Relcik

Def.: Az R lineris relci, ha R

Elmlet:

AXB={(a, b) a A,b B}

Binris relcik lehetsges tulajdonsgai:

1.Reflexv, ha (a, a) R

2.(a) Szimmetrikus, ha (a, b) R => (b, a) R

2.(b) Antiszimmetrikus, ha (a, b)

3. Tranzitv, ha

Binris Relcik

Partci: A H halmaz egy olyan rszhalamaz-rendszere, amelyre

Ttel: Ha R ekvivalencia relci, akkor a H azon rszhalmazai, amelyek az egymssal

relciban ll elemeket tartalmazzk, azok a H halmaz egy partcijt adjk.

Rendezsi Relci

Rszben rendezett egy H halmaz, ha rendezsi relci van megadva H elemein. Nem biztos, hogy minden elem minden elemmel sszehasonlthat.

Teljesen rendezett, ha relci van megadva H-n, s ab s ba kzl legalbb az egyik teljesl. Brmely 2 elem sszehasonlthat.

Ekvivalencia Relci

Reflexv

Szimmetrikus

Tranzitv

Rendezsi Relci

Reflexv

Antiszimmetrikus

Tranzitv

Hasse-diagram: a akkor b-t feljebb rajzolva sszektjk a-val, de nem ktjk ssze a tranzitivits miatt fenll prokat.

Legnagyobb elem Ln, ha minden h -ra teljesl, hogy h Ln (Ln klnbzik h-tl). A legnagyobb elem minden elemmel sszehasonlthat.

Maximlis elem M, ha nincs olyan h , hogy M h teljeslne. (Nem biztos, hogy minden elemmel sszehasonlthat!)

Legkisebb elem lk, ha minden h -ra lk h (s lk klnbzik h-tl). Minden elemmel sszehasonlthat.

Minimlis elem m, ha nincs olyan h H, hogy h m teljeslne. Nem biztos, hogy minden elemmel sszehasonlthat!

A rszben rendezett H halmaz valamely rszhalmaznak a K H fels korltja, (az adott

rendezs s H szerint), ha minden -re teljesl.

A rszben rendezett H halmaz valamely valamely rszhalmaznak a k H als korltja,

, (az adott rendezs s H szerint), ha minden -re teljesl.

A legnagyobb als korltot (ha ltezik) infimumnak, a legkisebb fels korltot pedig (ha ltezik) supremumnak nevezzk.

Definci (rszbenrendezett halmazokkal)

Hl:

Ha egy rszbenrendezett halmaz brmely ktelem rszhalmaznak van szuprmuma s infimuma, akkor a halmazt hlnak nevezzk.

Dntse el, hogy az albbi relcik ekvivalencia relcik-e!

Feladatok:

1. Legyen R relci, az angol abc betibl kpzett szavakon olyan, hogy (a,b) R L(a)=L(b), ahol L a szavak hosszt jelli. (L(x)= a szveg hossza) (a,bH)

Ekvivalencia relci

alma=alma

1.reflexv: (a,a)R

2.tranzitv: a:=alma, b:=Bla, c:=Gabi

(a,b)R s (b,c)R (a,c)R

3.szimmetrikus: L(a)=L(b) L(b)=L(a)

2. H=x|x egyenes a skban

(a,b) R HxH, ha a||b

Reflexvits: a||a

Tranz.: a||b s a||c b||c

Szim.: a||b b||a

3. H=R

(a,b)R ha a-b Z-nek

Reflex.: a-a=0 Z

Szim.: a-b Z b-a Z

Tranz.: a-b Z s b-c Z a-c Z

Mskpp:

a-bZ

a-cZ teht igaz.

+b-cZ

4.Van 3 j bart Aladr(A), Bla(B), Cili(B). Nekik az agyuk egy rugra jr. Ez ekvivalencia relci?

Igen. Mert:

A A Aladrnak egy rugra jr az aga nmagval (Reflexv.)

A B ebbl kvetkezik, hogy B A (Szimmetrikus)

A B s B C akkor A C teht mindanyiuk agya egy rugra jr. (Tranz.)

Dntsk el a kvetkez relcikrl, hogy rendezsi relcik-e s ha igen akkor rszben vagy rendezett-e a halmaz.

1. (x,y)R, ha x^2y^2 HR

Nem relci mert nem antiszimmetrikus pl.: (-x,x)R s (x,-x)R

2.(x,y)R, ha 1/x1/y H=R\(0)

Teljesen rendezett a relci mert:

Reflexv (x,x)R mert 1/x1/x

Antiszimetrikus: (x, y) R s ( y, x) R csak gy lehet ha x = y

1/x1/y s 1/y1/x x=y

Tranzitv: (x, y) R s (y, z) R (x, z) R

1/x1/y s 1/z1/y 1/z1/x

s teljesen rendezett, mert minden halmazbeli elem sszehasonlthat

3.(x,y)R ha x oszthat y-nal H=N (a halmaz a termszetes szmok halmaza)

Reflexv: (x,x)R igaz, mert x/x=1

Antiszim.: (x, y) R s ( y, x) R csak gy lehet ha x = y

x/y s y/x x=y

Tranzitv: (x, y) R s (y, z) R (x, z) R

x/y s y/z akkor x/y ez is igaz

s minden elem sszehasonlthat, gy teljesen rendezett a halmaz

4. Egy csaldban, ahol brmely kt szemlynek klnbz napra esik a szletsnapja, tekintjk azt a relcit, mely szerint x szemly relciban ll y szemllyel, ha x nem idsebb y-nl. Milyen relci ez? (Ha rendezs, akkor teljes rendezs-e ez a relci?)

Hasse-diagramm:

5. Adott a hromelem G halmaz, melynek hatvnyhalmaza (azaz sszes rszhalmaznak halmaza) H. A s B H-beli elem akkor van relciban egymssal, ha A rszhalmaza B-nek. Vagyis: { }zy,x,=G hatvnyhalmaza: H = 2G

HBA, esetn a kt halmaz relciban ll: ( ) BARBA, a)Bizonytsa be, hogy a megadott relci rendezsi relci! (2 pont) b) Rajzolja fel a relci Hasse-diagrammjt! (2 pont) c) Mi a maximlis/minimlis, legnagyobb/legkisebb elem? (2 pont)

d) Mi a suprmuma, s mi az infimuma a {x} s {y,z} elemeket tartalmaz rszhalmaznak? (1 pont) e) Hl-e a fenti relci a megadott H halmazon? (1 pont)

6. Adott a kvetkez halmaz: H = {2,4,6,8,10,12,16,20,24,40,120}. s adott a halmazon rtelmezett rendezsi relci: a relciban ll b-vel ha a osztja b-nek. a, Rajzolja fel a rendezs Hasse-diagramjt! b, Adja meg a Maximlis s minimlis elemeket! c, Adja meg a rendezs Legnagyobb s legkisebb elemt! d, Adja meg a H = {4,8,12} rszhalmaz fels- s alskorltait, illetve suprmumt s infimumt! e, A H halmaz a megadott rendezssel hlt alkot-e? 7. Adott a kvetkez halmaz: H = {3,6,9,12,15,18,24,30,36,60,180}. s adott a halmazon rtelmezett rendezsi relci: a relciban ll b-vel ha a osztja b-nek. a, Rajzolja fel a rendezs Hasse-diagramjt! b, Adja meg a Maximlis s minimlis elemeket! c, Adja meg a rendezs Legnagyobb s legkisebb elemt! d, Adja meg a H = {6,12,30} rszhalmaz fels- s alskorltait, illetve suprmumt s infimumt! e, A H halmaz a megadott rendezssel hlt alkot-e?

8. Az alaphalmaz elemei a kvetkez szavak: { }BLZ,BZAAZTA,BZ,ABZ,AZT,AZ,A,AB,ABBA,ABA,=H

( ) Rba, ha b sz tartalmazza a szt olyan mdon, hogy a-hoz adva az abc valamelyik (akr nulla darab) betjt megkapjuk a b szt gy, hogy b szban az a sz betinek sorrendje nem vltozik..

Pl. ( ) ( )

( ) ( ) RZABAZ,R;DMBLA,R;CSC,R;AUTAT,

a) Rendezsi relci-e, ha igen, teljes-e? b) brzolja Hasse-diagrammon! c) Keresse meg a legnagyobb, legkisebb, maximum, minimum elemeit (ha vannak)! d) Keresse meg a { }AZABZ,AB,=G rszhalmaz infimumt s supremumt! e) Hlt alkot-e a rendszer? Vlaszt indokolja! 9. Hlt alkotnak-e a kvetkez, Hasse-diagrammal megadott rendezsi relcik:

a)

b)

c

d)

10. Hlt alkotnak-e a megadott halmazok a kvetkez rendezsi relcival (a,b)R, ha a|b a) A={1, 2, 3, 4, 6, 12} b) B={3, 5, 6, 9, 15, 30} 11. rja fl a relcihoz tartoz Hasse-diagrammot. H={1, 2, 4, 5, 7, 8, 16, 35}, R={(1,1) (2,2) (4,4) (5,5) (7,7) (8,8) (16,16) (35,35) (1,2) (1,4) (1,5) (1,7) (1,8) (1,16) (1,35) (2,4) (2,8) (2,16) (8,16) (4,16) (7,35) (5,35)} a)Ez rszben- vagy teljes rendezs? MO: rszben pl. 4 a 8-cal nem hasonlthat ssze

b) A {2, 8, 16} halmaz rszben- vagy teljesen rendezett halmaz a megadott rendezsi relcival? MO: teljesen.

c) Hatrozza meg a b) rszben megadott halmaz als s fels korltait valamint infimumt s szuprmumt! MO: als: 1, 2 fels: 16 inf: 2 sup: 16