RAPPORTOINCREMENTALE EDERIVATA PRIMA

Agg 2011 - Tutorial di Paola Barberis

RAPPORTO INCREMENTALE

f(xo) A

B

xo+hxo

∆y

�

!y

!x=f (x

0+ h) " f (x

0)

h

Rapporto fraincremento di ordinata∆y= f(xo+h) - f(xo)

e incremento di ascissa∆x = h

f(xo+h)

SIGNIFICATO GEOMETRICO- coefficiente angolare m della retta secante AB;- tg goniometrica angolo α che la retta forma con asse x

y=mx+q

∆xα

α

IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x)

DERIVATA PRIMA : y’(xo)

�

lim!x"0

!y

!x= lim

h"0

f (x0 + h) # f (x0)

h

E’ il LIMITE ( se esiste )per h che tende a zero

del Rapporto Incrementale

SIGNIFICATO GEOMETRICO:- coefficiente angolare m della retta TANGENTE in A- tg goniometrica angolo α che la retta forma con asse x

xoxo xo+h

AB

y=mx+

q

αy’(xo) calcolata in x0 è un numeroy’(x) è la “funzione derivata”

IN UN PUNTO DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x)

Derivata della FUNZIONE COSTANTE y = k

R.I . =f (x + h) ! f (x)

h=k ! k

h=0

h= 0

f(x+h) vuol dire sostituire x+h al posto di x e in questo caso, poiché non c’è la x, rimane uguale a k: f(x+h) = kf(x) è uguale alla funzione stessa: f(x) = k

Calcolo prima il Rapporto incrementale R.I.

Ora calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale

00lim0

=!h

Derivata primaD[k]=0

y’(x)=

REGOLA : la derivata della funzionecostante y=k è sempre ZERO

APPLICANDO LA DEFINIZIONE

DERIVATA DELLA FUNZIONE IDENTITA’

�

y = x

f (x + h) ! f (x)

h=(x + h) ! (x)

h=

calcolo f(x+h) sostituendo x+h alla x: f(x+h)= x+h f(x) è uguale alla funzione stessa : f(x) = x

1==!+

=h

h

h

xhxRapporto incrementale

Calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale

11lim0

=!h

D[x]=1y’(x)=

La Derivata di y=x è y’=1

DERIVATAPRIMA

R.I.=

DERIVATA DELLA FUNZIONE QUADRATICA

�

f (x) = x2

�

f (x + h) ! f (x)

h=(x

2+ 2xh + h

2) ! (x

2)

h=

f(x+h)= (x+h)2 = x2+2xh+h2

hxh

hxh

h

hhx+=

+=

+2

)2(2 2

Rapporto Incrementale

xxhxh

2022lim0

=+=+!

Derivata primaD[x2]=2x

y’(x)=

analogamente ricavo: D[x3]=3x2 e D[x4]=4x3

REGOLA generale: DERIVATA DI UNA POTENZA

�

y = x2

y=xn y’=nxn-1 D[xn]=nxn-1

R.I.=

DERIVATA DELLA radice quadrata

f (x + h) ! f (x)

h=

x + h ! x

hRapporto incrementale

y’(x)=

DERIVATA dellaRadice quadrata

�

f (x) = x

R.I.=

�

limh!0

x + h " x

h=0

0

La forma indeterminata si toglierazionalizzando il numeratore

limh!0

( x + h " x )

h#( x + h + x )

( x + h + x )=

x + h " x

h( x + h + x )

�

limh!0

h

h( x + h + x )= lim

h!0

1

( x + h + x )=

1

( x + x )=

1

2 x

�

D[ x ] =1

2 ! x=

x

2x

DERIVATE di funzioni ELEMENTARI

y=k y’=0 Derivata della costante isolata

y=x y’=1 Derivata della funzione identità

y=xn y’=nxn-1 Derivata della potenza

xy =x

y2

1'= Derivata della radice quadrata

xy ln=x

y1

'=Derivata[logaritmo a base e]: inverso dell’argomento

xey = x

ey =' Derivata[f.esponenziale]:se stessa

senxy = xy cos'=

xy cos= senxy !='

Derivata [seno]= è il coseno

Derivata [coseno]= meno il seno

745324

!+!= xxxy 041012'3

!+!= xxy

xxy 53 !=

�

y'=3

2 x! 5 =

3 x

2x! 5 =

3 x !10x

2x

xexy 4ln3 != x

ex

y 43

' !=

senxxy 8cos2 != xsenxy cos82' !!=

Esercizi SVOLTI : DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI

�

y = 4 x23

�

y = 4x

2

3

�

y'= 4 !2

3x

2

3"1

=8

3x"1

3 =8

3x

1

3

=8

3 x3

NB: Per derivare un radicale lo trasformo in potenza

y = f(x)+g(x) y' = f'(x)+ g'(x)

y = k·f(x) y' = k·f'(x)

y = f(x)·g(x) y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

f(x)y = -------- g(x)

f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)y' = ----------------------------- [g(x)]2

Derivata del prodotto di una costante K per una funzione

Derivata della somma di due o più funzioni

Derivata del prodotto di due funzioni

Derivata del quoziente di due funzioni

REGOLE DI DERIVAZIONE

y = (3x

4! 5x

2)i(x ! 3) )01()53()3()1012(' 24

!"!+!"!= xxxxy

y = x iln x

xxx

xy

1ln

2

1' !+!=

5

42

+

!=x

xxy

2

2

)5(

)01()4()5()42('

+

+!""+!"=

x

xxxxy

senx

xy

cos=

2)(

coscos'

senx

xxsenxsenxy

!"!"=

…proseguire svolgendo i calcoli

Esercizi SVOLTI : DERIVATE DI FUNZIONI ELEMENTARI

y = f(g(x)) y' = f'(g(x))·g’(x)

3)24( != xyEsempio:

1- Derivare la funzione f ESTERNA (ricopiando il contenuto g)2- moltiplicare per la derivata del “CONTENUTO” g

y ' = 3(4x ! 2)2• (4 ! 0) = 12 " (4x ! 2)

2

Derivo la funzioneesterna POTENZA

Derivo il “CONTENUTO”cioè la base

Derivata della Funzione COMPOSTA

424 )5( xxy != y ' = 4(x4! 5x

2)3• (4x

3!10x)

xxy 52+= xx

xx

xxy

52

52)52(

52

1'

22+

+=+•

+

=

)64ln( 3+!= xxy )043(

64

1' 2

3+!•

+!= x

xxy

)9cos( 3xxy != )93()9(' 23

!•!!= xxxseny

proseguire svolgendo eventuali calcoli

Esercizi svolti : DERIVATA della FUNZIONE COMPOSTA