1

REDOVI SA POZITIVNIM ČLANOVIMA ( KRITERIJUMI)

Posmatrajmo brojni red 1 2 3

1

....... .......n n

n

a a a a a∞

=

+ + + + + =∑ sa pozitivnim članovima.

Suma reda Sn= a1+a2+a3+…+an=∑=

n

k

ka1

je parcijalna suma.

Tražimo nnS

∞→lim .

Ako dobijemo nnS

∞→lim =S (broj) onda red konvergira, a ako je n

nS

∞→lim = ∞± ili ne postoji, onda red divergira.

Košijev ( Cauchyev) kriterijum

Potreban i dovoljan uslov da red ∑∞

=1n

na konvergira jeste da za proizvoljno 0ε > postoji prirodan broj ( )N N ε=

tako da za 0 0n p> ∧ > važi: n p nS S ε+ − <

TEOREMA: Ako red ∑∞

=1n

na konvergira, onda je nna

∞→lim =0, to jest ako je n

na

∞→lim ≠ 0 onda red sigurno ne konvergira.

Poredbeni kriterijum :

Važi za dva reda ∑∞

=1n

na i ∑∞

=1n

nb

i) Ako je an< bn onda a) ∑∞

=1n

nb konvergentan ⇒ ∑∞

=1n

na konvergentan

b) ∑∞

=1n

na divergentan ⇒ ∑∞

=1n

nb divergentan

ii) Ako je n

n

n

n

b

b

a

a 11 ++ < onda a) ∑∞

=1n

nb konvergentan ⇒ ∑∞

=1n

na konvergentan

b) ∑∞

=1n

na divergentan ⇒ ∑∞

=1n

nb divergentan

iii) Ako je Mb

a

n

n

n=

∞→lim , (M≠ 0) M je konačan broj onda redovi istovremeno konvergiraju ili divergiraju

Ovde se najčešce za uporedjivanje koristi red ∑∞

=1

1

nkn

; ovaj red za k>1 konvergira, a za k≤ 1 divergira

Dalamberov kriterijum

Ako za red ∑∞

=1n

na postoji 1lim n

nn

a

a

+

→∞ = r onda važi:

- za r > 1 red divergira

- za r = 1 neodlučivo

- za r < 1 konvergira

2

Košijev koreni kriterijum:

Ako za red ∑∞

=1n

na postoji lim nn

na

→∞ = p onda važi :

- za p > 1 red divergira

- za p = 1 neodlučivo

- za p < 1 konvergira

Rabelov kriterijum:

Ako za red ∑∞

=1n

na postoji 1

lim ( 1)n

nn

ana→∞

+

− = t onda :

-za t > 1 konvergira

-za t = 1 neodlučiv

-za t < 1 divergira

Gausov kriterijum:

Ako za red ∑∞

=1n

na sa pozitivnim članovima postoji:

1

1

1( )n

n

ao

a n n ε

µλ

++

= + + za 0ε∀ > tada:

i) Ako je λ > 1 red konvergira

ii) Ako je λ < 1 red divergira

iii) Ako je λ =1 tada { }za >1 red konvergira

za <1 red divergira

µµ

Košijev integralni kriterijum:

Ako funkcija f(x) opada, neprekidna je i pozitivna, tada red ∑∞

=1

)(n

nf konvergira ili divergira istovremeno sa

integralom ∫∞

1

)( dxxf