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Recordando o princípio da Indução...
Seja:
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1...
5.4
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
nnSn
É fácil ver que:
3
2
6
4
6
13
6
1
2
1
3.2
1
2.1
12.1
1
2
1
S
S
4
3
4.3
1
3.2
1
2.1
13 S
5
4...
3.2
1
2.1
14 S
Com base nos resultados obtidos, afirmamos que, para todo número
natural n,
)1(
nn
nSn
A seqüência de Fibonacci e o problema dos coelhos
• Autor do 1º livro sobre Ábaco, em 1202 que contém grande parte do conhecimento aritmético e algébrico da época. Teve grande influência no desenvolvimento da Matemática; formulou e resolveu o seguinte problema:
• Os coelhos se reproduzem rapidamente. Admitimos que um par de coelhos adultos produza um casal de coelhos jovens, todo mês, e que os coelhos recém-nascidos se tornem adultos em dois meses e produzam, por sua vez, nessa época, um casal de coelhos. Começando com um casal jovem, de que tamanho estará a colônia após certo número de meses?
• Se começarmos com um casal recém-nascido, durante os dois primeiros meses teremos apenas esse casal.
• No terceiro mês nasce um novo casal, de modo que agora teremos dois casais.
• No quarto mês o casal original produziu outro par, existindo então três casais.
• Um mês mais tarde, tanto o par original quanto o primeiro casal nascido produziram novos casais, de forma que agora existem dois casais adultos e três casais jovens.
Os dados podem ser colocados em uma tabela do tipo:
Crescimento de uma colônia de coelhos
meses Casais adultos Casais jovens total
1 0 1 1
2 0 1 1
3 1 1 2
4 1 2 3
5 2 3 5
6 3 5 8
7 5 8 13
O Teorema Fundamental da Aritmética
• Os números primos e o princípio da indução são ferramentas para demonstrar o TFA.
• A importância dos primos se deve ao fato que todo número inteiro pode ser construído multiplicativamente a partir deles: com efeito, se um número não é primo podemos decompô-lo até seus fatores sejam todos primos. Por ex:
• 360 = 3.120 = 3.30.4 = 3.3.10.2.2=...23.32.5
• Assumiremos que uma decomposição de um número primo p é dada por ele mesmo ou pelo produto : p.1
• RECORDANDO. . . .
• Matematicamente...
• P = n2 - 1
Corolário:• Se um número primo divide o produto de
certos inteiros, então ele divide pelo menos um destes inteiros.
• Um corolário é uma decorrência imediata de um teorema.
• Exemplo: O comprimento da diagonal de um quadrado cujo lado possui comprimento "a" é dado por a . Isto é um corolário do teorema de Pitágoras
O Teorema Fundamental da Aritmética
• TFA: Todo número inteiro positivo n pode ser escrito de forma única como um produto de primos (diferindo apenas pela ordem), ou seja, n = p1 . p2 . ... . p t
onde p1 ≥ p2 ≥... ≥ pt são números primos.
• Formalmente podemos definir:Todo número natural n≥2 pode ser escrito como um produto de números primos. Essa decomposição, é única a menos da ordem dos fatores.
Demonstração:• Vamos mostrar a existência da fatoração em
primos usando uma variação da demonstração por indução:
• Suponhamos a afirmação verdadeira para todo número m ≥ 2 e m ≤ k
• Provemos que P(k+1) é verdadeira.• Se k+1 for primo então P(k+1) é verdadeira.• Se k+1 não for um número primo, então k+1
pode ser escrito como:• k+1 = a.b em que 2 ≤ a ≤ k e 2 ≤ b ≤ k
• Então pela hipotese da indução ou a e b podem ser escritos por um produtos de primos ou são números primos.
• Logo k+1 = a.b é tb um produto de primos!
• A saber:o produto dos números primos da fatoração de a multiplicados pelos primos da fatoração de b
• Assim provamos que todo natural k >1 pode ser decomposto como produto de fatores primos! ! !.