rc és rl tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon béta...
TRANSCRIPT
3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok,bekapcsolási jelenségek
(még nagyon Béta-verzió)
Zoli
2009. október 28.
1
Tartalomjegyzék1. Frekvenciafüggo elemek, kondenzátorok és tekercsek: 4
1.1. Kondenzátorok: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Tekercsek: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Nem ideális eszközök: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Négypólusok: 62.1. Négypólusok általában: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Soros kapcsolások: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1. Soros RC feszültséggenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.2. Soros RL feszültséggenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3. Soros RC áramgenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.4. Soros RL áramgenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Párhuzamos kapcsolások: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1. Párhuzamos RC feszültséggenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2. Párhuzamos RL feszültséggenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.3. Párhuzamos RC áramgenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.4. Párhuzamos RL áramgenerátorral: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2
A jegyzetrol:
Jelen jegyzet a harmadik konzultációm anyagát tartalmazza, egyelore sajnos még kissé hiányos, de ami ki van dol-gozva, az korrektül végig van számolva.A jegyzet tartalmaz olyan levezetéseket, amelyek ismerete nem szükséges a ZH-khoz. Az órákon és ZH-konáltalában csak speciális esetekkel foglalkozunk és a megoldások ismerete boven elég. A levezetések konkrétandifferenciálegyenlet-megoldások. A differenciálegyenletek megoldásának készsége nélkülözhetetlen az egyetemen,ezért gondoltam nem árt, ha a jegyzetem ezeket alapból tartalmazza, lehetoleg korrekt végigszámításokkal.A második félévben lévo Differenciálegyenletek (vagy hasonló) címu tárgy kapcsán elo szoktak fordulniRC, illetveRL áramkörök muködésének leírása differenciálegyenletek segítségével, ebben sokat segíthet ez a jegyzet.
A jegyzet szabadon hozzáférheto a honlapomon, saját felelosségre letöltheto és használható, az egyetlenkérésem, hogy senki ne terjessze! Továbbá, hogy tanárok nem tudhatnak róla!
A jegyzet esetlegesen hibákat tartalmazhat, ha netán valaki találna, akkor kérem jelezze azt e-mailben!
Késobbi verziók várható módosításai, bovitései: a kondenzátorok feszültséggel való töltése külön fejezetbe kerül,továbbá bovül majd periodikus jelek vizsgálatával, állandósult jelalak kiszámításával és egyenáramú leválasztással.Továbbá várható függelékek: határozott integrálok számítása és differenciálegyenletek megoldása (persze szorít-kozva a jelen esetben szükséges esetekre).
3
1. Frekvenciafüggo elemek, kondenzátorok és tekercsek:
1.1. Kondenzátorok:A kondenzátor egy töltéstárolásra alkalmas eszköz. Fo jellemzo paramétere a kapacitás, mely definíció szerint aztmondja meg, hogy egy kondenzátor hány Coulomb töltést tud tárolni 1 Volt feszültség mellett:
C =Q
U[C] = F F : Farad
Egy kondenzátor általános felépítése: van két vezeto réteg (ezeket fegyverzeteknek nevezzük), melyeket valamilyenszigetelo választ el (vákuum, levego, vagy valamilyen dielektrikum). A kapacitás pontos értéke az adott geometriaielrendezéstol függ, így általánosan csupán annyi mondható, hogy a fegyverzetek felületével egyenes, távolságukkalfordítottan arányos a kapacitás1.
Például síkkondenzátor esetén:
Csik =Q
U=A · ε · EE · d
= εA
d
Ahol A a síkkondenzátor egyik fegyverzetének felülete, d a fegyverzetek távolsága, ε pedig a két fegyverzet köztianyag dielektromos állandója.
Most vizsgáljuk olyan tekintetben a kondenzátort, hogy mi történik, ha valamilyen áramot kapcsolunk rá. Ekkor azáramgenerátor által kiadott töltések mind a kondenzátor fegyverzetein halmozódnak fel. Hogyan is kell ezt precízenmegfogalmazni? A kondenzátor összegyüjti az idoben érkezo töltéseket, vagyis nem csinál mást, mint az áramotido szerint integrálja:
Q(t) =∫ t
t0
I(t′)dt′ +Q0 (1)
Ahol Q0 a kondenzátoron a t = 0 idopillanatban lévo töltés (egy konstans paraméter). A kapacitás definíciójaalapján ebbol megkapható a kondenzátor idofüggo feszültsége:
U(t) =Q(t)C
=1C
∫ t
t0
I(t′)dt′ +Q0
C=
1C
∫ t
t0
I(t′)dt′ + U0 (2)
Ahogy fent is jelölve van, a kezdeti Q0 töltés egy Q0C = U0 kezdeti feszültséget okoz a kondenzátorban.
De mi van abban az esetben, ha nem áramot, hanem feszültséget kapcsolunk a kondenzátorra? Ebben az esetben azáram idofüggése a kérdéses, így az ide vonatkozó összefüggést a (2) egyenlet ido szerinti deriválásával kaphatjukmeg:
U(t) =1C
∫ t
t0
I(t′)dt′ +Q0
C
/d
dt(3)
dU(t)dt
=1CI(t) +
d
dt
Q0
C︸ ︷︷ ︸=0
/·C (4)
I(t) = C · dU(t)dt
(5)
Összefoglalva a számunkra szükséges összefüggések:
U(t) =1C
∫ t
t0
I(t′)dt′ +Q0
CI(t) = C · dU(t)
dt(6)
1A pontos számításokhoz a Gauss-törvényt kell alkalmazni (ez egyben az I. Maxwell egyenlet):∮
A~E(~r)d~f = Q
ε0. Továbbá a potenciált is
az U =∫~E(~r)dr integrállal kell kiszámítani.
4
Eredo kapacitás: ugyan úgy, ahogy az ellenállásokat, a kondenzátorokat is lehet sorosan, illetve párhuzamosankapcsolni és ezeknek is van egy eredo kapacitása.
Soros kapcsolás esetén:Ce = C1 × C2 × . . .× Cn (7)
Szemléletesen úgy is lehet tekinteni, mintha az egymás utáni kondenzátorok fegyverzetei közti szigetelorétegekvastagságai összeadódnának (no a d, csökken a kapacitás).
Párhuzamos kapcsolás esetén:
Ce =n∑
k=1
Ck (8)
Szemléletesen: mintha a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok felületei összeadódnának.
1.2. Tekercsek:Egy tekercs jellemzo paramétere az induktivitás. Hasonlóan, mint a kondenzátor esetében, itt is a konkrét ge-ometriától függ, hogy ez a paraméter mekkora. Általánosan annyi mondható, hogy minél nagyobb az n menetszám(változatlan N tekercshosszúság mellett), és nagyobb a felület, annál nagyobb az induktivitás.
Egy egyszeru henger alakú tekercs esetében:
L =µ ·N2 ·A
l[L] = H H : Henry
Ahol A a henger alapjának felülete, l a tekercs hossza, N a menetszáma, µ a tekercs belsejét kitölto anyag perme-abilitása.
Ha valamilyen áramot kapcsolunk a tekercsre, akkor az indukciós törvény alapján:
U(t) = L · dI(t)dt
(9)
Ebbol integrálással kapható meg az az eset, amikor a feszültség adott, és az áram ismeretlen:
U(t) = L · dI(t)dt
/∫ t
t0
dt (10)∫ t
t0
U(t′)dt′ + L · I0 = L · I(t) /: L (11)
I(t) =1L·∫ t
t0
U(t′)dt′ + I0 (12)
Ahol I0 egy integrációs konstans, jelentése: a t = 0 idopillanatban a folyó áram2. A számunkra lényeges két foösszefüggés tehát:
U(t) = L · dI(t)dt
I(t) =1L·∫ t
t0
U(t′)dt′ + I0 (13)
Eredo induktivitás: a rizsa hasonló, mint a kondiknál.
Soros kapcsolás esetén:
Le =n∑
k=1
Lk (14)
Párhuzamos kapcsolás esetén:Le = L1 × L2 × . . .× Ln (15)
2Ez a jelentés rögtön meg is kapható, ha az I(t) = 1L·∫ t
t0U(t′)dt′ + I0 egyenletbe behelyettesítjük a t0 = t = 0 kezdeti paramétereket,
ekkor az integrál értéke 0, és marad az, hogy I(t = 0) = I0.
5
1.3. Nem ideális eszközök:Természetesen (ahogy forrásoknál és muszereknél is megbeszéltük már), ideális tekercsek és kondenzátorok sin-csenek. Sot, ami azt illeti, sok esetben messze nem tekinthetoek az egyes eszközök pusztán tekercsnek, vagykondenzátornak (vagy akár ellenállásnak).
Tekercs esetében: ha nagy induktivitású tekercset akarunk készíteni, akkor minél nagyobb menetszámot kell fel-tekercselnünk minél kisebb helyre. Ez így hosszú és vékony vezetékkel érheto el, ami egyértelmuen nagy ellenállástjelent. Emellett az egymás mellett lévo huzalok kondenzátornak is felfoghatóak, így részben ellenállások, és kon-denzátorok is. De azt hozzá kell tenni, hogy az idealizált esettol való eltérések nem mindíg mutatkoznak meglátványosan.
Kapacitások esetében: kapacitásoknál a lényeg a minél nagyobb felölet, és minél közelebbi vezeto rétegek. Ah-hoz, hogy ezek használhatóak legyenek, minél vékonyabb anyagokat kell minél kisebb helyre összepréselni. Avékony vezetorétegek ellenállása szintén lehet nagy (bár messze nem olyan nagy, mint a hosszú vékony vezetékeké),továbbá a feltekert vezetorétegek valamelyest tekercsként is felfoghatóak, így a kapacitás mellett is jelen lehet mindaz ohm-os ellenállás, mind az induktivitás.
Általában nagyon nehéz jó tekercseket készíteni, kondenzátorokból jobbak vannak, ezért ha egy áramkör meg-valósítható tekercses kapcsolások helyett kondenzátorokkal is, akkor inkább a kondenzátorosat választják.
2. Négypólusok:
2.1. Négypólusok általában:Általában négypólusnak nevezünk egy olyan "dobozt", aminek van két bemenetipontja, és két kimeneti pontja.Elofordulhat, hogy egy négypólus belso felépítése ismeretlen. Ekkor, ha meg szeret-nénk tudni, hogy mit is rejt a doboz, akkor valahogy meg kell vizsgálnunk (lehetolegnem kalapáccsal ;) ). A vizsgálatnak többféle módja is lehet. Az egyik mód, hogykülönbözo idofüggésu feszültség és áramjeleket adunk be az egyik oldalon, és meg-nézzük, hogy miként alakul a "túlvég".
Ennek egy speciális esete, ha különbözo frekvenciájú szinuszos jeleket adunk be az egyik oldalon, majd meg-figyeljük, hogy a kimenet amplitúdója és fázisa hogyan viszonyul a bemenethez képest. Ez utóbbi vizsgálatrakésobb térünk vissza. A következokben megnézzük, hogy különbözo idofüggo jelekre hogyan reagálnak a soros éspárhuzamos RC és RL kapcsolások.Most eloször megnézzük, hogy az egyes kapcsolások hogyan reagálnak tetszoleges idofüggésu áramokra és feszült-ségekre. Ezek egy részét "Bekapcsolási jelenségeknek3" is szokás nevezni.Külön kell választanunk az RL és RC kapcsolásokat soros-párhuzamos esetekre, valamint ezeken belül is mégáramgenerátor és feszültséggenerátor esetére is.
2.2. Soros kapcsolások:2.2.1. Soros RC feszültséggenerátorral:
Általánosan:
Ekkor az idofüggo feszülség tekintheto "adottnak", és ennek megfeleloen alakul majd az áram.Továbbá a huroktörvény itt is teljesül: egy adott pillanatban a kondenzátoron és az ellenáson esofeszültségek összege megegyezik a generátor feszültségéve. Induljunk ki ebbol:
Ug(t) = UR(t) + UC(t) (16)
Ug(t) = R · I(t) +1C
∫ t
t0
I(t′)dt′ +Q0
C(17)
3A bekapcsolási jelenségek konkrétan azt takarják, hogy ha rákapcsolunk egy feszültséget, vagy áramot egy kapcsolásra, akkor abbankülönbözo jelalakok fordulnak elo. Például ha felkattintunk egy kapcsolót, akkor durva közelítéssel az történik, hogy t = 0 ido alatt 0V -rólegy bizonyos feszültségre ugrik fel a potenciál, ekkor nem árt, ha tudjuk, hogy mi törtnik bekapcsoláskor az áramkörben. De ugyanakkor az iselofordulhat, hogy mondjuk lineárisan növeljük az áramot, és így állítjuk be a kívánt értéket (lehet, hogy pont bizonyos bekapcsolási jelenségekkivédése érdekében).
6
Ez így egy integrálegyenlet I(t)-re. Az integrálegyenleteket "nem szeretjük", a differenciálegyenleteket sokkalinkább, ezért inkább deriváljuk le az integrálegyenletet, és oldjuk meg a kapott differenciálegyenletet!
Ug(t) = R · I(t) +1C
∫ t
t0
I(t′)dt′ +Q0
C
/d
dt(18)
dUg(t)dt
= R · dI(t)dt
+1C· I(t) /: R (19)
dI(t)dt
+1RC· I(t) =
1R· dUg(t)
dt(20)
Ez így egy inhomogén differenciálegyenlet az I(t) áramra. Az ilyen differenciálegyenletek általános megoldásaúgy kapható meg, ha összeadjuk a homogén eset általános megoldását és az inhomogén egyenlet egy partikulárismegoldását:
I(t) = Ih(t) + Ip(t) (21)
A homogén eset az (20) egyenlet esetéban az, amikor a differenciálegyenlet jobb oldala 0. A homogén egyenletbolkapott megoldás alapján írjuk fel eloször a partikuláris megoldást. Tehát vizsgáljuk eloször a homogén esetet:
dIh(t)dt
+1RC· Ih(t) = 0 (22)
dIh(t)dt
= − 1RC· Ih(t) (23)∫
1Ih(t)
dIh(t) + ln1A
= − 1RC
∫dt (24)
ln Ih(t) + ln1A
= − t
RC(25)
lnIh(t)A
= − t
RC(26)
Ih(t)A
= e−tRC (27)
Ih(t) = A · e− tRC (28)
Szokásos jelölés az RC = τ , ahol τ egy ido dimenziójú mennyiség, karakterisztikus idonek, vagy idoállandónak isszokás nevezni, egy adott RC kapcsolásra jellemzo érték. A homogén egyenlet megoldása így:
Ih(t) = A · e− tτ (29)
Az egyenletekben A egy integrációs konstans, melynek jelentését akkor kapjuk meg, ha a megoldást illesztjükt = 0-ban a kezdeti feltételekhez. Vagyis:
Ih(t = 0) = A · e− 0τ︸︷︷︸
=1
= A := I0 (30)
Vagyis A az az áram, amely az áramkörben t = 0 idopillanatban folyik. Ezt a megoldást késobb még részletezzüka lépcsofüggvényes speciális esetnél.
Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását hasonló alakúnak feltételezzük, mint a (29) homogén megoldást. Akülönbség az, hogy ebben az esetben az A integrációs konstansnál feltételezzük, hogy van valamilyen idofüggése.Tehát a partikuláris megoldás alakja:
Ip(t) = A(t) · e− tτ (31)
Ekkor persze A(t) egy ismeretlen függvény. Ahhoz, hogy megkapjuk az A(t) függvényt, és ezáltal a teljes par-tikuláris megoldást, a partikuláris megoldás feltételezett (31) alakját be kell helyettesítenünk az (20) inhomogéndifferenciálegyenletbe:
dIp(t)dt
+1τ· Ip(t) =
1R· dUg(t)
dt(32)
d
dt
(A(t) · e− t
τ
)+
1τ·A(t) · e− t
τ =1R· dUg(t)
dt(33)
dA(t)dt· e− t
τ +A(t) ·(−1τ
)· e− t
τ +1τ·A(t) · e− t
τ =1R· dUg(t)
dt(34)
7
dA(t)dt· e− t
τ =1R· dUg(t)
dt
/·e tτ (35)
dA(t)dt
=1R· dUg(t)
dtetτ (36)
A(t) =1R
∫dUg(t)dt
etτ dt (37)
Így a partikuláris megoldás:
Ip(t) =1R
(∫dUg(t)dt
etτ dt)· e− t
τ (38)
És az inhomogán egyenlet általános megoldása:
I(t) = I0 · e−tτ +
1R
(∫dUg(t)dt
etτ dt)· e− t
τ (39)
Az integrál természetesen nem számítható ki a konkrét feszültségfüggvény ismrete nélkül.
Egy speciális megoldás: lépcsofüggvény esetében
Vegyük azt az esetet, amikor t = 0-ban rákapcsolunk egy konstans feszültséget a kapcsolásra. Ekkor Ug(t)-tlépcsofüggvénynek is szokás nevezni, matematikai megfogalmazásban4:
Ug(t) ={
0 ha t < 0sU ha t ≥ 0s
1. ábra. U(t) lépcsofüggvény
Továbbá a kondenzátoron kezdetben ne legyen semennyi töltés (Q0 = 0). Számunkra csupán a t = 0 utániidoszak érdekes. Ebben a tartományban a feszültésg idoben állandó, vagyis deriváltja zérus. Ez nem más, mint adifferenciálegyenletünk homogén esete:
dI(t)dt
+1RC· I(t) =
1R· dUg(t)
dt=
1R· dUdt︸︷︷︸=0
(40)
dI(t)dt
+1RC· I(t) = 0 (41)
Ennek megoldását ismerjük:I(t) = A · e− t
τ (42)
4A lépcsofüggvényt szokás Heavyside-függvénynek is nevezni, különbözo függvények és függvénysorozatok limeseként is szokás felírni,most mi egy egyszerubb megfogalmazásnál maradunk.
8
Ahhoz, hogy megkapjuk az A paraméter értékét (azt már tudjuk, hogy kezdeti áram lesz, de hogy mégis mikhatározzák meg, azt még csak sejthetjük), vissza kell helyettesítenünk az EREDETI egyenletbe, NEM A DIFFER-ENCIÁLEGYENLETBE!!!5 Azt kell csinálni, hogy az eredeti integrálegyenletbe (17) kell visszaírni a megoldást,mégpedig úgy, hogy az integrál t0 = 0-tól t-ig tart:
U = R · I(t) +1C
∫ t
t0
I(t′)dt′ (46)
U = R ·A · e− tτ +
1C
∫ t
t0
A · e− t′τ dt′ (47)
U = R ·A · e− tτ +
A
C
[−τ · e− t
′τ
]t′=t
t′=t0=0(48)
U = R ·A · e− tτ +
A
C
[(− τ · e− t
τ
)−(− τ · e− 0
τ︸︷︷︸=1
)](49)
U = R ·A · e− tτ +
A
C
[(− τ · e− t
τ
)+ τ]
(50)
U = R ·A · e− tτ +
A
C· τ(
1− e− tτ
)(51)
U = R ·A · e− tτ +
A
C·RC
(1− e− t
τ
)(52)
U = R ·A · e− tτ +R ·A
(1− e− t
τ
)(53)
U = R ·A · e− tτ +R ·A−R ·A · e− t
τ (54)U = R ·A (55)
A =U
R:= I (56)
Ha belegondolunk, akkor ez egy tökéletesen ésszeru megoldás, ugyanis abban a pillanatban, mikor bekapcsoljuka feszültséget, a kondenzátor még semmilyen ellenállást nem tanusít. Egyedül az Ohm-os ellenállás korlátozza azelektronok áramlását, vagyis az Ohm-törvénynek megfelelo áram folyik, ami megegyezik a mostani I-vel. Tehát azáram:
I(t) =U
R· e− t
τ = I · e− tτ (57)
2. ábra. Az áramkörben folyó I(t) áram, fépcsos generátorfeszültség esetén
5Ha nem az eredeti egyenletbe helyettesítünk vissza, akkor nem kapjuk meg az A paraméter értékét:
dI(t)
dt+
1
RC· I(t) = 0 (43)
A ·(−
1
τ
)· e−
tτ +
1
τA · e−
tτ = 0 (44)
0 = 0 (45)
9
Ennek megfeleloen az ellenálláson eso feszültséget rögtön kiszámolhatjuk:
UR(t) = R · I(t) = R · UR· e− t
τ = U · e− tτ (58)
3. ábra. Az ellenálláson eso UR(t) feszültség lépcsos generátorfeszültség esetén
És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a kondenzátor feszültsége:
UC(t) = Ug(t)− UR(t) = U − U · e− tτ = U ·
(1− e− t
τ
)(59)
4. ábra. Az kondenzátoron eso UC(t) feszültség lépcsos generátorfeszültség esetén (kondenzátor töltodése)
Az eredmények összefoglalva:
I(t) =U
R· e− t
τ UR(t) = U · e− tτ UC(t) = U ·
(1− e− t
τ
)(60)
Megjegyzés: jogosan merülhet fel az a kérdés, hogy miért van az, hogy a homogén megoldást az integrálegyenletbehelyettesítettük vissza, hogy megkapjuk az A paramétert, míg a partikuláris megoldás esetében az inhomogén dif-ferenciálegyenletbe. Azért az integrálegyenletbe helyettesítettünk vissza a homogén esetben, mert a deriválássalelveszítjük a konstanst, amibol az A paramétert megkapjhatjuk. Nem veszítünk el akkor semmit, ha a partikulárismegoldást nem oda írjuk vissza? Nem! Mivel csak olyan információt veszítünk el a deriválással, ami a homogénesethez tartozik, vagyis a partikuláris megoldásnak nem része, mivel az csak olyan megoldásokat tartalmaz, melyekesetében a jobb oldal nem nulla, vagyis konstanstól különbözik.
10
A kondenzátorok töltodése:
Most kicsit részletezzük a kondenzátorok töltodését, valamint megbeszéljük a hasonló jellegu görbék pár jellemvo-nását.
A korábbi képletek alapján kiszámítható, hogy tetszoleges ido elteltével mekkora lesz egy kondenzátor feszültsége(és mivel az ellenálláson lévo feszültség U − UC(t), ez is hasonlóan egyszeruséggel számítható).
Elofotdul, hogy nem az ido adott, hanem azt kell meghatározni, hogy mennyi ido alatt töltodik fel egy kondenzátorvalamekkora feszültségre. Ekkor (117) alapján:
UC(t) = U ·(
1− e− tτ
)(61)
UC(t)U
= 1− e− tτ (62)
e−tτ = 1− UC(t)
U(63)
− tτ
= ln(
1− UC(t)U
)(64)
t = −τ · ln(
1− UC(t)U
)(65)
A kondenzátor töltodési idejének azt az idot nevezzük, amennyi ido alatt a kondenzátor 0.1 · U -ról 0.9 · U -igfeltöltodik, mint ahogy a 5. ábrán is látható. Legyen t1 az az idotartam, ameddig a kondenzátor 0.1 ·U -ig feltölt, t2pedig az az ido, amíg 0.9 · U -ra feltolt, ekkor ttolt = t2 − t1. Ez az elozo összefüggés alapján:
ttolt = t2 − t1 = −τ · ln(
1− UC(t2)U
)+ τ · ln
(1− UC(t1)
U
)=
= −τ ln(
1− 0.9 · UU
)+ τ ln
(1− 0.1 · U
U
)= −τ · ln(1− 0.9) + τ · ln(1− 0.1) =
= −τ · ln(0.1) + τ · ln(0.9) = τ · (ln(0.9)− ln(0.1)) = τ · ln(
0.90.1
)=
= τ · ln(9) = 2.19722 · τ ' 2.2 · τ
5. ábra. A kondenzátor töltési ideje
Tehát a töltodési ido:ttolt ' 2.2 · τ (66)
A töltodési ido egy eléggé önkényes definíció, semmi komoly fizikai alapja nincs. Az 5. ábrán egyértelmuen látható,hogy messze sem mondható, hogy ennyi ido alatt feltölt a kondenzátor. Talán a legtöbben azt mondanánk, hogyúgy kb. 5− 6 τ ido az, amíg 0-ról közel a maximumig tölt. De ez épp ugyan olyan onkényes definíció volna, minta 2.2 · τ -s definíció. . .
11
2.2.2. Soros RL feszültséggenerátorral:
Általánosan:
Most is abból indulunk ki, hogy a feszültségek összeadódnak:
Ug(t) = UR(t) + UL(t) (67)
Ug(t) = R · I(t) + L · dI(t)dt
(68)
Szuper! Ugyanis rögtön egy differenciálegyenlet adódott. Ráadásul hasonló alakú, mint az imént.Az egyetlen dolgunk, hogy leosszunk az induktivitással, és máris beazonosíthatjuk a megoldásokat.
dI(t)dt
+R
LI(t) =
Ug(t)L
(69)
Tehát ismét inhomogén a differenciálegyenletünk, a megoldás hasonló képen keresendo, mint az elobb:
I(t) = Ih(t) + Ip(t) (70)
A homogén esetet vizsgálva:dIh(t)dt
+R
LIh(t) = 0 (71)
Ez ugyan az a differenciálegyenlet, mint az RC esetében, az egyetlen különbség, hogy most τ = LR . Tehát a
homogén eset általános megoldása (29)-hez hasonlóan:
Ih(t) = A · e− tτ (72)
Ez alapján az inhomogén eset partikuláris megoldásának feltételezett alakja:
Ip(t) = A(t) · e− tτ (73)
Visszahelyettesítve az eredeti differenciálegyenletbe:
dIp(t)dt
+1τIp(t) =
Ug(t)L
(74)
dA(t)dt· e− t
τ +A(t) ·(−1τ
)· e− t
τ +1τ·A(t) · e− t
τ =Ug(t)L
(75)
dA(t)dt· e− t
τ =Ug(t)L
(76)
dA(t)dt
=Ug(t)L· e tτ (77)
A(t) =1L
∫Ug(t′) · e t
′τ dt′ (78)
Tehát az általános megoldás:
I(t) = A · e− tτ +
(1L
∫Ug(t′) · e t
′τ dt′
)· e− t
τ (79)
Egy speciális megoldás: lépcsofüggvény esete
Most is vizsgáljuk meg azt a speciális esetet, amikor ugrásfüggvény érkezik a kapcsolásra.
Ug(t) ={
0 ha t < 0sU ha t ≥ 0s
Tehát t = 0 után Ug(t) = U . Ekkor a differenciálegyenlet:
dI(t)dt
+R
LI(t) =
U
L(80)
12
6. ábra. Az U(t) lépcsos generátorfeszültség
Nézzük meg az inhomogén esetet:
A(t) =1L
∫ t
0
Ug(t′) · e t′τ dt′ =
1L
∫ t
0
U · e t′τ dt′ =
U
L
∫ t
0
et′τ dt′ =
U
L
[τ · e t
′τ
]t′=t
t′=0= (81)
= τU
L
[etτ − e
0τ︸︷︷︸
=1
]=L
R· UL
(etτ − 1
)=U
R
(etτ − 1
)(82)
Így a partikuláris megoldás:
Ip(t) = A(t) · e− tτ =
U
R
(etτ − 1
)· e− t
τ =U
R
(1− e− t
τ
)(83)
Ekkor az inhomogén egyenlet általános megoldása:
I(t) = Ih(t) + Ip(t) = A · e− tτ +
U
R
(1− e− t
τ
)(84)
Az A paraméter jelentsének megértéséhez helyettesítsük be a t = 0 idopontot
I(t = 0) = A · e− 0τ︸︷︷︸
=1
+U
R
(1− e− 0
τ︸︷︷︸=1
)= A+
U
R(1− 1)︸ ︷︷ ︸
=0
= A (85)
Tehát A nem más most sem, mint egy I kezdeti áram az áramkörben6. Jelen esetben nincs ilyen, de ha volna, akkoraz exponenciálisan lecsengene, elhalna. Így a mostani áram:
I(t) =U
R
(1− e− t
τ
)(86)
7. ábra. Az áramkörben folyó I(t) áram lépcsos generátorfeszültség esetén
Ennek megfeleloen az ellenálláson eso feszültséget rögtön kiszámolhatjuk:
UR(t) = R · I(t) = R · UR
(1− e− t
τ
)= U ·
(1− e− t
τ
)(87)
13
8. ábra. Az ellenálláson eso UR(t) feszültség lépcsos generátorfeszültség esetén
És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a tekercs feszültsége:
UL(t) = Ug(t)− UR(t) = U − U(
1− e− tτ
)= U · e− t
τ (88)
9. ábra. Az induktivitáson eso UL(t) feszültség lépcsos generátorfeszültség esetén
Az eredmények összefoglalva:
I(t) =U
R·(
1− e− tτ
)UR(t) = U ·
(1− e− t
τ
)UL(t) = U · e− t
τ (89)
2.2.3. Soros RC áramgenerátorral:
Ez egy nagyon jó kis eset, mert ekkor nincs sok számolni valónk.
Soros kapcsolás lévén az összes elemen folyó áram ugyan az kell legyen, és most pont a generátormondja meg, hogy mi legyen ez az áram:
Ig(t) = IR(t) = IC(t) (90)
Ekkor az ellenállás feszültsége "leköveti" a generátor áramát:
UR(t) = R · Ig(t) (91)
A kondenzátor meg a korábban megbeszélteknek megfeleloen integrál:
UC(t) =1C
∫ t
t0
Ig(t′)dt′ + U0 (92)
6Ezt úgy kéne elképzelni, hogy kezdtben direkt folyatunk egy áramot (már jó sok ideje), mondjuk áramgenerátorral tápláljuk, majd t = 0idopillanatban rövidre zárjuk az áramgenerátor helyét. Ekkor az indukció miatt a tekercs még egy ideig folyatja az áramot, de az Ohm-osellenállás okozta veszteségek miatt leáll az áramlás.
14
2.2.4. Soros RL áramgenerátorral:
Ez is egy kedvelt eset hasonló okokból. Az áramok:
Ig(t) = IR(t) = IL(t) (93)
Ekkor az ellenállás feszültsége "leköveti" a generátor áramát:
UR(t) = R · Ig(t) (94)
A tekercs pedig "derivál":
UL(t) = L · dIg(t)dt
(95)
2.3. Párhuzamos kapcsolások:2.3.1. Párhuzamos RC feszültséggenerátorral:
Párhuzamos kapcsolás esetén a feszültségek megegyeznek. Mivel pont feszültséggenerá-tor van az áramkörre kapcsolva, ezért a generátor mondja meg azt. Így ismét egy egyszeruesettel állunk szemben:
Ug(t) = UR(t) = UC(t) (96)
Az ellenálláson folyó áram "leköveti" a feszültséggenerátor jelét:
IR(t) =Ug(t)R
(97)
A kondenzátor pedig "derivál":
IC(t) = C · dUg(t)dt
(98)
2.3.2. Párhuzamos RL feszültséggenerátorral:
Ez a másik könnyu eset párhuzamos kapcsolás esetén. A feszültségek itt is megegyeznek,tehát:
Ug(t) = UR(t) = UL(t) (99)
Az ellenállás hasonló, mint az elobb:
IR(t) =Ug(t)R
(100)
A tekercs viszont integrál:
IL(t) =1L
∫ t
t0
Ug(t′)dt′ + I0 (101)
2.3.3. Párhuzamos RC áramgenerátorral:
Általánosan:Na ez már nem olyan egyszeru, mint az elozo pár eset. Induljunk ki abból, hogy áramgen-erátor által leadott áram megoszlik a két alkatrész között, vagyis:
Ig(t) = IR(t) + IC(t) (102)
Írjuk be az egyes értékek számítási módjait:
Ig(t) =U(t)R
+ C · dU(t)dt
(103)
Ezen egyenletekben az U(t) nem más, mint a két elemen ugyan abban a pillanatban eso feszültség. Erre a feszültsé-gre kaptunk tehát egy differenciálegyenletet, ami pont olyan, mint a soros kapcsolás esetében azRL kapcsolásé volt,
15
a különbség az, hogy itt L helyett C van, R helyett 1R , valamint az áramok és feszültségek szerepe felcserélodött.
Írjuk fel a differenciálegyenletet hasonló alakban, mint a korábbi esetnél:
dU(t)dt
+1RC· U(t) =
1C· Ig(t) (104)
A megoldás számításának módja ugyan az, mint korábban. Az általános megoldás:
U(t) = U0 · e−tτ +
(1C
∫Ig(t′) · e t
′τ dt′
)· e− t
τ (105)
Természetesen most τ = LR . U0 jelentése: ha kezdetben van valamekkora töltés a kondenzátoron, akkor ez egy
bizonyos potenciálkülönbséget okoz. Ekkor elindul egy áram az ellenálláson keresztül a kondenzátor másik fe-gyverzete felé, a töltéskiegyenlítodés érdekében. Ha nem lenne ellenállás, akkor 0 ido alatt végbemenne a kiegyen-lítodés, de mivel van, így csupán exponenciálisan csökken.
Speciális eset: ugrásfüggvény
Ig(t) ={
0 ha t < 0sI ha t ≥ 0s
Ebben az esetben a feszültség:
U(t) = I ·R(
1− e− tτ
)(106)
Ennek alapján az ellenálláson folyó áram:
IR(t) =U(t)R
=1R· I ·R
(1− e− t
τ
)= I
(1− e− t
τ
)(107)
A kondenzátor árama pedig:
IC(t) = Ig(t)− IR(t) = I − I(
1− e− tτ
)= I · e− t
τ (108)
Összefoglalva:
U(t) = I ·R(
1− e− tτ
)IR(t) = I
(1− e− t
τ
)IC(t) = I · e− t
τ (109)
Gondoljunk bele, hogy mit is jelentenek az eredmények: kezdetben a kondenzátor nem jelent semekkora ellenállást,ezért nagy áram folyik. Ahogy kezd feltöltodni, a potenciálkülönbség egyre nagyobb lesz, és elkezdi akadályozniaz áramlást. A töltodésbol származó potenciál jelenik meg az ellenálláson, és az ennek megfelelo áram folyik azon.A kondenzátor akkora feszültségre tölt fel, mint ami akkor esne a kapcsoláson, ha az ellenálláson folyna az összesgenerátoráram.
2.3.4. Párhuzamos RL áramgenerátorral:
Általánosan:Ez az eset a feszültséggenerátoros soros RC esethez lesz hasonló. Persze hasonlóan azelobbi esethez, itt is felcserélodik L és C szerepe, valamint a feszültség és áram is. Deazért írjuk fel rendesen az áramkört jellemzo egyenleteket. Induljunk ki hasonlóan, mintaz elozo esetben:
Ig(t) = IR(t) + IL(t) (110)
Ig(t) =U(t)R
+1L·∫ t
t0
U(t′)dt′ + I0 (111)
Ez ugye egy integrálegyenlet, amit nem szeretünk, ezért lederiváljuk:
dIg(t)dt
=1R
dU(t)dt
+1L· U(t) +
dI0dt︸︷︷︸=0
(112)
dU(t)dt
+R
L· U(t) = R · dIg(t)
dt(113)
16
A megoldás:
U(t) = U0 · e−tτ +R
(∫dIg(t)dt
etτ dt)· e− t
τ (114)
Speciális eset: ugrásfüggvény
Ig(t) ={
0 ha t < 0sI ha t ≥ 0s
A speciális megoldás is hasonló alakú lesz, mint a soros RC feszültséggenerátor esetében:
U(t) = U · e− tτ = I ·R · e− t
τ (115)
Ennek megfeleloen az ellenálláson eso feszültséget rögtön kiszámolhatjuk:
IR(t) = I · e− tτ (116)
És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a kondenzátor feszültsége:
IC(t) = I ·(
1− e− tτ
)(117)
Az eredmények összefoglalva:
U(t) = I ·R · e− tτ IR(t) = I · e− t
τ IC(t) = I ·(
1− e− tτ
)(118)
17