rectas y planos en el espacio · incógnitas, quedará en función de dos parámetros. 3. haz de...

CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Ecuaciones y posiciones relativas

1

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

1. Ecuaciones de la recta en el espacio 2. Ecuaciones del plano 3. Haz de planos 4. Posiciones relativas de dos planos 5. Posiciones relativas de tres planos 6. Posiciones relativas de una recta y un plano 7. Posiciones relativas de dos rectas

1. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO

Una recta queda determinada por un punto y un vector director (vector con la misma dirección que la recta)

),,(),,(

321

321

uuuuaaaA

r

A) ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

tuuutaaazyxr ),,,(),,(),,(: 321321

EJEMPLO:

ttzyxruA

r ),1,1,2()3,2,1(),,(:)1,1,2()3,2,1(

B) ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

tuaztuaytuax

r

33

22

11

: , t

EJEMPLO:

tztytx

ruA

r32

21:

)1,1,2()3,2,1(

, t

C) ECUACIONES CONTINUAS DE LA RECTA Despejando e igualando t en las ecuaciones paramétricas se tiene:

3

3

2

2

1

1

uaz

uay

uax

EJEMPLO: 1

31

22

1:)1,1,2()3,2,1(

zyxr

uA

r

D) ECUACIONES IMPLÍCITAS DE LA RECTA Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

00

:2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

r


2

Si en las ecuaciones continuas de la recta escogemos dos de las igualdades, quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos las ecuaciones implícitas. EJEMPLO:

01321

31

2

0524211

22

1

13

12

21:

)1,1,2()3,2,1(

zyzyzy

yxyxyx

zyxruA

r

Para obtener las ecuaciones paramétricas de la recta, a partir de las

ecuaciones implícitas, se resuelve el sistema por Gauss, como sólo hay dos ecuaciones y tres incógnitas, quedará en función de “t” 2. ECUACIONES DEL PLANO Un plano queda determinado por:

- un punto y dos vectores directores (vectores paralelos al plano)

),,(),,(

),,(:

321

321

321

vvvvuuuu

aaaA

- un punto y un vector normal (vector perpendicular al plano)

),,(),,(

:321

321

nnnnaaaA

El vector normal se puede obtener como producto vectorial de los vectores directores:

321

321

vvvuuukji

vun

A) ECUACIÓN VECTORIAL

),,(),,(),,(,,: 321321321 vvvuuuaaazyx , , EJEMPO:

)1,1,1()3,0,2()4,3,1(,,:

)1,1,1()3,0,2(

4,3,1: zyx

vu

A

, ,

B) ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO

333

222

111

:vuazvuayvuax

, ,


3

EJEMPO:

343

121:

)1,1,1()3,0,2(

4,3,1:

zy

x

vu

A

, ,

C) ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DEL PLANO

),,(),,(

:321

321

nnnnaaaA

0 DCzByAx

A, B y C son las coordenadas del vector normal, y D se obtiene sustituyendo las coordenadas del punto. EJEMPO:

100815304235)1(34,3,1

0253:

2,5,31102

,1132

,1130

111302

)1,1,1()3,0,2(

4,3,1:

DDDA

Dzyx

kjin

vu

A

010253: zyx Para obtener las ecuaciones paramétricas del plano, a partir de la ecuación

implícita, se resuelve el sistema por Gauss, como sólo hay una ecuación y tres incógnitas, quedará en función de dos parámetros. 3. HAZ DE PLANOS HAZ DE PLANOS PARALELOS

Todos los planos paralelos a uno dado tienen el mismo vector normal, por tanto, en la ecuación general solo cambia D. La ecuación del haz de planos será de la forma:

kkCzByAx ,0 HAZ DE PLANOS QUE PASAN POR UNA RECTA

Se llama haz de planos de eje r al conjunto de todos los planos que contienen a la recta r.


4

Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas:

00

:2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

r

la ecuación del haz de planos de eje r nieve dada por la igualdad: 022221111 DzCyBxADzCyBxA

Si dividimos por λ y, la ecuación del haz resulta: 022221111 DzCyBxAkDzCyBxA EJEMPLO Hallar en la ecuación del plano que pasa por el punto (3, 2, −3) y pertenece al haz de

planos de eje en la recta:

02320932

:zyx

zyxr

Haz de planos: 0232932 zyxkzyx Sustituyendo las coordenadas del punto (3, 2, −3), obtenemos el valor de k que le corresponde a ese plano: 1066029439366 kkk El plano será: 072502321932 zyxzyxzyx 4. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Los planos se expresan en forma general:

00

:2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA


5

5. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS


3333

2222

11111

:DzCyBxADzCyBxADzCyBxA

Y se estudian las posibles soluciones del sistema de ecuaciones que forman. Sean:

333

222

111

CBACBACBA

A Y

3333

2222

1111

*DCBADCBADCBA

A

CASOS: 1. rgA = rgA* =3 (COMPATIBLE DETERMINADO)

Planos secantes en un punto (El punto se puede calcular resolviendo el sistema)

2. rgA = 2, rgA* =3 (INCOMPATIBLE)

2.1 Planos secantes dos a dos.

2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante

Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata


6

3. rgA = rgA* =2 (COMPATIBLE INDETERMINADO) 3.1 Planos secantes y distintos

3.2 Dos planos coincidentes y uno secante

Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 4. rgA = 1, rgA* =2 (INCOMPATIBLE)

4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos

4.2 Planos paralelos y dos coincidentes

Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 5. rgA = rgA* =1 (COMPATIBLE INDETERMINADO)


7

6. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO La ecuación del plano debe venir dada en forma implícita, mientras que la recta tiene dos posibilidades:

1. LA RECTA VIENE DEFINIDA EN FORMA IMPLÍCITA (por dos planos secantes)

Sea la recta:

00

:2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

r y el plano : 0 DCzByAx .

Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:

3333

2222

1111

DzCyBxADzCyBxADzCyBxA

Sean

333

222

111

CBACBACBA

A Y

3333

2222

1111

*DCBADCBADCBA

A

TEN EN CUENTA QUE AL SER LAS ECUACIONES DE LA RECTA DOS PLANOS SECANTES, LOS RANGOS NO PUEDEN SER MENOR QUE DOS

CASOS:

1.1 Si rgA = rgA* = 3, el sistema es compatible determinado, la recta corta al plano en un punto, que se puede calcular resolviendo el sistema (SECANTES)

1.2 Si

3*2

rgArgA

sistema incompatible, no tienen puntos en común,

PARALELOS

1.3 Si rgA = rgA* = 2, compatible indeterminado, infinitos puntos en común, la recta está CONTENIDA en el plano (no se puede decir que coincidan)

2. LA RECTA VIENE DEFINIDA POR UN PUNTO Y UN VECTOR

Sea una recta

),,(),,(

321

321

uuuuaaaA

r y un plano : 0 DCzByAx , cuyo rector

normal es CBAn ,, .

CASOS: Multiplico el vector director de la recta por el vector normal del plano:


8

1.1 Si 0 nu , SECANTES

1.2 Si 0 nu , sustituyo el punto de la recta en el plano, y si no verifica la

ecuación, PARALELOS

1.3 Si 0 nu , sustituyo el punto de la recta en el plano, y si sí verifica la ecuación,

RECTA CONTENIDA EN EL PLANO

8. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS Rectas de las que conocemos un punto y el vector director.

Si la recta r viene determinada por

),,(),,(

321

321

uuuuaaaA

r y la recta s por

),,(),,(

321

321

vvvvbbbB

s ,

La posición relativa de r y s viene dada por la posición de u , v y

AB . Empezamos por estudiar el rango de las matrices:

33

22

11

vuvuvu

A y

3333

2222

1111

*abvuabvuabvu

A

CASOS

I. si rgA* = 3,

0

3333

2222

1111

abvuabvuabvu

los tres vectores son linealmente

independientes, no están en el mismo plano, por tanto las rectas se CRUZAN (no son paralelas, pero no están el mismo plano). Se dice que las rectas NO SON COPLANARIAS


9

II. Si

0

3333

2222

1111

abvuabvuabvu

los tres vectores son linealmente dependientes, están

en el mismo plano, por tanto las rectas SON COPLANARIAS. Tendremos tres posibilidades: II.1. Si rgA = 2, u , v no son proporcionales pero las rectas están en el mismo plano SECANTES

II.2. Si rgA = rgA* = 1, los tres vectores son paralelos, las rectas COINCIDEN

II.3 Si rgA = 1 ( u , v son paralelos ) y rgA* = 2 (

AB no es paralelo a ellos), rectas PARALELAS


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A. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS


00

:2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA

2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

2

1

2

1

2

1

2

1

DD

CC

BB

AA

SECANTES PARALELOS COINCIDEN

B. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS


3333

2222

11111

:DzCyBxADzCyBxADzCyBxA

CASOS: 1. rgA = rgA* =3 (COMPATIBLE DETERMINADO): Secantes en un punto 2. rgA = 2, rgA* =3 (INCOMPATIBLE)

2.1 Planos secantes dos a dos. 2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante

Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 3. rgA = rgA* =2 (COMPATIBLE INDETERMINADO)

3.1 Planos secantes en una misma recta 3.2 Dos planos coincidentes y uno secante (en una recta)

Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 4. rgA = 1, rgA* =2 (INCOMPATIBLE)

4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos 4.2 Planos paralelos y dos coincidentes

Hay que estudiar las posiciones relativas de dos en dos para saber de que caso se trata 5. rgA = rgA* =1 (COMPATIBLE INDETERMINADO) Los tres planos coinciden

C. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO

Sea la recta:

00

:2222

1111

DzCyBxADzCyBxA

r y el plano : 0 DCzByAx .

CASOS:

2.1 Si rgA = rgA* = 3, el sistema es compatible determinado, la recta corta al plano en un punto, que se puede calcular resolviendo el sistema (SECANTES)

2.2 Si

3*2

rgArgA

sistema incompatible, no tienen puntos en común,

PARALELOS

2.3 Si rgA = rgA* = 2, compatible indeterminado, infinitos puntos en común, la recta está CONTENIDA en el plano (no se puede decir que coincidan)


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D. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Rectas de las que conocemos un punto y el vector director.

Si la recta r viene determinada por

),,(),,(

321

321

uuuuaaaA

r y la recta s por

),,(),,(

321

321

vvvvbbbB

s ,

La posición relativa de r y s viene dada por la posición de u , v y

AB . Empezamos por estudiar el rango de las matrices:

33

22

11

vuvuvu

A y

3333

2222

1111

*abvuabvuabvu

A

CASOS

I. Si rgA* = 3,

0

3333

2222

1111

abvuabvuabvu

los tres vectores son linealmente

independientes, no están en el mismo plano, por tanto las rectas se CRUZAN

II. Si rgA* < 3

0

3333

2222

1111

abvuabvuabvu

los tres vectores son linealmente dependientes,

están en el mismo plano, por tanto las rectas SON COPLANARIAS. Tendremos tres posibilidades:

II.1. Si rgA = rgA* = 2 SECANTES II.2. Si rgA = rgA* = 1 COINCIDEN II.3 Si rgA = 1 y = rgA* = 2 PARALELAS

rectas y planos en el espacio · incógnitas, quedará en función de dos parámetros. 3. haz de...

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