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Razón: Llamaremos razón entre dos cantidades a y b a la comparación de ellas por división. Se lee “a es a b” a : b
Ej.: si Juan tiene 10 años y Pedro tiene 20 años, entonces la razón entre la edad de Juan y la edad de Pedro es:
La razón ½ indica que la edad de Juan es la mitad de Pedro.
2
1
20
10
20
10
años
años
P
J
Proporción: al simplificar la fracción 10/20 para obtener ½ nos encontramos con dos razones que tienen el mismo valor, es decir, estamos frente a una proporción.
Llamaremos proporción a la igualdad de dos razones.
Teorema fundamental de la proporción: en la proporción a : b = c : d, a y d se conocen como términos extremos y b y c son los términos medios.
cbda
Componer con respecto al antecedente:
Componer con respecto al consecuente:
6
106
3
53
10
6
5
3
10
106
5
53
10
6
5
3
Descomponer con respecto al antecedente:
Descomponer con respecto al consecuente:
Componer y descomponer a la vez:
10
106
5
53
10
6
5
3
6
106
3
53
10
6
5
3
106
106
53
53
10
6
5
3
Ej.: las edades de dos personas suman 80 años y están en la razón 7 : 9 ¿Cuáles son las edades?
Sean A y B las edades buscadas. Entonces A/B = (7/9) y A + B = 80. El dato de la suma nos sugiere componer la proporción dada. Luego:
y , donde
Por lo tanto: A = 80 – B = 80 – 45 = 35. Es decir, las edades buscadas son 45 y 35 años.
9
97
B
BA9
168080
BBA
4516
980
B
Un automóvil con velocidad constante recorre 60 km en una hora. La siguiente tabla muestra la variación de la distancia recorrida (Y, en km) para distintos tiempos (X, en horas).
Si escogemos dos valores de X y los valores correspondientes de Y se puede señalar que están en una proporción directa, es decir, las distancias recorridas son directamente proporcionales a los tiempos empleados en recorrerlas.
Y 60 120 180 240 300X 1 2 3 4 5
Un automóvil que tiene que recorrer una distancia de 360 km. Hagamos una tabla que muestre el tiempo X que se demora (en horas) de acuerdo con la rapidez Y que lleva (en km/hr).
Si tomamos dos valores cualquiera de la tabla de X: 4 y 8 y los respectivos valores de Y: 90 y 45 y formamos el producto de los valores correspondientes tendremos:
^
Y 120 90 72 60 45 40X 1 2 3 4 5 9
360904 360458
Entonces, dadas dos magnitudes X e Y, diremos que X es inversamente proporcional a Y o que X varía inversamente con Y, si y sólo si el producto entre un valor cualquiera de X y el correspondiente valor de y es constante.
kXYYX
Los ángulos interiores de un triángulo son entre sí como 2 : 3 : 4. Determine la medida de cada ángulo.Sean α, β y γ los ángulos interiores del triángulo ABC, entonces:
α : β : γ = 2 : 3 : 4, de donde:
α = 2k; β = 3k y γ = 4k, pero como α + β + γ = 180º
2k + 3k + 4k = 180º9k = 180ºK = 20º
Entonces, los ángulos buscados son:
α =β =γ =
º40º202 º60º203 º80º204
Si 18 obreros realizan un trabajo en 30 días, trabajando 8 horas diarias, ¿cuántos días tardan en hacer el mismo trabajo 15 obreros trabajando 9 horas diarias?
En primer lugar supondremos constante el número de horas H (jornada de 8 horas) y calcularemos cuántos días tardarían 15 obreros en realizar el trabajo.
N D H18 30 815 X 9
N D H18 30 815 X 8
Como N y D son inversamente proporcionales:
Luego usamos este valor para, suponiendo constante el valor de N (15), determinar cuántos días se tardarían este número de obreros en realizar el trabajo si trabajan en jornadas de 9 horas diarias.
3615
3018
3015
18
X
X
N D H15 36 815 X 9
Como D y H son inversamente proporcionales:
Es decir, tardan 32 días en realizar el mismo trabajo.
329
836
8
936
X
X
Un porcentaje es una fracción con denominador constante igual a 100.
El a% de b es:
100100
bab
a
Ej.: ¿cuánto es el 5% de 30?
5,1100
150
100
30530
100
5
El álgebra es la parte de la matemática que trata del cálculo con símbolos literales y con operaciones abstractas que generalizan las cuatro operaciones fundamentales.
Productos notables: Cuadrado del binomio:
Suma por su diferencia:
222222 2)(2)( babababababa
22))(( bababa
Producto de binomios con un término repetido:
Cubo del binomio:
Cuadrado de un trinomio:
Productos que desembocan en suma de cubos perfectos:
abxbaxbxax )())(( 2
3223332233 33)(33)( babbaabababbaaba
acbcabcbacba 222)( 2222
33223322 ))(())(( babababababababa
base
exponente
Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.
En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces.
Cuando tenemos un exponente negativo hay que INVERTIR LA BASE para pasar a exponente positivo: a –n = 1 / an
43 = 4 * 4 * 4 y
45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4, luego
43* 45 = (4 * 4 * 4) * (4 * 4 * 4 * 4 * 4) = 48 = 43+5
Propiedades: el producto de dos potenciasel producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores : am * an = am+n
(45 ) 3 = 45 * 45 * 45 = 45 + 5 + 5 = 4 5 * 3
Una potencia elevada a un número es igual a otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual al producto del exponente de la potencia por el número al que se eleva (Potencia de potencia(Potencia de potencia):
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores: (a*b)m = am * bm
(2*3)3 = (2*3) * (2*3) * (2*3) = (2*2*2) * (3*3*3) = 23 * 33
La potencia de un cociente es igual al cociente entre la potencia del dividendo y la del divisor : (a/b) m = am / bm (Se resuelve en forma similar al anterior).
(am)n = a m* n
45 : 43 = (4 * 4 * 4 * 4 * 4) : (4 * 4 * 4) = 42 = 45-3
El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el del divisor.
am : an = am-n
Potencia de exponente cero, indica que todo número elevado al exponente cero es igual a la unidad: a0 = 1
Radicación: la radicación es la operación inversa de la potenciación, se representa con el símbolo
Toda la expresión que se ubica dentro del símbolo de raíz es llamada cantidad subradical o radicando, y el número que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado el índice.
Cuando el índice es 2, por lo general éste se omite
radicando
índice3 2
33
3= 3 3 3 3.3.3
33== ==
33
Para elevar una raíz a cualquier potencia, es la raíz del radicando elevada a dicha potencia, (es lo mismo hacer primero la raíz y luego elevar a la potencia, que primero elevar a la potencia y luego hacer la raíz.)
Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos
3 5* = 3*5 = 15
Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos.
12
2= 12/2 = 6
Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos:
32 = 323 3 * 2
Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical, el numerador del exponente fraccionario es el exponente del radicando y el denominador del exponente fraccionario es el índice de la raíz.
12 =3
121 / 3