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RE - Elektrische Resonanz, Blockpraktikum - Herbst 2005 13. Oktober 2005
RE - Elektrische ResonanzBlockpraktikum - Herbst 2005
Tobias Müller,Alexander SeizingerAssistent: Dr. Thorsten Hehl
Tübingen, den 13. Oktober 2005
1 Vorwort
Analog zur mechanischen Resonanz kann man bei elektrischen Schwingkreisen ganz ähnliche Effekte beobachten. Hierzu untersuchtenwir in diesem Versuch exemplarisch einige einfache Schwingkreise.
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Komplexe WechselstromlehreAn einen Stromkreis liege eine sinusförmige Wechselspannung U(t) = U0 · cos ωt an. Die Stromstärke I ändert sich dann ebenfallsperiodisch, es gilt
I(t) = I0 · cos ωt
Mit der eulerschen Identität expiϕ = cos ϕ + i · sin ϕ lassen sich Spannung und Stromstärke auch komplex darstellen:
U(t) = U0 · eiωt I(t) = I0 · e(iωt+ϕ)
wobei die tatsächlich messbaren Werte nur dem Realteil entsprechen.
2.2 Widerstände im Wechselstromkreis2.2.1 Spule
Legt man an eine Spule der Induktivität L eine Wechselspannung U∼ mit Kreisfrequenz ω an, so gilt nach der Kirchhoffschen Maschenregel
U∼(t) + UL(t) = 0 , wobei U∼(t) = U0 sin ωt
Die Spule induziert eine Gegenspannung UL = −L dIdt . Also ist
U0 sin ωt ·1
L=
dI(t)
dt
Durch Integrieren erhält man:
I(t) = −U0
ωL· cos ωt
und somit für den komplexen Widerstand ZLZL = i · ωL
2.2.2 Kondensator
Analog zur Spule gilt bei einem Kondensator der Kapazität C, an den eine Wechselspannung angelegt wird:
U∼(t) + UC(t) = 0
Für die am Kondensator abfallende Spannung gilt:
UC(t) =Q(t)
C
In obige Gleichung eingesetzt und nach Q(t) aufgelöst ergibt sich:
Q(t) = −U0 sin ωt · C
Da I(t) = dQ(t)dt
I(t) = U0 cos ωt · Cω
also ist der komplexe Widerstand eines Kondensators ZCZC =
−iωC
Tobias Müller,Alexander Seizinger 1
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RE - Elektrische Resonanz, Blockpraktikum - Herbst 2005 13. Oktober 2005
2.3 ResonanzStimmen Erregerfrequenz ω und Eigenfrequenz ω0 des Schwingkreises überein, so wird die Amplitude der Stromstärke I maximal, da derWiderstand minimal wird. Hierbei wird die Phasenverschiebung ϕ = 0, was wir später zur rechnerischen Bestimmung der Resonanzfrequenznutzen werden.
3 Schwingkreise
3.1 Serienschwingkreis
RE Elektrische Resonanz
RE Elektrische Resonanz
1. Problemstellung
An drei verschiedenen Resonanzkreisen soll der Wechselstromwiderstand�
und die Phasen-verschiebung� (zwischen Stromstärke und Spannung) in Abhängigkeit von der Frequenzuntersucht werden. Als Messgerät dient ein Oszillograph. Es sollen folgende Resonanzkrei-se untersucht werden:
R L CR
R L
C
Serienschwingkreis Parallelkreis 1. Ordnung Parallelkreis 2. Ordnung
CL
2. Messprinzipien
Ux
Uy
��
��
��
R
ZOszilloskop
Man benutzt eine Versuchsanordnung, wiesie nebenstehend skizziert ist. An die Rei-henschaltung, bestehend aus dem zu vermes-senden Resonanzkreis und einem verstellba-ren Ohmschen Widerstand, wird eine Wech-selspannung bekannter Frequenz angelegt.Das Problem ist gelöst, wenn die Kreisspan-nung ��� ��������������� sowie der durchflie-ßende Strom��� ��������� ���"!#�$� nach Be-trag und Phase bestimmt sind. Dazu wird dieSpannung�� an die X-Ablenkung des Os-zillographen gelegt; der Strom I wird nichtdirekt gemessen, sondern durch den an Rentstehenden Spannungsabfall. Diese Span-
nung wird an die Y-Ablenkung des Oszillographen gelegt. Sie istin Phase mit I und über dieBeziehung��%&�('*)+�,�('*)-��������� ���.!/�$�-� �%0������� ���0!/�$� mit dem Strom verknüpft.
2.1. Lissajous-Figur
Die beiden Spannungen�� und ��% ergeben auf dem Oszillographenschirm eine (Lissajous-)Überlagerungsfigur. Es ist eine Ellipse, deren Form und Größevon � , �% und � bestimmtwird. Die Vermessung der Ellipse gestattet deshalb die Bestimmung von 1 � 12�3� ��546�7�
�849�:�%;4
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und als Resonanzfrequenz wieder
ω0 =
√1
LC
3.3 Parallelkreis 2.Ordnung
RE Elektrische Resonanz
RE Elektrische Resonanz
1. Problemstellung
An drei verschiedenen Resonanzkreisen soll der Wechselstromwiderstand�
und die Phasen-verschiebung� (zwischen Stromstärke und Spannung) in Abhängigkeit von der Frequenzuntersucht werden. Als Messgerät dient ein Oszillograph. Es sollen folgende Resonanzkrei-se untersucht werden:
R L CR
R L
C
Serienschwingkreis Parallelkreis 1. Ordnung Parallelkreis 2. Ordnung
CL
2. Messprinzipien
Ux
Uy
��
��
��
R
ZOszilloskop
Man benutzt eine Versuchsanordnung, wiesie nebenstehend skizziert ist. An die Rei-henschaltung, bestehend aus dem zu vermes-senden Resonanzkreis und einem verstellba-ren Ohmschen Widerstand, wird eine Wech-selspannung bekannter Frequenz angelegt.Das Problem ist gelöst, wenn die Kreisspan-nung ��� ��������������� sowie der durchflie-ßende Strom��� ��������� ���"!#�$� nach Be-trag und Phase bestimmt sind. Dazu wird dieSpannung�� an die X-Ablenkung des Os-zillographen gelegt; der Strom I wird nichtdirekt gemessen, sondern durch den an Rentstehenden Spannungsabfall. Diese Span-
nung wird an die Y-Ablenkung des Oszillographen gelegt. Sie istin Phase mit I und über dieBeziehung��%&�('*)+�,�('*)-��������� ���.!/�$�-� �%0������� ���0!/�$� mit dem Strom verknüpft.
2.1. Lissajous-Figur
Die beiden Spannungen�� und ��% ergeben auf dem Oszillographenschirm eine (Lissajous-)Überlagerungsfigur. Es ist eine Ellipse, deren Form und Größevon � , �% und � bestimmtwird. Die Vermessung der Ellipse gestattet deshalb die Bestimmung von 1 � 12�3� ��546�7�
�849�:�%;4
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Phasenverschiebung
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Pha
senv
ersc
hieb
ung
[Gra
d]
Frequenz [Hz]
MesswerteTheorie
Impedanz
20000
22000
24000
26000
28000
30000
32000
34000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Impe
danz
[Ω]
Frequenz [Hz]
MesswerteTheorie
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4.2 Digital-OszilloskopMit dem Digitaloszilloskop wurde ein Parallelscjwingkreis 1. Ordnung vermessen. Hierbei wurden Bauteile mit den Werten R = 21.93kΩ,L = 305.4mH und C = 4980pF verwendet. Das Digitaloszilloskop ermöglicht direkt die Messung der Amplituden und Phasenverschiebung,so das die Messung relativ einfach und genau (bis auf einen Ausrutscher) von statten ging.
Phasenverschiebung
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Pha
senv
ersc
hieb
ung
[Gra
d]
Frequenz [Hz]
MesswerteTheorie
Impedanz
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
Impe
danz
[Ω]
Frequenz [Hz]
MesswerteTheorie
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4.3 Cassy-LabMit Cassy-Lab wurden alle 3 Schaltungen mit je 2 Widerständen automatisch durchgemessen. Die Spule hatte den Wert L = 300.9mHund der Kondensator den Wert C = 21.23nF.
4.3.1 Reihenschaltung
Phasenverschiebung
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 1000 2000 3000 4000 5000
Pha
senv
ersc
heib
ung
[Gra
d]
Frequenz [Hz]
Messwerte R=1.5kΩTheorie R=1.5kΩ
Messwerte R=3.3kΩTheorie R=3.3kΩ
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Impedanz
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
0 1000 2000 3000 4000 5000
Impe
danz
[Ω]
Frequenz [Hz]
Messwerte R=1.5kΩTheorie R=1.5kΩ
Messwerte R=3.3kΩTheorie R=3.3kΩ
Impedanz Ortskurve
60000
40000
20000
0
20000
40000
60000
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000
Impe
danz
[Ω]
Impedanz [Ω]
Messwerte R=1.5kΩMesswerte R=3.3kΩ
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Admittanz
0
0.0001
0.0002
0.0003
0.0004
0.0005
0.0006
0.0007
0 1000 2000 3000 4000 5000
Adm
ittan
z [1
/Ω]
Frequenz [Hz]
Messwerte R=1.5kΩMesswerte R=3.3kΩ
Theorie R=1.5kΩTheorie R=3.3kΩ
Admittanz Ortskurve
0.0006
0.0004
0.0002
0
0.0002
0.0004
0.0006
0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012 0.0014
Adm
ittan
z [1
/Ω]
Admittanz [1/Ω]
Messwerte R=1.5kΩMesswerte R=3.3kΩ
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4.3.2 Parallelschaltung 1. Ordnung
Phasenverschiebung
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 1000 2000 3000 4000 5000
Pha
senv
ersc
heib
ung
[Gra
d]
Frequenz [Hz]
Messwerte R=22kΩTheorie R=22kΩ
Messwerte R=47kΩTheorie R=47kΩ
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Impedanz
0
10000
20000
30000
40000
50000
0 1000 2000 3000 4000 5000
Impe
danz
[Ω]
Frequenz [Hz]
Messwerte R=22kΩTheorie R=22kΩ
Messwerte R=47kΩTheorie R=47kΩ
Impedanz Ortskurve
20000
15000
10000
5000
0
5000
10000
15000
20000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000
Impe
danz
[Ω]
Impedanz [Ω]
Messwerte R=22kΩMesswerte R=47kΩ
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Admittanz
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.0012
0.0014
0 1000 2000 3000 4000 5000
Adm
ittan
z [1
/Ω]
Frequenz [Hz]
Messwerte R=22kΩTheorie R=22kΩ
Messwerte R=47kΩTheorie R=47kΩ
Admittanz Ortskurve
0.001
0.0005
0
0.0005
0.001
0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001
Adm
ittan
z [1
/Ω]
Admittanz [1/Ω]
Messwerte R=22kΩMesswerte R=47kΩ
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4.3.3 Parallelschaltung 2. Ordnung
Phasenverschiebung
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 1000 2000 3000 4000 5000
Pha
senv
ersc
heib
ung
[Gra
d]
Frequenz [Hz]
Messwerte R=1.5kΩTheorie R=1.5k Ω
Messwerte R=330ΩTheorie R=330 Ω
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Impedanz
0
10000
20000
30000
40000
50000
0 1000 2000 3000 4000 5000
Impe
danz
[Ω]
Frequenz [Hz]
Messwerte R=1.5kΩTheorie R=1.5kΩ
Messwerte R=330ΩTheorie R=330Ω
Impedanz Ortskurve
20000
15000
10000
5000
0
5000
10000
15000
20000
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000
Impe
danz
[Ω]
Impedanz [Ω]
Messwerte R=1k5ΩMesswerte R=330Ω
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Admittanz
0
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
0.001
0.0012
0.0014
0 1000 2000 3000 4000 5000
Adm
ittan
z [1
/Ω]
Frequenz [Hz]
Messwerte R=1.5kΩTheorie R=1.5kΩ
Messwerte R=330ΩTheorie R=330Ω
Admittanz Ortskurve
0.001
0.0005
0
0.0005
0.001
0 0.0005 0.001 0.0015 0.002
Adm
ittan
z [1
/Ω]
Admittanz [1/Ω]
Messwerte R=1k5ΩMesswerte R=330Ω
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1 Vorwort2 Theoretische Grundlagen2.1 Komplexe Wechselstromlehre2.2 Widerstände im Wechselstromkreis2.2.1 Spule2.2.2 Kondensator
2.3 Resonanz
3 Schwingkreise3.1 Serienschwingkreis3.2 Parallelkreis 1.Ordnung3.3 Parallelkreis 2.Ordnung
4 Auswertung4.1 Analog-Oszilloskop4.2 Digital-Oszilloskop4.3 Cassy-Lab4.3.1 Reihenschaltung4.3.2 Parallelschaltung 1. Ordnung4.3.3 Parallelschaltung 2. Ordnung