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Las Reglas del Producto y el
Cociente
MATE 3031 – Cálculo 1
01/02/2016 JGRA 1 de 19
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MA
TE
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Actividades 2.1
• Referencia:– Sección 2.1 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden
superior, Ver ejemplos 1 al 6ñ 8, 9, 10
– Ejercicios de Práctica: Impares 1 – 67
• Asignación 2.1: Problemas 28, 46; Use GRAPH para resolver
problema 62. Incluya copia de la gráfica.
• Referencias del Web:
– Khan Academy – Regla del Producto y Regla del Cociente
– Tutorials for the Calculus Phobe – Product Rule , Quotient Rule
– Visual Calculus: Product Rule Tutorial. Luego, practique en Drill;
Quotient Rule Tutorial. Luego, practique en Drill. Para derivada de
funciones trigonométricas vea Tutorial y practique con drill 1 y drill
2.
– E-MathLab.com: Ejercicios de prática interactivos. Diferenciación
básica, Regla del Producto, Regla del Cociente.
JGRA01/02/2016 2 de 19
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Regla del Producto
entonces, Si v(x)u(x)f(x)
dx
duv
dx
dvuxf )(
uvvuuv )(
Otra manera de recorder esta formula:
01/02/2016 JGRA 3 de 19
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Ejemplo 1
• Calcule:
• Solución:
) xcos (sin xdx
d
) xcos (sin xdx
d )(cos sin x
dx
dx
xxxx cos cos sin sin
xx cos sin 22 xxó sin cos 22
uvvuuv
)(sin cos xdx
dx
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Ejemplo 2
• Calcule:
• Solución:
JGRA01/02/2016
] tan)2[( 2 xxxdx
d
]tan)2[( 2 xxxdx
d )2( tan) (tan)2( 22 xx
dx
dxx
dx
dxx
xxxx tan)22( xsec)2( 22
5 de 19
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Ejemplo 3
)5)(3( 2 xxxdx
d )5)(3( 22
1
xxxdx
d
Calcule:
)(uvdx
d
)2
5
2
1()15652( 2
123
21
23
xxxxx
1562
15
2
521
23
xxx 1562
15
2
5 xxxx
uvvuuv
)52)(3( 21
xx )2
1)(5( 2
12 xxx
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Ejercicios #1
• Calcule las siguientes derivadas:
1.
2.
JGRA01/02/2016
]tan)5x2[( 3 xdx
d
][cos2 xdx
d
)5x2(tantan)5x2( 33 dx
dxx
dx
d
)x6(tansec)5x2( 223 xx
xx tanx6sec)5x2( 223
][coscos][coscos xdx
dxx
dx
dx
)sin(cos)sin(cos xxxx
xx sincos2
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Ejemplo 4
• Si 𝑢(1) = 2 , 𝑢’(1) = −7, 𝑣(1) = 7, 𝑣’ 1 = 2 ,
calcule 𝑑
𝑑𝑥(𝑢𝑣)|𝑥=1
• Solución:
)1(')1( vu
)7(7)2)(2( 45
1
x
uv )1(')1( uv
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Regla del Cociente
entonces, v(x)
)(f(x) Si
xu
2)(
)()()()()(
xv
xvxuxuxvxf
2v
vuuv
v
u
Otra manera de recorder esta formula:
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Ejemplo 5
JGRA01/02/2016
35
13)(
x
xxfEjemplo: Calcule la derivada de:
2)35(
)5)(13()3)(35(
x
xx
2)35(
515915
x
xx
2)35(
14
x
2)35(
)35)(13()13()35(
)(
x
xdx
dxx
dx
dx
xf
2v
vuuv
v
u
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Ejercicio #2
34
12
x
x
dx
d
Calcule:
2)34(
4868
x
xx
2)34(
10
x
2v
vuuv
v
u
2)34(
)4)(12()2)(34(
x
xx
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Identidades trigonométricas básicas
Identidades del cociente tansin
coscot
cos
sin
Identidades recíprocas cscsin
cottan
1 1
sec =1
cos
Identidades Pitagóricas
sin cos tan sec
cot csc
2 2 2 2
2 2
1 1
1
Identidades del ángulo doble
xxx cossin22sin
xxx 22 sincos2cos
1cos22cos 2 xx
xx 2sin212cos
2
2cos1cos2 x
x
2
2cos1sin2 x
x
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Ejemplo 6
• Calcule:
• Solución:
JGRA01/02/2016
x
x
dx
d
sin
cos
x
x
dx
d
sin
cos
x
xdx
dxx
dx
dx
2sin
)(sincos)(cossin
x
xxxx2sin
)(coscos)sin(sin
x
xx2
22
sin
cossin
x
xx2
22
sin
)cos(sin
x2sin
1 x2csc
Tabla de Identidades trigonométricas
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Ejercicios #3
Halle la ecuación de la recta tangente a la curva de:
𝑦 = 𝑥 cos 𝑥 en el punto
Solución:
JGRA01/02/2016
)cos( xxdx
d)(cos)(cos x
dx
dxx
dx
dx
xxx cossin
x
xxdx
dpendiente cos cossin 1)0( 1
La ecuación de la recta tangente es:
)(1)( xy
xy
),(
xy 1
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Derivadas de las recíprocas de las
funciones Trigonométricas
JGRA01/02/2016
xxxdx
dcotcsc) (csc
xxxdx
dtan sec) (sec
xxdx
d csc)(cot 2
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Ejemplo 7
• Calcule
JGRA01/02/2016
x
x
dx
d
sec
1tan
x
x
x
dx
d
cos
1
1cos
sin
xx sincos
coxxdx
d sin
xdx
dx
dx
dcossin
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Ejercicios #4• Calcule :
𝑑
𝑑𝑥
cos 𝑥
𝑒𝑥𝑑
𝑑𝑡
3(1 − sin 𝑡)
2 cos 𝑡
=𝑒𝑥 ∙ − sin 𝑥 − cos 𝑥 ∙ 𝑒𝑥
𝑒𝑥 2
=−𝑒𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥
𝑒𝑥 2
=− sin 𝑥 + cos 𝑥
𝑒𝑥
=3
2
𝑑
𝑑𝑡
1 − sin 𝑡
cos 𝑡
=3
2
𝑑
𝑑𝑡
1
cos 𝑡−
sin 𝑡
cos 𝑡
=3
2
𝑑
𝑑𝑡sec 𝑡 − tan 𝑡
=3
2sec 𝑡 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − 𝑠𝑒𝑐2 𝑡
=3
2sec 𝑡 tan 𝑡 − sec 𝑡
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Ejercicios del Texto
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Ejercicios del Texto 2
JGRA01/02/2016 19 de 19