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GEOLOGIA AMBIENTAL. ESTUDIOS COSTEROS EN CUBA

Enero 2014

RELACION ENTRE LA FORMA Y LA VELOCIDAD DE

CAIDA DE LAS ARENAS

PLAYA VARADERO. REPUBLICA DE CUBA

DrCT. José Cordovez Pedrianes. cordovez.jose@yahoo.com Lic. Ridel Rodríguez Paneque.

alex.ridel@gmail.com. Investigador. CITMA Cuba.

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RELACION ENTRE LA FORMA Y LA VELOCIDAD DE CAIDA DE LAS ARENAS

PLAYA VARADERO REPUBLICA DE CUBA

DrCT. José Cordovez Pedrianes. cordovez.jose@yahoo.com Lic. Ridel Rodríguez Paneque. alex.ridel@gmail.com. Investigador. CITMA Cuba.

RESUMEN

En el artículo se muestran los resultados de la determinación de la velocidad de caída de las arenas de la Playa Varadero en la Republica de Cuba. Se hace un análisis de los antecedentes sobre la caracterización de la velocidad de caída de la arenas de la Playa Varadero, Cuba. Se propone un método para la determinación de la velocidad de caída de las partículas arenosas que incluye la evaluación la forma de las partículas que componen los sedimentos. El método propuesto constituye una solución general al cálculo de la velocidad de sedimentación de las partículas arenosas que unifica la ley de Stoke y la de impacto además de aplicar una corrección por la forma de las partículas. La investigación analiza el rango granulométrico comprendido entre 0.1 – 2 mm.

Introducción

La determinación de la velocidad de las partículas en el agua es un elemento de gran importancia en los estudios oceanográficos por la estrecha relación de este parámetro y la forma del perfil de equilibro de las playas C. García (2005). En Cuba se han estado utilizando ecuaciones y modelos matemáticos de la literatura especializada, que han sido desarrollados para las costas continentales, constituidas fundamentalmente por los detritos acarreados por los ríos y la destrucción de la costa. Estos modelos contienen un grupo de parámetros (entre ellos la velocidad de caída de las arenas) que no son comunes a las playas cubanas. Estas, a diferencia de las playas continentales, tienen una génesis fundamentalmente marina y están sometidas a un régimen hidrodinámico diferente.

Aunque existen estudios en Cuba para la determinación de la velocidad de caída de las partículas y la modelación de los perfiles de equilibrio, las expresiones obtenidas son restringidas a algunos sectores costeros y no tienen en cuenta los distintas variables que afectan su determinación incluyendo los efectos de combinados del tamaño, densidad, porosidad y forma de las arenas.

En esta investigación se ha realizado un análisis de los distintos modelos disponibles y se desarrolló uno que tiene en cuenta estos factores y que es susceptible generalizar para las playas biogénicas cubanas.

Se ha utilizado la Playa Varadero para la parte experimental de la investigación y validación de los resultados toda vez que es la playa mejor estudiada de Cuba, lo que permite utilizar un volumen considerable de información existente.

Antecedentes

Tradicionalmente para el cálculo de la velocidad de caída de las partículas arenosas de las playas se ha aplicado las ecuaciones derivadas de la ley de Stokes e Impacto, generalizando la forma y dimensiones de las

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partículas como esféricas y definiendo como variables independientes del modelo el diámetro y densidad de las esferas y la densidad, viscosidad del liquido (relacionadas estas últimas con la temperatura de este).

Gibbs et al 1971, propuso una expresión que generaliza la ley de Stoke y la de Impacto para el cálculo de la velocidad de caída de partículas. Gibbs y sus colaboradores utilizaron un dispositivo con un tubo de vidrio de 2 m de largo. La medición de las partículas se realizó empleando para ello cámaras fotográficas, pudiendo medir un número grande de partículas y obtener el momento de paso con gran precisión. Por lo general la evaluación de la velocidad de caída desde el punto de vista sedimentológico se ha realizado utilizando materiales extraídos de la naturaleza por lo que el radio de las esferas se define a partir de alguna generalización, lo que influye en la universalidad de las ecuaciones obtenidas. Gibbs et al (1971) al utilizar partículas cuasi-perfectamente esféricas, creadas en laboratorio, define como variables independientes del modelo no solamente su densidad y diámetro, sino también su forma.

El modelo desarrollado utiliza la ecuación de Gibbs como primera aproximación al cálculo de la velocidad de caída de los sedimentos de arenas de las playas.

La expresión obtenida y referida en lo adelante como ecuación de Gibbs es:

).14881.0011607.0(

).19841.0015476.0)((93 22

rP

rPPPgrV

f

faf

g

(Ec.1)

Donde:

gV Velocidad de caída (cm./seg)

r Radio de la esfera (cm)

fP Densidad del fluido (g/cm3)

aP Densidad de la esfera (g/cm3)

Este desarrollo es muy útil cuando se estudian arenas de tipo silíceas (generalmente redondeadas), en el caso de las partículas de arena calcárea no lo es tanto debido a que estas tienen una amplia variedad de formas asociadas a sus orígenes biológicos. Este elemento ha provocado que las propiedades hidráulicas de los sedimentos calcáreos, como la velocidad de caída, sean menos conocidas. Se han realizado estudios para cuantificar la velocidad de caída de las partículas no esféricas en términos de factor de forma. Estudios sobre la velocidad de caída de las partículas de origen calcáreo se deben a Shultz et al 1954, Komar y Reimers 1978, Baba y Komar 1981. Smith y Cheung 2002, demostraron que los granos calcáreos tienen un rango mucho más amplio de tamaños y formas, en comparación con los granos de cuarzo. Albertson (1953) estudiando el efecto de la forma de las partículas en la velocidad de caída encuentra adecuado utilizar la formula de McNown, tomada de Walter Hans Graf, (1998):

ab

cSe

(Ec.2)

Donde: a: longitud mayor perpendicular a los otros dos ejes. b: longitud a lo largo del eje intermedio perpendicular a los otros dos. c: longitud a lo largo del eje más corto perpendicular a los otros dos.

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Figura 1. Coeficiente de arrastre vs número de Reynolds. Tomado de Walter Hans Graf, (1998).

En la figura 1 se presenta la relación entre el numero de Reynolds utilizando el diámetro nominal (Ec.3), Walter Hans Graf, (1998), de las partículas estudiadas por McNown. El diámetro de la partícula se termina en función su area proyectada con la siguiente expresión:

Acdn

4 (Ec.3)

Donde: Ac es el área de sección de la partícula. W.C. Krumbein and L.L.Sloss (1963), proponen una expresión para evaluar la esfericidad de las partículas:

a

dE n

f (Ec.4)

Algunos autores (www.malvern.com) proponen utilizar el coeficiente de circularidad para evaluar la forma de las partículas Ec.5.

2

4

P

AC

(Ec.5)

Donde: A, P área y perímetro de la partícula. El número de Reynolds se calcula en función de la viscosidad cinemática del fluido n y la velocidad característica del fluido V como:

n

dVR n

e

. (Ec.6)

La aplicabilidad de estas expresiones está dada por la selección de los métodos adecuados para la su obtener cada una de las variables involucradas en el análisis con la precisión suficiente.

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Caracterización de las arenas de la Playa Varadero En Cuba existe predominio de las playas exteriores formadas por sedimentos biogénicos J.L Juanes (1996). De 130 playas exteriores evaluadas, más del 75 % están formadas por sedimentos biogénicos u oolítico-biogénicos. Al estudiar el funcionamiento de estas playas, J.L Juanes (1996) destacó las diferencias con las regiones continentales al afirmar que: “tanto la ubicación de las fuentes de ingreso biogénicas y oolíticas en la plataforma submarina, como las propiedades mecánicas de las partículas biogénicas-carbonatadas, constituyen particularidades que caracterizan a la mayoría de los Sistemas Costeros de Cuba” tomado de C. García (2005). Con respecto a las propiedades mecánicas de las arenas de playas biogénicas W.R. Maiklem (1968)1 demostró que para los fragmentos esqueléticos con diferentes formas, la velocidad de caída es notablemente inferior a la de partículas esferoides de igual densidad. Según J.L Juanes et al (1984) estas diferencias no sólo responden a la densidad del mineral y forma de las partículas sino también, a la porosidad de los fragmentos esqueléticos biogénicos; sin embargo no plantea la forma de evaluar dichos efectos para la caracterización de la velocidad de caída de las partículas y la evaluación del perfil de equilibrio de la playa.

Figura 2. Ubicación de la Playa Varadero. Cuba.

Tomado de G. Garcia y J.L. Juanes (1996)

Varadero, figura 2, es uno de los principales complejos turísticos de Cuba. Por más de 25 años esta playa ha experimentado una erosión intensa, figura 3, que ha motivado el empleo de un conjunto de medidas de mitigación para recuperar y mantener este tramo costero. Estas medidas ha sido sustentadas por el desarrollo de monitoreo sistemático de la zona costera y el empleo y refinamiento de los modelos matemáticos que describen el funcionamiento hidrodinámico de la Playa.

1 A simple experiment demonstrates that shape and bulk density of bioclastic carbonate crains are important factors affecting the grain-size distribution of a clastic

carbonate sediment deposited in water.

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Figura 3. Evidencia de la erosión en la Playa Varadero. Tomada de www.tripadvisor.ca

Propiedades sedimentológicas de las arenas de la Playa Varadero Desde el punto de vista genético las arenas de Varadero clasifican son biogénicas por su alto contenido de restos de organismos marinos en la tabla 1 se presenta la composición genética dada por C. García (2005). La granulometría media dada oscila en las distintas zonas de la playa J. Hernández et al (2002) con un valor medio de 0.26 mm y el valor medio dado por los valores publicado por C. García (2005) en 10 puntos de muestreo a lo largo de toda la playa es de 0.25 mm. Las arenas clasifican como arenas de granulometría media aunque en distintas zonas pueden ser muy finas y en otras presentar diámetros de hasta 0.75 mm.

Tabla 1. Composición de los sedimentos en el sector nororiental de la Playa Varadero. Tomado de C. García

(2005).

Sector de costa Composición (%)

F M A RO RI

Rincón El Francés-Los Tainos

12.57 33.31 44.41 3.33 6.38

F: Foraminíferos. M: Moluscos. A: Algas calcáreas. RO: Restos orgánicos. RI: Restos inorgánicos.

Partiendo de las investigaciones desarrolladas por J.L Juanes (1996) que enfoca el problema de las diferencias entre los valores de velocidad de caída en de los sedimentos de la playa Varadero y los valores obtenidos a partir de las ecuaciones desarrolladas en playas de sedimentos continentales, C. García (2005) desarrolla una investigación que permiten determinar la influencia de las incertidumbres obtenidas en la evaluación de la velocidad de caída y su efecto en la evaluación del perfil de equilibrio, lo cual es un elemento importante en la proyección de las obras de mitigación y recuperación de la playa. En su investigación, utiliza los datos de velocidad de caída de la Playa Varadero, medidos por los especialistas soviéticos, utilizando la metodología de Onishenko (1978), referida por Carlos García (2005). Ellos emplearon un tubo de vidrio de 1 500 mm de longitud y 28.4 mm de diámetro interior lleno de agua destilada a 25 ºC. La medición de las partículas se realizó con un cronómetro de mano y la visualización de las partículas a simple vista. El tratamiento estadístico realizado por C. García (2005) permitió llegar a una expresión para calcular de la velocidad de

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sedimentación de las arenas de la Playa de Varadero en función del diámetro medio del tamiz, la expresión obtenida es:

dVGarcia 0726.0 Ec.7

Donde:

VGarcia Velocidad de caída (m/s) d es el diámetro de partícula en (mm) obtenido a partir del tamizado de los sedimentos.

La ecuación EC.7 presenta los siguientes inconvenientes: define las partículas como esféricas (no tiene en cuenta la forma), son constantes los valores de densidad y porosidad. Estas limitaciones hacen valida esta ecuación solamente para sedimentos con características (densidad porosidad y forma) similares a los empleados por los especialistas soviéticos en sus ensayos de velocidad de caída. Para lograr la correlación C. García (2005) emplea como variable independiente el diámetro medio entre dos aberturas consecutivas de tamiz lo cual es una aproximación, pues entre ese intervalo granulométrico existen una gran cantidad de diámetros intermedios que dependerá de la graduación de los sedimentos estudiados, por tal motivo si la graduación de los sedimentos analizados difiere de los utilizados en la calibración pueden producirse errores en la determinación de la velocidad de caída. Por este motivo C. García (2005) propone el uso de intervalos de tamices más estrechos, para disminuir de esta forma la dispersión obtenida en los valores de velocidad de caída analizados en su investigación. Atendiendo a las limitaciones para la determinación de la velocidad de caída de las arenas biogénicas y la necesidad de disponer de un modelo que garantice su determinación, atendiendo a las características de estas se desarrolló esta investigación que tiene como objetivo principal: obtener una expresión matemática que permita determinar la velocidad de caída de los sedimentos atendiendo a las propiedades de las partículas que lo componen: tamaño, densidad y forma. La experimentación se realizó en la Playa Varadero por el alto grado de estudio que tiene que permiten corroborar los resultados. La segunda fase de la investigación será la generalización de los resultados en otras playas biogénicas cubanas.

Metodología Para el estudio se utilizaron las mediciones de velocidad de caída para los sedimentos de varadero utilizados por C. García (2005) en su investigación y las realizadas para este experimento muestreadas en la playa. Muestreo Las muestras fueron tomadas hacia la mitad oriental de la península (Rincón El Francés –Los Tainos), en una zona donde no se había realizado vertimientos de arena, conservando las arenas originales de la playa Varadero. Se preparó una muestra compost única a partir del muestreo en cinco puntos de la playa, tomándose muestras de la parta baja de la cara, cresta de la berma y berma, para un total de 15 muestras, estas fueron mezcladas para obtener una muestra única representativa de la playa. La muestra fue tamizada para distintas aberturas. Fueron determinadas en el laboratorio la densidad y se realizó la clasificación de estas.

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Medición de la velocidad de caída de las arenas muestreadas Con el objetivo de evaluar si la muestra extraída de la playa corresponde estadísticamente con la utilizada por para la correlación Ec.7 se realizó la evaluación de la velocidad de caída con un diseño experimental similar al empleado por Gibbs utilizando un tubo de vidrio de 1500 mm y sistema fotográfico para la determinación de los momentos de paso de las partículas. Se realizó el análisis para cada una de las muestras separadas por tamizado. Con un programa de procesamiento de imágenes previamente confeccionado se realizó la calibración de las mediciones temporal y longitudinalmente. A partir de mediciones de cada partícula se determinó la ecuación de movimiento teniendo en cuenta que: la velocidad que se mueve una partícula a través de un fluido en reposo tal como un líquido, puede representarse por la siguiente ecuación diferencial:

2bvavgdt

dv Ec.8

Donde:

g : fuerza de gravedad.

v : velocidad de la partícula.

a y b : coeficientes relacionados con la viscosidad y a la fuerza de choque respectivamente

Resolviendo la ecuación diferencial se obtiene:

t

t

ek

ekv

.

.

.1

..

Ec.9

k

ek

btH

t

1

.1ln

1.

.

Ec.10

Donde H es la distancia recorrida por la partícula en dirección de la gravedad.

k

; 24 agb ; b

a

2

; b

a ; LV

Cuando 0

t

v entonces LVv y la partícula alcanza la velocidad límite VL, la aceleración es cero.

Desarrollando en series de Taylor la expresión Ec. 10 se determinan las incógnitas por el método de los mínimos cuadrados utilizando cuatro o más mediciones para cada una de las partículas.

A los valores obtenidos de velocidad límite se le aplicó la corrección de Ladenburg por el efecto de las paredes del tubo que da lugar a una disminución de la velocidad límite de caída. Si vm es la velocidad medida experimentalmente, la velocidad corregida de este efecto es:

lim (1 2.4 ) m

Dv v

Ec.11

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Donde: es el diámetro interno del tubo y D el diámetro de la partícula (valor medio del tamiz). A mayor diámetro de la probeta menor será la influencia sobre la determinación de la velocidad de caída.

Para un líquido dado, el valor del coeficiente de viscosidad depende de la temperatura, por lo que es necesario determinarla el instante en que se determina la velocidad. La viscosidad (poises) del agua destilada en función de la temperatura está dada por la expresión de Poiseuille:

2

.00022.0.0337.01

0178.0

cc TT Ec.12

Donde: Tc es la temperatura en grados centígrados.

El error medio cuadrático en la determinación de la viscosidad del líquido en función de la temperatura es:

2

2

Tc

cT

Ec.13

Donde:

22.00022.0.0337.01

0337.0.00044.0.0178.0

cc

c

c TT

T

T

Disponiendo de un termómetro con una precisión de 0.5 oC y siendo la temperatura 24 oC entonces el error en la determinación de la viscosidad del agua será: 0.0003 poises lo cual es suficiente para la experimentación.

Análisis estadístico de la muestra de arena obtenida Se realizó el análisis estadístico de las mediciones obtenidas con respecto a los valores utilizados por C. García (2005) en su investigación, utilizando la prueba de de Komolgorov - Smirnov2. El objetivo de este análisis fue determinar si ambas muestras pertenecen a una misma población.

Determinación del coeficiente de forma de las partículas

Para determinar el factor de forma de las partículas se empleó un método de imágenes utilizando un scanner. Un programa de computación permite digitalizar de forma automatizada los granos de arena, en la figura 4 se muestra el algoritmo. Un complejo de procesamientos son realizados para determinar el borde de cada partícula que incluye (detección de bordes, conversión a binario, equeletonización y vectorización). El programa determina para cada una de las partículas, el diámetro equivalente por el método de área proyectada [EC.3], la velocidad limite de Gibbs [EC.1], el factor de forma de McNow [Ec.2] y el número de Reynolds [EC.6].

2 Ver Anexo 3

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Figura 4. Algoritmo de procesamiento de granos de arena.

Tomado y modificado de www.malvern.com

Utilizando el nomograma de la figura 1 se determina coeficiente de arrastre para la esfera y para la partícula con factor de forma determinado con la [Ec.2]. La velocidad de caída de las partículas con factor de forma [Se], se determina por la siguiente expresión:

))((

))((

PSeCd

ESeCdVV gL Ec.14

Donde: ))(( ESeCd y ))(( PSeCd es el coeficiente de arrastre para la esfera y la partícula respectivamente.

Análisis estadístico de la muestra de arena obtenida El análisis estadístico de los resultados obtenidos se realizó utilizando el método de los percentiles, W.C. Krumbein and L.L.Sloss (1963), debido a que las muestras obtenidas no son homogéneas. El coeficiente de ordenamiento se obtiene con la siguiente expresión:

3

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Q

QS Ec.15

Donde: Q1 y Q3 son los percentiles de 25% y 75%.

Discusión de los Resultados El análisis granulométrico obtenido en el laboratorio para la muestra obtenida se muestra en la tabla 2 y la curva granulométrica en la figura 4. Se puede observar que la muestra tiene un diámetro Q50% de 0.432 mm y un coeficiente de ordenamiento de 0.621, este corresponde con arenas más gruesas que las reportadas en estudios anteriores por J.L Juanes (1996) y Carlos García (2005). Tabla 2. Granulometría de la muestra tipo de los sedimentos de playa Varadero

Fracciones granulométricas (mm)/Tamiz

Resto 200 140 60 40 20 10

<0,034 0,034-0,074 0,074-0,105 0,105-0,25 0,25-0,42 0,42-0,84 0,84-2,0

2.25 3.21 12.32 37.69 28.77 12.11 3.68

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Figura 4. Análisis granulométrico de la muestra obtenida de Varadero.

Los resultados de la prueba de Komolgorov –Smirnov entre los datos de velocidad de caída medidos en este estudio y los utilizados por C. García (2005) se presentan en la tabla 3. Solamente el intervalo con diámetro medio del tamiz de 0.375mm presenta una diferencia estadísticamente significativa entre ambas muestras, en los restantes intervalos, se puede inferir que ambas muestras pertenecen a una misma población. Tabla 3. Resultados de la prueba de Komolgorov-Smirnov3. Datos muestreados y utilizados por C. García (2005)

D (mm)

DN K-S P Inferencia estadística Komolgorov-Smirnov

0.335 0.6172 1.4906 0.0235 P < 0.05 -> hay una diferencia estadísticamente significativa entre las dos distribuciones con un 95,0% de probabilidad.

0.175 0.5281 0.9009 0.3961 P >= 0.05 -> no hay una diferencia estadísticamente significativa entre las dos distribuciones con un 95,0% de probabilidad.

0.75 0.3511 1.1351 0.1521 P >= 0.05 -> no hay una diferencia estadísticamente significativa entre las dos distribuciones con un 95,0% de probabilidad.

1.15 0.2702 0.9235 0.3643 P >= 0.05 -> no hay una diferencia estadísticamente significativa entre las dos distribuciones con un 95,0% de probabilidad.

Velocidad limite En la tabla 4 se presentan los resultados para cada uno de los intervalos granulométricos se puede observar como los valores de la velocidad limite obtenidos por la expresión de Gibbs [EC.1] son corregidos por el efecto de la forma de las partículas.

Tabla 4. Cálculo de la velocidad de caída (Wp) aplicando la corrección por la forma de las partículas

Dcp Wg Re Se cd_E cd_P Corr Wp

0.23 0.03 6.24 0.64 5.00 5.50 0.91 0.03

0.35 0.05 15.90 0.77 2.80 3.60 0.78 0.04

0.70 0.11 69.80 0.72 1.00 1.80 0.56 0.06

1.54 0.23 316.70 0.69 0.53 1.30 0.41 0.09 Dcp diámetro a partir del área proyectada, Wg velocidad de Gibbs (m/s), Re número de Reynolds, cd_E, y cd_P coeficiente de arrastre para la esfera y la partícula respectivamente, Corr, corrección a la velocidad de Gibbs por efecto de la forma de la partícula, Wp velocidad de la partícula (m/s)

3 Ver anexo 3

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Existe una diferencia entre los diámetros definidos como el valor medio de dos diámetros de mallas de tamiz consecutivos (adoptado por García) y los medidos por el método de imágenes. Este elemento justifica los planteamientos de C. García 2005 “… para los 4 grupos de partículas analizados, las distribuciones de frecuencia de la velocidad de caída muestran regularmente una asimetría positiva”

Tabla 5. Comparación entre las velocidades de caída obtenidas con la formula de Gibbs y García.

dmin dmax dmed Wgarcia Wgibbs

0.1 0.25 0.175 0.030 0.020

0.25 0.42 0.335 0.042 0.048

0.42 0.84 0.63 0.058 0.101

0.84 2 1.42 0.087 0.214 Nota dmin, dmax, dmed: dimensión mínima, máxima y media del tamiz. Wgarcia, Wgibbs velocidad de caída (m/s) de las partículas de diámetro (dmed) para las condiciones de Varadero.

La comparación entre los valores de velocidad de caída utilizando la formula de Gibbs y la de Carlos García, tabla 6, evidencia que el diámetro medio del tamiz en este caso no es la mejor aproximación, pues para iguales valores de densidad, diámetro densidad del agua y del material, la velocidad obtenida con la fórmula de Gibbs es menor que la de García, lo cual solamente se justifica si el valor del diámetro de las partículas con la forma real es ligeramente superior. En la tabla 6 se ha tachado el valor de la velocidad pero el valor incorrecto no es el de la velocidad sino el del diámetro asumido. Realmente la asimetría observada en los valores de velocidad, comentados por García, no se deben solamente a una componente aleatoria del experimento, sino también a la asimetría presente en los valores de los diámetros que él asumió como un valor exacto (promedio del tamaño de dos tamices consecutivos).

Imagen y detalle 0.1-0.25 mm Detalle de la imagen de 0.25-0.42 mm

Detalle de la imagen de 0.42-0.84 mm Detalle de la imagen de 0.84.2.00 mm

Figura 5. Detalle de las imágenes escaneadas de los sedimentos arenosos.

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Es posible evaluar la fiabilidad del diámetro asumido para la partícula utilizando la expresión de Gibbs: si la velocidad de caída obtenida por esta, es menor que la velocidad determinada para una partícula no esférica para las mismas propiedades físicas del agua y de la partícula entonces muy probablemente el diámetro real de la partícula debe ser algo superior al estimado, por lo que será necesario corregirlo.

PROPORCION

a) Curva de percentiles. Eje X Log (diámetro mm). b) Dmed=0.264, So=0.641.

c) Histograma del diámetro medido por procesamiento de imágenes

diámetro mm

Figura 6. Análisis granulométrico arenas tamizadas 0.1- 2.00 mm

En la figura 6 (Logaritmo del diámetro en milímetro vs Proporción4 ) se presenta el grafico de los percentiles obtenido a partir del procesamiento de imágenes de toda la muestra, este análisis define un diámetro del grano de 0.264 mm con un coeficiente de ordenamiento So de 0.641 lo que corresponde bastante bien con los valores obtenidos por Juanes y García. En la parte inferior de la figura 5 b) se muestra el histograma de la

4 La proporción de un dato estadístico es el número de veces que se presenta ese dato respecto al total de datos.

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distribución de los diámetros medidos por procesamiento de imágenes que evidencia un comportamiento multimodal. Análisis estadístico de las observaciones de velocidad de caída de las arenas En la tabla 5 se presenta una comparación de los valores de velocidad de caída de las partículas obtenida por diferentes métodos, en esta tabla se puede observar que los valores de velocidad de ciada coinciden con los valores obtenidos por la expresión de García, las mediciones de los soviéticos y los valores medidos en esta investigación evaluados para el diámetro equivalente obtenido en función del área proyectada de la partícula.

Tabla 6. Comparación entre los valores de velocidad de caída por distintos autores y los calculados.

Dcp Wg Wp Wr EExp

0.234 0.029 0.026 0.032 0.033

0.353 0.050 0.039 0.041 0.054

0.699 0.110 0.061 0.060 0.062

1.537 0.227 0.093 0.092 0.096

Dcp: Diámetro en función del área proyectada, Wg Velocidad limite de

Gibss, Wp Velocidad limite con corrección por la forma, Wr Velocidad

limite medidos por los soviéticos y velocidad limite medida en el

experimento.

Para corroborar estadísticamente los resultados obtenidos se aplicó el test de Komolgorov-Smirnov tabla 7, entre los datos de velocidad de caída obtenidos por los soviéticos y los determinados por procesamiento de imágenes, los resultados evidencian que no hay una diferencia estadísticamente significativa entre ambos resultados.

Tabla 7. Resultados de la prueba de Komolgorov-Smirnov. Velocidad de caída medida por los soviéticos y las calculas por el método propuesto (Wp)

DN K-S P Inferencia estadística Komolgorov-Smirnov

0.25 0.35 0.9996

P >= 0.05 -> no hay una diferencia estadísticamente significativa entre las dos distribuciones con un 95,0% de probabilidad.

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Evaluación de la forma de las partículas arenosas Playa Varadero En la tabla 8 se presenta el análisis estadístico de los valores de coeficiente de forma (Se) determinados por procesamiento de imágenes. La distribución del coeficiente de forma presenta una distribución muy cercana a la normal aunque el test aplicado rechaza la hipótesis de existencia de una distribución normal. En el histograma de la tabla 8 se puede observar una pequeña asimetría de este parámetro. El procesamiento de la curva de percentiles permite determinar un valor medio del parámetro de forma de 0.67 lo que corresponde con partículas que varían de elipsoidales a esféricas. Tabla 8. Análisis estadístico del factor de forma, Se, determinado por procesamiento de imágenes.

Summary Statistics for Se McNown Count = 2332 Average = 0.676034 Variance = 0.00743286 Standard deviation = 0.086214 Minimum = 0.00181489 Maximum = 0.985321 Range = 0.983507 Stnd. skewness = -5.19074 Stnd. kurtosis = 33.232

Histograma de Se

Goodness-of-Fit Tests for alfaMcNown Chi-Square Test ---------------------------------------------------------------------------- Lower Upper Observed Expected Limit Limit Frequency Frequency Chi-Square ---------------------------------------------------------------------------- at or below 0.553086 155 179.38 3.31 0.553086 0.588089 130 179.38 13.59 0.588089 0.612553 153 179.38 3.88 0.612553 0.63272 215 179.38 7.07 0.63272 0.65074 223 179.38 10.61 0.65074 0.667709 251 179.38 28.59 0.667709 0.684359 188 179.40 0.41 0.684359 0.701328 189 179.38 0.52 0.701328 0.719348 209 179.38 4.89 0.719348 0.739515 126 179.38 15.89 0.739515 0.763979 146 179.38 6.21 0.763979 0.798982 167 179.38 0.85 above 0.798982 180 179.38 0.00 ---------------------------------------------------------------------------- Chi-Square = 95.8325 with 10 d.f. P-Value = 3.33067E-16 Estimated Kolmogorov statistic DPLUS = 0.0477349 Estimated Kolmogorov statistic DMINUS = 0.047405 Estimated overall statistic DN = 0.0477349 Approximate P-Value = 0.0000484807 EDF Statistic Value Modified Form P-Value --------------------------------------------------------------------- Kolmogorov-Smirnov D 0.0477349 2.30552 <0.01* Anderson-Darling A^2 7.66379 7.66626 0.0000* --------------------------------------------------------------------- *Indicates that the P-Value has been compared to tables of critical values specially constructed for fitting the currently selected distribution. Other P-values are based on general tables and may be very conservative.

Puesto que el P-valor más pequeño entre los ensayos realizados es menor que 0.01, podemos rechazar la idea de que Se proviene de una normal, de distribución con 99% de confianza.

Percentiles for Se McNown 1.0% = 0.470398 5.0% = 0.539682 10.0% = 0.576626 25.0% = 0.625113 50.0% = 0.672141 75.0% = 0.725863 90.0% = 0.786376 95.0% = 0.821893 99.0% = 0.88345

Percentiles de la esfericidad de las arenas de Varadero obtenidas por procesamiento de imágenes Eje de las X forma obtenida por la ecuación de Se McNown

ab

cSe

.

Eje Y Proporción

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Según la clasificación de Zingg (1935) los sedimentos de varadero presentan un 80 % de sedimentos con forma esférica y un 20 % de forma discoidal lo que concuerda bien con los valores de coeficiente de forma (Se) calculados cuyo análisis estadístico se muestra en la tabla 8.

Figura 7. Clasificación de la forma de los granos según Zingg y relación con la esfericidad de Krumbein. Según Zingg (1935) y Brewer (1964). Tomada de http://dc147.4shared.com/doc/oAAo3IpR/preview.html

Conclusiones

1. La expresión obtenida para el cálculo de la velocidad de caída es una generalización de la ecuación de Gibbs y García y es válida en el intervalo granulométrico 0.1-2 mm.

2. La expresión obtenida es válida para playas biogénicas y continentales. 3. Se pudo comprobar que la muestra utilizada por García en los experimentos de velocidad de caída, y

las utilizadas para las mediciones realizadas en esta investigación pertenecen a una misma población con un 95 % de probabilidad, por lo que ambos resultados pueden ser generalizados a la playa de Varadero.

4. Se comprobó la validez de la ecuación de García para la playa de Varadero siempre y cuando no varíen las condiciones de los sedimentos utilizados para obtener la correlación.

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Bibliografía Albertson, M. (1953): Effects of shape on teh Fall Velocity of Gravel Particles, Proc. 5th Iowa Hydraulics Conf, Iowa City Iowa. Walter Hans Graf, (1998): Hydraulics of Sediment Transport. ISBN Number 0-918334-56-X Us. Library of Congress Catalog Card Number: 79-128788. http://books.google.com/books?id=222b6L4WR-0C&pg=PA52&lpg=PA52&dq=albertson+1953+drag+coefficient&source=bl&ots=esTouTlKNF&sig=4dqk5d0UGs6Meq3a04HAdNkGsJw&hl=en&sa=X&ei=owjiUaOtNKrE4AP8YCQCg&ved=0CCoQ6AEwAA#v=onepage&q=albertson%201953%20drag%20coefficient&f=false W.C. Krumbein and L.L. Sloss (1963): Stratigraphy and Sedimentation. Second Edition. Congress Catalog Card Number: 61-11422. Carlos García (2005): Actuaciones para el control de la erosión en playas biogénicas. El caso de la playa de Varadero. Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Geográficas. La Habana. Cuba. J.L Juanes et al (1984). Dinámica de los sedimentos en la Península de Hicacos, Cuba. (I). Variaciones morfológicas del perfil de playa, Ciencias de la Tierra y el Espacio, No 10: p. 69-84. J.L Juanes (1996). La Erosión en las playas de Cuba. Alternativas para su control. Tesis en Opción del Grado Científico de Doctor en Ciencias Geográficas. La Habana. Cuba. W.R. Maiklem (1968): Some hydraulic properties of bioclastic carbonate grains. Sedimentology volume 10, issue 2, March 1968, pages: 101–109, W. R. Maiklem article first published online: 14 jun 2006, doi: 10.1111/j.1365-3091.1968.tb01102.x G. Garcia y J.L. Juanes (1996): Beach Erosion and Mitigation: Case of Varadero Beach, Cuba. Coastal and Estuarine. Small Islands. Marine Science and Sustainable Development. George A. Maulk, Editor. Florida Institute of technology Malborne, Florida 32901-6988. http://books.google.com/books?id=xY0bpOIXaoUC&pg=PA249&lpg=PA249&dq=juanes+varadero&source=bl&ots=453Qfmowir&sig=chrfOLufJpJ6vZN8ZmZFOcbnsOM&hl=en&sa=X&ei=ySHjUdfYIMew4AOImIDwBg&ved=0CDUQ6AEwAg R.J. Gibbs et al (1971). The relationship between sphere size and settling velocity. Journal of Sedimentary Petrology, Vol.4, No.1, P 7-18. Fig.1, 1971. Hernández José et al (2002). Playa de Varadero, península de Hicacos, Cuba: formación y evolución de su relieve y experiencias ambientales de su regeneración artificial. http://www.scielo.org.mx/scielo.php?pid=S018846112002000300004&script=sci_arttext

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Anexo 2 Percentiles por tamices

1.0% = 0.112098

5.0% = 0.154878

10.0% = 0.178844

25.0% = 0.208342

50.0% = 0.236596

75.0% = 0.259645

90.0% = 0.282777

95.0% = 0.298414

99.0% = 0.346363

1.0% = 0.221928

5.0% = 0.255513

10.0% = 0.270752

25.0% = 0.310186

50.0% = 0.349267

75.0% = 0.398295

90.0% = 0.426756

95.0% = 0.444501

99.0% = 0.585212

Tamiz 0.1-0.25 Tamiz 0.25-0.42

1.0% = 0.975806 5.0% = 1.12321

10.0% = 1.14286 25.0% = 1.30865 50.0% = 1.52352 75.0% = 1.75745 90.0% = 1.88404 95.0% = 1.94956 99.0% = 2.28496

1.0% = 0.448

5.0% = 0.522

10.0% = 0.553

25.0% = 0.625

50.0% = 0.697

75.0% = 0.765

90.0% = 0.845

95.0% = 0.895

99.0% = 1.038

Tamiz 0.84-2.00 Tamiz 0.42-0.84

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Anexo 3. Prueba de Kolmogorov-Smirnov para dos muestras independientes

La prueba de Kolmogorov-Smirnov permite comparar las distribuciones de dos muestras independientes para

saber si pertenecen a la misma población. Esta prueba se realiza mediante el cálculo de la distancia máxima

entre las distribuciones acumulativas de las dos muestras. La distancia máxima es de DN. Cuando el valor P es

menor que 0,05, hay una diferencia estadísticamente significativa entre las dos distribuciones en el nivel de

confianza del 95,0%.

Two-Sample Kolmogorov-Smirnov statistic. Red and blue lines each correspond to an empirical distribution function, and the black

arrow is the two-sample K-S statistic.

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Anexo 4. Diagrama de los percentiles de Se por tamices.

Proporción

a) 0.1-0.25 mm

Proporción

c) 0.25-0.42 mm

Proporción

b) 0.42-0.84 mm

Proporción d) 0.84-2.00 mm

Percentiles de la esfericidad de las arenas de Varadero obtenidas por procesamiento de imágenes

Eje de las X forma obtenida por la ecuación de McNown ab

cSe

.