Redes de Petri Estocásticas

Carlos Aguirre

Universidad Autonoma de Madrid, Dpto Ingenieria Informatica

Redes Estocásticas Definición: Una red de Petri Estocástica es una red de Petri 

con transiciones con tiempo, disparo atómico y en la que los restrasos de transición son variables aleatorias con distribución exponencial negativa.

El comportamiento de este tipo de redes se puede describir mediante un proceso estocástico.

Redes de Petri con tiempo. El tiempo no estaba incluido en el modelo original 

de Petri.  Una transición disparaba de forma “inmediata” Hoy en dia se considera que es necesario 

introducir el tiempo en algunos modelos de redes de Petri.

El tiempo se introduce con el fin de poder Evaluar el rendimiento de un sistema Analizar problemas de scheduling en sistemas 

dinámicos. El tiempo se ha de introducir en las Redes de 

Petri de tal forma que: Los modelos con tiempo y sin tiempo sean 

consistentes Permita calcular indices de rendimiento del 

sistema.

Lugares (Places) con tiempo (TPPN) Los tokens generados por una lugar de 

entrada estan disponibles para una transición sólo despues de pasado un tiempo el cual es una propiedad del lugar.

Tokens con tiempo Los tokens llevan una marca de tiempo 

que indican cuando estan disponibles para una transición.

La marca de tiempo se puede incrementar en cada transición disparada. 

Arcos con tiempo Se asocia un retraso a cada arco, los 

tokes solo estan disponibles para disparar cuando han alcanzado la transición.

Transiciones con tiempo (TTPN) Las transiciones representan actividades.

• El inicio de la actividad corresponde con la habilitacion de la transición.•El fin de la actividad corresponde con el disparo de la activación.

Transiciones con tiempo (TTPN) Las transiciones con tiempo permiten diferentes 

políticas de disparo:•Disparo en tres fases

•Los tokens se eliminan de los lugares de entrada cuando se habilita la transición•Se espera un tiempo•Los tokens se generan en los lugares de destino

•Disparo atómico•Los tokens permanecen en los lugares de entrada hasta que la transición dispara.•Se eliminan de los lugares de entrada y se crean en los lugares de destino cuando la transición dispara.

Redes de Petri con Tiempo Normalmente se consideran TTPN con disparo 

atómico:•Conservan el comportamiento basico del modelo sin tiempo.•Es posible aprovechar la teoria desarrollada para Redes de Petri sin tiempo (invariantes, alcanzabilidad,..).

Hay dos posibles especificaciones de tiempo •Tiempo constante (Red de Petri con tiempo determinista)•Tiempo variable (aleatorio) (Red de Petri estocástica)

Funcionamiento de cada transición Se asume que cada transicion tiene asociado un reloj.

•Cuando la transicion se habilita, se establece el valor de reloj al retraso establecido para la transición.•El contador se decrementa de forma constante hasta que alcanza el valor 0.•En ese momento la transición dispara.  

Conflictos Cuando mas de una transición con tiempo y disparo 

atomico está habilitada el funcionamiento es igual al caso anterior para cada transición

El problema surje cuando hay varias transiciones habilitadas

•¿ Cual de ellas dispara ?•¿ Que ocurre con las que no disparan ?

Reglas de selección Preselección

•Se elige la transición habilitada que dispara de acuerdo a algun tipo de métrica (prioridad, probabilidad, etc).

Carrera•Dispara la transición habilitada que tiene un tiempo de retraso menor.

Politicas de Memoria Puede ocurrir que una transición quede desabilitada por el 

disparo de otra transición con la que está en conflicto.•¿ Que ocurre con el reloj cuando la transición se vuelve a habilitar ?•Mecanismos básicos

• Continuar: La transición deshabilitada “para” la cuenta atras de su reloj y la continua la proxima vez que la transición esta habilitada• Reiniciar: La transición reinicia su reloj (quizá con un nuevo valor) cada vez que se habilita. 

A partir de los dos mecanismos anteriores es posible contruir varias politicas de memoria para una transición.

Politicas de Memoria Reinicio

•Cada vez que dispara una transición con tiempo todas las transiciones de la red se reinician.•No hay memoria del pasado•Las transiciones habilitadas obtienen nuevos valores de tiempo.

Politicas de Memoria Memoria de habilitación 

•Cuando una transicion dispara, los relojes de todas las transiciones que son deshabilitadas se reinician, las transiciones que permanecen habilitadas conservan su valor.•Le memoria se graba en una variable de memoria de habilitacion asociada a cada transición.•Esta variable cuenta el trabajo realizado por la actividad asociada a la transición desde la ultima vez que su reloj fue reiniciado, es decir mide el tiempo transcurrido desde que la transición se habilitó.

Politicas de Memoria Memoria de edad

•Cuando una transicion dispara, los relojes de todas las transiciones mantienen sus valores.•Le memoria se graba en una variable de memoria de edad asociada a cada transición.•Esta variable cuenta el trabajo realizado por la actividad asociada a la transición desde la última vez que la transicion disparó.•Esta variable mide el tiempo de habilitación acumulado desde la ultima vez que la transición disparó.

Habilitación de una transición Se llama grado de habilitación de una transición el 

número de veces que una transición puede disparar, dada una marca, antes de estar desabilitada.

Si el grado es mayor que uno, se pueden considerar diferentes semanticas de tiempo.

•Semantica de servidor simple•Semantica de servidor multiple•Semantica de servidor infinito

Semantica de servidor simple El retraso de disparo se establece cuando la transición se 

habilita. Se establecen nuevos retrasos despues de cada disparo 

si la transición está todavia habilitada con la nueva marca. Los tokens se procesan en serie

Semantica de servidor multiple Los conjuntos de tokens que producen la habilitación de 

la transición se procesan simultaneamente hasta un grado maximo de paralelismo (por ejemplo K)

Para valores mayores del grado de habilitación, los relojes asociados a tokens que habilitan la transición se inician solo cuando el numero de relojes funcionando es menor que K.

Semantica de servidor infinito Todos los conjuntos tokens se procesan tan pronto como 

llegan a las entradas de la transición Cada conjunto tiene un retraso de disparo, los relojes 

asociados a estos retrasos descienden de forma simultanea.

Los conjuntos de tokens se procesan en paralelo.

Ejemplo Consideremos una transición con grado de habilitacion 3, 

supongamos que cada conjunto tiene un tiempo de retraso de 3, 2 y 4 unidades..

Colas Una vez que la transición ha disparado, los tokens se 

pueden remover de los lugares de entrada de distintas formas.

•Aleatoria.•Mediante un sistema de colas, con o sin prioridad.

Procesos estocásticos. Una variable aleatoria es una función real definida sobre 

un espacio de probabilidad (espacio muestral).•Ejemplo 1: Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas, supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E={ccc, ccx, cxc, xcc, cxx, xcx, xxc, xxx} le asignamos un número real, el correspondiente al número de caras.•Ejemplo 2:Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado.•Ejemplo 3:Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria. 

Procesos estocásticos. Si un experimento con espacio muestral E, tiene asociada la variable 

aleatoria X, es natural que se planteen preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un determinado valor?, esto nos lleva a establecer,  por convenio, la siguiente notación:

•(X=x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma el valor x", y•p(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso.•(X<x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor a x", y•p(X<x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor a x.•(X <= x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor o igual a x", y•p(X <= x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor o igual a x. 

Procesos estocásticos. La función de densidad de probabilidad  f(x)  de la 

variable aleatoria X es una función real tal que: 

Procesos estocásticos. Un proceso estocástico {X(t); t ∈ T}, es una familia 

de variables aleatorias definidas sobre el mismo espacio de probabilidad, indexadas por el parametro t.

Los procesos estocásticos son modelos útiles para la descripción de fenómenos de tipo probabilístico que es función de un parámetro que puede ser el tiempo.

Procesos estocásticos. Una realización (o camino) de un proceso 

estocástico es un cojunto de valores x(i) producidos por la realización de las variables aleatorias X(i)

Procesos estocásticos. La descripción probabilística de un proceso 

estocástico viene dada por la función de de distribución de probabilidad conjunta de cualquier conjunto de variables aleatorias extraido del proceso.

• P{X(1) <= x1,X(2)<=x2,........,X(n)<=xn} En el caso general, una descripción probabilística  

completa de una proceso estocástico no es posible.

Procesos de Markov Un Proceso de Markov es un caso particular de 

proceso estocástico. Los procesos de Markov tienen una descripción 

probabilística mas simple Un proceso de Markov es un proceso estocastico 

que verifica la propiedad de Markov, es decir:•P{X(t)<=x | X(tn) <= xn,X(tn­1)<=xn­1,.....,X(t1)<=x1} =  P{X(t)<=x | X(tn) <= xn};  t > tn > tn­1>........... > t1

Es decir, el estado del sistema en el futuro solo depende del estado actual, no del pasado.

Cadenas de Markov Si el espacio muestral es numerable entonces el 

proceso de Markov se denomina cadena de Markov Si además el parametro t es continuo, el proceso se 

denomina Cadena de Markov con tiempo Continuo.

Cadenas de Markov Buscamos por tanto una distribución de probabilidad 

tal que se mantenga la propiedad siguiente:•P(X > x+|X>P(X>x) para todo x y 

La unica función de distribución de probabilidad que verifica lo anterior es la distribución exponencial negativa:

•f(x)=e­x

La distribución exponencial negativa tiene un sólo parámetro que corresponde al valor inverso de su esperanza, es decir si X tiene una distribucion exponencial negativa E[X]=1/

Propiedades de la exponencial•Si tenemos dos variables aleatorias, X e Y ambas con distribución exponencia negativa de parámetros  y  respectivamente, la variable aleatoria Z definida como Z=min(X,Y) tambien tiene distribución exponencial negativa con funcion de distribución

• f(x)=(e­(x

Descripción de las cadenas de Markov•Una cadena  de Markov se puede describir mediante un diagrama de transicion de estado.

● O bien mediante matriz de transición de estado Q denominada generador infinitesimal

Descripción de las cadenas de Markov• La solución de una cadena de Markov a tiempo t es la distribución de probabilidad sobre el conjunto de estados. (t)={(t),(t),(t),....} con (t)=P{X(t)=i}•Se puede demostrar que:

• d(t)/dt = (t)Q cuya solución se puede escribir   (t)= (0)H(t) con H(t)=eQt 

Descripción de las cadenas de Markov• La solución de una cadena de Markov a tiempo estacionario es la distribución de probabilidad sobre el conjunto de estados. •Esta distribución solamente existe para Cadenas de Markov ergódicas.•La distribución del estado estacionario  (t) ={,,

,....} con = limt→∞ (t) se calcula como la solución del 

sistema de ecuaciones Q=0 con la condición ∑i=1