regulaciÓn automÁtica ii - elai.upm.es · reg. automática ii 5 tÉcnicas de diseÑo de...

Reg. Automática II 1

REGULACIÓN AUTOMÁTICA IICurso 10/11

Profesor: Pablo San Segundo

Despacho: C-206

Tutorías: Lunes 15:30h-17:30h

Martes 10:00h-12:00h

Coordinador: Prof. Roberto González


HOJA DE CURSO CONTROL Y EVALUACIÓN

• Laboratorio: 25%

• Examen teórico: 75 %

• Trabajo voluntario: Máxima puntuación 1,5 puntos (mínimo de 4 en la nota de teoría)

LABORATORIO

• Ya es posible apuntarse a los laboratorios (secretaría dpto.)

• Los alumnos suspensos en años anteriores pueden repetir las prácticas si lo desean.


INTRODUCCIÓN

SISTEMAS OBJETO DE ESTUDIO

• LTI: Linear Time Invariant

Modelos-S con funciones racionales de coeficientes constantes

• SISO: Single Input Single Output

Una sola entrada y una sola salida

• Realimentación

OBJETIVOS DE LA COMPENSACIÓN (en este curso)

Para un sistema genérico dado (conocido su modelo matemático o no) conseguir que la salida del sistema siga a una entrada de referencia con un comportamiento controlado (especificaciones de diseño).

• Se realimenta el sistema con la salida

• Se añade un componente de compensación que actúa sobre la señal de error

• El control se puede realizar mediante computador


ESQUEMAS DE COMPENSACIÓN (SISO)

Gc Gp

H

+

-

Uref y yGc Gp

H

+

-

Uref+

+

P

Clásico con perturbaciónClásico

yGc2 Gp

H

+

-

Uref+

+

PGc1

+

Prealimentación

Gc1 Gp

H

+

-

Uref+

+

P

Gc2

+

Paralelo


TÉCNICAS DE DISEÑO DE COMPENSADORES CLASIFICACIÓN

• Métodos experimentales: No se conoce el modelo analítico

Compensación PID mediante método Ziegler-Nichols

• Métodos no experimentales: Se conoce el modelo analítico

Síntesis: A partir de un modelo parametrizado en cadena cerrada se deduce la forma del compensador.

– Compensadores muy complejos (típicamente control por computador)

– Truxxal

Análisis: A partir del modelo en cadena abierta (planta) y unas especificaciones de diseño en el tiempo o en la frecuencia se obtienen unos parámetros prefijados del compensador

– Compensación PID-especificaciones de diseño: 90-95% de los compensadores industriales


EJERCICIO DE EXAMEN

Febrero 2007


EJERCICIO EXAMEN

A) Equivalente discretoPlanta: Gp(s)

1 0( )1 0

G ss

=+

0.6321( )0.3679

G zz

=− pTe−

Respuesta del sistema controlado por computador en cadena abiertaante entrada escalón unitario

TIEMPO DE MUESTREO INCORRECTO!


EJERCICIO DE EXAMEN

Febrero 2007


EJERCICIO EXAMEN

B)Gc(Z)

-

{Uk}+

0.06321( )( 0.3679)( 0.9)

G zz z

=− −

{yk}

LUGAR DE LAS RAICES DIRECTO(COMPENSADOR PROPORCIONAL)


EJERCICIO DE EXAMEN

Febrero 2007


EJERCICIO EXAMEN

11 1 0,751 3 (1)pe

G− = − =

+ ⋅

C)K=3

-

{Uk}+

0.06321( )( 0.3679)( 0.9)

G zz z

=− −

{yk}

11p

p

eK

=+

Respuesta en cadena cerrada {yk} para K=3


PARÁMETROS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO

2

5( )2 5

G ss s

=+ +

21100 100tgpM e e

ξ ππξθ

− ⋅−−= ⋅ = ⋅

pd

tWπ

=

(0 )2r

d

tW

πθπ θ<

−<=

Plano S

j

Wd

Re[S]

nwσ ξ= ⋅

θ

cos 0ξ θ= =

cos 1ξ θ= =

2

2 2( )2

n

n

wG ss s wσ

=+ +

nW

(0 )0, 4st ξπσ

< <≅º º66 0( )9θ< <

(0) 1G =

2p

r

tt =


EJERCICIO LDR

K

-

2

2

( 1)( )2 2

sG zs s

+=

+ +

+ yrefUref

LDR DIRECTO LDR INVERSO

K=?


EJERCICIO LDR

C)K

-

2

2

( 1)( )2 2

sG zs s

+=

+ +

+ yrefUref

LDR INVERSO

K=?

2

(1 ) (1 )( )

1

dp s j s jI K

dz s+ + + −

= =+

∏∏

( ) 1 , 1II s jγ γ= − + < < ∞

( ) ( )De I y II2

2 2

2

2

( 1) ( 1) 1

1lim 1

dp j jK

d

K

z

γγ

γ γ γγ γ

γγ →∞→∞

+ − −

=

= = = ⇒

−⇒ =

∏∏


PARÁMETROS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

10( )( 1)( 2)( 3)

G ss s s

=+ + +AB=Ancho de Banda

Margen de faseγ =

Margen de gananciagK =frec. cruce de fasefw =

frec. cruce de gananciagw =

180 ( ( )gFase G jwγ = −


PARÁMETROS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA (II)10( )

( 1)( 2)( 3)G s

s s s=

+ + +

º90γ = +

gK fw

gw

5(0)3

G =

10 ?( 1)( 2)( 3)s s s

γ⎛ ⎞

=⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

10 ?( 1)( 2)gKs s

⎛ ⎞=⎜ ⎟+ +⎝ ⎠


CÁLCULO DEL MARGEN DE FASE)10 ?

( 1)( 2)( 3)s s sγ⎛ ⎞

=⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

2 2 2 2 3

2

2 2

2 2 2

1

10( ) 1 1 10 ( 1)( 2)( 3)( 1)( 2)( 3)

10 (2 2 )(3 ) 10 6 2 3 6 2 3

( )

( ) :100 36(1 ) (11 ) por tante

0 6(1

1o /

) (11 )

g g g g

g g g g g g g g g g

g g

g

g g g

g

g

G jw jw jw jws s s

jw jw w jw jw jw w jw w w jw

I

Dew ra

w

d sw

w

Iw gw

jw

= ⇒ = ⇒ = + + + ⇒+ + +

⇒ = + + − + ⇒ = + + − +

= −

− − − ⇒

⇒

= − + − =

+ −

01

. . ( )( )'( )m m

o

Metodo N R raices realesp x

x xp x+ = −A)Cálculo de gw

B)Cálculo de γ

º

10 10180 ( ) 180( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)

180 ( (1 ) (2 ) (3 90))

gG jws s s j j j

j j j

γ⎛ ⎞

= − ∠ = − ∠ =⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠= − ∠ + +∠ + +∠ + =


ZONAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA10( )

( 1)( 2)( 3)G s

s s s=

+ + +

gw

5(0)3

G =

BAJAS FRECUENCIAS

MEDIAS FRECUENCIAS

ALTAS FRECUENCIAS


PARÁMETROS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA (III)

2

10( )2 10

G ss s

=+ +

Pico de resonanciarM =

frecuencia de resonanciarW =

45º 90º 0 0,707

Resonancia en sistemas de segundo orden

θ ξ< < ≡ < <

10 3,16n dW W= >

3 2,83dW =

(0 0,707)r dW W ξ< <

S. SUBAMORTIGUADOS

71ºθ ≅

r d nW W W< <

?γ =


RELACIONES DOMINIOS FRECUENCIA-TIEMPO

Osc./Rapidez

( ) ( 27º , 46%)75 p

tgp MM e

πθ γγ

−

> <= − AMORTIG./Osc.

,ξ θ

º º(0 0, 707) (45 90 )100 ξ θγ ξ < < < <≅ AMORTIG./Osc.

Estab.

,ξ θ

12rMξ r dw w gK AMORTIG./Osc.

,ξ θ

Estab.

1 (0 1)2 r

ABt

ξ< < gW RAPIDEZpd

twπ

=respuesta

2( )s

gwt

tgπ πσ γ

≅ ≅⋅

RAPIDEZreg. permanente

estabiliza.


PARÁMETROS RAZONABLES COMO OBJETIVO

TIEMPO

FRECUENCIA

Re[S]

Im[S]

0,7074,3

100 0º%

7Mpξ

γ ξ=

≅ =

=

0,335%

100 30ºMpγ

ξ

ξ

==

≅ =

45ºθ =71,5ºθ =

d rW W≅rapidez respuesta (tp)

σ

ESTABILIDAD

0, 1gKγ > >

Polos cad.cerradasemiplano negativo en S

Polos dominantescadena cerrada

tiempo estabilizarse(ts)

45º 75 80ºpMγ< ≅ − <

,ξ θacotación Mr (oscilación)11 32rdB M dBξ

< ≅ <

: 20gW Zona de caida dB− , Sistema más rápidogw AB↑ ↑


RESUMEN CUADRO PARÁMETROS

REGIMEN PERMANENTE

1 1 11 v a

p v a

ep e eK K K

= = =+

Precisión

2( )s

g

tw tg

π πσ γ

≅ ≅⋅

Rapidez(*) respuesta

, ?g sw tγ↑ ↓⇒ =

Tiempo establecimiento

REGIMEN TRANSITORIO

, , , ,p rM Mθ ξ γpicos de oscilaciones

Amortiguamiento

, , , ,p d r gt AB W W Wrespuesta

Rapidez(*)

, ( , )g g fK w wγESTABILIDAD


,gW γCALCULO DE PARÁMETROS3( )

( 1)( 2)G s

s s=

+ +4 25 5 0 (0.9242 / )g gw w rad s+ − =Calcular Wg para

180 [arctan( ) arctan( )]2

gg

wwγ = − +

3( )( 1)( 2)

G ss s

=+ +γ paraCalcular

( )( ) ?3

G sγ =


COMPROMISO ESTABILIDAD-PRECISIÓN

10( )( 1)( 2)( 3)

G ss s s

=+ + +

Ku(t) y(t)

ESTABILIDAD

Si K aumenta el sistema es más inestable, pero también más rápido (Wd ), más oscilatorio (menos amortiguado) y tarda más en establecerse (ts )

( )( )1 ( )

KG sM sKG s

=+

( ) 1 ( ) 1G s M s⇒ →En el permanente

10 101 3 3 56 6p pK K K K= ⇒ = = ⇒ = ⋅ =

1 luegosi ,1p p p

p

e K eK

= ↑ ↓+

PRECISIÓN

↑

↓


COMPROMISO ESTABILIDAD-RAPIDEZ

10( )( 1)( 2)( 3)

G ss s s

=+ + +

Ku(t) y(t)

K=1:LDR? K=3:LDR? ,gW γ↑ ↓

Precisión ↑

K=3: MAS RAPIDO PERO MAS INESTABLE


COMPENSACIÓN PID IDEAL

PIDUref(s) y(t)

H(s)

G(s)e(s) u(s)

-

( )( ) [ ( 1) ( ) ]i o

d

td e tu t e t e t d td t

TKT

= + + ∫

0 Acción Derivativa NulaAcción Integrado( 4)

ra Nula

d

d

i

Ti T Ziegler Nichol x

TT

s−

== ∞Acción

Proporcional

Acción Derivativa

( ) 1( ) (1 )( ) d

i

u sP I D s K T se s T s

= = + +

Acción Integradora


ACCIÓN PROPROCIONAL

( ) [ ( ) ]u t e tK=K

Uref(s) y(s)

H(s)

G(s)-

e(s) u(s)

PRECISION AMORTIGUAMIENTO

RAPIDEZ ESTABILIDAD

↑ ↓

↑ ↓

10( )( 1)( 2)( 3)

G ss s s

=+ + +

RAZONAR L.D.R. CON


ACCIÓN PROP. DERIVATIVA (PD)

Uref(s) y(t)

H(s)

G(s)-

e(s) u(s) ( ) (1 )( )

du Ks se s

T= +(1 )K sTd+

Dom. Temporal

MEJORA RÉGIMEN TRANSITORIO: MÁS RÁPIDO y MÁS ESTABLE

1 ( 4)4

PD s= +2( )

( 1)( 2)G s

s s=

+ +

2( )( 1)( 2)

G ss s

=+ +


ACCIÓN PROP. DERIVATIVA (PD)

( ) (1 )( )

du Ks se s

T= +

Dom. Frecuencia

(K=2, Td=1s)

1 1 /d

rad sT

=

Zona Medias FrecuenciasAportación de FASE +90º

Zona Altas Frecuencias Amplificación ruido

Red Adelanto de fase (RAF)

¿Cuál está mejor compensada?

8 º76º 3γγ ==

16( )( 1)( 2)( 3)

G ss s s

=+ + +

1( ) (1 ) 3,11 /gC s s w rad s= + =

2 ( ) (2 ) 2 /gC s s w rad s= + =

1,57 /gw rad s=


ACCIÓN PROP. DERIVATIVA -REAL

( ) (1 )( )( ) 1

u s sC s Tr Tde s

TdKTs r

+ ⋅= = <

+ ⋅

Red Adelanto de fase Real (RAF)u(t)

∞

t

u(t)

t

d

r

TKT

LDR Polos Dom.

Re

Im

1

rT1

dT

Acción PD

Zona de frecuenciasmedias de cad. cerrada

1 (1 )C s= +

2(1 )(5 )

sCs

+=

+

1

dT1

rT

COMPENSADOR CAD. ABIERTA


ACCIÓN PROP. INTEGRADORA (PI-IDEAL)

1( ) 1(1 ) ( )( ) i

i

i

TK KT

su se s s s T

+ ⋅= + =

⋅ ⋅

Red Retraso de fase (RRF) 1( ) 2( )( ) 4

su sC se s s

+= =

⋅

1 0.5 /i

rad sT

=•Trabaja en módulo

•Hace al sistema más lento

•Mejora el permanente

•Redes pasivas (RC)

•Sistema más estable

•Saturación actuadores

LDR Polos Dom.

Re

Im

1

iT

Acción PI Ideal

Zona de Bajas frecuencias de la cadena cerrada


ACCIÓN PROP. INTEGRADORA (PI-IDEAL)

1( ) 1(1 ) ( )( ) i

i

i

TK KT

su se s s s T

+ ⋅= + =

⋅ ⋅

Red de Retraso de Fase (RRF) 1( ) 2( )( ) 4

su sC se s s

+= =

⋅

33,75( )( 2)( 3)( 4)

G ss s s

=+ + +

CADENA ABIERTA

( )G s

( ) ( )C s G s⋅

0,19 /gw rad s=

1,37 /gw rad s=

, 100ºgw Cteγ↓ =

( ) ( )G s G s⋅

CADENA ABIERTA


ACCIÓN PROP. INTEGRADORA (PI-REAL)

1( ) ( )( ) 1

i

n

TKuT

sse s s

+ ⋅=

+ ⋅

Red de Retraso de Fase real (RRF)

•Físicamente implementable (Redes pasivas)

•Evita inestabilidad polo origen

1 5( ) 101 50

sC ss

+=

+

33,75( )( 2)( 3)( 4)

G ss s s

=+ + +

Demasiado lento!

Tn=50s Alto

Resp. Cad. Cerrada


ACCIÓN PROP. INTEGRADORA (PI-REAL)

1( ) ( )( ) 1

i

n

TKuT

sse s s

+ ⋅=

+ ⋅

Red de Retraso de Fase real (RRF)

LDR Polos Dom.

Re

Im

1

iT

Acción PI Real

1

nT33,75( )( 2)( 3)( 4)

G ss s s

=+ + +

(1 5 )( ) 10(1 12,5 )

sC ss

+=

+

Resp. Cad. Cerrada

Tn=12,5s OK


ACCIÓN PID IDEAL / REAL

(1 . )(1 )( )( ) id

d i

i

T TK s su s T Te s T s

+ + ⋅= <<

⋅PID IDEAL

PID REAL(1 . )(1 )( )

( ) (1 )(1 )d i

r d i nr n

T TK s su s T T T Te s T s T s

+ + ⋅= < << <

+ ⋅ + ⋅

Acción PID Real

LDR Polos Dom.

Re

Im

1

iT1

nT1

dT

1

rT


EJERCICIO-DISEÑO PIDDom. Tiempo

PIDUref(s) y(t)

-

e(s) u(s)( )G s

2st s≤

25%pe ≤

25%pM ≤

Caso A

2st s≤

10%pM ≤

Caso B

2st s≤

0pe =

10%pM ≤

Caso C

Espec. Permanente

Espec. Transitorio

Aumentar el orden Cad. Abierta

Reg. Automática II 37Dom. Tiempo

EJERCICIO-DISEÑO PID1( )

( 1)( 2)G s

s s=

+ +

CASO A

25%pe ≤

PERMANENTE

2st s≤

25%pM ≤

TRANSITORIO

1,57 /ss

t rad st

π πσσ

= ⇒ = ≥

( ) atan( ) 66,2ºln( )

tgp

p

M eM

πθ πθ

− −= ⇒ = ≤

1 1 31p p

p

ee KK e

−= ⇒ = =

+

Zona Plano Complejo

7 /1, rad sσ =

65ºθ =

4 20%p pK e= ⇒ = 9 10%p pK e= ⇒ = 19 5%p pK e= ⇒ =

Re

Im

1,7

65º

S∆3,64

2 2 2 21 2 0,5 3,64 0,5 3,64 13,5p pK d d= ⋅ = + +

0

13,5lim ( ) 6,252

13%pp sK K G es

→= ⋅ = ⇒

Tanteo compensador K ( 1,5 / )rad sσ

SUFICIENTE-> C(s)=13,5


EJERCICIO-DISEÑO PID1( )

( 1)( 2)G s

s s=

+ +

CASO A

Zona Plano Complejo

2st s≤

25%pe ≤

10%pM ≤

1,57 /ss

t rad st

π πσσ

= ⇒ = ≥

( ) atan( ) 53,76ºln( )

tgp

p

M eM

πθ πθ

− −= ⇒ = ≤

1 1 31p p

p

ee KK e

−= ⇒ = =

+

7 /1, rad sσ =

50ºθ =

PERMANENTE

TRANSITORIO

Re

Im

1,7

50º

S∆2

Tanteo compensador K 2 2 2 21 2 0,5 2 0,5 2 4,25p pK d d= ⋅ = + + =

( 1,5 / )rad sσ

02,1lim ( )

22p s

KK K G s→

= ⋅ = INSUFICIENTE

TANTEAR PI


EJERCICIO-DISEÑO PD-IDEAL1( )

( 1)( 2)( 3)G s

s s s=

+ + +

CASO B

Zona Plano ComplejoTRANSITORIO

50ºθ ≤7 /1, rad sσ > 2 /dW rad s2st s≤ 10%pM ≤

S∆

-1-2

(-1,7+2j)

-3

βa

1α2α3α

1pd2pd3pd1zd

Aporte de fase (RAF)

( ) ( )C s K s a= +

1 2 3

1

5,07p p p

z

d d dK

d⋅ ⋅

= =

Ajuste K

C(s)= 5,07(s + 2,51)SOLUCION

1

1 2 3 2

3

2180 atan( )0,7

2180º ( ) 67,7º0,32( )

1,3

tg

tg

α

α α α β α β

α

⎧ − =⎪⎪⎪+ + − = = ⇒ =⎨⎪⎪

=⎪⎩

2( )1,7

2,51 /a rad stga

β = ⇒ =−

Ajuste β

0

1lim ( ) ( ) 5,07 2,51 2,126p s

K s a GK s→

+ = ⋅ ⋅ ==Baja Precisión


EJERCICIO-DISEÑO PD-REAL1( )

( 1)( 2)( 3)G s

s s s=

+ + +

CASO B

( ) s aGc s Ks b+

=+

Zona Plano ComplejoTRANSITORIO

50ºθ ≤7 /1, rad sσ > 2 /dW rad s2st s≤ 10%pM ≤

1 3 2,11 2,38 6,31 31,641

p p pbd d dK

⋅ ⋅= = ⋅ ⋅ ≅

Ajuste K

S∆

-1-2

(-1,7+2j)

-3

ϕ

b1α2α3α

1pd2pd3pdpbd

Aporte de fase (RAF)

Máximo 60º

a

Ajuste β

1

1 2 3 2

3

2180 atan( )0,7

2180º ( )0,32( )

1

7,7º

,3

6tg

tg

α

ϕ α α α α ϕ

α

⎧ − =⎪⎪⎪− − − = = ⇒ =⎨⎪⎪

=⎪⎩

2 2arctan( ) arctan( )1,7 1,7

7,82 / secb ada

rb

ϕ = + → =− −

SOLUCION2( ) 31,64

7,68sGc s

s+

= ⋅+

60º<


EJERCICIO-DISEÑO PI1( )( 1)( 2)

G ss s

=+ +

Caso CDom. Tiempo

2st s≤ 10%pM ≤

Zona Plano Complejo

5 /1, rad sσ 50ºθ =TRANSITORIO

2 /dW rad s

0pe =

PRECISIÓN'(1 ) ( )Tanteo on ( )Ic :P i

i

T s s bC s K KT s s+ +

= =

Ajuste ( )i DécadaT1,5 0,15 /

10 10b rad sσ= = =

3 3'1 2

1 1

4,25 4,3p pp p

z z

d dK d d

d d= ⋅ = ⋅

'Ajuste KRe

ImS∆ 2

1,57 1,5 /rad s

1

i

bT=-1-2

1pd2pd3pd

1zd

SOLUCION( 0,15)( ) 4,3 sC s

s+

= 1


EJERCICIO-DISEÑO PI-IDEAL

1( )( 1)( 2)pG ss s

=+ +

Dom. Tiempo

Re

ImS∆ 2

1,57 1,5 /rad s

1

i

bT

=-1-2

1pd2pd3pd

1zd

Respuesta en cadena cerrada

( 0,15)( ) 4,3 sC ss

+=

Ajuste Ti Década

1,5 0,15 /10 10

b rad sσ= = =

NO CUMPLE ESPECIFICACIONES


EJERCICIO-DISEÑO PID-IDEAL1( )

( 1)( 2)( 3)G s

s s s=

+ + +

Caso C

Zona Plano Complejo

2st s≤ 10%pM ≤ 7 /1, rad sσ > 50ºθ ≤

S∆

21

21

4 1,75,07 54 1,53

,25pPD

z

dK K

d+

= = ⋅+

2 /dW rad s

-1-2

(-1,7+2j)

-3

βa

1α2α3α

0pe =

-0.17

1pd1zd

Calculado previamente en el

tanteo del PD

( 2.51( ) )( 0.17)5,25C s ss

s =+ +

SOLUCION

Efecto Polo Dom. en el origen


EJERCICIO-DISEÑO PID-IDEAL(1 0, 5,192. 42( 8 )(1 )) s sC s

s+ +

=(1 0,4 )( 2,511 1 )( ) s sC s

s+ +

=

(1 0,4 )( 1,411 1 )( ) s sC ss

+ += (1 0,4 )( 1,111 1 )( ) s sC s

s+ +

=


EJERCICIO-DISEÑO PID-REAL1( )

( 1)( 2)( 3)G s

s s s=

+ + +

2st s≤ 10%pM ≤ 7 /1, rad s

Zona Plano Complejo

σ > 50ºθ ≤

S∆

2 /dW rad s

-1-2

(-1,7+2j)

-3 a1α3α

5%pe ≤

-0.21

1pd1zd

( ) s a s cGc s Ks b s d+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

231,647,6

)8

(Gc s R F ss

A +⋅+

=

b c

0lim ( ) ( ) 19 19 19 2,30p c ps

a c c bK G s G s kb d d a k→

= = ⇒ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ =⋅

0, 211,7 /8

rc ad seg= ≅

Octava 00,21 /2,30

,09d rad seg=

d

1

1

32pPD

z

dK K

d= ≅

SOLUCION

2 0,21( ) 327,68 0,09

s sGc ss s

+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Caso A

PD que ajusta transitorio

_2( ) 31,64

7,68PD REALsGc s

s+

= ⋅+


DISEÑO RAF (PD)1

1( ) ( 1)1 0,071c c c

s sTTG s K Ks Ts

T

α αα

α

+ += = ⋅ ⋅ < <

++

Dom. Frecuencia

Razones de diseño 60ºmφ0,1 55ºmα ϕ= → ≅

1 1( 3 0 , 0 7 1 4 , 3 )cKT

αα

= = =

1 3 / secradT= 1 42,86 / secrad

Tα=

60ºmφ1( )1msen αφ

α−

=+

20log( )cK α

20log( )cK

1 14,3α

1 11,33 /mw rad sTα

= =⋅

1 3,78α

Reg. Automática II 47Dom. FrecuenciaDISEÑO RAF (PD)

PDUref(s) y(t)

H(s)

G(s)-

e(s) u(s)

1) Determinar regulador P y cK α⋅

, del conjunto ( ) ( )g g c pw K G jw H jwγ α⋅ ⋅

2) Determinación de la aportación de fase de la RAF

_ _m deseada antes de compensar MSEGφ γ γ= − +Margen de Seguridad

5º

3) Determinación de ' 1del conjunto ( ) ( )1g c p

jwTW K G jw H jwjw T

αα

++

1( )1msen

αφ α−

=+

'' '( ) ( ) 1c p g gg gK G jw H jw w wα α α⋅ ⋅ ⇒ >= <

Compensa variación de modulo de RAF4) Determinación de T

''

1 1g

g

w TT wα α= ⇒ =

⋅


JUSTIFICACIÓN MARGEN DE SEGURIDAD (RAF)

1 1,5 0α

= >

gw 'gw

'g gw w>

10( )( 1)( 2)( 3)

G ss s s

=+ + +

15( )( 1)( 2)( 3)

G ss s s

=+ + +

Trabaja en fase


EJEMPLO RAF

8,17 ( )Gp s⋅

1 2,178,17 ( )1 1,27

jw Gp sjw

⎡ ⎤+⎢ ⎥+⎣ ⎦

( )Gp s

Regulador P - Precisión

Cadena Abierta sin compensar

Cadena Abierta compensada

gw'gw'' 0,65 /0, / gg ww r rad seg ad seg== <

''gw

'' ' ( )g gw w Caida α≅

Anula incremento de modulo que da el compensador

LEYENDAS

' '' 0,6 0,57 // 1gg ww r rad seg ad seg≅ ==

'm gwφ α→ →ITERACIÓN


EJEMPLO RAF (Célula Peltier)

11% 65ºpe γ<0 0 4 50 0 7 0 5 2 5

A C O N D

C O N T R O L ( S )

u ( s ) ,G p( s )u ( s , )( s , )

= =+ +

1H ( s ) =

1) Determinar regulador P y cK α⋅

, del conjunto ( ) ( )g g c pw K G jw H jwγ α⋅ ⋅

1 1 (0) 10 8 710 ,1p c p cp

KK K Ge

α α= ⇒ =− ⇒ =1( )

(1 14, 29)(1 1.9)0

c pK G jwjw jw

α⋅ ⋅ =+ +

0.5 /54,3º

gw rad segγ==

⎧⎨⎩

2) Determinación de la aportación de fase de la RAF

65º 54,3º 1º 5º5mφ = − +1( ) 0,071

0,588msen αφα

α =−

= ⇒ >+

Válido RAF

3) Determinación de ' 1del conjunto ( )1g c p

jwTW K G jwjw T

αα

++

' '( ) 0, 76 0,6 /c p g gK G jw w rad segα α⋅ ⋅ = = ⇒ =

' 0.6 / 0.5 /g gw rad seg w rad seg= > =

4) Determinación de Tzero

''

1 1 2,17g zerozero g

w T sT wα α

= ⇒ = =⋅

1, 27polo zeroT T sα= =1 2,17( ) 8,171 1,27

jwGc sjw

+=

+


DISEÑO RRF (PI)

1

11( ) ( )1 1c c c

s sTTG s K Ks Ts

T

ββ

β

β+ +

= = ⋅ ⋅+

>+

Dom. Frecuencia

1 1( 1 / 1 0 0 .1)cr a d s e g KT

ββ

= = = =

20log( )cK β

20log( )cK

1 0,1β=

Diseño: Redes pasivas

Zona donde se sitúa la Wg del conjunto compensado

1 1 / secradT=

1 0,1 / secradTβ=

Década

Reg. Automática II 52'gw

Dom. FrecuenciaDISEÑO RRF (PI)

PIUref(s) y(t)

H(s)

G(s)-

e(s) u(s)

cK β⋅1) Determinar regulador P y , del conjunto ( ) ( )g g c pw K G jw H jwγ β⋅ ⋅

2) Determinar w’g que consigue ' 'para el conjunto ( ) ( )deseada c p g gK G jw H jwγ β⋅ ⋅

180' 'c p g g deseada( K G ( jw )H( jw ) MSE) º Gβ γ∠ ⋅ ⋅ = − +

125

OctavaDécada

MSEG ºMSEG º

→⎧⎨ →⎩

3) Obtención Wzero8

10

'g

zero

'g

zero

wOctava w

wDécada w

⎧→ =⎪⎪

⎨⎪ → =⎪⎩

β4) Obtención nivel de atenuación' '( ) ( ) ( 0)c p g gK G jw H jwβ ββ⋅ ⋅ = >

5) Obtención Wpolozero

polowwβ

=

'gw

'g gw w<

Reg. Automática II 53Trabaja en móduloJUSTIFICACIÓN RRF

50( )( 1)( 2)( 3)

G ss s s

=+ + +

12,5( )( 1)( 2)( 3)

G ss s s

=+ + +

(Atenuación 25%)

1 0.25 27,72dBβ= = −

4β =

Compensador

' (Planta+Comp)gw

Desfase negativo


EJEMPLO RRF

5 ( )Gp s⋅

1 165 ( )1 123

jw Gp sjw

⎡ ⎤+⎢ ⎥+⎣ ⎦

( )Gp s




gw

'gw

LEYENDAS

'' ' ( )g gw w Aumentoβ≅

''gw

Compensa caída de modulo del compensador para ajustar el margen de fase

'' 0,461,8 / 4 /ggw r w rad sead s g ge= =>

' '' 0,464 / 0,552 /ggw rad seg w rad seg= ≅ =

'gwγ β→ →ITERACIÓN


EJEMPLO RRF 1

1 0 5 1G p( s )

s( s )( , s )=

+ +15 40ºvK s γ− >1H ( s ) =

1) Determinar regulador P y cK β⋅

, del conjunto ( ) ( )g g c pw K G jw H jwγ β⋅ ⋅

0lim ( ) 5 5c p v cs

K s G s K K ββ→

⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ = ( )(1 )(1 0 5)

5,c pK G jw

jw jw jwβ⋅ ⋅ =

+ +1,8 /

12,93º 13ºgw rad seg

γ=

= − −⎧⎨⎩

2) Determinar wg que consigue ' 'para el conjunto ( ) ( )deseada c p g gK G jw H jwγ β⋅ ⋅

140 180 0 46482 12'c

'gp g( K G ( jw )) º º w , rad / secº ºβ∠ ⋅ ⋅ = − + == − ⇒

0 464 168 8

'g

zero zeroOctavaw ,w T s→ = = ⇒ =3) Obtención Wzero

4) Obtención nivel de atenuación

1 16( ) 51 123

jwGc sjw

+=

+

'

' '

0 ,464( ) ( ) 7, 69

gc p g g w

K G jw H jwβ β β=

⋅ ⋅ == ⇒

5) Obtención Tpolo 123polo zeroT T sβ= =

Reg. Automática II 56Dom. FrecuenciaDISEÑO RAF-RRF (PID)

1 21 2

0 0 71 21

0 0 71 21

1 11 1

1 1 1 1c c,

,

s sjw T jw TT TG c( s ) K K

jw T jw Ts sT T

αβ

αβ

α βα β

α β>>

>>

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅ ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1) Determinar regulador P ycK α β⋅ ⋅

, del conjunto ( ) ( )g g c pw K G jw H jwγ α β⋅ ⋅ ⋅

3) Diseño de RRF con aportación de fase restante

180' 'c p g g deseada m( K G ( jw )H( jw )) ºα β γ φ∠ ⋅ ⋅ ⋅ = − −

' ' 1( ) ( ) ( 0,1 0)c p g gK G jw H jwα β βα

βα

⋅ ⋅ ⋅ = > >

2) Decisión del reparto de Fase entre RAF y RRF

: 0.1, 50º 5ºmNormalmente RAF α φ +

'gw

β

4) A partir de 'gw , ,β α se obtienen el resto de parámetros

8 10

'g

zero RRF

ww

ó− =0 1

1'g

zero RAF ,

wT

αα− =

= polo RRF

zero RRF

TT

β−

−

= polo RAF

zero RAF

TT

α−

−

=


EJERCICIO FEBRERO 2008 Problema 1(50 minutos)

Para controlar un motor de corriente continua se dispone de un actuador o etapa de potencia que amplifica las consignas dadas por el controlador. Suponiendo que el modelo del conjunto actuador-motor se representa por:

Se pide:

a) Si , determinar la ganancia del regulador y el error que se obtendría con el uso de dicho compensador.

b) Calcular el margen de fase y la frecuencia de cruce de ganancia del conjunto, suponiendo que el regulador inicial es de tipo proporcional de valor el obtenido en el apartado anterior.

c) Si el objetivo del regulador es el de obtener , discutir la elección más adecuada de la red de compensación. Justificar y argumentar la respuesta.

d) Calcular el regulador elegido que cumpla las especificaciones.

160( )( 4)( 10)

G ss s s

=+ +

50ºγ >

132vK s−=


EJEMPLO (RAF-RRF) 1 6 04 1 0

G p( s )s( s )( s )

=+ +

132 50ºvK s γ− >1H ( s ) =

Examen Febrero 2008

1) Determinar regulador P y cK α β⋅ ⋅

, del conjunto ( ) ( )g g c pw K G jw H jwγ β⋅ ⋅

0l m 8i ( ) 32c p v cs

K s G s K Kα β αβ→

⋅ ⋅ ⋅ = = ⇒ =⋅ ( )(1

80, 25)(1 0,1)c pK G jw

jw jw jwα β⋅ ⋅ ⋅ =

+ +9, 28 /

19,5º ( )g

inesw rad seg

tableγ=

= −⎧⎨⎩

1 0,74 1 2,34( ) 81 0,074 1 35,1

jw jwGc sjw jw

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ += ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2) Decisión del reparto de Fase entre RAF y RRF

0.1: , 50º 5º : 20ºmNo Rrmalmente AF RRFφα +

180 20 160 4 27' 'c p g g( K G ( jw )H( jw )) , rad / seº

4) Resto de parámetros

3) Diseño de RRF con aportación de fase restante

gº ºα β∠ ⋅ ⋅ ⋅ = − + = − ⇒

' '1 1( ) ( ) ( 0, 0) 15c p g gK G jw H jwα β β βα α

β⋅ ⋅ ⋅ = > > ⇒

' 1 0,74 0,074g z p zz

w T s T T sT

αα

= ⇒ = = =

RAF'1 2,34 35,1

10g

z p zz

wT s T T s

Tβ= ⇒ = = =

RFF

( ) ( )( )1 ( ) ( )tg A tg Btg A B

tg A tg B+

+ =−


EJEMPLO RAF-RRF

8 ( )Gp s⋅

1 0,74 1 2,348 ( )1 0,074 1 35,1

jw jw Gp sjw jw

⎡ ⎤⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎢ ⎥+ +⎣ ⎦⎣ ⎦

( )Gp s




gw

'gw

'' 4,278 /9,2 / gg ww r rad seg ad seg> ==

''gw

LEYENDAS

' '' 4,27 / 4,26 /g gw rad seg w rad seg= ≅ =

'm gwφ β→ →ITERACIÓN

'' ' ( )g gw w Caida Aumentoα β≅ +

Compensa caída de modulo del compensador RRF + aumento módulo de red RAF


RESUMEN DEL MÉTODO ITERATIVO

'm gwφ α→ →RAF ITERACIÓN

_ _m deseada antes de compensar MSEGφ γ γ= − +

'd e s e a d a gwγ β→ →RRF ITERACIÓN

'm gwφ β→ →RAF-RRF ITERACIÓN

_ _

50º 5º ( 0.1)Redeseada antes de compensar

RAFsto RRF

αγ γ

+ =⎧− ⎨

⎩

regulaciÓn automÁtica ii - elai.upm.es · reg. automática ii 5 tÉcnicas de diseÑo de...

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