Relaciones Binarias: Llamamos relación binaria a la relación R existente entre dos elementos

a y b, de dos conjuntos A y B respectivamente. Indicando que el elemento a está relacionado con

b.

Esta relación se puede denotar de diversas formas:

1- Como pares ordenados (a, b).

2- Indicando que a R b.

3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).

Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un conjunto lo

denotamos como R(M)

Nota: Usaremos las letras R, S, T, etc., para representar relaciones.

Ejemplos

1. Si X = {a, b, c, d} e Y = {1, 2, 3, 4, 5}, una relación de X en Y es R = {(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}

2. La siguiente relación S de R en R S = { (X, Y) Î R x R / X £ Y } es la relación "menor o igual" en R. En

este caso X S Y Û X £ Y

3. Sea U el conjunto referencial. La relación de inclusión en P(U) es la relación

R = { (A, B) Î P(U) x P(U) / A Ì B }

Dominio y Rango:

Definición: Sea R una relación de X en Y

El Dominio de R es el conjunto

Dom(R) = { xÎ X / (x,y) Î R, para algún y Î Y}

El Rango o imagen de R es el conjunto

Rang(R) = { y Î Y / (x, y) Î R, para algún x Î X }

En otros términos, el dominio y la imagen de una relación están constituidos por los primeros y

segundos componentes respectivamente de los pares ordenados que constituyen la relación.

Ejemplo:

La relación R= { (a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) } tiene como dominio el conjunto Dom (R) = { a, b, c} y

rango a rang (R) = { 1, 2, 4, 5 }, ya que a,b y c están en el primer componente de los pares

ordenados y 1,2,4,5 están en el segundo componente de cada par.

Representación gráfica de relaciones

Existen varias formas de representar gráficamente una relación. Las más usuales son las

siguientes: Representación Cartesiana, Matricial y Sagitaria.

Representación Cartesiana

Para obtener una representación cartesiana de una relación, se toman como abscisas los

elementos del conjunto de partida; y como ordenadas, el conjunto de llegada. En el plano se

marcan los pares ordenados que conforma la relación. Esta representación alcanza su mayor

importancia cuando el conjunto de partida y el de llegada son subconjuntos de R.

Ejemplo 1

si X={ a, b, c, d} e Y={ 1, 2, 3, 4, 5} una relación de X en Y

R={ (a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5) }

La representación cartesiana es el diagrama adjunto.

Representación Sagital

La representación sagital se usa cuando los conjuntos de partida y llegada son finitos. La

representación sagital se obtiene representando mediante diagramas de Venn el conjunto de

partida y el de llegada; uniendo luego, con flechas, los elementos relacionados. Así, la

representación sagital de la relación del ejemplo 1 es el siguiente diagrama:

Si el conjunto de partida y el de llegada coinciden, se usa un solo diagrama de Venn y las flechas se

representan interiormente. Así, el diagrama siguiente representa a la siguiente relación en X={ a,

b, c, d }

S= { (a, b), (b, b), (a, d), (b, c), ( d, d) }

Matriz Binaria

La representación matricial se usa cuando los conjuntos de partida y de llegada de la relación son

conjuntos finitos con pocos elementos. Para obtener tal representación, se asigna a cada

elemento del conjunto de llegada una columna; y a cada elemento del conjunto de partida, una

fila.

Si (x, y) está en la relación, en la intersección de la fila que corresponde a x con la columna que

corresponde a Y, escribimos 1; y escribiremos 0 en caso contrario. La configuración rectangular de

ceros y unos que se obtiene se llama matriz binaria de la relación.

Así, la matriz de la relación. R={(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}

Relación Inversa

Sea R una relación de X en Y. Se llama relación inversa de R a la relación R-1 de Y en X dada por:

R-1 = { (y, x) Î Y x X / (x, y) Î R}

O sea, Y R-1 X Û X R Y

Es evidente que se verifica que:

dom(R-1)= rang(R) 2. Rang( R-1)= dom( R)

Ejemplo

Si X= { a, b, c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y es dado por

R= { (a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) }

R-1= { (3, a) , ( 1, a) , (1, b) , (4, c) }

Además domR-1= { 1, 3, 4 } = rang( R)

Rang(R-1)= { a, b, c } = dom( R)

El siguiente teorema nos dice que la inversa de la inversa de una relación es la misma relación.

Teorema: Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1 = R

Demostración

X(R-1)-1 Y Û Y R-1 X definición de relación inversa

Û X R Y

Luego, (R-1)-1 = R

Composición de Relaciones

Sea R una relación de X a Y y S una relación de Y en Z. Se llama composición de R con S a la

siguiente relación de X en Z:

X(S o R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S Z

Observación

En la composición de R con S, es necesario que el conjunto de llegada de R sea igual al conjunto de

partida de S.

Observar también que el orden en que se escriben R y S en la composición S o R es inverso al

orden en que se dan R y S.

Ejemplo

Sean X={ 2, 3, 5 } , Y= { a, b, c, d } y Z= { 1, 4, 9 }

Si R y S son las relaciones de X en Y y de Y en Z respectivamente, dadas por

R= { (2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) } ,

S= { (a, 9) , (b, 1) , (d, 4) }

Entonces:

SoR = { (2, 9) , (2, 4) , (5, 9) }

Teorema: Si R es una relación de X en Y, S es una relación de Y en Z y T es una relación de Z en W,

entonces:

T o ( S o R ) = ( T o S ) o R

Demostración

X( T o ( S o R ) W Û $ z Î Z , x(S o R)z Ù z T w Û $ z Î Z, ( $ y Î Y, x R y Ù y S z) Ù z T w

Û $ y Î Y, x R y Ù ($ z Î Z, y S z Ù z T w )$ y Î Y, x R y Ù y(T o S) w

Û x ( ( T o S ) o R )w

Luego, T o ( S o R ) = ( T o S ) o R

Teorema: Si R es una relación de X en Y y S en una relación de Y en Z, entonces (S o R) -1 = R-1 o S-1

Demostración

z ( S o R )-1 x Û x ( S o R )z

Û $ y Î Y , x R y Ù y S z

Û $ y Î Y , y R-1 x Ù z S-1 y

Û $ y Î Y, z S-1 y Ù y R-1 x

Û z( R-1 o S-1)x

Luego, ( S o R )-1 = R-1 o S-1