rectas en 3d. punto por el que sabemos pasa la recta punto cualquiera sobre nuestra recta resta...
TRANSCRIPT
Rectas en 3D
Rectas en 3D
Punto por el que sabemos pasa la recta
Punto cualquiera sobre nuestra recta
Resta vectorial indica dirección de recta
Cualquier vector paralelo a a indica dirección
Coordenadas de punto en recta cumplen
R
0PP
0r
r
R
a
v
ctzbtyatxzyx
cbavvta
arrrra
zyxrzyxP
zyxrzyxP
000
00
00000000
,,,,
,,
,,),,(
,,),,(
�
Ecuaciones paramétricas de la recta
ctz
bty
atx
r
ctzbtyatxr
kctzjbtyiatxr
0
0
0
000
000
,,
ˆˆˆ
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
Notaciones alternativas
Vectores unitarios
Componentes en orden
Vector columna
Números directores: a,b,c
R
Rectas en 3D
0PP
0r
r
R
a
v ctzz
btyy
atxx
0
0
0
Consideren la cuestión:¿Qué relación concreta existe entre los vectores a y v?
Está abierta. La diferencia entre distintas elecciones consiste en que, una vez escogido al vector v, queda determinado el parámetro escalar t en su rango y en su escala.
Se conviene en elegir al punto P0 a la izquierda, cuando se observa el primer octante (vector a de izquierda a derecha).
¿Qué consecuencia tendría el elegir al vector –v en vez de v?
Ejemplo 1 de rectas en 3D
5,3,4
523341415
1
1,5,6
123541615
1
zyx
tPara
zyx
tPara
Una recta pasa por el punto (5,1,3) y es paralela al vector (1,4,-2). a)Encontrar la ecuación paramétrica de la rectab)Encontrar otros puntos de la misma recta
recta t( )
x0 t av
y0 t bv
z0 t cv
r0
5
1
3
v
1
4
2
x0 r00
y0 r01
z0 r02
av v0
bv v1
cv v2
tztytx
sonssolicitadaecuacioneslasentonces
cbazyx
vr
23415
,
241315
2,4,13,1,5
000
0
a) b)
R
Ejemplo 1 de rectas en 3DLa recta en azul pasa por el punto (5,1,3) en magenta y es paralela al vector de extremo(1,4,-2) en anaranjado. Otros dos puntos de la misma recta en marrón.
R P0 v0 P3 P6
2.4
4.1
4.4
)6.0(6
4.2
3.2
3.5
)3.0(3
trectaP
trectaP
Ejemplo 1 en Mathcad
R
r0
5
1
3
v
1
4
2
r t( ) r0 t v
x0 r00
y0 r01
z0 r02
av v0
bv v1
cv v2
recta t( )
x0 t av
y0 t bv
z0 t cv
R CreateSpace recta tMin tMax( )
Np 256
tMin 100 tMax 100
tl
tMin ltMax tMin
Np 1
l 0 Np 1
r 1( )
6
5
1
r 1( )
4
3
5
r 100( )
105
401
197
r 100( )
95
399
203
Ecuaciones simétricas
Despejando a t de cada una de las ecuaciones paramétricas
c
zz
b
yyxx
xx
asolosiEjemplo
c
zz
b
yy
a
xxc
zzt
b
yyt
a
xxt
cba
000
0
000
000
0
0
.
0,,
R1
R1
10 x
Continuación de ejemplo a=0
R2 R1
r0
1
2
10
v
0
3
5
r t( ) r0 t v
recta t( )
x0 t av
y0 t bv
z0 t cv
r 1( )
1
1
5
r 1( )
1
5
15
r 5( )
1
17
35
r 10( )
1
32
60
r 15( )
1
47
85
r0
1
3
15
v
0
1
7
r 1( )
1
2
8
r 1( )
1
4
22
r 5( )
1
8
50
r 10( )
1
13
85
r 15( )
1
18
120
Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos A(2,4,-3) y B(3,-1,1). ¿En qué punto corta esta recta al plano xy?
Ejemplo 2 de rectas en 3D
R
451
4,5,1
3,4,21,1,3
cba
va
El vector diferencia puede ser determinado y luego empleado
tztytx 43542
Tomando al punto A, las ecuaciones paramétricas son
Ejemplo 2 de rectas en 3D… para las ecuaciones simétricas, usando los números directores hallados (1,-5,4) y usando al punto A(2,4,-3), al sustituir en
4
3
5
4
1
2
zyx
c
zz
b
yy
a
xx o 00
las ecuaciones simétricas resultan
La recta corta al plano xy cuando z=0. De las ecuaciones anteriores
4
3
5
4
1
2
yx
Ejemplo 2 de rectas en 3DDespejando x
.4
11
4
83
24
3
.4
3
1
2
x
xDespejando y
.4
1
4
15164
154
,4
15
4
354
.4
3
5
4
y
y
y
Por lo anterior, las coordenadas del punto cortando al plano xy son (11/4,1/4,0).
R plano_zero R plano_zero
Demostrar que las rectas con ecuaciones paramétricas dadas son oblicuas (no se cortan sin ser paralelas), o sea, no son coplanares…
Ejemplo 3 de rectas en 3D
szsysx
sL
tztytx
tL
4332
,
4321
,
2
1
Para L1, a1=<1,3,-1>, mientras que para L2, a2=<2,1,4>. ¿Son paralelos?
kji
kji
kji
kji
ˆ5ˆ6ˆ13
)61(ˆ)24(ˆ)112(ˆ
12
31ˆ42
11ˆ41
13ˆ
412
131
ˆˆˆ
4,1,21,3,1
Al no resultar el vector cero, los vectores forman un ángulo distinto de cero entre sí
Si las dos rectas se cortaran, habría un punto con las mismas coordenadas <x,y,z> o, habría valores de t y s cumpliendo
Ejemplo 3 de rectas en 3D
RA CreateSpace rectA 0 5( ) RB CreateSpace rectB 0 5( )
RA RB RA RB RA RB
st
st
st
434
332
21
8/5
11/5
s
t
s
s
t
tt
ttt
10/16
25/111
2/112/5
2/1122/72/3
2/2/132/)1(332
5/175
32155/323
5
843
5/95
11205/114
La coordenada z no coincide
Conclusiones