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Regla de Ruffini

Como a nosotros nos gusta todo fácil y cómodo (por eso es que inventan tantas cosas. Para darnos

comodidad), la regla de Ruffini se usa en la división de un polinomio entre un binomio de la forma

con (esto es que es un número cualquiera que pertenece a los números reales).

Y es que es mejor hacer una división de este tipo, por un método rápido y sencillo (que algunos

textos llaman división sintética) a hacerla por un método bien largo y aburridor.

Por ejemplo, si tenemos la división: , efectuarla por la forma larga

es muy tedioso y entre más grande sea el polinomio (el polinomio es el que está a la izquierda del

signo más tedioso se vuelve. Veamos, pues, en qué consiste la regla de Ruffini.

La anterior es la forma larga de hacer la división, donde el polinomio que está en el óvalo es el

cociente y el número que está en el cuadrito es el residuo (que también es un polinomio, pero de

grado cero).

Regla del residuo:

Cuando tenemos un polinomio y lo dividimos por un monomio de la forma , nosotros

podemos conocer el residuo de esa división sin efectuar la división.

Miremos que teníamos el polinomio y que lo dividimos por

(que es el del que habla la teoría). Obtuvimos un cociente (el

que está dentro del óvalo) y obtuvimos el residuo = (el que está en el cuadrito). O sea que

y si cambiamos esos polinomios por

los nombres que le dimos (porque si dos cosas son iguales se pude reemplazar una por la otra

donde quiera que estén), obtenemos: . Si en esta igualdad le damos

a la el valor , es decir hacemos , la igualdad queda y

como , queda que .

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Quiere decir que si en un polinomio cambiamos la por y efectuamos las operaciones,

obtenemos el valor del residuo que obtendría al dividir por . Hagamos el ensayo en

el ejemplo:

. Como dividimos por y la teoría habla de ,

entonces para estar acordes con ella escribimos ( ). Así las cosas,

, que fue lo que nos dio al efectuar la división

por la forma larga.

División sintética (o regla de Ruffini):

Efectuaremos por este método, la misma división que efectuamos por el método largo. Los pasos

son los siguientes:

1. Colocamos en orden los coeficientes del polinomio , teniendo en cuenta que se coloca

primero el de la mayor potencia de y luego los otros en orden decreciente. Cuando falte

una de las potencias, se coloca cero como coeficiente.

Observe que es el coeficiente de , como no tengo coloco cero, -9 es el coeficiente de

,1 es el coeficiente de y 5 es el término independiente.

2. En vez de colocar el divisor completo , colocamos únicamente .

Recordemos que para nuestro caso

La regla del residuo nos sirve porque muchas veces necesitamos efectuar una división

exacta (en la cual el residuo es igual a cero), y es muy frustrante hacer la división, tal vez

bien larga, y encontrarnos con que nos queda un residuo, es mejor estar seguros que no

queda residuo y luego hacer la división. Esa división exacta la necesitamos, por ejemplo,

cuando vamos a factorizar un polinomio.

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3. Bajamos el primer coeficiente de la izquierda, lo multiplicamos por (que en nuestro caso

es ) y el resultado de esa multiplicación lo colocamos debajo del segundo coeficiente

para luego sumar (el segundo coeficiente con el resultado de la multiplicación) y esa

respuesta la bajamos.

0 -3

0 1 2

4. El último número de la fila que está en el óvalo es el residuo (que efectivamente nos dio ) y

los otros son los coeficientes del polinomio cociente, que nosotros habíamos llamado

. El primer número de la izquierda va a ser el coeficiente de la con mayor exponente

en el cociente (la de mayor exponente va a ser menor en una unidad que la de mayor

exponente en ). Miremos que:

Es el coeficiente de (el exponente de es una unidad menor que el exponente de ),

es el coeficiente de , seguiría pero como su coeficiente es cero quiere decir que no está en

este cociente, el término independiente (el que no lleva ) es 1.

El cociente es, pues: y el residuo es 2