18/07/2021 Números complexos - Só Matemática

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Números complexosVamos considerar a equação x² - 2x + 5 = 0:

Sabemos que o número não pertenceao conjunto dos números reais, pois nãoexiste nenhum número que elevado aoquadrado resulte em -1. Para que a equaçãoacima tenha solução, temos que estender oconjunto dos números reais para obter umnovo conjunto, chamado de conjunto dosnúmeros complexos e representado por . O número foi denominado unidadeimaginária e criou-se o número i, de modoque:

i² = -1

Logo,

i =

Portanto, as soluções da equação x² - 2x + 5 = 0 em são 1 - 2i e 1 + 2i.

Forma algébrica de um número complexo

Todo número complexo z pode ser escrito na forma:

z = a + bi, com a, b

Essa forma é chamada forma algébrica do número complexo. Observe que um númerocomplexo nesse formato tem duas partes:

Indicamos: Re(z) = a Im(z) = b

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Exemplos

z = 3 + 5i Re(z) = 3 e Im(z) = 5z = -7 +18i Re(z) = -7 e Im(z) = 18z = 53 – 25i Re(z) = 53 e Im(z) = -25

Se a parte real do número complexo é nula, então o número é imaginário puro.

Exemplo: z = 3i Re(z) = 0 e Im(z) = 3

Exemplo

Determine o valor de k para que o número complexo z = (k – 4) +3i seja imaginário puro:

Resolução Para que o número seja imaginário puro, a parte real deve ser nula:

k – 4 = 0 k = 4

Se a parte imaginária do número complexo é nula, então o número é real.

Exemplo: z = 10 Re(z) = 10 e Im(z) = 0

Exemplo

Determine o valor de k para que o número complexo z = 3+(k² – 4)i seja um número real:

Resolução Para que o número seja real, a parte imaginária deve ser nula:

k² – 4 = 0 k² = 4 k = -2 ou k = 2

Podemos associar qualquer número complexo z = a +bi a um ponto no plano de Argand-Gauss. No eixo das abscissas (eixo real,) representa-se a parte real, e, no eixo dasordenadas (eixo imaginário), a parte imáginária do número complexo. O ponto P é o afixoou imagem geométrica de z.

Exemplo

Represente no plano de Argand-Gauss os números complexos:

Resolução Cada complexo será um ponto no plano cuja abscissa é a parte real e a ordenada é aparte imaginária:

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Note que os números reais estão localizados sobre o eixo real, assim como os númerosimaginários puros estão sobre o eixo imaginário.

Observação: Não é definida para o campo dos números complexos a relação de ordem,isto é, não existe um número complexo maior ou menor que outro.

Próximo: Igualdade de números complexos

Como referenciar: "Números complexos" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-

2021. Consultado em 18/07/2021 às 07:35. Disponível na Internet em

https://www.somatematica.com.br/emedio/complexos/complexos.php

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