associés à des réseaux linéaires.
L’estimation bidimensionnelle des angles d’arrivée en utilisant des réseaux planaires
est limitée par l’estimation du nombre de sources. C’est pourquoi, il parait plus avantageux
d’estimer les angles d’arrivée en élévation et en azimut en associant deux réseaux linéaires
en forme de L.
40
Chapitre V
L’Estimation de la Direction d’Arrivée en 2-D
en utilisant des Réseaux en L
41
V.1 / Introduction :
L’étude des méthodes à haute résolution en 2-D a permis de constater les limites de
performance de ces méthodes notamment par rapport à la limite de convergence.
En revanche, on ne rencontre pas ce problème lors de l’utilisation des méthodes à
haute résolution en 1-D. L’estimation de DoA en utilisant des réseaux en L présentent
l’avantage d’estimer à la fois les angles d’élévation et d’azimut, en ayant une complexité
moindre : celle des méthodes en 1-D.
V.2 / intérêt des structures particulières de résea ux :
Les méthodes classiques utilisant les réseaux uniformes linéaires ou rectangulaires
sont relativement performantes, mais pour un nombre de sources généralement connu
[chap. II, chap. III]. Dans le chapitre IV, nous avons montré que les estimateurs de l’ordre du
modèle convergent dans le cas de réseaux linéaires mais divergent très vite dans le cas des
réseaux planaires. C’est pourquoi il y a eu nécessité de définir une méthode qui combine
entre la bonne estimation en 2-D et la bonne estimation du nombre de source en 1-D, d’où
l’utilisation des réseaux en L [20], des réseaux circulaires [21] ou d’autres formes originales
[22,23,24,25,26]. Les méthodes proposées dans [27,28,29] semblent remplir les conditions
citées ci-dessus, mais elles utilisent l’itération, ce qui doit coûter en précision et en temps de
calcul (voir annexe ).
V.3 / ESPRIT 1-D associé à un algorithme de corres pondance pour
l’estimation de la Direction d’arrivée en élévation et en azimut :
V.2.1 / Modèle des données :
On considère un réseau d’antenne en L uniforme, placé dans le plan (XoY). Les
deux sous-réseaux identiques, linéaires, uniformes et placés respectivement suivant les
axes (oX) et (oY), possèdent une antenne commune considérée comme antenne de
référence. Les facteurs de réseaux suivant les axes (oX) et (oY) sont respectivement donnés
par :
42
1
1
exp( .2 . .( 1).sin .cos )
exp( .2 . .( 1).sin .sin )
M
xm
M
ym
dAF j m
dAF j m
π θ ϕλ
π θ ϕλ
=
=
= − −
= − −
∑
∑
Où d est le rapport entre la distance inter-antennes et la longueur d’onde λ ,
Y
d
Sk (S0k, θ0k, φ0k)
φ 0k
θ0k
d
X
Réseau y
… My
Fig. V.I : Réseau d’antennes en L uniforme
On considère par la suite K signaux à bande étroite décorrélés, arrivant sur le réseau
avec les directions d’arrivée ( , )k kθ ϕ , k = 1 : K.
Les vecteurs directionnels de la k-ième source suivant les axes (oX) et (oY)
s’expriment sous la forme :
, ,
, [1, , ,e ]M
x k x kj jx ka e φ φ− −= …
2, ,
, [1,e , ,e ]M
y k y kj j
y kaφ φ− −= …
1M Mx My= + −
Où , 2 . .( 1).sin .cosmx k k kd mφ π θ ϕ= − et , 2 . .( 1).sin .sinm
y k k kd mφ π θ ϕ= − sont les
déphasages géométriques introduits respectivement par les deux sous-réseaux à la k-ième
source au niveau de la m-ième antenne.
L’idée d’utiliser les réseaux en L n’est pas nouvelle. Plusieurs configurations
et algorithmes associés ont été proposés dans l’objectif d’améliorer l’efficacité de l’estimation
Et
43
des angles en deux dimensions : soit des méthodes itératives ou de simples algorithmes
d’estimation associés à des algorithmes de correspondance.
V. 2 .2 / ESPRIT associé à l’algorithme de correspo ndance pour l’estimation en 2-D:
On utilise deux algorithmes à une dimension pour estimer les angles en azimut et en
élévation. On considère le système qui est représenté dans la figure ci-dessus (Fig. V .1),
Les vecteurs d’observation à la sortie des sous réseaux X et Y sont sous la forme :
( ) . ( ) ( )x xX t A S t N t= +
( ) . ( ) ( )y yY t A S t N t= +
Où ,1 ,2 ,[ , , , ]x x x x KA a a a= … et ,1 ,2 ,[ , , , ]y y y y KA a a a= … sont les vecteurs directionnels
suivant (oX) et (oY).
( )xN t et ( )yN t sont respectivement les vecteurs de bruit suivant (oX) et (oY) de
dimension [MxN], M=Mx.My. Les matrices de covariance sont estimées par les quantités :
1. .
1. .
Hxx
Hyy
R X XN
R Y YN
=
=
Par la suite on applique ESPRIT 1-D (cf. chap. II.4) à chacune de ces matrices pour
estimer les K valeurs propres de chaque opérateur de translation liant les sous-réseaux
suivant les axes (oX) et (oY).
,1 ,2 ,
,1 ,2 ,
( , , , )
( , , , )x x x x K
y y y y K
diag
diag
λ λ λλ λ λ
Φ =Φ =
…
…
Les matrices xΦ et yΦ sont des matrices carrées de rang complet K, de valeurs propres
, 1..{ }x k k Kλ = et , 1..{ }y k k Kλ = , elles contiennent toutes les informations sur les directions
d’arrivée 1..( , )k k k Kθ ϕ = .
A ce stade, l’application de l’algorithme pour le calcul des DoA n’est pas finie. Il existe K²
possibilité aléatoires pour le calcul des directions d’arrivée dont K seulement sont justes.
D’où la nécessité d’établir un algorithme dit de correspondance ou d’identification qui forme
les bons couples , , ' 1.. , ' 1..{ , }x k y k k K k Kλ λ = = pour le calcul de la DoA en deux
dimensions.
44
V.2.3 / L’Algorithme de Correspondance (matching p air algorithm) :
L’objectif de cet algorithme est d’éviter l’itération pour fournir un résultat juste
immédiat, il est basé sur la démarche de lier deux données qui puissent être semblables.
Dans le cas de l’estimation de la DoA, cet algorithme doit choisir parmi K²
couples , , '{ , }x k y kλ λ , seulement K couples adéquats au calcul des vraies directions
d’arrivée des signaux incidents.
Cet algorithme repose sur la propriété d’orthogonalité entre le sous-espace signal et
le sous-espace bruit, il aboutit à la correspondance en minimisant le critère suivant :
, , , ' , , , ''
, , '1 1
, , '
( , ') min . ( , ) ² . ( , ) ²
arg( ) . arg( )( , )
(2 )²
H Hn x x k y k n y x k y k
k
M Mm m
x k y km m
x k y k
P k k E e E e
ed
λ λ λ λ
λ λλ λ
π= =
= −
=∑ ∑
E n, x et E n, y sont les sous-espaces bruits respectifs des matrices de covariance Rxx
et Ryy
(Voir annexes V.2.3)
Ensuite, le calcul des DoA s’effectue par les simples relations :
V.2.3 / Résultats de simulation :
On considère K = 3 signaux décorrélés arrivant des directions (20°,-30), (-40°,70°) et
(55°,40°) arrivant sur réseau en L uniforme de 15 a ntennes au total. Les simulations sont
faites à un SNR =10dB et donnent les résultats suivant :
Source 3 Source 2 Source 1
55.043° -40.32° 19.96° Angle d’élévation θ
39.983° 69.936° -30.801° Angle d’azimut φ
L’estimation est satisfaisante, l’erreur réelle est acceptable et est de l’ordre de 0.1° à un
SNR = 10 dB.
, , '
, '1
,
arg( )² arg( )²ˆ arcsin(2 )²
arg( )ˆ tan ( )
arg( )
y k y kk
y kk
y k
d
λ λθ
πλ
ϕλ
−
+=
=
Avec
45
V.3 / MUSIC 2-D associé à un réseau en L pour l’e stimation conjointe de
direction d’arrivée en azimut et en élévation:
Cette méthode rassemble la structure particulière du réseau de capteurs et
l’estimateur classique MUSIC 2-D. Elle doit sa convergence à une nouvelle forme du
vecteur directionnel qui permet d’appliquer la méthode Music 2-D et estimer conjointement
l’angle d’élévation et l’angle d’azimut sans itération ni algorithme de correspondance.
V. 3.1 / Modèle du signal :
On considère encore le même système présenté sur la figure V. 1.
Ainsi, le vecteur d’observation global peut s’écrire :
( ) . ( ) ( )X t A S t N t= +
Où 1 2( ) [ ( ), ( ), , ( )]TKS t S t S t S t= … est le vecteur signal incident.
1 1 2 2[ ( , ), ( , ), , ( , )]K KA A A Aθ ϕ θ ϕ θ ϕ= … est la matrice [MxK] de réponse du réseau
1M Mx My= + − , formée par les K vecteurs directionnels liés aux sources :
2.( 1).sin .cos
2.sin .cos
2.sin .sin
2.( 1).sin .sin
( , ) 1
x k k
x k k
y k k
y k k
j d Mx
j d
k k
j d
j d My
e
e
a
e
e
π θ ϕλ
π θ ϕλ
π θ ϕλ
π θ ϕλ
θ ϕ
− −
−
−
− −
=
⋮
⋮
avec 1..k K=
, ,2 1 ,2 ,( ) [ ( ), , ( ), ( ), ( ), , ( )]Tx M x y y MN t N t N t N t N t N t= … … est le vecteur bruit additif
gaussien de moyenne nulle et de variance ²σ de dimension [(2M-1) xN], où N est le
nombre d’échantillons et 1( )N t est le bruit au niveau de l’antenne de référence.
A partir de là, la matrice de covariance du signal de dimension est donnée par
1. . H
xxR X XN
=
46
On applique à cette dernière la méthode de MUSIC 2-D. Avec En est le sous-espace bruit engendré par les vecteurs propres de bruit liés au M-K
petites valeurs propres de la matrice de covariance xxR .
Les directions d’arrivée correspondent alors aux pics du spectre.
V. 3.2 / Résultats de simulation :
Pour vérifier la validité de cette méthode, on se propose d’estimer des DoA de trois
sources décorrélées de DoA théoriques: (-65°,-35°), (-40°,65) et (-20°,40). Le SNR=10 dB au
niveau du réseau de 15 capteurs.
( )ϕ °
( )θ °
.15=M. dB10 = résultats de simulation de DoA de trois sources à un SNR : 2.V. Fig
L’estimation est bonne pour toute valeur de DoA. V.4 / Conclusion : Dans ce chapitre nous avons proposé deux méthodes pour remédier à
l’incompatibilité entre l’estimation du nombre de sources associée à des réseaux
rectangulaires et l’estimation bidimensionnelle de DoA associée aux mêmes
structures.
1_
. ( , ) ²Hn
spectre MUSICE a θ ϕ
=
47
Avec des réseaux en L, l’estimation du nombre de sources se fait au niveau d’un des
brins du réseau (soit suivant (oX), soit suivant (oY)), par le critère AIC ou MDL.
L’estimation doit être satisfaisante à des valeurs de SNR optimale (cf. Chap. IV).
Cette quantité est alors indispensable aux méthodes d’estimation bidimensionnelle
de d’angle d’arrivée en azimut et en élévation.
48
CONCLUSION GENERALE
49
L’estimation de la direction d’arrivée en élévation et en azimut, n’a pas fait l’objet
d’une étude achevée. Plusieurs travaux ont été développés pour améliorer ou innover ce
concept. Cela se manifeste dans le premier chapitre où nous avons présenté un panel de
méthodes pour l’estimation de paramètres.
Dans le second chapitre, nous avons présenté les méthodes MUSIC et ESPRIT.
Nous avons montré que leurs précisions se dégradaient pour les forts niveaux de bruit et que
leurs résolutions angulaires étaient sensibles au bruit ainsi qu’à la taille de réseau. Nous
avons observé aussi la dynamique des réseaux linéaires associés à ces méthodes, et nous
avons constatés que toutes les valeurs d’angle d’arrivée sont correctement estimées, en
supposant les antennes isotropes.
Ensuite, nous avons consacré le troisième chapitre à la présentation de MUSIC et
ESPRIT associées à des réseaux d’antennes rectangulaires pour l’étude de l’estimation de
la direction d’arrivée en élévation et en azimut. Les performances dans ce cas ont été
étudiées en terme de sensibilité au bruit, aux dimensions du réseau et aux nombres de
signaux incidents.
Le quatrième chapitre a traité les estimateurs du nombre de sources. Nous avons
présenté les critères AIC et MDL pour l’estimation du nombre de sources. L’étude
comprenait deux parties. En premier lieu, nous avons étudié le comportement de ces
estimateurs associés aux réseaux linéaires et nous avons constaté que l’estimation du bon
nombre de sources est peu sensible au bruit, à la taille du réseau ou au flux important des
signaux et que leurs limites de convergences tendait toujours vers 1 pour les valeurs
optimales de SNR. En second lieu, nous avons montré que l’association des critères MDL ou
AIC à des structures planaires de réseaux réduisait fortement leurs convergences, les limites
de convergences étaient faibles par rapport à celles du cas précédent.
A cause de la limitation des méthodes d’estimation du nombre de sources associées
à des réseaux planaires, nous avons consacré le dernier chapitre à présenter l’adaptation de
deux méthodes issues de la littérature afin lever cette limitation. La première méthode
combine deux algorithmes 1-D pour estimer la direction d’arrivée en élévation et en azimut.
Elle fait appel ensuite à un algorithme de correspondance. Les simulations donnent de bons
résultats. La seconde propose une forme de vecteurs directionnels qui permettent d’utiliser
MUSIC 2-D ou ESPRIT 2-D pour estimer simultanément la DoA en élévation et en azimut.
Nous avons également obtenu de bons résultats avec cette méthode.
Ce travail nous montre que l’utilisation de réseaux planaires associés à des
méthodes classiques en 2-D n’est pas la meilleure solution pour l’estimation des directions
d’arrivée en 2-D. L’estimation efficace et rapide des angles d’arrivée en élévation et en
50
azimut demande le choix réfléchi de la structure particulière du réseau et l’élaboration
d’algorithmes performants pour l’estimation. La connaissance des paramètres du signal
affine la caractérisation du canal de propagation, et donc un meilleur traitement de
l’information. La réalisation d’un démonstrateur 2-D permettra de valider les algorithmes
étudiés.
51
Annexe
Les Méthodes Itératives associées aux réseaux en L pour l’estimation des
angles d’arrivée en élévation et en azimut. :
Elles évitent la décomposition en valeurs propres, qui s’alourdit d’autant plus
que le nombre des sources augmente. On propose de faire une brève présentation de cette
méthode pour introduire le contexte de l’étude dans ce chapitre.
On considère une d’antenne réseau avec la configuration proposée dans la figure
(Fig. V.2), et deux signaux décorrélés arrivant sur ce réseau avec les angles
d’incidences ( , )k kθ ϕ , k = 1, 2.
Sur le brin suivant l’axe (oZ), le vecteur d’observation du sous-réseau 1 s’exprime
sous la forme :
( ) ( ). ( ) ( )z zZ t A S t N tθ= +
Où 1 2( ) [ ( ), ( )]S t S t S t= est le vecteur signal incident.
1 2[ ( ), ( ), , ( )]z KA A A Aθ θ θ= … est le vecteur directionnel total
2 1, ,( ) [1, , , ]M
z k z k z kA θ φ φ −= … est le vecteur directionnel de la k-ième source, avec
, exp( .2 . . .cos )mz k kj d mφ π θ= − , le déphasage au niveau du m-ième capteur
( )zN t est le vecteur bruit additif gaussien de moyenne nulle et de variance ²σ
L’application d’ESPRIT 1-D au vecteur d’observation à la sortie ce sous-système conduit à
estimer les angles d’élévation kθ :
1,
ˆ cos [arg( ) / 2 ]k z k dθ π−= Φ
Où zΦ est l’opérateur de translation entre les sous-réseaux du brin suivant (oZ)
52
Fig. V.2
Y
Z
dx
dz
X
…
Mx
1
Mz
2
Sk (S0k, θ0k, φ0k)
φ 0k
θ0k
Subarray 1
Sur le second brin suivant l’axe (oX), le vecteur d’observation du sous-réseau 2
s’exprime sous la forme :
( ) ( ). ( ) ( )x xX t A S t N tθ= +
Où 2 1, ,( ) [1, , , ]M
x k x k x kA θ φ φ −= … est le vecteur directionnel de la k-ième source,
Avec , exp( .2 . . .sin .cos )mx k k kj d mφ π θ ϕ= − , k = 1 : K.
L’application d’ESPRIT 1-D au vecteur d’observation à la sortie des sous-systèmes conduit
à estimer les angles d’azimut ˆkϕ :
1,
ˆˆ cos [arg( ) / 2 . .sin ]k x k kdϕ π θ−= Φ
Où xΦ est la diagonale de l’opérateur de translation entre les sous-réseaux du brin
suivant (oX) de dimension [K x1].
53
Histogrammes : Angles d’élévation (a) et d’azimut (b) pour trois sources de DoA (60°,30°), (20°,40°) et (75°,65°) , pour SNR = 10dB, nombre total de capteurs : 11
(a)
(b)
-20 0 20 40 60 80 100 1200
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
X: 59.89Y: 493
theta
histogram elevation, SNR=10,sources à (20°,40°),(60 °,30°) & (75°,65°)
-20 0 20 40 60 80 100 1200
100
200
300
400
500
600
X: 62.11Y: 259
phi
histogram azimut, SNR=10,sources à (20°,40°),(60°,3 0°) & (75°,65°)
54
Résultats de simulation :
On suppose trois sources de DoA théoriques (20°,40° ), (60°,30°) et (75°,65°) arrivant
sur une antenne réseau en L de 9 antennes élémentaires. La longueur d’échantillonnage est
de N = 100, l’estimation se fait en 2000 essais indépendants.
L’estimation des angles d’élévation et d’azimut se fait respectivement dans les
intervalles [0°,180°] et [0°,360°].
La valeur de l’erreur quadratique moyenne est estimée à 0.8021° [ 28 , 29,30 ] pour un SNR
de 10dB . Bien évidemment, cette valeur se dégrade pour les hauts niveaux de bruit.
L’algorithme proposé échoue pour les valeurs d’élévation inférieures à 5° et
supérieure à 85° pour un SNR = 10 dB, il est aussi incapable de localiser les sources ayant à
la fois une élévation et une azimut inférieures à 5° .
Pour les valeurs au-delà de 90°, l’estimation est b iaisée à cause de la parité de la
fonction cos.
On Remarque un échec de 1/K de la convergence au niveau des anomalies
détectées. Cela s’explique par le fait d’absence de démarche de correspondre entre les
valeurs justes d’élévation à celles d’azimut bien que, pas loin, l’estimation des angles est
bien achevée.
Les pics à φ = 0° représentent les valeurs d’angles calculées a vec les mauvais couples de
valeurs propres des matrices de translation zΦ et xΦ . Les algorithmes proposés
nécessitent des méthodes de correspondance (matching pair algorithms).
Les résultats sont plus précis pour les grands nombres d’itération, cela coûte en
temps. Enfin la présentation des résultats nécessite l’exploitation des histogrammes, ce qui
n’est pas très pratique.
55
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