Año 2013 Lara- Venezuela

La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o subtipos de relación binaria. Primeramente se deben diferenciar las relaciones binarias homogéneas de las heterogéneas, en las primeras la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto, por lo que en realidad lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas se establecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones o funciones matemáticas de cálculo, una relación homogénea puede ser tratada como heterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.

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La clase más importante de relaciones es la de las relaciones binarias. Debido a que este tipo de relaciones son las más frecuentes, el término “relación” denota generalmente una relación binaria; adoptaremos este criterio cuando no haya confusión y especificaremos las que no sean binarias con términos tales como “ternaria” o “n-aria”. Si (a, b) 2 R diremos que a está relacionado con b y lo notaremos por aRb. Si (a, b) /2 R, escribiremos aR/ b y diremos que a no está relacionado con b. Como Ejemplo tenemos: Sea A = {huevos, leche, maíz} y B = {vacas, cabras, gallinas}. Escribir la relación R de A a B definida por: (a, b) Є R ↔ a es producido por b Solución La relación sería:

R={(huevos,gallinas),(leche,vacas),(leche,cabras)}

A modo de guía o diagrama índice del estudio de las relaciones binarias, podemos presentar el siguiente gráfico.

Otro Ejemplo:

Sea A = {1, 2, 3} y R = {(1, 2), (1, 3), (3, 2)}. R es una relación en A ya que es un subconjunto de A × A. Con respecto a esta relación, tendremos que 1R2, 1R3, 3R2, pero 1R/ 1, 2R/ 1, 2R/ 2, 2R/ 3, 3R/ 1, 3R/ 3

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También denominado Dominio e Imagen… Llamaremos dominio de una relación R al conjunto formado por todos los primeros elementos de los pares ordenados que pertenecen a R, e imagen o rango al conjunto formado por los segundos elementos. Es decir, si R es una relación de A a B, entonces; Dom(R) = {a 2 A, 9b : b 2 B ^ (a, b) 2 R} Img (R) = {b 2 B, 9a : a 2 A ^ (a, b) 2 R}

En otros términos, el dominio y la imagen de una relación están constituidos por los primeros y segundos componentes respectivamente de los pares ordenados que constituyen la relación.

Para U = Z+, A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {10, 11, 12, 13, 14}, escribir los elementos de la relación RCA × B, donde aRb si y sólo si a divide (exactamente) a b. Solución R = {(2, 10), (2, 12), (2, 14), (3, 12), (4, 12), (5, 10), (6, 12), (7, 14)}

REPRESENTACIONES GRÁFICAS

Representación Cartesiana

Para obtener una representación cartesiana de una relación, se toman como abscisas los elementos del conjunto de partida; y como ordenadas, el conjunto de llegada. En el plano se marcan los pares ordenados que conforma la relación. Como por ejemplo:

1. si X= a, b, c, d e Y= 1, 2, 3, 4, 5 una relación de X en Y

2. R= (a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)

El siguiente gráfico es un representación cartesiana

Representación Sagital Se usa cuando los conjuntos de partida y llegada son finitos. La representación sagital se obtiene representando mediante diagramas de Venn el conjunto de partida y el de llegada; uniendo luego, con flechas, los elementos relacionados. Si el conjunto de partida y el de llegada coinciden, se usa un solo diagrama de Venn y las flechas se representan interiormente.

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La representación matricial se usa cuando los conjuntos de partida y de llegada de la relación son conjuntos finitos con pocos elementos. Para obtener tal representación, se asigna a cada elemento del conjunto de llegada una columna; y a cada elemento del conjunto de partida, una fila.

Si (x, y) está en la relación, en la intersección de la fila que corresponde a x con la columna que corresponde a Y, escribimos 1; y escribiremos 0 en caso contrario. La configuración rectangular de ceros y unos que se obtiene se llama matriz binaria de la relación. Así, la matriz de la relación. R={(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)}

- Obsérvese que la matriz de una relación caracteriza a la misma, o sea, si se conoce la relación se conoce la matriz y si se conoce la matriz sabremos de qué relación trata. − Obsérvese también lo siguiente: si MR es la matriz de una relación R de A a B, cada fila se corresponde con un elemento de A y cada columna con un elemento de B. Para calcular el dominio de R bastara ver en que filas hay, al menos, un uno y para calcular la imagen bastara con ver en que columnas hay, al menos, un uno.

Relación inversa.

Definición. Sea R una relación. Entonces la relación {(y, x) / (x, y) Î R} se denomina relación inversa y se denota R-1. En consecuencia,

(y, x) Î R-1 Û (x, y) Î R. (y, x) Ï R-1 Û (x, y) Ï R. Si R es una relación de A en B,

entonces R-1 es una relación de B en A.

Ejemplo Si X= { a, b, c } Y= { 1, 2, 3, 4 } y R Ì X x Y es dado por

R= { (a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) } R-1= { (3, a) , ( 1, a) , (1, b) , (4, c) }

Además domR-1= { 1, 3, 4 } = rang( R) Rang(R-1)= { a, b, c } = dom( R) El siguiente teorema nos dice que la inversa de la inversa de una relación es la misma relación. Teorema: Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1 = R Demostración

X(R-1)-1 Y Û Y R-1 X definición de relación inversa Û X R Y Luego, (R-1)-1 = R

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Sea una relación de A en B y una relación de B en C. La composición de y es una relación consistente de los pares ordenados (a, c), donde a A y c C y para los cuales existe un b B tal que (a, b) y (b, c) , es decir a b y b c. La composición se denota por , si y son relaciones. Como Ejemplos tenemos los siguientes: a) Sea A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3, 4} y C={0, 1, 2} y sean ={(1, 1), (1, 4), (2, 3), (3, 1), (3, 4)}

={(1 ,0),(2, 0), (3, 1), (3, 2), (4, 1)} Entonces:

={(1, 0), (3, 0), (1, 1), (3, 1), (2, 1), (2, 2)} b) Sean A={1, 2, 3}, B={2, 4, 6, 8} C={s, t, u} y sean

={(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 4), (3, 6), (3, 8)} ={(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

Entonces ={(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)} c) Sean A={a, b, c, d}, B={s, t, u, v} C={1, 2, 3, 4, 5} y sean

={(a, s), (a, t), (c, v), (d, u)} ={(s, 2), (t, 1), (t, 4), (u, 3)}

Entonces ={(a, 1), (a, 2), (a, 4), (d, 3)}

y gráficamente se puede representar como

DEMOSTRACIONES DE TEOREMAS Teorema: Si R es una relación de X en Y, S es

una relación de Y en Z y T es una relación de Z en W, entonces:

T o ( S o R ) = ( T o S ) o R

Demostración

X( T o ( S o R ) W Û $ z Î Z , x(S o R)z Ù z T w Û $ z Î Z, ( $ y Î Y, x R y Ù y S z) Ù z T w

Û $ y Î Y, x R y Ù ($ z Î Z, y S z Ù z T w )$ y Î Y, x R y Ù y(T o S) w

Û x ( ( T o S ) o R )w

Luego, T o ( S o R ) = ( T o S ) o R

Teorema: Si R es una relación de X en Y y S en una relación de Y en Z, entonces (S o R)-1 = R-1 o S-1

Demostración

z ( S o R )-1 x Û x ( S o R )z

Û $ y Î Y , x R y Ù y S z

Û $ y Î Y , y R-1 x Ù z S-1 y

Û $ y Î Y, z S-1 y Ù y R-1 x

Û z( R-1 o S-1)x

Luego, ( S o R )-1 = R-1 o S-1

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Las matemáticas discretas han visto un gran número de problemas difíciles de resolver. En teoría de grafos, mucha de la investigación realizada en sus inicios fue motivada por intentos para

probar el teorema de los cuatro colores, el cual fue probado más de cien años después de su inicial descripción. El problema de los puentes de Königsberg, un problema clásico del prolífico

Leonhard Euler.

En lógica, el segundo problema de la lista de problemas abiertos de David Hilbert, era probar que los axiomas de la aritmética son consistentes. El segundo teorema de Gödel de la incompletitud

probó en 1931 que esto no es posible, por lo menos dentro de la aritmética en sí. El décimo problema de Hilbert era determinar si un polinomio diofántico con coeficientes enteros dado tiene

una solución entera. En 1970, Yuri Matiyasevich probó que esto es imposible de hacer.

La necesidad de descifrar códigos alemanes en la Segunda Guerra Mundial dio paso a avances en la criptografía y la ciencia computacional teórica, con el primer computador electrónico, digital y

programable desarrollado en Inglaterra. Al mismo tiempo, requerimientos militares motivaron avances en la investigación de operaciones. La Guerra Fría tuvo significancia en la criptografía, y

la mantuvo vigente, con lo que se realizaron avances en la criptografía asimétrica.

Actualmente, uno de los problemas abiertos más famosos en la teoría de la informática es el problema de las clases de complejidad "P = NP". El Clay Mathematics Institute ha ofrecido un

premio de un millón de dólares para la primera demostración correcta, junto con premios para 6 problemas más.

Las Matemáticas Discretas es quizá una de las ramas asociadas con la computación y la rama de las Matemáticas más reciente. De hecho, los principios matemáticos de la

computación están en esta disciplina tienen como base el Algebra Clásica, y el Algebra Superior, Estadística y Probabilidad.

Esta ciencia tiene como aplicaciones, el desarrollo de los circuitos electrónicos

(procesadores, tarjetas madre) desde el punto de vista lógico (usando el Algebra Booleana), el principio matemático del Diseño y Arquitectura de las Bases de Datos(del

cual Codd fue uno de los grandes exponentes en 1970), la Teoría de la Computación (en donde se estudian los Automatas Finitos, Maquinas de Turing y el tema mas reciente: la

Tesis de Church) y los principios básicos de la Ingeniería de Computación.

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El Mejor Humor: CONDORITO!!

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Elaborado Por: Dario Ysaacura Pérez C.I. 17.782.690 Estructuras Discretas I SAIA