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Raumkurven und Schnitte
Ein Plädoyer
für Funktionales Denken in der
Raumgeometrie
Matthias LudwigPH Weingarten
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Bestandsaufnahme
• Funktionen fast nur eindimensional• Formeln als Funktionen in der Raumgeometrie• Kaum dynamische Prozesse• Keine Bewegungen in der Raumgeometrie• Viel Potential vorhanden
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Einführung
• Funktionales Denken => Algebra• Bekannte Beispiele aus der Raumgeometrie• Die Füllkurven
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Füllkurven
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FüllkurvenV
V
h
h
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FüllkurvenV
V
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Sektglas und Eiskugel
• Wie voll muss ein kegelförmiges Sektglas gefüllt werden, damit es halb voll ist? (50%, 66%, 73%, 79%, 85%)
• Um wie viel Prozent muss der Radius der Eiskugel zunehmen, damit ein fairer Eisverkäufer den doppelten Preis verlangen kann? (16%, 26%, 36%, 41%, 50%, 100%)
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Sektglas und Eiskugel
• Erstaunen!? • Beide Volumenformeln kann man in
Abhängigkeit einer Größe (Höhe oder Radius) darstellen.
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Sektglas und Eiskugel
Eiskugel
Sektglas
Funktionales Argumentieren
Vollrath 1989
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TRaumkurven
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TRaumkurven
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TRaumkurven
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TRaumkurven
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TRaumkurven
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TRaumkurven
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TRaumkurven
• Für jeden Punkt auf der Rotationsfläche gilt:
• x2+y2=r(z)2
• Der Radius r hängt also von der Höhe z ab.
• Der Graph von r(z) beschreibt die Kurve welche die Rotationsfläche erzeugt.
• Im Falle der Parabel ist es eine Wurzel.
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TRaumkurven
• Der Kehrwert von a gibt die Anzahl der Umschlingungen pro Periode an.
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TRaumkurven
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TRaumkurven Erzeugungsweise durch Überlagerung
• Es bewegt sich ein Punkt auf der Kurve welche die Rotationsfläche erzeugt.
• Durch Superposition der beiden Bewegungen erhält man die Raumkurve.
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TRaumkurven
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TRaumkurven
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TRaumkurven
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Formen als Funktionswerte
• Idee des Beweglichen Denkens (Roth 2002)
• Im zweidimensionalen Raum erhält man Ortslinien oder „neue Kurven (Weth 1997)
• Im dreidimensionalen Raum kann man Ebenen durch Körper drehen und gleiten lassen.
• Je nach Schnittwinkel erhält man unterschiedlich geformte Schnittflächen.
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Die Kegelschnitte
• Sicher das berühmteste Beispiel
• Als Funktionswerte in Abhängigkeit des Schnittwinkels erhält man geoemtrische Formen bzw. algebraische Kurven.
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Die Kegelschnitte
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Die Würfelschnitte von Max Bill
• Ein Würfel wird durch Schnitte mit einer Ebene in kongruente Teilkörper zerlegt bzw. halbiert.
• Je nach Schnittwinkel erhält man verschiedene Schnittflächen.
• Welche?
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Die Würfelschnitte von Max Bill
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Die Würfelschnitte von Max Bill
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Stetige Würfelschnitte
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Stetige Würfelschnitte
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Eine Würfelschnittfunktion
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Eine Würfelschnittfunktion
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Eine Würfelschnittfunktion
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Eine Würfelschnittfunktion
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Tetraederschnitteüber funktionales Denken zu einer
genialen Verpackung
• Welche Schnittflächen können bei einem Tetraeder auftreten?– Dreiecke– Spezielle Vierecke
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Tetraederschnitte
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Tetraederschnitte
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Tetraederschnitte
• Mögliche Fragestellungen:– Wie verändert sich der
Flächeninhalt der Schnittfläche in Abhängigkeit der Schnitthöhe?
– Wie verändert sich der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit der Schnitthöhe?
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Tetraederschnitte
• Wie verändert sich der Umfang des Rechtecks in Abhängigkeit der Schnitthöhe?
• Antwort: Er ändert sich gar nicht. • Der Umfang ist eine Konstante.• U=2s
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Tetraederschnitte
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Matthias Ludwig PH Weingarten
Tetraederschnitte
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Tetraederschnitte
2s
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Anwendung im Alltag
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Matthias Ludwig PH Weingarten
Anwendung im Alltag
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Matthias Ludwig PH Weingarten
Anwendung im Alltag
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Vorläufiger Abschluss
• Durch Funktionen Situationen erfassen und beherrschen ist nach Vollrath ein wichtiges Ziel auf dem Weg zum Funktionalen Denken.
• Ein letztes Beispiel:
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Traumschnitte
vom Dodekaeder zum großen Dodekaeder
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