RAYMOND DUVALUN ANÁLISIS DE LOS PROBLEMAS COGNITIVOS DE COMPRENSION EN EL APRENDIZAJE DE LASMATEMÁTICAS

Abstract. Para entender las dificultades que muchos estudiantes tienen con la comprensión de lasmatemáticas, debemos determinar el funcionamiento cognitivo subyacente en la diversidad de losprocesos matemáticos. ¿Cuáles son los sistemas cognitivos que son necesarios para dar acceso alos objetos matemáticos? ¿Estos sistemas son comunes a todos los procesos de conocimiento o,por el contrario, algunos de ellos son específicos de la actividad matemática? A partir de laimportancia fundamental de la representación semiótica de cualquier actividad matemática,planteamos una clasificación de los distintos registros de representaciones semióticas que sonmovilizados en los procesos matemáticos. Así, podemos revelar dos tipos de transformación derepresentaciones semióticas: tratamiento y conversión. Estos dos tipos corresponden a procesoscognitivos muy diferentes. Son dos fuentes distintas de incomprensión en el aprendizaje de lasmatemáticas. Si el tratamiento es el más importante desde el punto de vista matemático, laconversión es básicamente el factor decisivo para el aprendizaje. Apoyar con datos empíricos, encualquier nivel del currículum y para cualquier área de la matemática, puede ser ampliamente ymetodológicamente recopilada: algunas evidencias empíricas se presentan en este documento.

Palabras clave: paradoja cognitiva, organización figurativa, objeto de conocimiento, el aprendizajedel lenguaje matemático, reconocimiento, registros multifuncionales y monofuncionales, nocongruencia, representación, representación conversión, representación semiótica, sistemasemiótico, procesos de pensamiento, tratamiento.

¿Cómo podemos entender las dificultades, a menudo insuperables, que muchos estudiantestienen con la comprensión de las matemáticas? ¿Cuál es la naturaleza de estas dificultades?¿Dónde están localizadas? Estas preguntas han asumido una particular magnitud e importanciacon la reciente presión para obtener más formación matemática inicial que debe darse a todos losestudiantes a fin de prepararlos para enfrentar un ambiente tecnológico e informático de unacontinuamente creciente complejidad. Ambos son un reto educativo en las aulas y un cambioteórico para la investigación sobre el desarrollo y el aprendizaje del conocimiento matemático. Losprocesos de adquisición de conocimientos matemáticos son tan complejos que parece necesariosenfoques muy distintos. Los más predominantes, y a veces opuestos, son los epistemológicos y eleducacional. Pero que tienen en común el uso de la noción de representación para caracterizar eltipo de fenómenos que ocurren en cualquier proceso de conocimiento o que lo constituyen.

Esta noción básica de la representación es muy antigua y rigurosa. Una representación es algo querepresenta a otra cosa, que significa “algo” para “alguien”. Pero al mismo tiempo esta nociónpuede ser evasiva o demasiado formal. ¿Cuál es la naturaleza de ese “algo”para…?

Usted puede obtener una gran variedad de respuestas, dependiendo de si considera lasrepresentaciones con respecto a lo planteado por el individuo concreto y sus experiencias, lasestructuras mentales, o, por el contrario, a los objetos de conocimiento con sus específicos

requisitos epistemológicos (Hitt,2002). Así, las representaciones pueden ser creenciasindividuales, conceptos o ideas equivocadas a las que uno obtiene acceso a través de lasverbalizaciones individuales o producciones de esquemas. La respuesta a esta pregunta, primerose desarrolló en dos grandes estudios de Piaget (1923, 1926), es ahora uno de los principalesmarcos teóricos y metodológicos para investigar y exponer la adquisición del conocimientomatemático. Pero representaciones pueden ser también signos y sus asociaciones complejas queson producidas de acuerdo a las normas y que permiten la descripción de un sistema, un proceso,un conjunto de fenómenos. Allí las representaciones semióticas, incluyendo cualquier idioma,aparecen como herramientas comunes para producir nuevos conocimientos y no solo paracomunicar cualquier representación mental particular. Esta respuesta, que ha sidoprogresivamente desarrollada desde Frege y Hilbert tomando en cuenta los requisitosepistemológicos, también ha adquirido una gran importancia en la investigación sobre la cognición(Duval, 1998ª). Cualquier investigación sobre el aprendizaje de las matemáticas implica ciertaelección teórica acerca de la posible relación y las funciones respectivas de estos tipos derepresentación totalmente opuestas, de representaciones que son todas “significados de algo paraalguien”, esto es representados objetos de conocimiento.

Parece evidente que la investigación sobre el aprendizaje de las matemáticas y susdificultades, debe estar basada en lo que los estudiantes hacen realmente por sí mismos, en susproducciones, en sus voces. Pero ¿cómo podemos analizar los procesos de adquisición deconocimiento a partir de las concepciones de los estudiantes y averiguar las fuentes de susdificultades? Las representaciones son sólo la superficie resultado del funcionamiento de la menteprofunda, estructuras que no dependen de la conciencia de los individuos (Piaget, 1967, págs. 78-79). Subyacente a las dos clases totalmente opuestas de representación, existe una organizaciónde las estructuras cognitivas que hacen a los individuos capaces de realizar los diversas clases dela actividad cognoscitiva (Duval, 1996ª). Por lo tanto, la característica de un enfoque cognitivo esbuscar primero determinar el funcionamiento cognitivo subyacente en los diversos procesosmatemáticos.

Con el propósito de determinar las incomprensiones de los estudiantes, primero debemosdeterminar las condiciones cognitivas que hacen posible la comprensión. Por lo que debemosplantear la pregunta:

1. ¿Cuáles sistemas cognitivos son requeridos y activados para dar acceso a los objetosmatemáticos y a la vez hacer posible llevar a cabo las múltiples transformaciones queconstituyen los procesos matemáticos?Generalmente se asume que la forma de pensar es básicamente la misma en las diferentesáreas del conocimiento aun cuando el pensamiento matemático es más abstracto y aún siun lenguaje específico o codificación se usan en matemática. Las observaciones que herealizado en el salón de clases y fuera de él por muchos años, me han llevado no sólo acambiar el planteamiento focalizado sobre las concepciones del estudiante (Duval, 1983),a un enfoque cognitivo, sino también a preguntar:

2. ¿Es la forma de pensar, la misma en matemática que en otras áreas el conocimiento? Enotras palabras, la actividad matemática requiere sólo el proceso cognitivo común o,realmente, ciertas estructuras cognoscitivas muy específicas cuyo desarrollo debe sertomado en cuenta en la enseñanza?

Este planteamiento acerca del aprendizaje de las matemáticas tiene gran significación si elpropósito de la enseñanza de las matemáticas, en el nivel primario y secundario no tiene nada quever con los futuros matemáticos, ni para dar herramientas a los estudiantes que posiblementepuedan ser útiles para ellos muchos años después, sino más bien contribuir al desarrollo generalde sus capacidades de razonamiento, análisis y visualización.

En cualquier caso, se hace necesario considerar las representaciones semióticas en el nivel de laestructura de la mente y no sólo con respecto a la exigencia epistemológica para obtener acceso alos objetos matemáticos (Duval, 1995ª, págs. 3-8, 15-35). Y desde este enfoque cognitivo pareceque la oposición entre las representaciones mentales y las representaciones semióticas ya no espertinente, porque descansa sobre la confusión entre el modo de producción fenomenológico y eltipo de sistema que se moviliza para producir cualquier representación (Duval, 2000ª, págs. 59-60).

Presentaré aquí algunos de los principales resultados que he obtenido. Están relacionados, porun lado, al papel preponderante desempeñado por las transformaciones de las representacionessemióticas en cualquier actividad matemática, y, por otra parte, el tipo de sistema semióticoutilizado para estas transformaciones. La complejidad cognitiva subyacente a los procesos depensamiento en matemáticas radica en el hecho de que existen dos formas muy diferentes detransformaciones que nunca se tienen en cuenta explícitamente en la enseñanza. Y desde el puntode vista matemático, uno de ellos comanda más la atención, mientras que es el otro el queprovoca las mayores dificultades para los estudiantes. Después de una descripción de los diversosprocesos cognitivos requeridos por el pensamiento matemático, presentaré algunos datosempíricos para mostrar cómo estos dos tipos de transformaciones son específicas y fuentesindependientes de incomprensión en el aprendizaje de las matemáticas.

1. ¿Qué caracteriza la actividad matemática desde un punto de vista cognitivo?

Cuando se intenta analizar lo que constituye la comprensión matemática y explicar losobstáculos a la comprensión que los estudiantes experimentan, las personas, a menudo, sacana relucir los conceptos y su complejidad epistemológica. Y esta complejidad epistemológicapuede ser explicada por la historia de su descubrimiento. Pero este enfoque no es suficientepara caracterizar lo que es original y específico para los procesos de pensamiento enmatemáticas en contraposición con otros dominios del conocimiento científico como laastronomía, biología, etc. La diferencia entre la actividad cognitiva requerida para lasmatemáticas y la que requieren otros dominios de conocimientos no se encuentra en losconceptos, porque no hay ningún dominio de conocimientos que no desarrolle un conjunto deconceptos más o menos complejos - si no en las tres características siguientes.

1.1. La importancia primordial de las representaciones semióticas

Uno sólo tiene que mirar la historia del desarrollo de las matemáticas para ver que eldesarrollo de las representaciones semióticas es una condición esencial para el desarrollodel pensamiento matemático. Para empezar, existe el hecho de que la posibilidad detratamiento matemático, por ejemplo, cálculo, depende del sistema de representación.Porque el rol protagónico de los signos no es representar objetos matemáticos, sino paraproporcionar la capacidad de sustituir algunos signos para otros. Así, hay una enormebrecha entre estos dos tipos de representación numérica: colecciones de tizas o debolígrafos y sistemas de base dentro de los cuales la posición da el significado. Y aquí elproblema aparece con este muy extraño signo “0” que no pertenece a la base elegida, sino aun potente sistema semiótico de representación numérica. Así, debido a un que genuinouso del sistema decimal de numeración no es necesario para trabajar con pequeñosenteros y para realizar operaciones aditivas, podemos considerar que la notación decimal“10” plantea la cuasi-material representación “¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡” para el número “diez” y da elsignificado. Pero más allá de eso, su uso no requiere la comprensión de la forma en que elsistema de representación utilizado funciona. Por ejemplo: en expresiones como: 38.45 × 10; 38.45 x 100 o 38.45 : 0.1 ; 38.5 : 0,01? ¿Cuántos jóvenes estudiantes conseguiránciertamente esta etapa de comprensión? Los estudiantes y la adquisición de estos sistemasno es sencilla. Uno podría pensar que el hecho de emplear el sistema de numeración desdeel principio de pre-escolar haría su uso progresivamente más transparente. Encuestas deevaluación nacional francesa (MEN, 1993, 1997) demostró que ese no es el caso todavía enel comienzo de la escuela secundaria: sólo un alumno en tres parecía haber comprendido elfuncionamiento del sistema decimal y para poder realmente hacer uso de sus posibilidadespara alcanzar el éxito con un conjunto de ítemes acerca de las operaciones más simples demultiplicación y división de decimales (38.45 × 10 : 45× 0,1). Además, está el hecho de quelos objetos matemáticos, comenzando con los números, no son objetos que pueden serpercibidos directamente u observados con instrumentos. Acceder a los números estálimitado al uso de un sistema de representación que les permite ser designados. Pero elpunto clave no está allí. El papel desempeñado por los signos, o más exactamente porsistemas semióticos de representación, no es sólo para designar objetos matemáticos opara comunicarse sino también para trabajar sobre los objetos matemáticos y con ellos.Ningún tipo de procesamiento matemático puede realizarse sin utilizar un sistema semióticode representación, debido a que el procesamiento matemático implica siempre sustituiralguna representación semiótica por otra. La parte que los signos juegan en matemáticas noes ser sustituidos por objetos sino por otros signos! Lo que importa no son lasrepresentaciones sino su transformación. A diferencia de las otras áreas del conocimientocientífico, signos y transformación de representación semiótica están en el corazón de laactividad matemática. ¿Por qué?

1.2. La paradoja cognitiva de acceso a objetos de conocimiento

Desde un punto de vista epistemológico, existe una diferencia básica entre las matemáticasy los otros dominios del conocimiento científico. Los objetos matemáticos en contraste conlos fenómenos de la astronomía, física, química, biología, etc., nunca son accesibles por la

percepción o por instrumentos (microscopios, telescopios, aparatos de medida). La únicamanera de tener acceso a ellos y tratar con ellos es utilizando signos y representacionessemióticas. Eso significa que tenemos aquí un único acceso a los objetos del conocimiento yno un doble acceso, principalmente no-semiótico y secundariamente semiótico, como es elcaso en otros ámbitos. Esta situación epistemológica muy específica de la matemáticacambia radicalmente el uso cognitivo de los signos. Ningún alumno se enfrenta con dosrequisitos bastante opuestos al meterse en el pensamiento matemático:

Para realizar cualquier actividad matemática, las representaciones semióticas deben serutilizadas necesariamente incluso si existe la elección de la clase de la representaciónsemiótica.

Pero los objetos matemáticos nunca deben ser confundidos con las representacionessemióticas que sean utilizadas.

El problema crucial de la comprensión de las matemáticas para los alumnos, en cada etapa delcurrículum, surge del conflicto cognitivo entre estas dos exigencias opuestas: ¿cómo puedendistinguir el objeto representado desde la representación semiótica si no pueden tener acceso alobjeto matemático aparte de las representaciones semióticas? Y que se manifiesta en el hecho deque la capacidad para cambiar de uno a otro sistema de representación es muy a menudo elumbral crítico para el progreso en el aprendizaje y para la resolución de problemas.

1.3. La gran variedad de representaciones semióticas utilizadas en matemáticas

Destacando el máximo papel de las representaciones semióticas en la actividad matemáticaque implica necesariamente la sustitución de signo, no es suficiente. La actividadmatemática necesita tener diferentes sistemas de representación semiótica que puedan serlibremente utilizados según la tarea a realizar, o de acuerdo a la pregunta que se hace.Algunos procesos son más fáciles en un sistema semiótico que en otro, o incluso puedehacerse en un solo sistema. Pero en muchos casos no es sólo un sistema de representaciónel que es utilizado de manera implícita o explícita, sino por lo menos dos. Así, en geometríaes necesario combinar el uso de, al menos, dos sistemas de representación, uno para laexpresión verbal de propiedades o la expresión numérica de la magnitud y la otra para lavisualización. Lo que se llama una “figura geométrica” siempre asocia ambasrepresentaciones discursivas y visuales, incluso si sólo una de ellas pueda ser explícitamenteresaltada conforme a la actividad matemática que se requiera. Entonces, la expectativa delos estudiantes será de ir y venir entre el tipo de representación que sea explícitamentehacia adelante y el otro que queda en el fondo de esta asociación visual/discursiva queforma cualquier figura geométrica. Y esta asociación cognitivamente es compleja porque enla mayoría de los casos va en contra de la asociación común entre las palabras y las formas yporque su uso va en contra de la obviedad perceptual (Duval, 1998b, págs. 38-44).Las matemáticas es el dominio en el que encontramos la mayor gama de sistemas derepresentación semiótica, tanto las que son comunes a cualquier tipo de pensamiento comolenguaje natural y aquellos específicos de las matemáticas como los algebraicos y lasnotaciones formales. Y que enfatiza el problema crucial de la comprensión de las

matemáticas para los alumnos. Si para cualquier objeto matemático podemos utilizar muydiferentes tipos de representación semiótica, ¿cómo pueden los alumnos reconocer elmismo objeto representado a través de la representación semiótica que se produce dentrode los diferentes sistemas de representación? ¿Más profundamente que las dificultadesepistemológicas propias de cada introducción de conceptos nuevos, no serían los obstáculosmás recurrentes en la comprensión de las matemáticas los que vienen de estas formas depensar específicas involucradas en cualquier actividad matemática?

2. ¿ CÓMO ANALIZAR LOS PROCESOS DE PENSAMIENTO IMPLICADOS EN LA ACTIVIDADMATEMÁTICA?

El papel de las representaciones semióticas no está limitado a designar objetos, a plantear algomás, o a ser ellas mismas consideradas como objetos. Su uso está determinado por la posibilidadde procesamiento matemático que ellas permiten. Cualesquiera que sean las representacionessemióticas usadas, pueden ser cambiadas por otras representaciones semióticas sin el soporte denuevos datos u observaciones empíricas. De lo contrario, la operación cognitiva básica de sustituiralgunas representaciones semióticas por otra no sería posible. Pero eso depende del sistemasemiótico dentro del cual las representaciones semióticas son producidas. Cada sistema semióticoofrece muchísimas posibilidades muy específicas. La variación de “capacidad”, que fuemencionada por Peirce (CP: 2.228) para el representamen, no está sobre nivel de las repre-sentaciones particulares, sino en el nivel del sistema semiótico en el que se producen. Así, paraanalizar los complejos y específicos procesos de pensamiento que subyacen a la actividadmatemática, debemos tomar en cuenta las diferencias entre los distintos sistemas derepresentación semiótica que se utilizan. ¿Estas diferencias juegan un papel importante en losprocesos matemáticos? Cada vez que analizamos las dificultades y bloqueos del aprendizaje de losestudiantes en matemática, nos enfrentamos con esta cuestión.

2.1. ¿Cómo describir los diversos procesos matemáticos?

Dada la paradoja cognitiva del acceso al conocimiento de objetos en matemáticas, taldescripción debe ser apoyada por la variedad de sistemas representación semióticos que seutilizan y por la “capacidad” de cada uno para realizar los procesos matemáticos.

La forma más generalizada de clasificar es oponer lenguaje, natural o simbólico, y la imagen.Sin embargo, esto es general y por encima de todo, está lejos de ser suficiente. También hay otradiferencia esencial que es muy a menudo olvidada. Algunos sistemas semióticos puede utilizarseúnicamente para una función cognitiva: procesamiento matemático. Por el contrario, otrossistemas semióticos pueden cumplir una gran variedad de funciones cognitivas: comunicación,procesamiento de información, la conciencia, la imaginación, etc. (Duval, 1995b, págs. 89-90).

Esta diferencia funcional entre los distintos sistemas de representación semiótica utilizada enmatemáticas es esencial porque está intrínsecamente relacionada con la manera en que ejecutanprocesos matemáticos: dentro de un sistema semiótico monofuncional la mayoría de los procesostoman la forma de algoritmos, mientras que en un sistema semiótico multifuncional los procesosnunca puede ser convertidos en algoritmos. Por ejemplo, en geometría elemental, no hay ningún

algoritmo para usar cifras en una forma heurística (Duval, 1995ª) y la manera en que una pruebamatemática se ejecuta en lenguaje natural no puede formalizarse sino mediante sistemassimbólicos. Las pruebas mediante lenguaje natural no pueden ser entendidas por la mayoría de losestudiantes (Duval, 1991).

A partir de estas observaciones, podemos obtener un rápido esbozo de las diversas formas deprocesos matemáticos, como la superposición de un gráfico en el cuadro de clasificación quemuestra la figura 1.

Figura 1. Clasificación de los registros que pueden ser movilizados en los procesos matemáticos.

Lo que importa para la comprensión de los procesos de pensamiento implicados en cualquieractividad matemática es centrarse en el nivel de sistemas de representación semiótica y no sobrela representación particular producida. Y los dos puntos siguientes son esenciales. En primer lugar,es sólo a este nivel que la propiedad básica de la representación semiótica y su significado para lasmatemáticas puede comprenderse: el hecho de que pueden ser intercambiadas una por otra,mientras mantenga la misma denotación (Frege, 1971). En segundo lugar, una marca no puedefuncionar como un signo externo del sistema semiótico en el cual su significado adquiere valor enoposición a otros signos dentro de ese sistema (más adelante se presenta un ejemplo en la figura15). Esta idea fue la principal contribución de Ferdinand de Saussure (1973, pp. 158-168) al análisisdel lenguaje como sistema semiótico. Eso significa, también, que hay reglas para producirrepresentaciones semióticas relevantes. Así, todos los sistemas semióticos monofuncionales que

son característicos de las matemáticas se basan en las normas de formación de la representación.Esto puede comprobarse fácilmente por cualquier sistema de notación numérica o de gráficascartesianas.

Por supuesto, en la actividad matemática se usan algunas representaciones que no dependende un sistema semiótico. El mejor ejemplo es el palillo usado para representar números enterospequeños. Ellos ni tienen reglas de formación ni posibilidades específicas de formación. Estos sonutilizados como un material libre de manipulaciones. En ese sentido, encajan perfectamente latercera determinación de representamen dado por Peirce: “Algo que representa a alguien…”(1931,p.2228) Su uso depende sólo del interpretante. Ellas aparecen más frecuentemente comorepresentaciones auxiliarmente transitorias. (Hitt, 2003).

Así, con respecto a la propiedad de representaciones semióticas que es básica para la actividadmatemática, podemos distinguir cuatro clases muy diferentes de sistemas semióticos. Tomandonuevamente la palabra ya utilizada por Descartes, en la Geometrie ‘ (Descartes, 1954, pág. 8 (p.300), y mantiene también su significado moderno, les llamamos “registros de representación “(Duval, 1995b, pág. 21). No todos los sistemas semióticos son registros, sólo los que permiten unatransformación de representaciones. Hemos resaltado el caso muy auténtico de lenguaje natural.Allí, la producción de representaciones semióticas puede lograrse según dos modalidades bastantefenomenológicas. De uno a otro hay una gran brecha, que es muy a menudo subestimada (Duval,2000b). Esta clasificación proporciona las herramientas para el análisis de la actividad matemáticay para identificar la raíz de los problemas con las matemáticas a entender y no sólo sobre tal y cualcomprensión de concepto que muchos estudiantes tienen.

2.2. Los dos tipos de transformación de representaciones semióticas

En la medida en que la actividad matemática intrínsecamente consiste en la transformaciónde las representaciones, resulta obvio que existen dos tipos de transformaciones derepresentación semióticas que son radicalmente diferentes: TRATAMIENTOS YCONVERSIONES.Los tratamientos (flechas curvadas en la Figura 1) son transformaciones de representacionesque ocurren dentro del mismo registro: por ejemplo, llevar a cabo un cálculomanteniéndose estrictamente en el mismo sistema de notación para representar losnúmeros, la solución de una ecuación o sistema de ecuaciones, completando una cifrautilizando criterios perceptivos de conectividad o simetría, etc. Eso da prominencia al rolintrínseco de los sistemas semióticos en los procesos matemáticos. Los tratamientos, quepueden ser llevados a cabo, dependen principalmente de las posibilidades de transformaciónsemiótica, que son específicos para el registro utilizado. Dos ejemplos bastan parademostrar esto.Los procedimientos para llevar a cabo una operación numérica dependen de igual forma enel sistema de representación utilizado para los números como en las propiedadesmatemáticas de las operaciones. Así, los algoritmos son diferentes para una notacióndecimal y una notación fraccionaria de los mismos números:

12 + 13 = ...

0,20 + 0,25 = ... 1/5 + ¼ = ...

0,20 : 0,25 = ... 1/5 : ¼ = ...

Esto significa que los procesos de cálculo nunca son puramente matemáticos.

Ellos dependen del tipo de funcionamiento que el sistema representativo en uso permite. Porrazones de economía o visibilidad pueden llevar a cambiar los sistemas de notación para llevar acabo el tratamiento.

Es el registro de las transformaciones figurativas de orden gestaltista que a menudo se llaman aresolver y justificar heurísticamente muchos problemas de geometría elemental. Estastransformaciones son puramente transformaciones visuales que puede realizarse simplementecambiando el punto de vista desde el cual se observa o se realiza materialmente como si setratara de un rompecabezas. Aquí hay tres ejemplos clásicos donde las transformaciones visualesconsisten de una operación de reconfiguración de la figura original (Figura 2).

Figura 2. Transformaciones visuales de formas.

En estos ejemplos, las unidades figurativas de una figura original pueden ser visualmentereconfiguradas sin recurrir a una propiedad matemática. Esta operación puramente visual dereconfiguración de una figura original subyace en la mayoría de los ejemplos de pruebas visualesque se utilizan en la enseñanza a dar explicaciones “intuitivas” de ciertos resultados matemáticos.Pero, en la mayoría de los casos no funciona porque los procesos de reconocimiento visual de lagestalt no funcionan de la misma manera que se requieren y esperan desde un punto de vistamatemático (Duval, 1995ª).

Las conversiones (flechas rectas en la Figura 1) son transformaciones de representación queconsisten en cambiar un registro sin modificar los objetos que se indican: por ejemplo, pasandode la notación algebraica de una ecuación a su representación gráfica, pasando por unaproposición en lenguaje natural a una relación a su notación con letras, etc. La conversión es unatransformación de la representación, que es más compleja que el tratamiento, ya que cualquiercambio de registro requiere primero el reconocimiento del mismo objeto representado entre dosrepresentaciones cuyo contenido tienen muy a menudo nada en común. Es como una brecha quedepende del registro de partida y el registro de la meta (flechas rectas en la Figura 1). Demasiado amenudo, la conversión es clasificada como la traducción o la codificación. Y como ejemplos lossiguientes son presentadas (Figura 3).

Figura 3. Conversión congruente.

Pero que es engañosa, porque una modificación menor puede causar que las reglas decodificación o traducción fallen. (Figura 4).

Figura 4. Conversión no congruenteAhora veamos un registro para el cual la regla de conversión puede darse explícitamente.

Para construir un gráfico basta con tener sólo la siguiente regla: para cada par ordenado denúmeros uno puede asociar un punto en un plano de coordenadas con incrementos dados en losdos ejes. Y la construcción de gráficos correspondientes a funciones lineales parece no dar a losestudiantes dificultades ningunas. Pero uno sólo tiene que invertir el sentido del cambio deregistro para ver esta regla deja de ser operativa y suficiente (Figura 5).

Figura 5. Una tarea de reconocimiento.

La tarea propuesta era una tarea de reconocimiento simple, y no una de construcción o lectura decoordenadas de puntos: elegir entre muchas posibles expresiones (por ejemplo, en y = x , y = -x , y= x + 1) el que corresponde a la gráfica (Duval, 1988). Naturalmente, si hubiéramos pedido que losdos gráficos se construyan, los éxitos habrían superado el 90% en ambos casos. En la enseñanza,usualmente las tareas ofrecidas no son nunca el reconocimiento, sino simplemente leer las tareasque sólo requieren un proceso de colocar puntos guiados por la comprensión local y no de unproceso global de interpretación guiado por la comprensión cualitativa de variables visuales

(Figura 15). Convertir una representación semiótica en otra no puede ser considerado como unacodificación o un tratamiento.

En estos dos ejemplos, la conversión se requiere explícitamente y parece que puede limitarsea situaciones transitorias para resolver algún problema en particular. Pero la mayoría de las veceses necesaria siempre implícitamente dos, o incluso tres, los registros que deben utilizarse juntosde una manera interactiva. Hemos mencionado ya el caso de la geometría. Allí, nos enfrentamos aalgo como una brecha oculta entre el proceso visual de tratamiento y los diversos procesosdiscursivos que pueden utilizarse (Duval, 1998c). Y en el aula tenemos una muy práctica específicade forma simultánea haciendo uso de dos registros. Es hablado en lenguaje natural, aunque esescrito expresiones simbólicas como si las explicaciones verbales pudieran hacer cualquiertratamiento simbólico transparente (Duval, 2000b, págs. 150-155).

A través de los distintos tipos de conversiones más que a través de tratamientos tocamos lacomplejidad cognitiva de la comprensión en el aprendizaje de las matemáticas- y sobre procesosespecíficos del pensamiento requeridos por la actividad matemática.

2.3. ¿Cómo reconocer el mismo objeto matemático a través de dos representaciones cuyoscontenidos son heterogéneos?

Al hacer una distinción, por signos matemáticos, entre sentido y referencia Frege (1971, pp.89, 102-103) hizo hincapié en la diferencia entre el contenido de una representación y loque se refiere a la representación. Y entre el contenido de una representación y el objetorepresentado no hay otra relación que denotación. Ahora, y esta es la consecuencia decisivaque rara vez se toma en cuenta, el contenido de una representación depende más delregistro de la representación que del objeto representado (Duval, 1999, págs. 40-46). Esa esla razón por la que pasando de un registro a otro cambian no sólo los medios detratamiento, sino también las propiedades que pueden hacerse explícitas. Por otro lado,para las representaciones no semióticas que son producidas por los dispositivos físicos(espejo, cámara, microscopio, etc.) o por organizaciones cerebrales y sensoriales tenemosalgo así como una relación de causalidad. El contenido de una representación es el efectoindirecto del objeto. Por lo tanto, su “intuitivo” o mayor valor empírico (Figura 6).

Representación semiótica Representación no semióticaDENOTACIÓN

CONTENIDO de OBJETOla representación 2 representado

1

CONTENIDO de OBJETOla representación representado

1

SISTEMA Semiótico PRODUCTORde la representación SISTEMA físico PRODUCTOR

de la representación

Figura 6. Los dos tipos de relación entre el contenido de la representación y el objetorepresentado.

La relación entre el contenido de la representación y el objeto representado depende del sistemaque se moviliza para producir la representación. Podemos obtener iconicidad o no-iconicidad de larepresentación semiótica, así como también para la representación no semiótica. Y esto nos traede vuelta a la paradoja cognitiva de la comprensión en matemáticas. ¿Cómo puede el objetorepresentado ser distinguido de la representación semiótica que se utiliza cuando no hay accesoal objeto matemático aparte de representaciones semióticas?

El primer problema de comprensión en el aprendizaje de las matemáticas es un problema deambas, reconocimiento y discriminación. Cuando se enfrenta a dos representaciones de dosregistros distintos, ¿cómo se puede reconocer el mismo objeto representado dentro de susrespectivos contenidos? En otras palabras, ¿cómo puede un estudiante discriminar en cualquierrepresentación semiótica qué es matemáticamente relevante y qué no es matemáticamenterelevante? Este tema es particularmente obvio y crucial para todas las representaciones que seproducen dentro de registros multifuncionales. ¿Se plantea, también, para las representacionesque se producen dentro de registros monofuncionales? En cualquier caso, estos problemas dereconocimiento y discriminación son intrínsecos a la construcción de conexiones entre registros.

Esta paradoja cognitiva hace posible plantear la siguiente hipótesis (en términos matemáticos“conjetura”): la comprensión de las matemáticas asume la coordinación de al menos dos registrosde representación semiótica. Y ya uno se puede plantear una primera pregunta: ¿esa coordinaciónde registros llega naturalmente a alumnos y estudiantes en el contexto de la enseñanzamatemática?

3. LAS DOS FUENTES DE INCOMPRENSIÓN EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

Los dos tipos de transformación de representaciones semióticas son fuentes completamentediferentes de dificultades recurrentes en el aprendizaje de las matemáticas. No están en laprimera dificultad particular a este o aquel concepto matemático, sino más bien en dificultadesglobales que se pueden encontrar en todos los niveles de enseñanza y en cada dominio de lasmatemáticas. Durante casi 20 años, se han recogido datos empíricos acerca de las relacionesentre los procesos de pensamiento implicados en la actividad matemática y problemas decomprensión o incluso bloqueos de la mayoría de los educandos. Y cualquiera puede obtenerevidencia empírica sobre la condición de que el tratamiento y la conversión seanmetodológicamente separados en las tareas que se dan a los estudiantes, cosa que rara vez onunca, se hace en la mayoría de los estudios de investigación.

Nos limitaremos a dar algunos ejemplos para demostrar la profunda incomprensión de estosdos tipos de transformación en los diferentes niveles de enseñanza y en las diferentes áreas dela actividad matemática.

3.1. Una primera fuente de incomprensión: la complejidad y la especificidad de lostratamientos realizados en un registro multifuncional

Hay una gran fuente de malentendidos entre profesores y estudiantes, principalmente conrespecto a lo básico y complementario de los procesos de pensamiento, razonamiento yvisualización. A diferencia de los registros monofuncionales, los registros multifuncionalparecen comunes y directamente accesibles a cada estudiante. Pero eso es engañoso. Dehecho, la forma matemática de utilizar los registros multifuncionales se ejecuta contra lapráctica común, empezando con la práctica del lenguaje natural (Duval, 1995b, págs. 87 a136). Nos centraremos aquí, en vez de las cifras, en geometría explícitamente en la medidaen que recurren a la visualización y no sólo al conocimiento discursivo (propiedades,definiciones, teoremas). Recordando que una figura en geometría siempre está arraigada enel funcionamiento de dos registros. Y si queremos comprender su complejidad cognitiva,debemos analizar por separado la forma en la que los tratamientos se llevan a caborespectivamente en el registro discursivo y el registro visual, aunque se funden en el mismoproceso matemático. Cuando nos centramos en la visualización estamos enfrentao unafuerte discrepancia entre la manera común de ver las figuras, generalmente en una formaicónica, y la forma matemática que se espera para ser mirada. Hay muchas maneras de“ver” (Duval, 1995ª).¿ Cuál es la requerida por el uso heurístico de las figuras?Dimos anteriormente tres ejemplos extremadamente elementales del uso de figuras engeometría (Figura 2).En estos ejemplos, “ver” consistió en discernir en la figura original lastransformaciones que permiten la reconfiguración en la otra: el pasaje de la figura original ala que es el objetivo hace posible comprender una relación, una fórmula de cálculo, etc. Porlo tanto, suponiendo que el cálculo del área de un rectángulo es conocido, uno puede vercómo calcular el de un paralelogramo y de ahí el de un triángulo (Figura 7).

Figura 7. ¿Es la ilustración de la figura cognitivamente congruente a la transformación visual?

¿Qué constituye el hecho de “ver” la geometría? Aunque el discurso matemático exige mirar loselementos unidimensionales de la figura, la fuerza heurística de la figura exige que la atención seacentrada en los elementos bidimensionales. Este ejemplo es citado en todas partes como una

Figura ilustrativa de expresiones de propiedadesgeométricas que refieren a elementosunidimencionales de la figura (los lados y laperpendicular desde un vértice a la base)

Proceso visual subyascente de reconfiguración querequiere focalizar la atención sobre elementosbidimensionales.

Figura pretendida

Compare las áreas de los

manifestación de una actividad espontánea, que sería común a los estudiantes principiantes yconfirmados matemáticos. En realidad, los factores que aquí da la figura, su heurística su claridadexplicativa puede, en situaciones matemáticamente similares, impedir ver, como puede verificarseen el siguiente ejemplo (Fig. 8).

Figura 8. Primer paso de un tratamiento visual: subfiguras requeridas para ser discriminadas.

La solución de ciertos problemas requiere una comparación de algunas posibles subfigurasobtenidas por la reconfiguración y, por lo tanto, la habilidad de discernirlas rápidamente en lafigura original. Hay factores que, en algunos casos, facilitan el reconocimiento de lascorrespondientes subfiguras y los inhiben en otros (Duval, 1995ª, págs. 144, 149-150). Pero hayotra, posibilidad más interesante, situaciones que muestran la complejidad y la dificultad de lasfiguras: aquellos que impliquen un círculo y unas líneas rectas. Sobre este tema también tenemosobservaciones muy fiables, disponible en diferentes niveles de la enseñanza.

Al final de la escuela primaria, el problema presentado en la Figura 9 fue dado a todos losestudiantes que ingresan a la escuela media francesa y los datos resultados del problema en lafigura 9. Muy a menudo, el mismo tipo de problema se repitió en varios años consecutivos.

Figura 9. Evaluación nacional francesa (hombres, 1998, 1999).

En realidad, para encontrar la respuesta matemática, los estudiantes tenían que ver dentro de lafigura a las dos subfiguras B (véase la figura 10) y no a las dos subfiguras A.

Porque sólo en las dos subfiguras B es que uno ve los dos rayos en un lado y una parte del otrolado del rectángulo. Ahora es en las subfiguras A donde salta el ojo y por lo tanto tienden adescartar los subfiguras B!

Figura 10. Dos maneras de identificar subfiguras dentro de la cifra original.

¿Cómo uno “ve” la figura original en el enunciado que acompaña a la declaración del problema(Figura 9)? La mayoría de estudiantes no puede discriminar la organización visual (B).

La segunda encuesta se produjo cerca del final de la escuela intermedia. El siguiente problema fueplanteado (Figura 11).