REGRESIN MULTILINEAL

Mtodos Numricos para Regresiones No LinealesEnestadstica,la regresin no lineales un problema de inferencia para un modelo tipo:El objetivo de la regresin no lineal se puede clarificar al considerar el caso de laregresin polinomial, la cual es mejor no tratar como un caso de regresin no lineal. Cuando la funcintoma la forma:

la funcines no lineal en funcin depero lineal en funcin de los parmetros desconocidos,, y. Este es el sentido del trmino "lineal" en el contexto de la regresin estadstica. Los procedimientos computacionales para la regresin polinomial son procedimientos de regresin lineal(mltiple), en este caso con dos variables predictorasy. Sin embargo, en ocasiones se sugiere que la regresin no lineal es necesaria para ajustar polinomios. Las consecuencias prcticas de esta mala interpretacin conducen a que un procedimiento de optimizacin no lineal sea usado cuando en realidad hay una solucin disponible en trminos de regresin lineal. Paquetes (software) estadsticos consideran, por lo general, ms alternativas de regresin lineal que de regresin no lineal en sus procedimientos.

Ejemplo de regresin no lineal

Regresin ExponencialEn determinados experimentos, en su mayora biolgicos, la dependencia entre las variables X e Y es de forma exponencial, en cuyo caso interesa ajustar a la nube de puntos una funcin del tipo:

Mediante una transformacin lineal, tomando logaritmos neperianos, se convierte el problema en una cuestin de regresin lineal. Es decir, tomando logaritmos neperianos:

Ejemplo.- Por regresin exponencial calcule Y cuando X=5, siX=11.21.5233.744.5Y=33.4524.1576.5

xyln(y)x2x ln(y)(ln y)2

131,098611,09861,2069

1,23,41,22371,441,46841,4974

1,551,60942,252,41412,5901

220,693141,38620,4803

34,11,410994,23271,9906

3,751,609413,695,95472,5901

471,9459167,78363,7865

4,56,51,871820,258,42313,5056

: 20,9: 36: 11,4628: 67,63: 32,7614: 17,6455

Numero de datos = n = 8

=x promedio = 2.6125=ln(y) promedio = 1.4328Usando la forma lineal de la Regresin Exponencial:

b ==recordemos que entonces ln(a) =ln(y) - bx

La ecuacin final que modela el sistema es

Si x=5 entonces y= 7.0175

Regresin LogartmicaLa curva logartmicaes tambin una recta, pero en lugar de estar referida a las variables originalese, est referida ay aEjemplo.- Por regresin logartmica calcule Y cuando X=5, six=11.21.5233.744.5y=33.4524.1576.5

xyln xln2xy*ln x y2

130009

1.23.40.18230.03320.619811.56

1.550.40540.16432.02725

220.69310.48031.38624

34.11.09861.20694.504216.81

3.751.30831.71166.541525

471.38621.92159.703449

4.56.51.50402.26209.77642.25

: 20.9: 36: 6.5779: 7.7798: 34.5581: 182.62

a ===

a= 2.09051

b == 4.5 - (2.09051)(0.8222) = 2.78117

La ecuacin final que modela el sistema es

y =6.1456

Regresin polinomialAlgunas veces cuando la relacin entre las variables dependientes e independientes es no lineal, es til incluir trminos polinomiales para ayudar a explicar la variacin de nuestra variable dependiente.Las regresiones polinomiales se pueden ajustar la variable independiente con varios trminos

Que, derivando respecto a cada uno de los coeficientes nos da el planteamiento un sistema de ecuaciones de la siguiente forma (dondemes el nmero de pares de datos):

Ejemplo.- Por regresin polinomial calcule Y cuando X=5, siX=11.21.5233.744.5Y=33.4524.1576.5

xyxyx2y2x2yx3x4

13319311

1.23.44.081.4411.564.8961.7282.0736

1.557.52.252511.253.3755.0625

224448816

34.112.3916.8136.92781

3.7518.513.692568.4550.653187.4161

4728164911264256

4.56.529.2520.2542.25131.62591.125410.0625

20.9 36 106.63 67.63 182.62 376.121 246.881 958.6147

Usando una Matriz para calcular valores de los coeficientes

Usando el mtodo deEliminacin de Gauss-Jordan

La ecuacin final que modela el sistema es

Finalmente si x = 5, entoncesy=4.57543-1.52445*5+0.46209*5^2 = 8.5054