reformulacao tese

7/25/2019 Reformulacao Tese

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UNIVERSIDADE DE EVORA

Mestrado em Matem atica AplicadaBienio 2004 / 2005

Existencia de minimizantespara integrais n ao-convexos do c alculo das varia c oes

com lagrangiano mensuravel

Disserta cao apresentada por:Pedro Miguel Lola Sim oes

Orientador: Professor Doutor Ant onio Ornelas(Professor Associado com Agrega cao)

Evora 2007


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Agradecimentos:

Agrade co, em primeiro, aos meus pais e irma, por toda a ajuda quederam durante este momento de aprendizagem. Sem eles, sem o seu apoioe animo, o prazer de concluir este trabalho n ao teria tido lugar.

Devo tambem agradecer ao meu orientador, o Professor Doutor Ant onioOrnelas, por todo o apoio que me deu em todos os momentos da elabora caodesta dissertac ao. O seu apoio cientco foi indiscutvel, e ser seu orientandoum enorme privilegio.

Por m, um profundo sentimento para com os meus colegas e amigos.


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Resumo:

Existencia de minimizantes para integrais nao-convexos docalculo das varia coes com lagrangiano mensuravel

Analisam-se v arios artigos de investiga cao matem atica que demonstrama existencia de minimizantes, numa classe de fun coes reais x(t), de vari avelreal, absolutamente contnuas denidas num intervalo compacto, para inte-grais do calculo das variacoes com lagrangiano n ao-convexo relativamentea vari avel velocidade x (t). O nosso objectivo e alcancar uma fertilizacaocruzada entre dois metodos bem diferentes; e assim conseguir, no futuropr oximo, avancar mais alem e obter novos resultados de existencia de mini-mizantes de integrais n ao-convexos.


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Abstract:

Existence of minimizers for nonconvex integrals of the calculus of variations with measurable lagrangian

We analyse several math research papers which prove existence of mi-nimizers, in a class of real x(t) functions, of one real variable, absolutelycontinuous on a compact interval, for integrals of the calculus of variationswith lagrangian nonconvex relative to the velocity variable x (t). Our aimis to reach a cross-fertilization between two quite distinct methods; and tosucceed in obtaining, in the near future, new existence results for minimizersof nonconvex integrals.


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Conte udo

Captulo 1. Introdu cao 7

Captulo 2. O calculo das varia coes no caso convexo 131. Breve resenha historica 132. O problema fundamental do c alculo das variacoes 16

3. Condi coes necessarias de optimalidade 164. O metodo directo 185. Regularidade dos minimizantes 22

Captulo 3. Resultados recentes no caso n ao-convexo 251. O problema nao dependente da vari avel de estado 252. O problema aut onomo 35

Apendice A. Denicoes e resultados preliminares 771. Espacos topologicos e lineares 782. Analise convexa 853. Medida e espa cos funcionais 92

Apendice. Bibliograa 113

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CAPTULO 1

Introdu cao

Esta disserta cao de Mestrado tem como objectivo o estudo de problemasde existencia de minimizantes para integrais com lagrangiano mensur avel(nomeadamente n ao semicontnuo inferior). Ao longo da disserta cao, alemde resultados recentes, exp oem-se tambem aspectos mais cl assicos da teoria.Em termos de organizacao, divide-se nas seguintes partes:

(1) Introducao;(2) O calculo das varia coes no caso convexo;(3) Resultados recentes no caso n ao-convexo;(4) Apendice: Deni coes e resultados preliminares.

No remanescente deste captulo, faremos uma breve introdu cao aos pro-blemas considerados neste texto.

No segundo captulo, para alem de uma bresve resenha hist orica, apresentam-se resultados cl assicos do C alculo das Variac oes (express ao que foi utilizadapela primeira vez por Leonard Euler em 1760 (ver [ GH04 , pag. 18], [GF00 ,pag. 6], [SW01 ]) apos ter recebido uma carta, de Louis Lagrange, onde seexpunha um novo metodo baseado no que actualmente chamamos varia coespara o estudo de problemas isoperimetricos).

O nascimento do Calculo das Variacoes e atribudo a Johann Bernoulliquando anos antes, em 1696, desaou a comunidade matem atica com oProblema da Braquist ocrona (ver [BGH98 , pag. 44], [GH04 , pag. 367],[GF00 , pag. 3], [SW01 ]):

... Se num plano vertical forem dados dois pontos A e B , pretende-se especicar a orbita AMB da massa pontual m ovel M ao longo da qual,partindo de A, e sob a inuencia do seu pr oprio peso, chega a B no mais curto tempo possvel...

O problema fundamental do C alculo das Variacoes, consiste em minimi-zar um integral do tipo

(1) b

aL(t, x (t), x (t))dt, denido em X AB ,

onde X AB representa a classe das funcoes x : [a, b] IRn que satisfazemas condi coes de fronteira x(a) = A e x(b) = B. A funcaoL : [a, b] IRn IRn [0, + ] chama-se lagrangiano. Usamos os sim-bolos (t ,s, ) para os argumentos de L (tempo, estado, velocidade).

Costumam levantar-se tres quest oes fundamentais relativamente a esteproblema: Existe minimizante? O minimizante e regular? O minimizante

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8 1. INTRODUC AO

satisfaz as condi c oes necess arias? Como e obvio, em geral a resposta aestas questoes e negativa, caso nao se imponham hipoteses adicionais sobre

o lagrangiano.Em rela cao a primeira pergunta, as hip oteses usuais impostas ao lagran-

giano, sob as quais e possvel provar um resultado de existencia de solu cao,no conjunto X AB , sao: a semicontinuidade inferior do lagrangiano, a conve-xidade em rela cao a velocidade e a condicao de crescimento superlinear,i.e., a exigencia da existencia de uma fun cao () tal que ( ) converge para+ quando tende para + , e L(t,s, ) ( ). Este metodo e conhecidopor Metodo Directo do C alculo das Varia c oes e foi desenvolvido, princi-palmente, pelo matem atico italiano L. Tonelli (em 1915, ver [ Ces83 , pag.533]). De um modo geral, uma vez que existe sempre uma sucess ao mini-mizante para o integral (1), i.e., uma sucess ao de fun coes (xn ()) tais que

b

a L(t, x n (t), xn (t))dt converge para o nmo de (1), e como a condicao decrescimento superlinear implica a precompacidade fraca de ( xn ()), podemossempre seleccionar uma subsucess ao minimizante fracamente convergentepara uma funcao y() absolutamente contnua, denida em [ a, b]. Como ashipoteses de convexidade e semicontinuidade inferior do lagrangiano (ver[Ces83 ], [Dac89 ], [ET99 ], [Iof77 ]) asseguram a semicontinuidade inferiorsequencial fraca do integral (1), conclui-se que uma tal fun cao y() minimizao integral considerado.

No caso em que o lagrangiano e nao-convexo, uma possvel estrategiapara provar a existencia de minimizantes consiste em obter como acima umminimizante z() para o funcional integral convexicado

(2) b

aL (t, x (t), x (t))dt, denido em X AB ,

(onde L () representa a funcao bipolar de L(), i.e.,epi L (s, ) = co epi L(s, )), de tal modo que z() satisfaz propriedadesde regularidade adequadas; e ent ao utilizam-se tais propriedades para cons-truir um novo minimizante relaxado y() que, alem disso, tambem minimizao integral n ao-convexo (1).

Supondo que existe um minimizante y(), outro problema consiste emdeterminar condi coes necessarias que y() tera que satisfazer, por ser mini-mizante. Em analise real, um princpio usual consiste em, dado um minimi-

zante pertencente ao interior do domnio de uma fun cao, obter uma condicaonecessaria para este ponto explorando o que acontece na sua vizinhan ca, porexemplo, o gradiente da funcao ter a de ser zero. Pode ent ao perguntar-se,sera possvel adaptar este princpio ao C alculo das Variacoes? A respostaa esta pergunta e armativa, e conduz-nos ` a Equa cao de Euler-Lagrange esuas variantes. Isto e feito considerando uma varia cao admissvel, i.e., umafuncao () C 0 ([a, b]; IR

n ), e considerando o integral (1) ( que por umaquest ao de comodidade escrevemos (1)= I ()) aplicado a x() + (), onde e um n umero real, e sendo o novo integral I (x() + ()) encarado como


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1. INTRODUC AO 9

uma fun cao real da vari avel real . Para esta funcao, o ponto = 0 deve serde estacionaridade. Sempre que seja possvel passar ao limite sob o sinal do

integral, obtemos a equa cao de Euler-Lagrange

ba [ L (t, y (t), y (t)) , (t) + Ls (t, y (t), y (t)) , (t) ]dt = 0 ,ou, representando por ddt a derivada no sentido fraco,

ddt

L (t, y (t), y (t)) = Ls (t, y (t), y (t)) .

Tonelli provou a validade da Equa cao de Euler-Lagrange quando o la-grangiano L() e de classe C 3, ou C 2 no caso n = 1 , e L () e estrita-mente positiva. Muitos esfor cos foram feitos com o intuito de enfraquecer ascondicoes de regularidade impostas ao o lagrangiano (ver [ BM85 ], [Ces83 ],[Cla90 ], [CV85 ], [IR75 ], [MOS02 ]).

Em [BM85 ] , J. M. Ball e V.J. Mizell apresentam um exemplo deLagrangiano tal que Ls (, y(), y ()) e nao integr avel (aqui y() e o mi-nimizante). Portanto ter a que se impor alguma condicao sobre o termoLs (, y(), y ()) de modo a assegurar a validade da equa cao de Euler-Lagrange.

Em [Ces83 ], [Cla90 ], [MOS02 ], [VZ97 ], partindo-se do pressupostode existencia de uma fun cao integr avel S (t), tal que para toda a fun caox() na vizinhanca do minimizante, |Ls (t, x (t), x (t)) | e limitado por S (t) edemonstra-se a validade da equa cao de Euler-Lagrange, supondo L(t, , x (t))localmente Lipschitziana.

Mais tarde, F. H. Clarke, em [ Cla75 ] e [Cla90 ] demonstrou a inclusao

diferencial de Euler-Lagrange para o caso em que o lagrangiano satisfaz:L(t, , ) e localmente limitado e localmente lipschitziano; e L(t,s, ) e con-vexo.

Contudo, a condicao local de Lipschitz em relacao a segunda variavelexclui uma grande classe de lagrangianos para os quais o problema de mi-nimiza cao do integral (1) tem solucao. Nomeadamente aqueles em que:L(t, , ) e uma funcao semicontnua inferior, com crescimento superlinear; eL(t,s, ) e convexa.

Em [AAB89 ], L. Ambrosio, O. Ascenzi e G. Buttazzo, consideram oproblema de minimizacao de integrais dos tipos

(3)

b

aL(t, x (t))dt,

e

(4) ba L(x(t), x (t))dtdenidos na classe de fun coes X AB . Assim, com o objectivo de estudar oproblema de minimizacao do integral (4), onde L : IRn IRn [0, + ] e talque L(s, ) e convexa, semicontnua inferior e L(, ) e mensuravel, os autoresobservam que se y() e solu cao do problema considerado, ent ao a aplicac ao


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10 1. INTRODUC AO

identidade (t) t e minimo local para o integral (3), pelo que a primeiraparte deste artigo se dedica ao estudo de funcionais deste tipo. Portanto,

provam que toda a solucao y() e regular e satisfaz a inclus ao diferencialde Euler-Lagrange, para funcionais do tipo (3), e DuBois-Reymond, parafuncionais do tipo (4).

No terceiro captulo, estudam-se os artigos de C. Marcelli [ Mar02 ] e deA. Ornelas [Orn ], [Orn05 ], onde se demonstra a existencia e regularidadeda solu cao para o problema de minimiza cao de funcionais integrais (3) e (4),respectivamente.

P. Kaiser (ver [ Ces83 , p. 440]), para funcionais integrais (3), denidospara fun coes x() W 1,p ([a, b]; IRn ) tais que x(a) = 0 e x(b) = d, comlagrangiano L(t, ) = (t)(1 + ( )2)

12 ( caso em que o integral representa

um comprimento de arco ponderado), provou que a existencia de mnimo

depende do declive d. Posteriormente condic oes necessarias e sucientes paraa existencia de mnimo para o funcional integral (3), em que o lagrangianoverica: L(, ) mensur avel, L(t, ) C 1(IR) e convexo, s ao estudadas noartigo [Mar97 ]. A extensao dos resultados a apresentados, ao caso em queo lagrangiano e nao-convexo e nao-superlinear e pouco suave estudam-se noartigo [Mar02 ].

Em [Orn05 ], observa-se que na demonstra cao de existencia de mini-mizante, um ingrediente essencial para a semicontinuidade inferior sequen-cial fraca do integral (4), costuma ser a semicontinuidade inferior do la-grangiano L() (ver [Iof77 ], [ET99 ], [Dac89 ]); contudo, em [DBD83 ] e[Amb87 ] demonstra-se que para uma grande classe de lagrangianos unidi-mensionais, aqueles em que L(s, ) e uma funcao convexa e semicontnuainferior ( como acontece quando L() e L B -mensur avel, L(, 0) e se-micontnua inferior com valores nitos e o subdiferencial L(, 0) contemuma fun cao m() L1loc (IR)), e possvel obter a semicontinuidade inferiorsequencial fraca para o integral L(). Isto permite considerar problemasde minimiza cao de funcionais integrais em que a dependencia do lagrangi-ano em rela cao a vari avel de estado s pode ser extremamente irregular, porexemplo, n ao-semicontnua inferior nos pontos onde s = 0.

De facto, nos artigos [ Orn ], [Orn05 ], prova-se a existencia de minimi-zantes para o integral (4), no caso escalar unidimensional em que sobre olagrangiano se impoem hipoteses que contem as anteriores. Por exemplo, eadmissvel a funcao L(, ) ser n ao-semicontnua inferior ( excepto nos pon-

tos ( s, 0)) e admite-se possibilidade de ser L(s, 0) = + ou L(s, 0) = para alguns valores de s .Por outro lado, existem resultados que demonstram que a convexidade

nao e uma condicao necessaria para a existencia de minimizantes. Em[Orn05 ], destaca-se a importancia que a condi cao de zero-convexidade dolagrangiano (i.e., L (s, 0) = L(s, 0)) tem na demonstra cao da existencia deminimizantes para os integrais do tipo (4), onde o lagrangiano e nao-linear,nao-convexo, mas zero-convexo e com crescimento superlinear.


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1. INTRODUC AO 11

Em [Orn05 ], prova-se ainda, que embora o lagrangiano tenha um com-portamento muito irregular numa vizinhan ca de pontos ( s, 0), o minimizante

e regular( prova-se que o minimizante e bimon otono) e satisfaz a inclusaodiferencial de DuBois-Reymond.

Por m, em apendice d a-se enfase a pre-requisitos necess arios para oestudo dos problemas considerados. Assim, recordam-se enunciados e resul-tados de An alise Funcional, Analise Convexa, An alise Multivariada e Teoriada Medida.


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CAPTULO 2

O c alculo das varia c oes no caso convexo

1. Breve resenha hist orica

O estudo de problemas do calculo das variacoes e bastante antigo. Pro-vavelmente, a primeira pessoa a considerar seriamente um problema de mi-nimiza cao do ponto de vista cientco foi Hero de Alexandria, que viveu

entre 10 d.c. e 75 d.c.. Ele estudou a reexao dos raios solares e armou,sem prova, que quando a luz emitida por um objecto e reectida por umespelho segue o menor caminho possvel desde o objecto ate ao olho.

Por sua vez, Pappus ( 350 a.c. - 290 a.c.), rei da Alexandria prome-teu uma recompensa excepcional aos serventes civis e ao pessoal militar,oferecendo-lhes toda a terra que eles conseguissem cercar com um aradonum determinado perodo de tempo. Deste modo, o problema de encon-trar a curva plana com um determinado comprimento de area m axima, ouproblema isoperimetrico, nasceu. Pappus n ao foi o primeiro a considerarproblemas isoperimetricos. Contudo, no seu livro Mathematical Colection ele recolheu e sistematizou resultados de muitos matem aticos anteriores,extraindo-os de trabalhos de Euclides (325 a.c.- 265 a.c.), Arquimedes (287a.c. -212 a.c.), Zenorodus (200 a.c.- 140 a.c.), e Hypsicles (190 a.c. - 120a.c.).

Um problema mais geral de minimiza cao optica foi estudado em meadosdo sec.XVII pelo matematico Pierre de Fermat (1601-1665). Ele acreditavaque a natureza actua sempre atraves de meios e maneiras que s ao sempre as mais faceis e r apidas mas nem sempre pelos caminhos mais curtos.

O primeiro problema normalmente associado ao desenvolvimento da te-oria matematica do c alculo das variacoes e o problema da braquist ocrona.Este e tambem, indubitavelmente o mais famoso problema desta teoria. EmJunho de 1696, Johann Bernoulli (1667-1748) publicou um desao ` a comu-nidade matematica com o seguinte enunciado:

... Se num plano vertical forem dados dois pontos A e B , pretende-se especicar a orbita AMB da massa pontual m ovel M ao longo da qual,partindo de A, e sob a inuencia do seu pr oprio peso, chega a B no mais curto tempo possvel...

Depois de enunciar o problema, Johann Bernoulli assegurou aos seus lei-tores que a solu cao do problema era muito util na mec anica, e que n ao erauma recta. O prazo para entrega de respostas imposto por Johann Bernoullifoi ate a Pascoa de 1697, altura em que ele prometeu publicar a sua pr opria

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14 2. O C ALCULO DAS VARIAC OES NO CASO CONVEXO

solucao. Aquando do incio do desao, Johann Bernoulli tambem enviou oproblema privadamente ao matem atico Leibniz (1646-1716), numa carta da-

tada de 9 de Junho de 1696. A 16 de Junho de 1696 ele recebeu uma solu caocompleta como resposta. Newton (1643-1727) tambem resolveu o problemada braquistocrona. No nal os unicos a conseguir resolver correctamente esteproblema foram Jacob Bernoulli, Leibniz, Newton, Tschirnhaus e lHopital.

O matem atico, Leonard Euler (1707-1783) tinha liga coes proprias coma famlia Bernoulli. Dada esta rela cao pr oxima, n ao e de estranhar que Eu-ler se tenha interessado pelo c alculo das variacoes. Em 1728, Euler tinha jaescrito acerca de encontrar equa coes para curvas geodesicas e em 1744 publi-cou o seu livro de referencia Metodo para descobrir linhas curvas que gozam da propriedade de m aximo ou de mnimo . Alguns matematicos preferem asdatas 1728 ou 1744 para o nascimento da teoria do c alculo das variacoes

em vez de 1697 (data em que foi publicada a solucao para o problema dabraquistocrona).Euler desenvolveu um metodo para resolver problemas especcos e

sistematizou-o num instrumento poderoso. Com este novo metodo ele foicapaz de estudar uma classe bastante generalizada de problemas. O seu tra-balho cientifco considerava uma grande variedade de problemas geodesicos,varios problemas de braquistocrona modicados e mais gerais, problemasenvolvendo restricoes isoperimetricas e ate quest oes de invari ancia. Apesarde alguns matematicos antes de Euler terem dado aten cao a tais problemas,ele examinou se as suas condicoes fundamentais se manteriam intactas comuma mudanca geral de coordenadas (estas quest oes so foram desenvolvi-das no sec. XX). Na sua publicac ao de 1744, Euler mostrou a primeiracondicao necessaria para mnimo, a denominada condi cao necessaria deEuler-Lagrange.

Um outro topico de interesse integrado no trabalho de Euler, e o dasuperfcie mnima. Euler descobriu a primeira superfcie n ao trivial destetipo: a catenoide.

Apesar de ser verdade que pouco tempo depois a tecnica de Euler foi su-perada pela de Lagrange, naquela epoca tudo isto era matem atica completa-mente inovadora. Os seus metodos eram not aveis pela clareza e perspicacia.Em 1755, Jean Louis Lagrange (1736-1813) enviou a Euler uma carta quecontinha detalhes de uma ideia nova e bela. Nesta carta, Lagrange mostroua Euler como ele podia eliminar os metodos geometricos enfadonhos do seu

processo. Essencialmente, ele tinha desenvolvido uma ideia de compara caode funcoes que levaria quase directamente ` a equa cao de Euler - Lagrange.Depois de considerar o metodo de Lagrange, Euler converteu-se instanta-neamente, abandonou os seus antigos metodos geometricos e baptizou todaesta teoria pelo nome que agora utilizamos, o C alculo das Variac oes , emhonra do metodo variacional de Lagrange.

Euler e Lagrange corresponderam-se frequentemente nos anos seguintes,com Lagrange a trabalhar arduamente para estender a sua teoria. Ate aonal de 1760, ele foi capaz de publicar um grande numero de resultados


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1. BREVE RESENHA HIST ORICA 15

no Miscellanea Taurinensia , um jornal cientco em Turim, com o ttulode Ensaio acerca do novo metodo para determinar m aximos e mnimos de f ormulas de integrais indenidos .

Em 1786, Adrien Marie Legendre (1752-1833) apresentou umadissertacao a Academia de Paris intitulada Sobre o metodo de distinguir m aximos de mnimos no c alculo das varia coes . Legendre considerou o pro-blema de determinar se uma extremal e um arco minimizante ou maximi-zante. Analisou a segunda varia cao do funcional, motivado pelo teoremade Taylor. Legendre foi capaz de obter a condi cao necessaria de segundaordem L 0 aplicado a minimizante, o que e surpreendentemente se-melhante ao que conhecemos do calculo elementar com o teste da segundaderivada. Legendre tentou mostrar a condi cao fortalecida L > 0, que naoe verdade.

So passados cinquenta anos da descoberta inicial de Legendre, relativaa condi cao necessaria de segunda varia cao, e que outro matem atico tentoudesenvolver esta teoria no sentido das condi coes necessarias e sucientes.Em 1836, Gustav Jacobi (1804-1851) demonstrou rigorosamente o que agorachamamos de condicao suciente de Jacobi.

Em 1870, Karl Weierstrass reviu toda a teoria do c alculo das varia coes.Weierstrass foi o primeiro a realcar a import ancia do domnio da funcionalque estamos a tentar minimizar. Ele tambem examinou o conjunto dasfuncoes admissveis. Um dos seus feitos mais not aveis foi um novo teoremade suciencia para mnimo. Dois novos conceitos, o campo de extremais efuncao excesso de Weiertrass foram desenvolvidos, assim como um novo tipode mnimo, o chamado mnimo forte.

Com base no trabalho desenvolvido por Weierstrass, outros matem aticos,tais como Bolzano, Bliss, Caratheodory, Hilbert, deram ao c alculo uma es-trutura matem atica rigorosa.

Em 1900 no Congresso internacional de Matem atica de Paris , Hilbertformulou vinte e tres problemas que considerava fundamentais para o desen-volvimento da matem atica no sec.XX. Tres deles (19, 20 e 23) eram sobrecalculo das varia coes.

Com efeito, foi Hilbert ( em 1900) o primeiro a resolver um problemavariacional ( o problema da minimiza cao do funcional integral unidimensi-onal de Dirichelet) abordando directamente o funcional integral ( em vezdo lagrangiano, como era pratica ate ent ao), e da o nome Metodo Directo .

Contudo s o em 1915, Tonelli provou a existencia de solu cao para o problemageral do calculo das variacoes. Estes metodos de abordagem do problema,conhecidos por metodos directos, promoveram um grande desenvolvimentoda analise em geral, atingindo maior notoriedade na an alise funcional, teoriada medida e equa coes diferenciais.


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2. O problema fundamental do calculo das varia coes

O problema fundamental do c alculo das varia coes consiste na deter-mina cao de um extremante - um minimizante ou um maximizante - paraum integral que depende de uma fun cao pertencente a uma determinadaclasse de fun coes, em particular, fun coes cujos valores nos extremos de umdeterminado intervalo real limitado s ao xos.

Portanto, consideramos [ a, b], com a < b um dado intervalo na recta realIR. Fa camos X AB representar a classe de todas as fun coes absolutamentecontnuas, x : [a, b] IRn , n 1, que satisfazem as condi coes de fronteira

(5) x(a) = A, x(b) = B

onde A, B IRn , est ao xos. Seja ainda L() uma fun cao real denida em[a, b] IRn IRn . Assim, pretende-se minimizar o integral

(6) I (x()) = b

aL(t, x (t), x (t))dt, x () X AB

onde x (t) representa a derivada dxdt , isto e, x (t) = (dx 1 (t )

dt ,..., dx n (t )

dt ).

Definic ao 2.1. [GF00 ](1) A func ao L() chamamos Lagrangiano do problema fundamental do

c alculo das varia c oes;(2) As func oes x() que satisfazem as condi c oes de fronteira (5) dizem-

se traject orias admissveis;(3) Quando o Lagrangiano L() n ao depende explicitamente da vari avel

independente t, diz-se que o problema e aut onomo.

3. Condi coes necessarias de optimalidade

Definic ao 3.1. [GF00 ] Uma traject oria admissvel y() e um minimi-zante global de I () se para as traject orias admissveis x()

(7) I (y()) I (x()) .

Dizemos que uma fun cao y() X AB e um minimizante local de I ()quando a condi cao

I (y()) I (x())

se verica para todas as funcoes x() X AB sucientemente proximas dey().Contudo a nocao de sucientemente pr oximasprecisa de ser denida.

Para tal e necess ario denir uma metrica que permita introduzir o conceitode vizinhan ca. Sao usuais no calculo das variacoes duas metricas: a forte ea fraca.

Consideremos as seguintes metricas:

0(y(), x()) = supt [a,b ]

{ y() x() }


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3. CONDIC OES NECESS ARIAS DE OPTIMALIDADE 17

1(y(), x()) = supt [a,b ]

{ y() x() + y () x () } .

Definic ao 3.2. [GF00 ] O conjunto N (y()) = {x : [a, b] IRn : x() AC [a, b] e 0(y(), x()) < }

designa-se por vizinhanca forte de y().Por sua vez, o conjunto N (y()) = {x : [a, b] IRn : x() AC [a, b] e 1(y(), x()) < }

designa-se por vizinhanca fraca de y().

Definic ao 3.3. [GF00 ] Uma traject oria admissvel y() diz-se um mi-nimizante local forte para o funcional integral I (), se existir uma vizinhanca forte N de y() tal que

I (y()) I (x())para toda a traject oria admissvel x() N (y()) .

Analogamente, dizemos que uma traject oria admissvel y() e um mini-mizante local fraco para o integral variacional I () se existir uma vizinhancafraca N de y() tal que

I (y()) I (x())para toda a traject oria admissvel x() N . Todo o mnimo global etambem um mnimo local e, de modo semelhante, um mnimo local fortee tambem um mnimo local fraco. Em ambos os casos o oposto nem sem-pre e verdadeiro. Quando o problema em quest ao admite solu cao, se umacondicao necessaria para mnimo local forte n ao da nenhum candidato, ent ao

podemos concluir que n ao existe nenhum mnimo local forte e que a solu caoe um mnimo local fraco. Na verdade, a teoria da existencia no c alculodas varia coes verica a existencia numa classe maior de fun coes admissveispara as quais as condicoes necessarias de optimalidade cl assicas n ao sao ne-cessariamente validas. Muitos problemas de aspecto simples n ao admitemsolucao na classe de fun coes admissveis onde eles s ao formulados, e ondeas condi coes necessarias cl assicas s ao validas. Nesta situa cao, nao faz sen-tido aplicar qualquer uma das condi coes necessarias: podemos ser levadosa conclus oes erradas, apenas porque a condi cao de existencia que assumi-mos a priori n ao e satisfeita. Isto e conhecido como o paradoxo de Perron[You00 ]. Podemos concluir, contudo, que o problema n ao tem qualquersolucao na classe X AB se quer as condi coes necessarias para mnimo forte,quer as condi coes necessarias para mnimo fraco n ao derem nenhum candi-dato.

3.1. Condicao necessaria cl assica para mnimo local forte.

Definic ao 3.4. (Fun c ao Excesso de Weierstrass [GF00 ])A func ao excesso de Weierstrass E : [a, b] IRn IR n IRn IR, associada ao lagrangiano L() do integral I (), e denida por

E (t, x (t), x (t), ) =


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(8) = L(t, x (t), ) L(t, x (t), x (t)) x (t) , L (t, x (t), x (t)) .

Teorema 3.1. [GF00

] Suponhamos que y() e um minimizante local forte para o integral I (), e que L() e uma fun c ao de classe C 2 em [a, b] IRn IRn . Ent ao(9) E (t, y (t), y (t), ) 0, IRn , t [a, b].

3.2. Condicao necessaria cl assica para mnimo local fraco.

Teorema 3.2. [GF00 ]Suponhamos que y() e um minimizante local fraco para o integral I (), e que L() e uma fun c ao de classe C 2 em [a, b] IRn IRn . Ent ao

(10) d

dtL (t, y (t), y (t)) = Ls (t, y (t), y (t)) .

A equa cao (10) designa-se por equacao de Euler-Lagrange e as suassolucoes sao chamadas extremais.

Teorema 3.3. [BGH98 ]Suponhamos que y() e um minimizante local fraco para o integral I (), e que L() e uma fun c ao de classe C 2 em [a, b] IRn IRn . Ent ao

(11) d

dt[L(t, y (t), y (t)) y (t)L (t, y (t), y (t))] = Lt (t, y (t), y (t)) .

A equa cao (11) designa-se por condicao de DuBois-Reymond.

Teorema 3.4. [Ces83 ]Suponhamos que y() e um minimizante local fraco para o integral I (x), e que L() e uma fun c ao de classe C 2 em [a, b] IRn IRn . Ent ao(12) L i k (t, y (t), y (t))

i k 0, IRn .

Observac ao 3.1. [Ces83 ](1) Se o lagrangiano L(t, ) n ao depende da vari avel de estado s, a

equac ao de Euler-Lagrange reduz-se a

(13) L (t, x (t)) = C,

onde C e uma constante arbitr aria.(2) Se o lagrangiano L(s, ) n ao depende do tempo t, a equa c ao de

DuBois-Reymond reduz-se a

(14) L(x(t), x (t)) x (t), L (x(t), x (t)) = C,onde C e uma constante arbitr aria.

4. O metodo directo

O metodo directo do c alculo das variacoes deve o seu nome ao facto dese procurar determinar os minimizantes directamente a partir do funcionalintegral. Este metodo e uma das principais ferramentas na obten cao desolucoes de equacoes com derivadas parciais nao-lineares.


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4. O M ETODO DIRECTO 19

Para compreendermos mais claramente a essencia desta tecnica, vejamoso que sucede no caso de dimens ao nita.

Consideramos I : IRn IR. Pretendemos encontrar x0 IR tal que I (x0) I (x) para todo o x IRn . Para garantirmos a existencia denmo nito precisamos de impor que I () seja limitado inferiormente (istoe, I (x)) c > x IRn ).

Sejam < m = inf {I (x) : x IRn } e (xn ) uma sucess ao minimi-zante, isto e, I (xn ) m.

Se tal sucess ao minimizante tiver todos os seus termos contidos num conjunto fechado e limitado, o que, devido ao facto de o espa co ter dimensaonita signica que ( xn ) est a contida num conjunto compacto, podemos ex-trair uma subsucess ao convergente para um ponto do conjunto, isto e, existe(xn k ) com xn k x0. Ent ao I (xn k ) m, porque I (xn k ) e uma subsucessao

de I (xn ), logo converge para o mesmo limite de I (xn ). Por outro lado, como I () e contnua I (xn k ) I (x0), logo por unicidade do limite I (x0) = m eportanto x0 e o minimizante desejado.

De facto, n ao e necess ario que a func ao seja contnua, isto e, n ao enecessario que lim n + I (xn ) = I (x) sempre que xn x, mas apenaslimn + I (xn ) I (x), ou seja, que I () seja semicontnuo inferior, pois s oestamos interessados no mnimo.

A ideia do metodo directo e, reproduzir esta an alise no caso de dimensaonita, encontrar sucess oes minimizantes pertencentes a um conjunto fecha-dos e limitado e assegurar a semicontinuidade inferior. Contudo, em di-mensao innita, este problema e muito mais delicado. Com efeito, a pri-meira hip otese n ao e, em geral, suciente para permitir a extrac cao de umasubsucess ao convergente. Isto e possvel apenas, com uma topologia maisfraca que a usual. A segunda imposi cao e ent ao que I () seja semicontnuoinferiormente em relacao a topologia fraca, para garantir que o nmo sejade facto um minimizante. Este ultimo requisito e cumprido por uma vastaclasse de funcionais I (), nomeadamente aqueles cuja fun cao integranda econvexa relativamente ` a vari avel velocidade.

O problema de obter boas propriedades de compacidade e o problema deobter a semicontinuidade inferior do funcional, s ao antag onicos, na medidaem que quanto mais se enfraquece a topologia menos possibilidades temosde I () ser semicontnuo inferiormente.

Um espaco de funcoes X razoavel deve ser completo. Devemos revestir

X com a topologia fraca para obtermos a compacidade das solu coes mini-mizantes. No caso em que X e reexivo, uma das caractersticas das topolo-gias fracas e que as sucessoes uniformemente limitadas s ao pre-compactas.Assim, para obter a compacidade na topologia fraca, e suciente obter alimita cao das sucess oes minimizantes, e isto pode ser obtido impondo umcomportamento apropriado da fun cao lagrangiano no innito (por exemplo,o crescimento superlinear).


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4.1. Teorema geral de existencia. Considera-se o problema da mi-nimiza cao de integrais do tipo

b

aL(t, x (t), x (t))dt, x () X AB ,

em queX AB := {x() AC ([a, b], IRn ) : x(a) = A, x(b) = B }

com A e B xos.

Teorema 4.1. [AFP00 , pag. 267] Seja L : [a, b] IRn IRn [0, + ]uma fun c ao normal com L(t,s, ) convexa em IRn para todo o s IRn e todoo t [a, b].

Ent ao, o integral

b

a L(t, x (t), x (t))dte sequencialmente semicontnuo inferior no espa co L1([a, b], IRn ) L1([a, b], IRn )dotado da topologia forte em L1([a, b], IRm ) e da topologia fraca em L1([a, b], IR n ).

Um resultado, muito conhecido, de existencia de solu cao do Calculo dasVaria coes e:

Definic ao 4.1. Diz-se que L(t,s, ) tem crescimento superlinear se exis-tir uma fun c ao ( ) tal que:

(1) L(t,s, ) ( ) t, s, ;(2) ()| | quando | | .

Definic ao 4.2. Diz-se que L(t,s, ) tem crescimento polinomial m se existirem constantes positivas c0, c1, c2 e uma constante m 1 tais que:c0 | |m L(t,s, ) c1 | |m + c2, t, s, .

Teorema 4.2. (Teorema da Existencia de Tonelli [ET99 , pag.250])Seja L : [a, b] IRn IRn ( , + ] uma fun c ao normal tal que:

(1) L(t,s, ) e convexa em IR n para qualquer t [a, b] e qualquer s IR n ;

(2)L(t,s, ) (| |) + a(t)

onde : [0, +

[

(0, +

] e uma fun c ao crescente, semicontnua inferior e convexa, que satisfaz a condic ao de crescimento superli-

near e a() L1([a, b], IRn ).Ent ao, existe solu c ao para o problema da minimiza c ao de integrais do tipo

ba L(t, x (t), x (t))dtna classe de fun c oes

X AB := {x() AC ([a, b], IRn ) : x(a) = A, x(b) = B }


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Ent ao, existe minimizante para o integral relaxado

b

aL (t, x (t), x (t))dt,

denido na classe

X AB := {x AC ([a, b], IR n ) : x(a) = A, x(b) = B}

com A e B xos.

Observac ao 4.1. [ET99 , pag. 287] No caso em que se vericam as hip oteses:

(1) : [0, + ) [0, + ) e uma fun c ao convexa, crescente e semi-contnua inferior que satisfaz a condi c ao de crescimento superli-near;

(2) g() uma fun c ao normal denida em [a, b] IRn , tal que g(t, ) ( | |)

(3) Dados 1 , e L() uma fun c ao normal denida em [a, b] IR n IRn , para os quais:(a) se 1 < , existem a1 e a2 L1([a, b]), b 0 e c 1 tais

que g(t, ) + a2(t) L(t,x, ) cg(t, ) + b|x | + a1(t);(b) se = , existe a2 L1([a, b]) e, para todo o k > 0, existem

c 1 e a1 L1([a, b]) tais que g(t, ) + a2(t) L(t,x, ) cg(t, ) + a1(t) para |x | k;

(c) para quase todo t [a, b], a restric ao de L(t, , ) a

IRm

dom g(t, ) e contnua.o integral relaxado tem soluc ao e min ba L (t, x (t), x (t))dt = inf ba L(t, x (t), x (t))dt .

5. Regularidade dos minimizantes

Teorema 5.1. [BGH98 , pag. 134] Seja L : [a, b] IR n IRn IR uma func ao de classe C 2, com crescimento polinomial de grau p > 1, n 1, e que satisfaz as seguintes condic oes:

(1) Existem constantes c0, c1 > 0 tais que para todo o (t ,s, ) [a, b]IR n IRn ,

(15) c0| | p

L(t,s, ) c1(1 + | | p

);(2) Existe uma fun c ao M (R) > 0 tal que

(16) |Ls (t ,s, ) L (t ,s, ) | M (R)(1 + | | p),

para todo (t ,s, ) [a, b] IR n IR n com t2 + |s |2 R2;(3) para todo (t ,s, ) [a, b] IR n IR n e para todo o IRn \ { 0},

(17) L i k (t ,s, ) i k > 0.


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5. REGULARIDADE DOS MINIMIZANTES 23

Seja X pAB a classe das func oes x() W 1,p (a, b; IRn ) que satisfazem as

condi c oes de fronteira x(a) = A e x(b) = B . Suponha-se y() X pAB um minimizante (local) para o integral

(18) ba L(t, x (t), x (t))dt, x () X mAB .Ent ao, y() C 2([a, b]; IRn ) e satisfaz a equa c ao de Euler-Lagrange.

Teorema 5.2. [BGH98 , pag. 144] Seja L() uma fun c ao suave com crescimento superlinear, e que satisfaz L > 0.

Seja y() X AB um minimizante local forte para o integral

(19)

b

aL(t, x (t), x (t))dt,

e suponha-se que: ou Ls (, y(), y ()) L1(a, b); ou que Lt (, y(), y ()) L1(a, b).

Ent ao, y() e suave e satisfaz tanto a equac ao de Euler-Lagrange

(20) ddt

L (t, y (t), y (t)) + Ls (t, y (t), y (t)) = 0 ,

bem como a equac ao de DuBois-Reymond

(21) d

dt[L(t, y (t), y (t)) y (t)L (t, y (t), y (t))] = Lt (t, y (t), y (t)) .

5.1. Condic oes necessarias sob a forma de inclus oes diferenci-ais. Como consequencia de desenvolvimentos recentes em an alise nao su-ave, foi possvel estender as condic oes necessarias cl assicas de existencia desolucao sob a forma de inclusoes diferenciais.

Nesta sec cao considera-se o problema de minimiza cao de integrais dotipo

ba L(t, x (t))dt,e

ba L(x(t), x (t))dtdenidos em X

AB. Dene-se , como anteriormente, para p [1, + ], a

classe de fun coes

X pAB := {x(t) W 1,p ([a, b], IRn ) : x(a) = A, x(b) = B},

e para > 0 as vizinhancas forte e fraca (respectivamente)de y():

N p (y()) = {x(t) y(t) + W 1,p0 ([a, b], IR

n ) : |y(t) x(t) | < , t [a, b]},

N p (y()) = {x(t) y(t)+ W 1,p0 ([a, b], IR

n ) : y(t) x(t) W 1 ,p0 < , t [a, b]}.


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Definic ao 5.1. Uma func ao y() X pAB denomina-se W 1,q -minimizante

local forte (resp. W 1,q -minimizante local fraco), com q p, se existir uma constante > 0 tal que

ba L(t, y (t))dt ba L(t, x (t))dt,qualquer que seja x() N q (y()) (resp. x() N q (y())).

Teorema 5.3. [AAB89 ] Seja L : [a, b] IRn [0, + ] uma fun c aoL B -mensur avel, com L(t, ) semicontnua inferior e convexa q.s. em [a, b].Seja y() X AB um W 1, -minimizante local fraco para o integral

ba L(t, x (t))dtcom y (t) int (dom L(t, )) q.s. em [a, b].Ent ao, existe c IRn que verica a inclus ao c L(t, y (t)) q.s. em [a, b].

Teorema 5.4. [AAB89 ] Seja L : IRn IRn [0, + ] uma fun c ao de Borel, tal que para todo o s IRn , L(s, ) e convexa e semicontnua inferior em IRn . Seja y() X AB um W 1,1-minimizante local fraco para o integral

ba L(x(t), x (t))dt, x () X AB .Sup oe-se ainda que (22) y (t) int (dom L(y(t), )) q.s. em [a, b].

Ent ao, existem c IR e uma fun c ao mensuravel p(t) tais que p(t) L(y(t), y (t)) ,

c = p(t), y (t) L(y(t), y (t)) ,q.s. em [a,b].


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CAPTULO 3

Resultados recentes no caso nao-convexo

1. O problema nao dependente da variavel de estado

Nesta sec cao considera-se o problema de minimiza cao de integrais

(23)

b

aL(t, x (t))dt, x () X 0d ,

onde X 0d e a classe das fun coes x : [a, b] IRn absolutamente contnuas quesatisfazem as condicoes de fronteira x(a) = 0 e x(b) = d.

Teorema 1.1. [Mar02 ] Seja L : [a, b] IRn ( , + ] uma fun c aoL B -mensuravel, tal que dom (L(t, )) e convexo q.s. em [a, b].

Suponha-se que existe uma fun c ao absolutamente contnua y() tal que o integral ba L(t, y (t))dt existe, tem valor nito, e (24) y (t) int (dom L(t, )) q.s. em [a, b].

Ent ao, quaisquer que sejam p, q [1, + ] e para todo o > 0,

(25) inf x () N p (y()) b

a L(t, x (t))dt = inf x () N q (y()) b

a L (t, x (t))dt.

Em particular,

(26) inf x () X p0 d ba L(t, x (t))dt = inf x () X p0 d ba L (t, x (t))dt.

Demonstrac ao. Como L (t, ) L(t, ), basta mostrar que qualquerque seja > 0, e quaisquer que sejam p, q [1, + ]

inf x () N p (y()) ba L(t, x (t))dt inf x () N q (y()) ba L (t, x (t))dt,

Com vista ao absurdo, sup oe-se que para algum > 0 e p, q [1, + ],existe w(t) N q (y()), tal que

ba L (t, w (t))dt < inf x () N p (y()) ba L(t, x (t))dt.Considera-se portanto, dois n umeros reais e , para os quais

ba L (t, w (t))dt < < < inf x () N p (y()) ba L(t, x (t))dt.25


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26 3. RESULTADOS RECENTES NO CASO N AO-CONVEXO

Escolhe-se ]0, 12 [, de tal modo que B(w(t), ) B (y(t), ) para todoo t [a, b] e

(1 ) b

aL (t, w (t))dt +

b

aL (t, y (t))ds < .

dene-se w(t) := (1 )w(t) + y(t) de tal modo que para todo o t [a, b]B (w(t), ) B(y(t), ), e pela convexidade da funcao L () ba L (t, w (t))dt (1 ) b

aL (t, w (t))dt + ba L (t, y (t))dt < .

Alem disso, como w (t) dom (L (t, )) q.s. em [a, b], em virtude daconvexidade do conjunto dom L(t, ), e como y (t) int(dom L(t, )) verica-se a inclusao

w (t) int (dom L(t, )) q.s. em [a, b]. Logo,

(27) L (t, w (t)) = co L(t, w (t)) q.s. em [a, b].Considera-se g : [a; b] IR, com g() L1(a, b), g(t) > L (t, w (t)) e ba g(t)dt < .Combinando (27) juntamente com (128) resulta que a multifun cao : t [a, b] (t) [0, 1]n +1 (IR n )(n +1) ,

(t) := (, ) :n +1

j =1

j = 1 ,n +1

j =1

j j =

w (t),

n +1

j =1

j L(t, j ) g(t), L(t, j ) < + ,

e n ao vazia e mensur avel. Aplica-se o (Teorema 3.37) e deduz-se a existenciade funcoes mensur aveis j : [a, b] [0, 1], j : [a, b] IR, j = 1 ,...,n + 1,tais que n +1 j =1 j j = w (t) e(28)

n +1

j =1

j L(t, j ) g(t) q.s. em [a, b].

Considera-se > 0 um numero real, tal que para todo o conjuntoE [a, b] com |E | < 2 se vericam as desigualdades:

(29)

E

|y (t)| + |w (t) | dt < 3

,

(30) E |L(t, y (t)) |dt < 12( ),(31) [a,b ]\ E g(t)dt < .

Escolhe-se r ]0, 1[ tal que para G = {t : B(w (t), nr ) domL(t, )}|G| > b a 2 .


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1. O PROBLEMA N AO DEPENDENTE DA VARI AVEL DE ESTADO 27

Considera-se C G um conjunto compacto, com ( b a) < |C | < b a,e M > 0 uma constante, tal que para q.t.p t C e para todo IRn com i { wi (t), w

i (t) + r, wi (t) r }, i = 1 ,...,n ,

(32) |y (t)| + |w (t)| +n +1

j =1| j (t)| +

n +1

j =1|L(t, j (t)) | + |L(t, )| M

Denem-se = min { 2M , , |C |, 3n }, [a, b] \ C um conjunto, e N > 0

uma constante, tais que

(33)n +1

j =1

(|L(t, j )| + | j (t)|)+ |w (t)|+ |y (t) | N q.s. em [a, b]\ ( C ),

(34) |w (t) y (t) |dt r.Considera-se C C um conjunto com |C | = . Dene-se =

[a, b] \ ( C ) e 1, ..., s uma particao nita de em subconjuntosmensur aveis e dois a dois disjuntos, tais que |k | < , sup k inf k+1 ,k = 1 ,...,s , e

(35) k |w (t)| +n +1

j =1 | j (t)| dt

3 , k = 1 ,...,s.

Para todo o k { 1,...,s } aplica-se o (Teorema 3.33) as funcoesh j : k IRn +1 , j = 1 ,...,n + 1 denidas por h j (t) = ( j (t), L(t, j (t))),ededuz-se que para todo o k = 1 ,...,s existem conjuntos disjuntos E k1 , . . . ,E kn +1 k tais que para (t) = tk=1

n +1 j =1 E kj (s) j (t)

(36) k (t)dt = k n +1 j =1 j (t) j (t)dt = k w (t)dt, k = 1 ,...,s,e por (28) e (31)

(37) L(t, (t))dt = n +1 j =1 j (t)L(t, j (t))dt g(t)dt < .Para todo o i { 1,...,n } dene-se i (t) := [wi (t) yi (t)]dt . Peladesigualdade (34) pode escolher-se um conjunto C i C tal que |C i | = | i (t ) |r .


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Dene-se ainda, para todo o i { 1,...,n },

i (t) :=

yi(t) em t ,

i (t) em t ,

wi (t) + r sgn( i (t)) em t C i ,

wi (t) em t C \ C i ,

e faz-se x(t) = t

a ( )d . Por (32) resulta que |L(t, (t)) | M q.s. em C . Alem disso, de (36) obtem-se

b

a

x i (t)dt =

= x i (t)dt + i (t)dt + C wi (t)dt + | i (t)| sgn( i (t)) == ba wi (t)dt.

Ent ao, por (32) e (33), y(t) x(t) W 1,0 (a, b).Por (29), (35) e (36), para todo o t [a, b]

|x(t) w(t)|

|y ( )

w ( )|d +

k

|( )

w ( )|d + n

3

+ 3

+ 3

,

onde k { 1,...,s } e tal que sup k 1 < s sup k , e 0 = {a}. Logo,x(t) N p (y()). Das desigualdades (30) e (37) deduz-se

ba L(t, x (t))dt == L(t, y (t))dt + L(t, (t))dt + C L(t, (t))dt (t)

min C t para (t)onde L (t, ) denota o subgradiente de L (t, ).


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Observac ao 1.1. Quando (t) < < (t), as fun c oes ge () e gd ()s ao (respectivamente) as derivadas laterais esquerda e direita de L (t, ). As func oes s ao truncadas de modo a assumir valores no intervalo [min C t , max C t ].

Apesar desta modicac ao, ge() e gd() satisfazem as mesmas proprieda-des que as derivadas de L (t, ). Em particular, ge () e gd() s ao mon otonas,n ao decrescentes, e gd () e contnua ` a direita, enquanto que ge () e contnua a esquerda.

Observe-se tambem que min C t L (t, (t)) e max C t L (t, (t)) .Denem-se ainda = sup ess t [0,1]Le (t, min C t ) e

= inf ess t [0,1]Ld (t, max C t ).Teorema 1.4. Suponha-se que C t e limitado q.s. em IR, e que max C t ,

min C t L p(a, b). Ent ao, o integral

b

aL(t, x (t))dt

admite mnimo se e s o se e

(41) ba ge(t, )dt d ba gd (t, )dt.Demonstrac ao. Parte I: (Condicao necessaria).Como consequencia do (Teorema 1.2), se o integral ba L(t, x (t))dt ad-mite mnimo, existem uma fun cao y() e uma constante c tais que 10 y (t)dt =d e

(42) c L (t, y (t)) q.s. em [a, b].Alem disso, y (t) C t q.s. em [0, 1]. Portanto,

(t) = Le (t, min C t ) Le (t, y (t)) c Ld (t, y (t)) Ld (t, max C t ) = (t)q.s. em [0, 1]. Logo, c .

Como c L (t, y (t))ge (t, ) ge(t, c) y (t) gd (t, c) gd (t, ),

donde resulta (41).Parte II: (Condi cao suciente).Como gd () e ge () sao funcoes contnuas `a direita e esquerda (respecti-

vamente), as funcoes Gd ( ) :=

1

0 gd (s, )dt e Ge ( ) :=

1

0 ge (s, )dt saocontnuas `a direita e a esquerda (respectivamente) em [ , ]. Portanto, para

c := sup { : Ge ( ) d},

Ge (t, c) = 10 ge(t, c)dt d 10 gd(t, c)dt = Gd (t, c).Ent ao, existe uma constante r [0, 1] tal que, a fun cao

(t) :=ge(t, c) para t [0, r ]

gd (t, c) para t [r, 1]


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1. O PROBLEMA N AO DEPENDENTE DA VARI AVEL DE ESTADO 33

satisfaz a igualdade

1

0 (t)dt = d.Dene-se y(t) =

t

0 ( )d . Ent ao, de como se deniu (), resulta quey (t) L (t, ), i.e., c L (t, y (t)) q.s. em [0, 1].

Portanto, como consequencia do (Teorema 1.3), y(t) e um minimizantepara o integral

ba L(t, x (t))dt.1.2. Integrais com lagrangiano L (t, ) estritamente convexo.

Nesta sec cao considera-se que o lagrangiano L : [0, 1] IR IR tem inv olucroestritamente convexo no innito, i.e., considera-se que o conjunto N t =IR \ C t e limitado q.s. em IR, e que L(t, )e estritamente convexa em IR \ co N t .

Denota-se por: Le(t, ) e Ld (t, ) as derivadas laterais esquerda e direita de L(t, ); Le (t, ) e Ld (t, ) as derivadas laterais esquerda e direita de L (t, );

Considera-se ainda que:

Le (t, ) = Ld (t, ) = lim

Le(t, ) = lim

Ld(t, ),

eLe (t, + ) = Ld (t, + ) = lim

+ Le(t, ) = lim

+ Ld(t, ).

= sup ess t [0,1]Le (t, ) e = inf ess t [0,1]Ld (t, + ).

T pd = { [, ] IR : Ld (t, ) L p(0, 1)} ,T pe = { [, ] IR : Le (t, ) L p(0, 1)} .

Teorema 1.5. Suponha-se que N t e um conjunto limitado q.s. em [0, 1]com

(43) min N t , max N t L p(0, 1);

e L(t, ) estritamente convexa em IR \ co N t .Ent ao, o integral ba L(t, x (t))dt admite mnimo se e s o se uma das seguintes condi c oes se verica:(1) T pd T

pe = e inf T pe

1

0 Le (t, )dt < d < sup T pd

1

0 Ld (t, )dt ;(2) T pe = e d = min T pe

10 Le (t, )dt ;

(3) T pd = e d = max T pd 10 Ld (t, )dt .Demonstrac ao. Parte I: (Condicao suciente).Por [Mar97 , Teorema 3] deduz-se a existencia de um minimizante z()

para o funcional integral relaxado ba L (t, x (t))dt.O problema reduz-se portanto a provar a existencia de uma fun cao y() z() + W 1,p0 (0, 1) tal que ba L(t, y (t))dt = ba L (t, z (t))dt .


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Como o conjunto N t e limitado, [ ET99 , Lema 8.3.3]L (t, ) = min {1L(t, 1) + 2L(t, 2) :

: 1, 2 [0, 1], 1 + 2 = 1 , 1 1 + 2 2 = }.Portanto, por [ ET99 , Proposi cao 8.3.1] existem funcos mensur aveis1, 2 : [0, 1] [0, 1]; 1, 2 : [0, 1] IR tais que

L (t, z (t)) = 1L(t, 1) + 2L(t, 2),com z (t) = 1 1 + 2 2. Alem disso, por (43) 1, 2 L p(0, 1).

Aplica-se o (Teorema de Liapunov 3.33) ` as funcoesg j (t) = ( j , L(t, j (t))) ,

para j = 1 , 2, e deduz-se a existencia de dois conjuntos disjuntos e men-sur aveis E 1 e E 2 tais que para (t) = E 1 (t) 1(t) + E 2 (t) 2(t),

1

0(t)dt =

1

0z (t)dt e

10 L(t, (t))dt = E 1 L(t, 1)dt + E 2 L(t, 2)dt == 10 [1 L(t, 1)dt + 2 L(t, 2)] dt =

= 10 L (t, z (t))dt.Portanto, para y(t) =

t

0 ( )d , y(t) z(t) + W 1,p0 (0, 1) e

b

aL(t, y (t))dt =

b

aL (t, z (t))dt.

Parte II: (Condi cao necess aria).Como L (t, ) = ( L (t, )) o teorema ca demonstrado por aplica cao

do (Teorema 5.3) e por [ Mar97 , Teorema 3].


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2. O PROBLEMA AUT ONOMO 35

2. O problema aut onomo

No que segue estudam-se os artigos [ Orn ], [Orn05 ],onde se demons-tra, para o caso escalar unidimensional, a existencia de minimizantes paraintegrais do tipo

(44) ba L(x(t), x (t))dt, x () X AB ,onde X AB representa a classe das funcoes absolutamente contnuas x :[a, b] IR IR que vericam as condicoes de fronteira x(a) = A e x(b) = B .

Em [Orn05 ] chama a aten cao para o facto do ingrediente essencial para asemicontinuidade inferior sequencial fraca do funcional integral ba L(x(t), x (t))dtser a semicontinuidade inferior do lagrangiano L(), em [Iof77 ]) e [Amb87 ]demonstra-se que para uma grande classe de lagrangianos unidimensionais,aqueles em que L(x(t), ) e uma funcao convexa e semicontnua inferior (como acontece quando L() e L B -mensur avel, L(, 0) e semicontnua in-ferior com valores nitos e cujo subdiferencial L(, 0) contem uma fun caom() L1loc (IR)), e possvel obter a semicontinuidade inferior sequencial fracapara o integral ba L(x(t), x (t))dt . Isto permite considerar problemas de mi-nimiza cao de funcionais integrais, do tipo ba L(x(t), x (t))dt , em que a dependencia do lagrangiano em rela cao a se-gunda vari avel x (t) pode ser extremamente irregular, por exemplo, n ao-

semicontnua inferior em qualquer ponto onde x (t) = 0. Assim, nos artigos[Orn ], [Orn05 ] o autoremonstra a existencia de minimizantes para o inte-gral

b

a L(x(t), x (t))dt , no caso em que sobre o lagrangiano s ao consideradashipoteses de contem as anteriores, no caso escalar unidimensional. Comefeito, em [Orn05 ] considera-se que L(, x (t)) n ao semicontnua inferior (excepto nos pontos ( x(t), 0)), admitindo a possibilidade de ser L(, 0) = + e L(, 0) = em qualquer ponto.

Por outro lado, existem resultados que demonstram que a convexidadenao e uma condicao necessaria para a existencia de minimizantes. Em[Orn05 ], destaca-se a importancia que a condi cao de zero-convexidade dolagrangiano (i.e., L (x(t), 0) = L(x(t), 0) com x() unidimensional) temna demonstracao da existencia de minimizantes para os integrais do tipo

b

a L(x(t), x (t))dt onde o lagrangiano e nao-linear, n ao-convexo, mas zero-convexo e com crescimento superlinear no innito ( isto e, verica a condi cao:

(45) inf L(IR , )

| | + | | + .

Em [Orn05 ]prova-se que o minimizante e bimon otono, embora se con-sidere que o lagrangiano tem um comportamento muito irregular numa vi-zinhan ca de pontos ( x(t), 0).

2.1. Mensurabilidade do lagrangiano.


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Lema 2.1. Sejam x : [a, b] IR uma fun c ao absolutamente contnua,L e L0 : IR IR [ , + ] func oes L B -mensur aveis, para as quais existe uma constante M 0 tal que (46) L(s, ), L0(s, ) M (1 + | |) IR e q.t.p. s IRSe alem disso, L(, 0) for semicontnua inferior, L0(, 0) 0 e S ()representar a fun c ao caracterstica de um conjunto mensur avel S x([a, b]).Ent ao os integrais

(47) ba L(x(t), x (t))dt(48) ba L0(x(t), x (t)) x 1 (S ) (t)dt,existem, e as fun c oes L(x(t), x (t)) e L0(x(t), x (t)) x 1 (S )(t) s ao mensur aveis.

Demonstrac ao. A demonstracao do Teorema divide-se em varias par-tes:

Parte I: Denem-se os conjuntosS L := {s IR : L(s, 0) < + } ,E 0 := {t [a, b] : x (t) = 0 },

E := {t [a, b] : x (t) ( , 0) (0, + )},de tal modo que , S L e um boreliano, e E 0 e E sao mensuraveis. Comefeito, da semicontinuidade inferior de L(, 0) resulta que para todo o k IR,S kL := {s IR : L(s, 0) k} e um conjunto fechado. Como

k IR S

kL =

k IR {s IR : L(s, 0) k} = {s IR : L(s, 0) } = S L e F .A mensurabilidade dos conjuntos E 0 e E resulta de:

E = {t [a, b] : x (t) ( , 0)} { t [a, b] : x (t) (0, + )} = E E +e de E 0 = [a, b] \ E N (em que N e um conjunto de medida nula), logoos conjuntos sao mensur aveis.

Portanto, em E 0 a funcao L(x(), x ()) = L(x(), 0) e mensuravel, poisL(, 0) e semicontnua inferior.

Dene-se tambem

L1(s, ) :=L(s, ) para s S L ou = 0

0 para s / S L e = 0 ,de tal forma que L1(x(), x ()) E () = L(x(), x ()) E () q.s. em [a, b],porque para t E x (t) = 0. Como L1(s, 0) IR s IR, denem-se

(s) := L1(s, 0) e L0(s, ) = L1(s, ) (s) pelo que L0() e L B -mensur avele L0(, 0) 0.

Portanto: para provar a mensurabilidade da fun caoL(x(), x ()) = L1(x(), x ()) E () + L(x(), 0) E 0 () =

= L0(x(), x ()) E () + (x()) E () + L(x(), 0) E 0 () q.s. em [a, b]


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basta provar a mensurabilidade de L0(x(), x ()) E (), que e um caso par-ticular do que segue (no caso em que S = IR).

Parte II:Poe-se u() = ( x(), x ()) E (), LS (s, ) := L0(s, ) S (s), () := LS (u()),

donde resulta que () = LS (x(), x ()) q.s. em [a, b] (ambos sao iguais a 0q.s. em [a, b] \ E , e coincidem no conjunto mensuravel E ).

No que segue demonstra-se que () e uma fun cao mensur avel.LS () e uma funcao L B -mensur avel: L 1S (+ ) = L

10 (+ ) (S IR),

e, como para cada r 0, L 1S ((r, + )) = L 10 ((r, + )) (S IR) enquanto

que para r < 0 L 1S ((r, + )) = L 10 ((r, + )) [(IR \ S ) IR] que sao

conjuntos L B -mensur aveis .Em particular, qualquer conjunto do tipo C = L 1S ((r, + )) pode (por

denicao de -algebra L B ) ser gerado ( atraves de reuni oes, intersec coes e

complementacoes cont aveis ) a partir de conjuntos do tipo M B (comM mensur avel e B um boreliano). E necessario provar a mensurabili-dade da fun cao (), i.e., dos conjuntos 1(( r, + )), 1(+ ) ; ou oque e o mesmo, provar a mensurabilidade dos conjuntos u 1(C ), para cadaC = L 1S ((r, + )) (para todo o r IR) e para C = L

1S (+ ). Para tal,

e suciente provar a mensurabilidade de cada conjunto u 1(M B ), por-que cada um dos outros u 1(C ) pode obter-se como resultado de aplicaras opera coes ( , , \ ) aos conjuntos u 1(M B ) (necess arias para gerar C a partir dos conjuntos M B), logo a mensurabilidade de u 1(C ) e con-sequencia da mensurabilidade de u 1(M B ).

Por outro lado, cada conjunto M B pode ser decomposto em conjuntosdo tipo ( F N ) B = ( F B ) ( N B ), com F F e N um conjuntode medida nula, de tal modo que

u 1(M B ) = u 1(F B ) u 1( N B ).

Como cada conjunto u 1(F B ) e mensuravel, resta provar a mensurabili-dade dos conjuntos u 1( N B ).

Com este intuto, dene-se E c := [a, b] \ E . Ent ao u() (0, 0) emE c, pelo que, se (0, 0) N B , E c u 1( N B ) e u 1( N B ) E c =E 0; ou ent ao (0, 0) / N B , caso em que E c [a, b] \ u 1( N B ) eu 1( N B ) E c = .

Por denicao de E , resulta que x() tem derivada x () = 0 q.s. em

T := {t E : x(t) N } ; por outro lado |x(T )| = 0, pois x(T ) N e|N | = 0. Logo, 0 = x (t) = 0 q.s. em T , por aplicacao do (Teorema 3.25),devemos ter |T | = 0. Assim, o conjunto Z := u 1( N B ) E T tambemtem medida nula, e portanto, e mensur avel.

Tendo em consideracao o que foi escrito nestes dois ultimos paragrafos,u 1( N B ) e igual a E c Z ou ent ao a Z , que sao ambos um conjunto men-sur avel. (Isto acontece porque u 1( N C ) e mensuravel qualquer que sejaconjunto C (mensur avel ou nao) e pode-se usar u() em vez de (x(), x ())).

Parte III:


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Pondo M 2 := min L(x([a, b]), 0), em E 0 tem-se que

L(x(), x ()) = L(x(), 0) M 2(1 + |x ()|) q.s. em [a, b].Tomando M 1 := max {M, M 2}, prova-se que caso

L(x(), x ()) M 1(1 + |x ()|) q.s. em [a, b],

o funcional integral ba L(x(t), x (t))dt existe (com valor nito ou + ). Porhip otese o conjuntoS 1 := {s S : IR L(s, ) < M (1 + | |) para algum IR}

tem medida nula, logo pelo (Teorema 3.25) x (t) = 0 q.s. em T 1 := {t E : x(t) S 1}, e |T 1| = 0. Portanto, verica-se a desigualdade q.s. nosconjuntos E 0 e T := {t E : x(t) IR \ S 1}; embora o seu complementarT 1 tenha medida nula.

De modo similar, se () = LS (x(), x ()) M 1(1 + |x ()|) q.s., ent aoo funcional integral ba L0(x(t), x (t)) x 1 (S ) (t)dt existe (com valor nito ou+ ). Mas, verica-se de novo a desigualdade pretendida em x 1(S \ IRn )( pois a () = 0 M 1(1 + |x ()|) ) q.s. em E 0, e em T := {t E :x(t) S \ S 0}, onde

S 0 := {s S : IR L0(s, ) < M (1 + | |)},

enquanto que o seu complementar T 0 := {t E : x(t) S 0}; tem medida

nula.

Observac ao 2.1. Uma forma de garantir a L B -mensurabilidade de uma fun c ao L : IR IR [ , + ], e exigir que L(, ) seja mensur avel para todo IR e L(s, ) seja ou contnua (por exemplo, convexa com va-lores nitos), ou ent ao convexa e semicontnua inferior com domnio nunca singular s (ver [RW98 ]).

S ao propriedade equivalentes `a L B -mensurabilidade mais a semicon-tinuidade inferior de L(s, ) :

i) a multifun c ao s epi L(s, ) tem valores fechados e e mensur avel (ver [RW98 ]);

ii) existe uma func ao L : IR IR [ , + ] Borel mensur avel,com L(s, ) semicontnua inferior, para a qual L(s, ) = L(s, ) s IR \ , onde representa um Boreliano de medida nula;iii) Para todo o n N existem conjuntos fechados K n IR com |IR \K n | < 1n , de tal modo que L() restringida a K n IR e semicontnua inferior.

Para L(), e L() como no ponto ii), e com L(, 0) semi-contnua inferior, verica-se que ( [Amb87 , Observa cao 4.5]):


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dene-se uma nova fun c ao L1 : IR IR [ , + ],

L1(s, ) := L(s, ) para = 0 e s IR \ L(s, 0) para = 0 e s ;

Ent ao L1(, 0) = L(, 0) e semicontnua inferior, L1() e Borel mensur avel, L1(s, ) = L1(s, ) e semicontnua inferior (e convexa;ou contnua, se L(s, ) o for) s IR \ , L1(s, ) L(s, 0) e con-vexa e contnua s , i.e., L1() e Borel mensur avel e L1(s, )e semicontnua inferior e convexa; ou contnua, se L(s, ) o for)

s IR. Isto implica que se x : [a, b] IR e uma func ao absoluta-mente contnua ent ao

L1(x(t), x (t)) = L(x(t), x (t)) q.s.;

com efeito, esta igualdade verica-se para todos os pontos t para os quais ou x(t) IR \ ou x (t) = 0 , i.e., q.s. em [a, b]. Comox (t) = 0 em q.t.p. t tal que x(t) , pelo ( Teorema3.25), por-que x (t) existe q.s.. Como L1() e Borel mensur avel, a igualdade L1(x(t), x (t)) = L(x(t), x (t)) q.s., prova n ao s o a mensurabilidade da func ao t L(x(t), x (t)) ( de uma forma independente do (Lema 2.1(1)), como tambem acentua a irrelev ancia (com o objectivo de lidar com integrais do tipo ba L(x(t), x (t))dt), de considerar L1()em vez de L(), pois o valor do integral e o mesmo.

Isto mostra que sempre que L() se considera L B -mensuravel,com L(, 0) e L(s, ) semicontnuas inferiores s , nao e limitativoconsider a-las Borel mensur aveis; enquanto que no que diz respeitoa propriedades de regularidade de L(s, ), basta consider a-las com excepc ao de um conjunto de medida nula (caso as fun c oes veri- quem essa propriedade).

2.2. Mudan ca de vari aveis.

Lema 2.2. Sejam x() X AB , m : x([a, b]) IR uma fun c ao mensur avel e S x([a, b]) um conjunto mensur avel. Ent ao os integrais

(49) BA m(s) S (s)ds(50) ba m(x(t)) x (t) x 1 (S ) (t)dtexistem e sao iguais, desde que se verique uma das hip oteses:

(1) ou m() L (S );(2) ou m() L1(S ) e M (x()) tem varia c ao limitada, em que M (s) :=

sA m() S ()d;(3) ou o integral (50) existe;


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(4) ou x() e uma func ao mon otona e o integral (49) existe ( por exem-plo, m (), ou m+ () L1(S ); e se isto acontecer para S = x(E ),com E [a, b] mensuravel, podemos escrever (49)=(50) como

(51) x (E ) m(s)ds = E m(x(t))x (t)dt ).Demonstrac ao. A demonstracao do Teorema divide-se em varias par-

tes.Parte I:Considere-se que m() L (S ). Qualquer que seja a funcao absolu-

tamente contnua x(), a mensurabilidade do lagrangiano L(x(t), x (t)) egarantida pelo (Lema 2.1). Dene-se L0(s, ) := m() (que e fun cao deCaratheodory) e aplica-se o (Corol ario 3.3) com f () = m() S (). Logo,

B

A m(s) S (s)ds = b

a m(x(t))x (t) x 1 (S ) (t)dt e nito.Parte II:Supoe-se agora que m() L1(S ), e M (x()) e uma funcao de varia cao li-

mitada, tal que M (s) := sA m() S ()d. Por aplica cao do (Teorema 3.32);m(x())x () L1(x 1(S )), e BA m(s) S (s)ds = ba m(x(t))x (t) x 1 (S )(t)dt ,isto caso M (x()) seja absolutamente contnua, o que pelo (Teorema 3.24)resulta de M (x()) ter variacao limitada (pois verica a condi cao (N) deLusin).

Parte III:Suponhamos que o integral ba m(x(t))x (t) x 1 (t)dt existe. Para provara mensurabilidade dos conjuntos E := {t x 1(S ) : x (t) ( , 0)},

E + := {t x 1

(S ) : x (t) (0, + )}, S = F N (com F do tipoF e N um conjunto de medida nula). Considera-se o conjunto mensur avelT := {t [a, b] : x (t) ( , 0)}, ent ao,

E = T x 1(F N ) = T [x 1(F ) x 1( N )] =

= [ T x 1(F )] [T x 1( N )] = E 1 E 2 ,

onde E 1 e um conjunto mensur avel. Como E 2 , e um conjunto de medidanula (logo mensuravel): x (t) = 0 para todo o t E 2 , mas x (t) = 0 emq.s. em E 2 (porque x(x 1( N )) N e x() e uma funcao absolutamentecontnua). De modo an alogo se prova que o conjunto E + e mensuravel.Considera-se o conjunto mensur avel T + := {t [a, b] : x (t) (0, + )}.Logo,

E + = T + x 1(F N ) = T + [x 1(F ) x 1( N )] =

= [ T + x 1(F )] [T + x 1( N )] = E 1+ E 2+ ,

onde E 1+ e um conjunto mensur avel. Atendendo a que E 2+ , e um conjunto demedida nula (logo mensuravel) x () = 0 para todo o t E 2+ , mas x (t) = 0em q.s. em E 2+ (pois x(x 1( N )) N e x() e uma fun cao absolutamentecontnua).


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Dene-se, para n = 1 , 2,... ,

mn (s) :=

n para s com m(s) n

m(s) para s com m(s) [ n, n ]

n para s com m(s) n

An := ba mn (x(t)) + x (t) E + (t)dt,Bn := ba mn (x(t)) |x (t)| E (t)dt,C n :=

b

amn (x(t)) x (t) E + (t)dt,

D n := ba mn (x(t))+ |x (t)| E (t)dt,Cada um destes funcionais integrais e nito e 0, e da primeira parte

da demonstracao resulta que

E n := An D n := ba mn (x(t))+ x (t) x 1 (S ) (t)dt = BA mn (s)+ S (s)dsF n := C n Bn := ba mn (x(t)) x (t) x 1 (S )(t)dt = BA mn (s) S (s)ds

Gn := An + Bn := b

a[mn (x(t))x (t)]+ x 1 (S )(t)dt

H n := C n + Dn := ba [mn (x(t))x (t)] x 1 (S ) (t)dtComo 0 mn (s)+ mn +1 (s)+ m(s)+ , (mn (s)+ ) m(s)+

quando n + (o mesmo acontece para mn (s) ), do (Teorema daconvegencia monotona 3.6) resulta que

A := lim An = ba m(x(t))+ x (t) E + (t)dt,B := lim Bn =

b

a m(x(t))

|x (t)| E (t)dt,

C := lim C n = ba m(x(t)) x (t) E + (t)dt,D := lim D n = ba m(x(t)) + |x (t)| E (t)dt,

E := lim E n = BA m(s)+ S (s)ds,


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F := lim F n =

B

Am(s) S (s)ds,

G := lim Gn = lim( An + Bn ) = A + B = b

a[m(x(t))x (t)]+ x 1 (S ) (t)dt,

H := lim H n = lim( C n + D n ) = C + D = ba [m(x(t))x (t)] x 1 (S ) (t)dtporque ( An ), ( Bn ), ( C n ), (Dn ) sao sucessoes crescentes e positivas. O mesmoacontece com ( Gn ) = ( An + Bn ) e (H n ) = ( C n + Dn ). Como por hip otese ofuncional integral ba m(x(t))x (t) x 1 (S ) (t)dt existe, um dos integrais G ,H e nito. Se G for nito, ent ao tambem A , B sao nitos; e comoF = lim( C n Bn ) e B e nito, tem-se que F = C B . Analoga-mente, como A e nito, E = A D e:

E = B

Am(s)+ S (s)ds = A D =

b

am(x(t))+ x (t) x 1 (S ) (t)dt

F = BA m(s)+ S (s)ds = C B = ba m(x(t)) x (t) x 1 (S )(t)dtSe A B (respectivamente B A), ent ao 0 D A e D sao

nitos (respectivamente 0 C B e C sao nitos ). Portanto, E ouF e nito e:

BA m(s) S (s)ds = E F = ( A D ) (C B ) == ( A + B ) (C + D ) = G H =

= b

am(x(t))x (t) x 1 (S )(t)dt,

isto e, verica-se a igualdade BA m(s) S (s)ds = ba m(x(t))x (t) x 1 (S ) (t)dt .(Caso H seja nito um dos E , F e sempre nito, qualquer que seja ocaso, e podemos escrever E F ; e tres dos A , B , C , D sao semprenitos, logo E = A D , F = C B e E F = C H como na argumentacao anterior).

Parte IV:Supoe-se agora que x()e uma funcao monotona e que o integral BA m(s) S (s)dsexiste. Entao, um dos conjuntos E , E + e de medida nula. Portanto,

ou A = 0 = C ou B = 0 = D , i.e., ou G = B = F eH = D = E ou ent ao, G = A = E e H = C = F .

Como x (b)x (a ) m(s) S (s)ds existe, um dos integrais E , F e nito e por-tanto, ou G , ou H e nto. Assim, ou E F = ( D ) ( B ) =G H ou ent ao E F = A C = G H , de tal modo, queem ambos os casos a conclus ao e a mesma: (49)= E F = G H =

ba m(x(t))x (t) x 1 (S ) (t)dt existe.Se, em particular, S := x(E ), para E [a, b] um conjunto mensuravel, ent ao S e mensuravel (pois x() verica a propriedade (N) de Lusin) e


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x(x 1(S ) \ E ) e um conjunto de medida nula ( porque e cont avel: os seusvalores sao aqueles que x() toma em intervalos de nao crescimento dois a doisdisjuntos, de interior n ao vazio - portanto, com valores racionais - porque x()e mon otona). Logo, o integral ba m(x(t))x (t) x 1 (S ) (t)dt toma o mesmo va-lor, ainda que se ponha de parte - do seu domnio de integra cao x 1(S ) - umsubconjunto, x 1(S ) \ E , onde a integranda, m(x())x () = 0 q.s. em [a, b];donde E m(x(t))x (t) dt = BA m(x(t))x (t) x 1 (S ) (t) dt.

Como corolario;

Corolario 2.1. Sob as mesmas hip oteses do teorema anterior, sejam x() X AB e m(x())x () () L1(a, b) q.s. em [a, b]. Ent ao, existe o funcional integral

b

a m(x(t))x (t)dt e verica-se a igualdade:

(52) ba m(x(t))x (t)dt = x(b)x (a ) m(s)ds.Que no caso em que A = B . Como x() X AB e m(x())x () ()

L1(a, b) q.s. em [a, b], claramente o integral ba m(x(t))x (t)dt existe (comvalores nitos ou com valor ); com S = IR, An Dn = E n = 0 =C n Bn = F n , pois A = B. Como x() X AB e m(x())x () () L1(a, b) q.s. em [a, b], G = A + B e nito, A e B sao -nitos, A = lim An = lim Dn = D , B = lim Bn = lim C n = C ,i.e., A =

b

a m(x(t))+ x (t) E + (t)dt =

b

a m(x(t))+ |x (t)| E (t)dt = D ,

B = b

a m(x(t)) |x (t)| E (t)dt = b

a m(x(t)) x (t) E + (t)dt = C e por-tanto, os integrais s ao nitos.De modo similar, os integrais G = ba [m(x(t))x (t)]+ dt = A + B =C + D = ba [m(x(t))x (t)] dt e ba m(x(t))x (t)dt = G H = 0tambem s ao nitos.2.3. Minimizantes bimon otonos.

Teorema 2.1. Sejam L : IR IR ( , + ] uma fun c ao L B -mensur avel tal que L(, 0) e semicontnua inferior, y() X AB e uma func aomon otona para a qual o integral

(53) b

aL(y(t), y (t))dt

existe e tem valor nito.Consideremos : [A, B ] IR e uma func ao mensur avel (por exemplo

(s) 0), com (s) 0 s [A, B ] ( (s) 0 s [B, A ]), com (s) = 0nos pontos s para os quais L(s, 0) = , e que satisfaz a desigualdade:

(54) L(s, ) 1 (s)

L(s, 0) + (s)

L(s, (s))


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qualquer que seja ]0, (s)[ e em quase todos os pontos s [A, B ] ( qual-quer que seja ] (s), 0[ em quase todos os pontos s [B, A ], respectiva-mente). Ent ao, existe uma fun c ao absolutamente contnua z() X AB para a qual

(55) ba L(z(t), z (t))dt ba L(y(t), y (t))dt,e

z() constante em algum subintervalo [a , b ] [a, b]; z (t) > 0 ( respctivamente z (t) < 0) q.s. em [a, a ] [b , b]; 0 (z(t)) z (t) ( respectivamente z (t) (z(t)) 0) q.s. em

[a, a ] [b , b].

Demonstrac ao. A demontracao divide-se em v arias partes:Parte I:Supoe-se que y() e crescente no intervalo [ A, B ], e que (s) 0

s [A, B ]. Como () := L(, 0) e semicontnua inferior, pelo (Lema 2.1),L(x(), x ()) e mensuravel qualquer que seja a funcao x() absolutamentecontnua, e como o conjunto

(56) S m := {s [A, B ] : (s) = min ([A, B ])}

e n ao vazio, podemos xar qualquer sm S m .Supoe-se daqui em diante que (sm ) < + , porque, se assim nao fosse,

a conclusao do teorema seria trivial: se L(, 0) = () + , resulta0 = (y()) < y () q.s. em [a, b], ent ao z() := y() satisfaz trivialmenteas conclus oes do (Teorema 2.1).

A funcao inversa y 1 : [A, B ] [a, b] esta bem denida (como a unicafuncao crescente e semicontnua inferior para a qual t y 1 y(t) e semi-contnua inferior e t y y(t) 1 e a funcao identidade.)

Como y 1() e crescente e de variacao limitada, a derivada no sen-tido cl assico existe em [0, + ) q.s. em [A, B ], e s y 1(s) L1(A, B )(Teorema 3.22).

Denem-se os conjuntos

T + := {t [a, b] : y (t) (0, + )},

S + := {s [A, B ] : y 1(t) (0, + )},T N := [a, b] \ T + , S N := [A, B ] \ S + .

Com efeito, verica-se que y(T + ) = S + , y(T N ) = S N , y 1(S + ) = T + ,y 1(S N ) = T N . Nenhum ponto de S N pode ser imagem (por meio de y())de algum ponto de T N , porque: a simetria relativamente ` a recta s = ttransforma o graco de y() no graco de y 1(), e transforma linhasrectas tangentes a de declive m em linhas rectas tangentes a de declive1m (0, + ), e vice-versa.

Como y() e absolutamente contnua e crescente, y () = 0 em T N e|S N | = 0; e portanto, |S + | = B A e y 1(s) (0, + ) q.s. em [A, B ].


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Considera-se que := |T N |, donde |T + | = b a . Denem-se:t

m := min y 1(sm ), t+

m := max y 1(sm ),

S 0+ := s S + : (s) > 1

y 1(s),

T 0+ := y 1(S 0+ ) := t T + : 0 < y (t) < (y(t)) ,

v(s) := y 1(s) S \ S 0+ (s) + 1(s)

S 0+ (s).

O conjunto T 0+ e mensuravel, como consequencia do (Lema 2.1) no casoem que

L0(s, ) :=

(s ) para aqueles s, onde (s) > 0 e 0

+ para aqueles s, onde (s) = 0 ou < 0,logo, T 0+ = {t T + : L(y(t), y (t)) (0, 1)}. Como 0 v(s) y 1(s) q.s.,v() L1(A, B ), pelo que

:= smA v(s)ds, + := Bs m v(s)ds;e como y() e mon otona, o (Lema 2.2) garante que

= smA v(s)ds = smA y 1(s) S \ S 0+ (s) + 1(s) S 0+ (s) ds =(57) =

tm

a T + \ T 0+ (t) + y (t) (y(t)) T 0+ (t) dt,

+ = Bs m v(s)ds = Bs m y 1(s) S \ S 0+ (s) + 1(s) S 0+ (s) ds =(58) = bt +m T + \ T 0+ (t) + y (t) (y(t)) T 0+ (t) dt.

Para a := a + e b := b + , comob a = ( b a) ( + + ) =

= b

a T N (t) + T 0+ (t) + T + \ T

0+ (t) dt ( + + )

resulta que (porque T + 0 em (tm , t+m ))

(59) b a = ba T N (t) + 1 y (t) (y(t)) T 0+ (t) dt.As funcoes (s) := a + sA v()d, s [A, s m ], e

+ (s) := b + ss m v()d, s [sm , B ],


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sao absolutamente contnuas e tem derivada v(s) (0, + ) q.s.; e como

(sm ) := a + sm

Av(s)ds = a + = a ,

+ (B ) := b + Bs m v(s)ds = b + + + = b,resulta que : [A, s m ] [a, a ] e + : [sm , B ] [b , b].

Portanto, podem-se denir as fun coes inversas de () e + ():

z : [a, a ] [A, s m ], z+ : [b , b] [sm , B ],que sao absolutamente contnuas e tem derivada positiva q.s. ( a inversade uma fun cao absolutamente contnua e crescente () e absolutamentecontnua se e so se (s) > 0 q.s., tal como aqui acontece).

Com efeito, verica-se que:

z (t) = 1

(z (t)) =

1v(z (t))

= 1

y 1(z (t)) > 0 se z (t) S + \ S 0+ ,

z (t) = 1

(z (t)) =

1v(z (t))

= (z (t)) > 0 se z (t) S 0+ ,

e portanto, z (t) > 0 t = (z (t)) (S + ); e como () e absoluta-mente contnua e | (S + )| = a a | (S N )| = a a (porque | (S N )| = 0,pois () e absolutamente contnua e |S N | = 0), deve vericar-se a desigual-dade z (t) > 0 q.s. em [a, a ].

Dene-se

(60) z(t) :=

z (t) t [a, a ]

sm t [a , b ]

z+ t [b , b],

donde se obtem uma fun cao z : [a, b] [A, B ] que e absolutamente contnuacom derivada z (t) > 0 q.s. em [a, a ] [b , b]. Como

0 < (s) = v(s) = 1 (s)

< y 1(s)

em S 0+ , resulta

(61) 0 < 1

y 1(z(t)) < (z(t)) = z (t) =

1 (z(t))

em (S 0+ )

e porque 0 < (s) = v(s) = y 1(s), e como

0 (s) 1v(s)

= 1 (s)

= 1

y 1(s)


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em S + \ S 0+ , e

(62) 0 < z (t) = 1

(z(t)) e 0 (z(t)) z (t) em (S + \ S 0+ ).

O mesmo acontece com + (), de tal modo que ( | (S + )| = a a e| + (S + )| = b b): z (t) > 0 e z (t) (z(t)) 0 q.s. em [a, a ] [b, b ],assim z() satisfaz as propridades pretendidas.

Parte II:Supoe-se agora que a desigualdade ba L(z(t), z (t))dt ba L(y(t), y (t))dtse verica. A restante demonstrac ao sera dedicada a esta asser cao.Como a fun cao

(63) t (t) := v(y(t))y (t) = T + \ T 0+ (t) + y (t) (y(t))

T 0+ (t)

e mensuravel com (t) [0, 1] q.s., a sua primitiva

(64) (t) := a + ta ()d, t [a, t +m ]e lipschitziana e crescente, e de modo similar

(65) (t) := b + tt +m ()d, t (t+m , b]que tambem e lipschitziana e crescente. Contudo, () e descontnua nospontos t = t+m , de (t+m ) = a < b a b = lim t t +m (t), excepto em casostriviais.

Como v() L1(A, B ) e y() e uma fun cao absolutamente contnuae crescente, pelo (Lema 2.2) ao substituir s = y(t) no funcional integral

(s) = a + sA v()d, para t [a, t +m ], resulta (y(t)) = a+ y(t )A v(s)ds = a+ tA v(y())y ()d = a+ ta ()d = (t),ent ao, em particular,

(t) = (y(t)) = (sm ) = a para t [tm , t+m ].

Substituindo agora s = y(t) no integral + (s) = b + ss m v()d, s [sm , B ] de se aplicar (65) resulta, + (y(t)) = b +

t

t +m()d = (t) para t (t+m , b],

(b) = + (y(b)) = + (y(t)) = b.Assim, constroi-se uma fun cao : [a, b] [a, b] que e crescente, se-

micontnua inferior, descontnua em t = t+m , lipschitziana em [ a, t +m ] e em(t+m , b] e com ([a, t m ] ) = [a, a ], (( t+m , b] ) = ( b , b], (t) [0, 1] q.s., (t) = (y(t)) para t [a, t +m ], (t) = + (y(t)) para t (t+m , b], (t) a em [tm , t+m ], (t) 1 em T + \ T 0+ ( ).


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Aplicamos agora z() (que e a funcao inversa de () e de + ()) a ambosos membros das igualdades anteriores, e obtem-se

(66) y(t) = z( (t)) t [a, b].Portanto, aplicando (64), (65) e (63) a igualdade (59) pode escreve-se como

(67) b a = ba [1 (t)]dt.Alem disso, multiplicando ambos os membros de (67) por (sm ), resulta:

(68) ba (sm )d = ba (sm )[1 (t)]dt.Dene-se agora

(69) m : [a, b] ( , + ], m( ) := L(z( ), z ( )) .

Da desigualdade (54) obtem-se, para t (a, t m )T 0+ , e porque (t) = y (t ) (y(t )) ,

e (s) = L(s, 0) (ver (56)):

L(y(t), y (t)) T 0+ (t)

(70) [1 (t)] (y(t)) T 0+ (t) + (t) L(y(t), (y(t))) T 0+ (t)

e como, por (66), z ( (t)) = y (t ) (t ) = (y(t)) obtem-se,

m( (t)) (t) T 0+ (t) = L(z( (t)) , z ( (t))) (t) T 0+ (t) =

L(y(t), (y(t))) (t) T 0+ (t)

L(y(t), y (t)) T 0+ (t) [1 (t)] (y(t)) T 0+ (t)

(t) L(y(t), (y(t))) T 0+ (t)

(71) L(y(t), y (t)) T 0+ (t) + M 1 T 0+ (t),

com M 1 := min {0, (sm )} (y()). Logo, m( ()) () T 0+ () e limi-tada superiormente, em ( a, t m ), por [L(y(), y ()) + M 1] T 0+ () L

1(a, b), eportanto, o integral de m( ()) () T 0+ () em (a, t

m ) existe e e nito.

Para t (a, t m ) T + \ T 0+ , por (64) e (63), obtem-se (t) = 1 q.s.:resulta, de (66), que z (y(t)) = y (t) e:(72) m( ()) () T + \ T 0+ () = L(y(), y ()) T + \ T 0+ () L

1(a, t m ).

Para t (a, t m ) T N , e porque (t) = 0 q.s.,

(73) m( ()) () T N () = 0 L1(a, t m ).

Logo, existe t

ma m( (t)) (t)dt e e nito. Do modo similar, o integral

bt +m m( (t)) (t)dt existe e e nito.


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Portanto, por (52)

(74) tm

am( (t)) (t)dt =

a

am( )d,

(75) bt +m m( (t)) (t)dt = bb m( )d.Como L(sm , 0) = (sm ) < + e (y()) T N () =

= L(y(), y ()) T N () L1(a, b) usando (69), (60), (75), (68), (71), (72),(73) e ( ) obtem-se:

ba L(z( ), z ( ))d = aa m( )d + ba (sm )d + bb m( )d ==

tm

am( (t)) (t)dt +

b

t +mm( (t)) (t)dt +

b

a(sm )[1 (t)]dt =

= t

m

am( (t)) (t) T 0+ (t)dt + bt +m m( (t)) (t) T 0+ (t)dt+

+ t

m

am( (t)) (t) T + \ T 0+ (t)dt + bt +m m( (t)) (t) T + \ T 0+ (t)dt+

+ t

m

am( (t)) (t) T N (t)dt + bt +m m( (t)) (t) T N (t)dt+

+

b

a

(sm )[1 (t)]dt

t

m

aL(y(t), y (t)) T 0+ (t)dt + bt +m L(y(t), y (t)) T 0+ (t)dt+

+ t

m

aL(y(t), y (t)) T + \ T 0+ (t)dt + bt +m L(y(t), y (t)) T + \ T 0+ (t)dt+

t

m

a[1 (t)] (y(t)) T 0+ (t)dt bt +m [1 (t)] (y(t)) T 0+ (t)+

+ ba (sm )[1 (t)]dt =

b

aL(y(t), y (t))dt

b

aL(y(t), y (t)) T + \ T 0+ (t)dt

ba (y(t))[1 (t)] T + (t)dt ba (sm )[1 (t)]dt == ba L(y(t), y (t))dt ba [ (y(t)) (sm )][1 (t)]dt

ba L(y(t), y (t))dt.


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o que demonstra a assercao pretendida.

Observac ao 2.2. Note-se que n ao e necess ario impor qualquer restri c aoquando () 0, ou para os pontos s em que (s) = 0 .

Observac ao 2.3. O (Teorema 2.1) pode ter interesse na aplica c ao a situa c oes em que e possvel provar a existencia de minimizantes seccio-nalmentemon otonos, i.e., em casos em que existem conjuntos abertos O+e O ,contidos em (a, b), nos quais y (t) 0 q.s. em O+ , y (t) 0 q.s.em O , e y (t) = 0 q.s. em [a, b] \ O+ \ O (ou de forma equivalente |y([a, b] \ O+ \ O )| = 0 (3.25)).

Ap os aplicar o (Teorema 2.1) (a cada um dos intervalos abertos com interiores disjuntos dois a dois - que podem ser em n umero cont avel - e cuja uni ao e O+ e O , consegue-se uma partic ao em tres subintervalos onde, res-

pectivamente, o novo minimizante z() tem z (t) < 0, z (t) = 0 e z (t) > 0)terminamos com dois novos conjuntos abertos em O+ e O , e um conjunto fechado [a, b] \ O+ \ O tais que em z (t) > 0 q.s. em O+ , z (t) < 0 q.s. em O , e z (t) = 0 q.s. em [a, b] \ O+ \ O .

2.4. Existencia de minimizantes bimon otonos.

Definic ao 2.1. Uma func ao y() X AB diz-se bimon otona se verica:(1) y() s IR em algum subintervalo [a , b ] [a, b], com a b ;(2) y() e mon otona em cada um dos restantes subintervalos [a, a ],

[b , b] e verica a condi c ao

(76) y (t) { 0} int [(L (y(t), )) 1(L (y(t), 0))].

(onde denota o subdiferencial no sentido da an alise convexa).Definic ao 2.2. Diz-se que a func ao lagrangiano L(s, ) e zero-convexa

se (77) L (s, 0) = L(s, 0).

Teorema 2.2. (Existencia de minimizantes) Seja L : IR IR [0, + ], uma fun c ao com crescimento superlinear no innito, i.e.,

inf L(IR , )| |

+ | | + ,

e tal que:

(1) ou L() e semicontnua inferior;(2) ou L() e L B -mensur avel, L () e semicontnua inferior para os pontos (s, 0), e L(s, ) e semicontnua inferior s IR.

Ent ao, se a fun c ao L() for zero-convexa, isto e, satisfaz (77), existem minimizantes para o integral

ba L(x(t), x (t))dt, x () X AB ,quaisquer que sejam A e B .


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Teorema 2.3. (Regularidade dos minimizantes e condi c ao ne-cess aria de DuBois-Reymond) Sob as mesmas hipoteses do(Teorema 2.2), existe um minimizante y() bimon otono para o integral

ba L(x(t), x (t))dt, x () X AB .Alem disso, no caso em que o minimizante y() satisfaz a inclus ao dife-

rencial de DuBois-Reymond, isto e,

L(y(t), y (t)) q + y (t)L (y(t), y (t)) ,o que garante que o mnimo do integral e os valores de L (y(t), ) s ao nitos,qualquer que seja t [a, b], sempre que se verique a inclus ao(78) y (t) int (L (y (t), )) 1(IR) q.s..

A demonstracao destes dois resultados e consequencia dos que se seguem.2.4.1. Caso convexo.Teorema 2.4. Seja Lc : IR IR ( , + ] uma func ao

L B -mensur avel, limitada inferiormente, com Lc(, 0) semicontnua inferior e Lc(s, ) convexa e semicontnua inferior para todo o s IR e verica a condi c ao de crescimento superlinear

inf Lc(IR , )| |

+ | | + .

Suponhamos que se verica pelo menos uma das seguintes hipoteses:(1) A = B e Lc(A, 0) < + ;(2) Existe x() X BA tal que o integral

ba L(x(t), x (t))dt tem valor

nito, por exemplo ba Lc(B + ( t a) A Bb a , A Bb a )+ dt < + ;(3) Existe m0() L1(A, B ) tal que Lc(s, ) Lc(s, 0) + m0(s) para todo os pontos (s, );

(4) Existe > 0 : Lc(s, ) = + para todo os pontos (s, ) com < 0e dist (s, [A, B ]) < ;

(5) Existe > 0 : Lc(s, ) = + (s, ) com > 0 e dist (s, [A, B ]) < ;

(6) Lc() e semicontnua inferior no ponto (s, 0) qualquer que seja s S AB , onde

S AB := s IR : lim inf (s k , k )(s, 0)

Lc(sk , k ) min Lc([A, B ], 0) ;

(7) Existem fun c oes g, M : IR (0, + ), g M L1(A, B ) tal que Lc(s, ) L(s) com | | 1M (s ) e s [A, B ];

(8) Lc() e aproxim avel em [A, B ] por declives integr aveis na origem,i.e., n IN existe uma sucess ao de func oes n : IR ( , n ]semicontnuas inferiores, tal que

(79) ( n (s)) Lc(s, 0) s [A, B ]


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existe uma sucess ao de func oes mn () L1(A, B ), tal que se verica a desigualdade

(80) Lc(s, ) n (s) + mn , s [A, B ].Ent ao, existem minimizantes para o funcional integral convexo

(81) ba Lc(x(t), x (t))dt, x () X AB .Alem disso, existe um minimizante yc() bimon otono que satisfaz a in-

clus ao diferencial de DuBois-Reymond, i.e.,L(yc(t), yc(t)) q + yc(t)L c(yc(t), yc(t)) .

Demonstrac ao. A demonstracao divide-se em v arias partes.Parte I:

Seja L : IR IR ( , + ] uma funcao L B -mensur avel,0, m0 : IR IR, funcoes, em que 0() 0 e semicontnua inferior, para

as quais(82) L(s, ) 0(s) + m0(s) s, (Tais fun coes existem sempre que o lagrangiano L() e limitado inferior-mente.)

Ent ao a funcao bipolar L : IR IR ( , + ] esta bem denida esatisfaz:(83) L (s, ) 0(s) + m0(s) s,,em particular,

(84) 0(s) L (s, 0) s.Supoe-se que L (, 0) e semicontnua inferior. Para cada n IN, dene-

se a sucessao de funcoes n : IR ( , + ],em que

n (s) := 1n 0

(s) + 1 1n

min {n, L (s, 0)} .

Ent ao n () e semicontnua inferior, e para demontrar (85), a partir de (83),para

s S 0 := {s IR : L (s, ) L (s, 0) IR}supoe-s

reformulacao tese

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