relaciones binarias

DefiniciónSean los conjuntos A y B. Se llama relación binaria entre

los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano AXB, cuyos pares cumplen con una determinada proposición.-

O sea que si R es la relación entre los conjuntos A y B, entonces R AXB

RELACIONES BINARIAS

Por ejemplo:Sean los conjuntos A = {1,2,3} y B = {5,6}

(x, y) RAXB xy

AXB={(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6)}

(3,6)}R = {(1,5), (1,6), (2,6),

Álgebra Moderna – Relaciones Binarias

Al conjunto A se lo denomina conjunto de partida y a B conjunto de llegada. Al conjunto formado por todos los elementos de A que se relacionan con los elementos de B se denomina Dominio, y al subconjunto de B que tienen antecedentes en A se llama Imagen.-O sea que el Dominio de la relación es el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pares de la relación, y la Imagen es el conjunto formado por todas las segundas componentes de los pares de la relación.-

En nuestro ejemplo, se tiene:

D(R) = {1, 2, 3} y I(R) = {5,6}

AXB={(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6)}

(3,6)}R = {(1,5), (1,6), (2,6),


A B

1

2

3

5

6

GRÁFICO DE UNA RELACIÓN EN DIAGRAMAS DE VENN

(3,6)}R = {(1,5), (1,6), (2,6),

R

AXB={(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6)}


GRÁFICO DE UNA RELACIÓN EN EL SISTEMA CARTESIANO

y

x 1 2 3

654321

(3,6)}R = {(1,5), (1,6), (2,6),

AXB={(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6)}


GRÁFICO DE UNA RELACIÓN EN EL SISTEMA MATRICIAL

B A

5 6

1

2

3

1 1

0 1

0 1

(3,6)}R = {(1,5), (1,6), (2,6),


RELACIÓN INVERSA

Sea una relación R AXB, se dice que la relación R-1 es la relación inversa de R, solamente sí R-1 BXA.-

O sea que R-1 = {(y,x)/(x,y) R}

(6,3)}R-1 = {(5,1), (6,1), (6,2),

(3,6)}R = {(1,5), (1,6), (2,6),


COMPOSICIÓN DE RELACIONES

Dada dos relaciones: RAXB y SBXC. Se llama relación compuesta a la relación SoRAXC (R compuesto con S incluida en AXC) a la formada por los pares que tienen como primera componente a las primeras componentes de los pares de R y como segunda componente a la segundas de los pares de S, siempre que las segundas componentes de los pares de R sean primera de los pares de S.

(x,z) SoRAXC (x,y) R (y,z) S

SoR = {(x,z) / (x,y) R (y,z) S}


GÁFICAMENTE

A B C

x y z

R S

S o R


Por ejemplo:A = {1, 2, 3} B = {1,2,4} y

2,

41,

21C

2),( yzBXCSzy

2,4

41,4

21,42,2

41,2

21,22,1

41,1

21,1BXC

2,421,1S

)2,2(21,1SoR

(x,y) RAXB y=x2 AXB = {(1,1)(1,2)(1,4)(2,1)(2,2)(2,4)(3,1)(3,2)(3,4)}

R={(1,1)(2,4)}

2),(

2xzAXCSoRzx


GÁFICAMENTE

A B C

1

2

3

1

2

4

R S

S o R

24121


RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

Sea el conjunto A, se llama relación definida en un conjunto, al subconjunto del producto cartesiano AXA o A2.

Por ejemplo:Sea A={1,2,3} (x,y)RA2 x y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

(3,3)}R = {(1,1) (1,2) (1,3)(2,2)(2,3)


POSIBLES PROPIEDADES DE LAS RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO

1. PROPIEDAD REFLEXIVA

La relación RA2 es reflexiva, solamente, sí todos los elementos de A determinan pares de componentes iguales en la relación.-

RA2 es reflexiva x: xA (x,x)RPor ejemplo:

Si A = {1,2,3} y (x,y) RA2 x yA2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

Los elementos de A son 1, 2 y 3, y en la relación están (1,1) (2,2) y (3,3), o sea que todos los elementos de A determinan pares de componentes iguales en la relación, lo que significa que es REFLEXIVA.-

(3,3)}R = {(1,1)(1,2) (1,3) (2,2) (2,3)


GRÁFICAMENTE

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}R = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,2)(2,3)(3,3)}

1 2 3

3

2

1

A

A


En esta relación tenemos los pares de componentes iguales (1,1) y (3,3); pero los elementos de A son el 1,2,3, lo que significa que algunos elementos de A determinan pares de elementos iguales en la relación. O sea que R de A2 es No Reflexiva.-

La propiedad no reflexiva, es la negación de la reflexividad. Entonces, la relación RA2 es no reflexiva si algunos elementos de A no tienen pares de componentes iguales en la relación. Esto se obtiene negando el cuantificador de la propiedad anterior, y aplicando la negación de una implicación:

2. PROPIEDAD NO REFLEXIVA

RA2 es No reflexiva (x:xA (x,x)R) x/( xA (x,x)R) x/xA (x,x)R

EjemploSi A = {1,2,3} y (x,y) RA2 x y y 2

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

(3,3)}R = {(1,1)(1,3) (2,3)


En este caso, ningún elemento de A determina pares de componentes iguales en la relación. Por lo tanto es Arreflexiva.-

3. PROPIEDAD ARREFLEXIVA

Una relación R de A2 es Arreflexiva, si no tiene pares de componentes iguales en la relación.

Por ejemplo:Si A = {1,2,3} y (x,y) RA2 x < y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

RA2 es Arreflexiva x:xA (x,x) R

(2,3)}R = {(1,2)(1,3)


Observando esta relación que todos los pares tienen pares de componentes conmutadas en la relación, por lo tanto es Simétrica.-

4. PROPIEDAD SIMÉTRICA

Una relación R definida en un conjunto es simétrica, si y sólo si todos los pares de la relación determinan pares de componentes conmutadas en la relación.

RA2 es simétrica x,y: (x,y)R (y,x)R

Por ejemplo:Si A = {1,2,3} y (x,y) RA2 2x+y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

(3,3)}R = {(1,1)(1,3) (2,2) (3,1)


GRÁFICAMENTE

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}R = {(1,1)(1,3)(2,2)(3,1)(3,3)}

1 2 3

3

2

1

A

A


Es no simétrica, pues está el (1,3) y no está el (3,1), lo que significa que es No simétrica.-

5. PROPIEDAD NO SIMÉTRICA

Una relación es no simétrica, si algunos de los pares de la relación no tienen pares de componentes conmutadas en la relación. Esta propiedad es la negación de la simetría.

RA2 es no simétrica (x,y: (x,y)R (y,x)R) x/(y: (x,y)R (y,x)R) x, y/[(x,y)R (y,x)R)] x, y/(x,y)R (y,x)R)

Por ejemplo:Si A = {1,2,3} y (x,y) RA2 2x+y y1

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

(3,3)}R = {(1,3)(2,2)


En esta relación, todos los pares ordenados no tienen pares de componentes conmutadas en la misma relación, por lo tanto es Asimétrica.-

6. PROPIEDAD ASIMÉTRICA

Una relación es asimétrica si todos los pares de la relación no tienen pares de componentes conmutadas en la relación.

RA2 es asimétrica x,y: (x,y)R (y,x)R

Por ejemplo:Si A = {1,2,3} y (x,y) RA2 x<y

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

(2,3)}R = {(1,2)(1,3)



A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

7. PROPIEDAD TRANSITIVA

Una relación es transitiva solamente sí todos los pares cumplen que, eligiendo dos de ellos, la segunda componente del primero, es primera componente del segundo, estos generan un tercer par en la relación, cuya primera componente es la primera del primero, y la segunda es la segunda del segundo.

RA2 es transitiva x,y,z: (x,y)R (y,z)R (x,z)R

(1,1) y el (1,3) estos generan el (1,3) (1,1) y el (1,1) estos generan el (1,1)(1,3) y el (3,1) estos generan el (1,1) (1,3) y el (3,3) estos generan el (1,3)(2,2) y el (2,2) estos generan el (2,2) (3,1) y el (1,1) estos generan el (3,1)(3,1) y el (1,3) estos generan el (3,3) (3,3) y el (3,1) estos generan el (3,1)

(3,3) y el (3,3) estos generan el (3,3)

Tomamos dos pares que cumplan con el antecedente de la implicación:(3,3)} R = {(1,1)(1,3) (2,2) (3,1)


Observamos que con el par (3,3) cumple la condición de transitividad, pero con los pares (1,2) y (2,1) no, ya que el par (1,1) R. Por lo tanto es No transitiva.-

8. PROPIEDAD NO TRANSITIVA

Como en las anteriores, la no transitividad es la negación de la transitividad, o sea que una relación es no transitiva solamente sí algunos pares de la relación no cumplen con las condiciones de la transitividad. Simbólicamente:

RA2 es no transitiva (x,y,z: (x,y)R (y,z)R (x,z)R) x/(y,z: (x,y)R (y,z)R (x,z)R) x,y/(z: (x,y)R (y,z)R (x,z)R) x,y,z/ [(x,y)R (y,z)R (x,z)R] x,y,z/ (x,y)R (y,z)R (x,z)R


A2 = {(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)}(3,3)}R = {(1,2) (2,1)


Observamos esta relación que tiene sólo dos pares, y no existe el tercer par, por lo tanto ninguno de los pares cumple con la condición de transitividad, o sea que es Atransitiva.-

9. PROPIEDAD ATRANSITIVA

Una relación es atransitiva, si ninguno de los pares de la relación cumplen con las condiciones de la transitividad.

RA2 es atransitiva x,y,z: (x,y)R (y,z)R (x,z)R

Por ejemplo:Si A = {1,2,3} y (x,y) RA2 x+y=3

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

(2,1)}R = {(1,2)


En esta relación, los únicos pares de componente conmutadas son aquellos que tienen las mismas iguales, por lo tanto es Antisimétrica.-

10. PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA

Una relación es antisimétrica, si existen pares de componentes conmutadas en la relación, tienen que ser aquellos solamente cuyas componentes son iguales.

RA2 es antisimétrica x,y: (x,y)R (y,x)R x=y

Por ejemplo:Si A = {1,2,3} y (x,y) RA2 xy

A2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

(3,3)}R = {(1,1)(1,2) (1,3) (2,2) (2,3)


Reflexiva:A2 es reflexiva x: xA (x,x)A2 es reflexiva x: xA xx

Simétrica:A2 es simétrica x,y: (x,y) (y,x)

A2 es simétrica x,y: xy yx

Transitiva:A2 es transitiva x,y,z: (x,y) (y,z) (x,z)

A2 es transitiva x,y,z: xy yz xz

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA

La relación RA2 se dice que es de equivalencia, si y sólo si es Reflexiva, Simétrica y Transitiva.-

Una relación de equivalencia se la denota con , y si (a,b) entonces se dice que “a es equivalente con b” y se denota ab. Con esta notación, las propiedades quedarían:


Es de equivalencia pues es:

Reflexiva ya que:11, 22 y 33

Simétrica ya que:11 11 13 31 22 22 31 13 33 33

Transitiva ya que:11 11 11 11 13 13 22 22 22 13 31

1113 33 13 31 11 31 31 13 33 33 33

33

Por ejemplo:Probar que la siguiente relación es de equivalencia:

Si A = {1,2,3} y xy A2 2x-yA2 = {(1,1)(1,2)(1,3) (2,1)(2,2)(2,3) (3,1)(3,2)(3,3)}

(3,3)} = {(1,1)(1,3) (2,2) (3,1)


A

IiKAi

/

23,1, 21

KKA

Se llama conjunto cociente al conjunto formado por todas las clases de equivalencias, y se denota a

donde I se llama conjunto de índicesEl conjunto de índices se forma con un representante de cada clase de equivalencia.

y el conjunto de índices es: I = {1,2}

CLASES DE EQUIVALENCIA

Sea una relación de equivalencia definida en un conjunto A, se llama clase de equivalencia de m, al conjunto formado por todos los elementos de A que son equivalentes con m, y se denota con Km.

A2, Km ={xA/xm}Dicho de otra forma, xKm xmEn el ejemplo que se ha dado anteriormente es:K1 = {1,3} K2 = {2} y K3 = {1,3}, lo que significa que la K1 = K3

CONJUNTO COCIENTE


Por ejemplo: Sea A = {-1,0,1,2,3,4}, y sea la partición {{-1}{0,1,2}{3,4}}En este caso el conjunto de índices será I={-1,0,3}, y si observamos en la partición se cumple A1 ya que K-1, K0 y K3. La A2 también se cumple ya que: -10 K-1 K0 =; el -13 K-1K3=; y 03 K0K3=. Por otro lado, todos los elementos de A pertenecen a algún subconjunto de partición.

PARTICIÓN DE UN CONJUNTO NO VACÍOSea el conjunto A , se dice que {Ki/iI} es una partición de A, si y sólo si se cumplen los siguientes axiomas:A1) Todo elemento del conjunto de índice determina un subconjunto de partición no vacío. O sea:

u: uI Ku

A2) Elementos distintos del conjunto de índice, determinan subconjuntos de partición disjuntos. O sea:

uv Ku Kv =

A3) Todos los elementos del conjunto A, pertenecen a algún subconjuntos de partición, lo que significa que la partición cubre todo el conjunto. O sea:

aA,uI/ a Ku


En diagrama de Venn se observa la partición:

A

-1

012

34


HipótesisSea A, Sea A2 I A/ uI, KuA,Siendo I el conjunto formado por un representante de cada una de las clases, Tesis1º) u:uI Ku 2º) ab aKu bKu3º) Ku Kv Ku = Kv 4º) uv Ku Kv = 5º) aA,uI/aKu

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIAS

Sea una definida en un conjunto A, entonces existe un conjunto de índices I A, tal que todo uI existe un KuA, siendo el conjunto de índices formado por un representante de cada clase, de tal manera que cumpla con las siguientes proposiciones:1º) Todo elemento del conjunto de índice, determina una clase no vacía.2º) Dos elementos de A son equivalentes si y sólo si pertenece a una misma clase.3º) Clases no disjuntas son iguales.4º) Elementos distintos del conjunto de índice, determinan clases disjuntas.5º) Todo elemento del conjunto A pertenece a alguna clase de equivalencia. O sea que, todas las clases de equivalencias cubren a todo el conjunto A como una partición.


1º) u:uI Ku Como A aA. Pero por hipótesis, en A se define una relación de equivalencia, y en particular es reflexiva aa, y por definición de clase de equivalencia se tiene que aKa.

Demostración

2º) ab aKu bKu Para poder demostrar esta proposición, debemos desdoblar la doble implicación. O sea:

Ahora, como IA

I) ab aKu bKu

II) aKu bKu abComo aKu bKu

ab aKb por definición de clase de equivalencia.Ahora, supongamos que uKb

Pero ab bu

uKa ua au aKu Ku

ub bu bKu por definición de clase.

au aKu

au bu au ub ab


Y teniendo en cuenta la definición de igualdad de conjuntos se tiene que:Ku Kv Kv Ku Kv = Ku

3º) Ku Kv Ku = Kv Esta proposición se demuestra teniendo en cuenta la definición de igualdad de conjuntos, o sea:

Ku = Kv Ku Kv Kv Ku

Ku Kv a Ku Kv a Ku a Kv au av ua av

y por ley del silogismo hipotético y definición de inclusión: Ku Kv (I)

Ahora: Sea zKv

y por ley del silogismo hipotético y definición de inclusión: Kv Ku (II)

Ahora: Sea yKu yu uv yv yKv

zv vu zu zKu

uv vu


Ahora, supongamos que uKa ua au aKu, y por la propiedad anterior, Ku=Ka, lo que significa que todo el conjunto A está cubierto por todas las clases de equivalencia.-

4º) uv Ku Kv = Esta proposición la demostraremos utilizando el método de reducción al absurdo, o sea HT -T-H, lo que nos lleva a negar la tesis, o sea:

Ku Kv aKu Kv aKu a Kv au av ua av

ESTO CONTRADICE LA HIPÓTESIS, PUES LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO DE ÍNDICE NO PUEDEN SER EQUIVALENTES YA QUE SE HA DICHO QUE ÉSTE CONJUNTO ESTÁ FORMADO POR UN REPRESENTANTE DE CADA CLASE DE EQUIVALENCIA (ABSURDO).-

uv Ku Kv = ES VERDADERO

5º) aA,uI/aKu como A a A aa aKa

uv


TransitividadTomemos (x,y) R (y,z) R x Ku y Ku y Ku z Ku, y en particular podemos decir que x Ku z Ku (x,z) R.Luego la relación R es de equivalencia.-

PARTICIÓN Y RELACIÓN DE EQUIVALENCIAPropiedad Sea {Ku / uI} una partición del conjunto A. Entonces queda inducida en A una relación de equivalencia.-HipótesisSea A y Sea {Ku / uI} una partición de ATesisQueda inducida A2

DemostraciónPara poder demostrar esta propiedad, primero debemos definir una relación indicando que “un par ordenado pertenece a la relación, si ambas componentes pertenece a un mismo conjunto de partición”. O sea:

(x,y) R x Ku y Ku (A)ReflexividadSupongamos que x Ku x Ku x Ku por idempotencia de la conjunción, y por la definición (A) se tiene que (x,x) R A2

SimetríaTomemos (x,y) R x Ku y Ku y Ku x Ku (y,x) R


Y por definición de clase de equivalencia, todo elemento que pertenece a una clase es equivalente con el índice, o sea que:11 22 23 32 33 44, lo que nos da la relación de equivalencia como:

= {(1,1)(2,2)(2,3)(3,2)(3,3)(4,4)}y el conjunto de índices es:

I={1,2,4}

Por ejemplo:Determinar la relación de equivalencia definida en A={1,2,3,4} teniendo en cuenta la partición de A {{1}{2,3}{4}}.-

Cada uno de los elementos de la partición es una clase de equivalencia, o sea:

K1 = {1} K2 = {2,3} K4 = {4}


RELACIÓN DE ORDENAl tener un conjunto numérico, es importante analizar si está ordenado o no. Para eso se trabaja con una relación denominada de orden. Antes de poder definir esta relación, definiremos preceder teniendo en cuenta que:Un número precede a otro si y sólo si, el par formado por esos elementos pertenecen a la relación. O sea:

x y (x,y) R A2

: signo precederAhora, las relaciones pueden ser de orden amplio o estricto, y en cada una de éstas se dividen en orden amplio parcial o total, y de orden estricto parcial o total. O sea:

RELACIÓN DE ORDEN

AMPLIO

ESTRICTO

PARCIAL

TOTAL

PARCIAL

TOTAL


Relación de orden estrictoUna relación es de orden estricto si es Arreflexiva, Asimétrica y Transitiva. O sea:Arreflexiva:x:xA (x x)Asimétricax,y: x y (y x)Transitivia:x,y,z: x y y z x z

Relación de orden amplioUna relación es de orden amplio si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. O sea que sea RA2 es de orden amplio si es:Reflexiva:x:xA x xAntisimétrica:x, y: x y y x x = yTransitiva:x,y,z: x y y z x z


Relación de orden totalUna relación es de orden total si todos los elementos del conjunto se ordenan por la relación definida en él. O sea:

RA2 es de orden total xA, yA : xy x y y x

EjemploSea el conjunto de los naturales (N) ordenados por la relación de menor, o sea que xN, yN : x y x<y

Relación de orden parcialUna relación de orden es parcial, si algunos elementos del conjunto no preceden a otro del mismo conjunto. O sea:

RA2 es de orden parcial xA, y A/-(x y) -(y x)

EjemploA={2,3,4,6,8} ordenado por la relación xyx|y


ELEMENTOS DISTINGUIDOS DE UNA RELACIÓN DE ORDENSea el conjunto A ordenado por una relación de orden Primer elementoEl elemento a A es primer elemento si y sólo si precede a todos los demás.

aA es primer elemento x:xA a x

Elementos maximalesEl objeto n A es un elemento maximal si y sólo si no existe un elemento distinto que lo siga.

n A es un maximal xA: n x n = x

Elementos minimalesEl objeto m A es un elemento minimal si y sólo si no existe un elemento distinto que lo anteceda.

m A es un minimal xA: x m m = x

Último elementoEl elemento b A se llama último elemento, si y sólo si todo elemento de A precede a b.-

bA es último elemento x:xA xb


Ínfimo o cota inferior máximaEl elemento i A es un ínfimo del subconjunto XA, si y sólo si es el último elemento del conjunto de cotas inferiores.-

Cotas inferioresEl objeto a A es una cota inferior del subconjunto XA, si y sólo si precede a todo elemento de X

aA es una cota inferior de XA xX ax

Cotas superioresEl objeto b A es una cota superior del subconjunto XA, si y sólo si sigue a todo elemento de X

bA es una cota superior de XA xX xb

Supremo o cota superior mínimaEl elemento s A es un supremo del subconjunto XA, si y sólo si es el primer elemento del conjunto de cotas superiores.-


De estas definiciones se deduce que:1. En todo conjunto ordenado puede o no tener primer y/o último elemento.2. En todo conjunto ordenado pueda que no existan elementos minimales y/o

maximales, y en el caso de que existen, pueden no ser únicos3. En todo conjunto ordenado pueden existir o no cotas superiores o inferiores, y

por otro lado, pueden no ser únicas.-4. Si existen cotas, pueden tener o no ínfimos y/o supremos, ya que en todo

conjunto ordenado, no necesariamente debe tener primer y/o último elemento.-

Por ejemplo:Sea el intervalo abierto (-1, 1) donde se define la relación de menor o igual•Es reflexiva, puesto que: a(-1,1) aa•Es antisimétrica ya que: ab ba a=b•Es transitiva ya que: ab bc ac•Ahora si: ab ab ba

Las tres primeras nos están indicando que esta relación es de orden amplio y la última nos indica que es de orden total.-

Como el intervalo es abierto, entonces no tiene primer ni último elemento. Por otro lado no existen elementos minimales ni maximales, pero hay infinitas cotas inferiores ya que son todos aquellos reales menores o iguales a –1. de igual forma, existen infinitas cotas superiores, y son aquellos reales mayores o iguales a 1. No tiene ni ínfimo ni supremo, ya que tendrían que ser el –1 y el 1 respectivamente, pero no pertenecen al intervalo.-


Ejemplo:Sea el conjunto A = {2, 3, 6, 9, 12, 36} ordenado por la relación de

divisibilidad.-a)Es reflexiva ya que todo número es divisible por si mismo.-b)Es antisimétrica un número divide a otro y este al primero,

solamente se da en el caso de que ellos sean iguales.-c)Es transitiva ya que si un número divide a otro y este a un tercero,

entonces el primero divide al tercero.-d)Por último existen elementos que no dividen al siguiente como es

el caso del 2 y del 3.-De a), b) y c) deducimos que esta relación es de orden amplio; y de

d) que es de orden parcial.-Ahora, como no existe en A un elemento que sea divisor de todos los

demás, entonces carece de primer elemento, pero tiene último elemento y es el 36 ya que es divisible por todos los anteriores. Este también es el elemento maximal, y como el 2 y el 3 dividen a los que los siguen, son los elementos minimales. Con respecto a las cotas inferiores, no existen, pero la superior es el 36 y también es el supremo.-


DIAGRAMAS DE HASSEEl diagrama de Hasse se construye partiendo de los elementos ordenados de un conjunto y teniendo en cuenta la relación que lo ordenó y utilizando flechas. En nuestro caso anterior es:

36

12 6 2

9 3

En este diagrama, la flecha indica quien divide a quien: el 2 divide al 6 al 12 y al 36 como indica el sentido de la flecha. El 3 divide al 9 y al 36 por un lado, y al 6, al 12 y al 36 por el otro, como indica el sentido de la flecha.

CONJUNTO BIEN ORDENADOUn conjunto está bien ordenado por una relación de orden, si y solo si está totalmente ordenado, y además todo subconjunto no vacío tiene primer elemento.-

A = {2, 3, 6, 9, 12, 36}


IDEA Y REALIZACIONProf. LUIS ERNESTO VALDEZ

Departamento de Matemática

Instituto de Estudios Superiores de Andalgalá

2008 - 2014

relaciones binarias

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