26/8/2015 Reglas de Inferencia

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Índice............................................................................... 2

Lógica Inductiva y Deductiva..................................... 4

Lógica Deductiva................................................... 4

Deducción...................................................... 4

Lógica Inductiva.................................................... 4

Inducción Completa...................................... 5

Inducción Incompleta ó Científica.............. 5

Métodos Inductivos.............................................. 5

Tabla de Presencia....................................... 5

Tabla de Ausencia........................................ 6Tabla de Grados............................................ 6

Hipótesis......................................................................... 6

Teorema.......................................................................... 6

Reglas de Inferencia.................................................... 6

Inferencia............................................................... 6Reglas de Inferencia............................................ 7

Reglas de Adición.......................................... 8

Reglas de Simplificación.............................. 8

Reglas de Silogismo Disyuntivo................... 8

Reglas de Silogismo Hipotético................... 9

Reglas de Conjunción.................................... 9

Reglas de Ponendo Ponens............................ 9

Métodos de Demostración.......................................... 9

Demostración por el Método Directo................ 10

Demostración por Contradicción......................... 11

Matemáticas Discretas

Índice

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a b c..... son (sujeto)a b c..... son (predicado)

El oro, el plomo, el hierro... son metalesEl oro, el plomo, el hierro... se dilatan con el calor

ˆ todos los S son P ˆ Todos los metales se dilatan con el calor

Bibliografía..................................................................... 13

Lógica Inductiva y Lógica Deductiva

I. Lógica Deductiva.

Desde Aristóteles se ha dado especial relevancia a la Lógica Deductiva, y en algunos casos se ha llegado a identificar razonamientocon deducción, como si no hubiera más tipos de razonamiento.

Deducción

Es un razonamiento que va de lo general a lo menos general. También podemos definir a la deducción como la inferencia inmediataque parte de dos o más juicios llamados premisas, para obtener otro juicio llamado conclusión.

En la deducción se infiere con absoluta necesidad la conclusión de las premisas. Si la forma es correcta y las premisas sonverdaderas, la conclusión será verdadera y el razonamiento será válido. El razonamiento deductivo es válido si sigue las leyes delpensamiento; de lo contrario, es inválido. A la lógica le interesa la validez o invalidez de los razonamientos.

La deducción es también un método que se utiliza en todas las ciencias, particularmente en las Ciencias Formales.

II. Lógica Inductiva.

Según Aristóteles es “el razonamiento que permite pasar de lo particular a lo universal” su introducción al método científico,Gutiérrez Sáenz proporciona la siguiente definición de inducción: “Es el raciocinio en donde, a partir de la observación de una relaciónconstante entre fenómenos, se obtiene una relación esencial, y por tanto, universal y necesaria entre dichos fenómenos”. La inducciónpuede ser completa o incompleta.

Inducción Completa

Va de todos los hechos particulares observados a su síntesis en una proposición general.

Sobre esta clase de Inducción Completa Galileoopinaba que “La inducción, si tuviera que pasar portodos los particulares, sería imposible o inútil;

imposible, cuando los particulares fueran innumerables; y cuando fuesen numerables, el considerarlos a todos haría inútil o nula lainferencia por medio de la inducción.

Inducción Incompleta o Científica

Es aquella que va de varios hechos particulares a una proposición general o universal.

La inducción incompleta se llama también “Baconiana” en honor a Sir Francis Bacon, quién expuso sus principios con toda claridad.Este pensador inglés propuso un “Nuevo Organon(Novum Organum)” que sustituyera al de Aristóteles y sirviera de fundamento a laciencia. Bacon sostenía que la verdad se fundaba en el silogismo sino en la observación y el método inductivo.

III. Métodos Inductivos.

El primero que ideó un método inductivo fue Francis Bacon. Este método se conoce, precisamente, con el nombre de “Tablas deBacon”.

Tabla de Presencia

Sobre una naturaleza determinada deben comparecer ante el entendimiento todas las características que se den en dichanaturaleza, incluyendo las materias opuestas.

Tabla de Ausencia

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Deben comparecer ante el entendimiento las características que no se realicen.

Tabla de Grados

Deben comparecer ante el entendimiento las características que se dan más o menos veces, sea haciendo una comparación deaumento y disminución en el mismo sujeto, o comparando varios sujetos entre si(Novum Organum, P II, XI, XII, XIII).

IV. Hipótesis.

Este término proviene del griego: tesis = poner, hipo = debajo. Es decir, la hipótesis es un supuesto, una explicación provisional dealgún hecho o fenómeno. Para hacer una inducción la hipótesis debe ser comprobada mediante la experiencia. Si las premisas estánjustificadas y el argumento es valido inductivamente, la hipótesis esta justificada.

V. Teorema.

Proposición que se obtiene a partir de axiomas y que afirma una verdad que se puede demostrar racionalmente.

VI. Reglas de Inferencia.

1. Inferencia.

Es deducir, y deducir es obtener conclusiones a partir de unas premisas. El cálculo inferencial tiene como finalidad facilitar elanálisis de argumentos mediante el lenguaje simbólico y las “Reglas de la Inferencia”.

2. Reglas de Inferencia

Los argumentos basados en tautologías representan métodos de razonamiento universalmente correctos. Su validez dependesolamente de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los valores de verdad de las variables que contienen. A esosargumentos se les llaman reglas de inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más tautologías o hipótesis en unademostración.

Ejemplo:

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces se hará rico.Si se hace usted rico, entonces será feliz.

Si usted invierte en el mercado de valores, entonces será feliz.

Sea:p: Usted invierte en el mercado de valores.q: Se hará rico.r: Será feliz

De tal manera que el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera:

p qq r

p r

A continuación se cita una lista de las principales reglas de inferencia que se pueden aplicar en una demostración.

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a) Reglas de Adición:

Con cualquier premisa o conclusión podemos formular una conclusión disyuntiva en la que uno de sus miembros sea esa premisa oconclusión.

p

ˆ pwq

b) Reglas de Simplificación:

Las premisa o conclusiones conjuntivas pueden simplificarse en cualquiera de sus miembros.

ˆ pwq

p

c) Reglas de Silogismo Disyuntivo:

Siempre que se de una disyunción y dos enunciados condicionales cuyos antecedentes sean cada uno un miembro distinto de esadisyunción, se puede concluir con la disyunción de los consecuentes de los enunciados condicionales

pwqp‛ˆ p

d) Reglas de Silogismo Hipotético:

Siempre que se den dos condicionales, siendo el consecuente del primero el antecedente del segundo, se puede concluir con uncondicional cuyo antecedente del primer condicional y cuyo consecuente sea el consecuente del segundo condicional.

p÷qq÷rp÷r

e) Reglas de Conjunción:

Toda premisa o conclusión puede ser enlazada por una conjunción.

pq

pvr

f) Reglas de Ponendo Ponens:

En una proposición condicional, siempre que se afirme (Poniendo) el antecedente, podemos afirmar (Ponens) el consecuente.

p÷qpq

VII. Métodos de demostración.

Toda demostración debe comenzar con las hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de inferencia necesarias, hasta llegar a laconclusión.

Se aplica el procedimiento general para demostración de enunciados válidos. A continuación se demuestra el teorema respaldandocada uno de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya conocidas.

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1. (p q) r Hipótesis2. r s Hipótesis3. q (q p) Adición tautología 104. q (p q) 3; ley conmutativa, regla 25. q r 4,1; silogismo hipotético, regla 226. q s 5,2; regla 227. s' q' 6; contra positiva, regla 7.

El enunciado es válido aunque la conclusión puede ser falsa o verdadera.

1. Demostración por el Método Directo.

Supóngase que pq es una tautología, en donde p y q pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan cualquier número devariables propositivas, se dice que q se desprende lógicamente de p. Supóngase una implicación de la forma.

(p1 p2 ....... pn) ÷ q

Es una tautología. Entonces está implicación es verdadera sin importar los valores de verdad de cualquiera de sus componentes. Eneste caso, se dice que q se desprende lógicamente de p1, p2,......, pn. Se escribe.

p1p2Mpn q

Realmente el camino que se debe seguir para llevar a cabo una demostración formal usando el método directo. Significa que sí sesabe que p1 es verdadera, p2 es verdadera,...... y pn también es verdadera, entonces se sabe que q es verdadera.

Prácticamente todos los teoremas matemáticos están compuestos por implicaciones de este tipo.

(p1 p2 ....... pn) ÷ q

Donde la pi son llamadas hipótesis o premisas, y q es llamada conclusión. “Demostrar el teorema”, es demostrar que la implicaciónes una tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es verdaderasi todas las pi son verdaderas.

2. Demostración por Contradicción.

El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante a la que se realizó por el método directo con la diferencia deque las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino además se incluye en la demostración una línea conla negación de la conclusión. Por otro lado el objetivo de la demostración es llegar a una contradicción.

La demostración del siguiente teorema por el método de contradicción es como se indica

p (p r) (q s) t (p s) t

Demostración

1.­ p (p r) Hipótesis 2.­ (q s) t Hipótesis 3.­ p s Hipótesis 4.­ t’ Negación de la conclusión 5.­ (q s)’ 2,4; Modus tollens, regla 25 6.­ q’ s’ 5; Ley de Morgan, 6ª 7.­ q’ 6; Simplificación, regla 20 8.­ s’ q’ 6; Ley conmutativa, 2b 9.­ s’ 8; Simplificación, regla 20 10.­ s p 3; Ley conmutativa, 2ª 11.­ p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21 12.­ q r 11,1; Modus ponens, regla 24 13.­ q 12; Simplificación, regla 29 14.­ q q’ 13,7; Conjunción, regla 23 15.­ Contradicción.

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L i b r o A u t o r E d i t o r i a l

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Bernard Kolman,Robert C. Bisby,Sharon Ross

Prentice Hall

Elements of DiscreteMathematics

C.L.Liu Mc graw Hill

Matemáticas Discreta yCombinatoria

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Matemáticas Discretas Kenneth A. Ross,Charles R.B. Wright

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Matemáticas Discretas RichardJohnsonbaugh

Gpo. EditorialIberoamerica

Lógica, testo y cuaderno detrabajo

José W. WiechersRivero

Humanismo ySentido

Bibliografía.