.

RELAŢII METRICE

Recapitulare teoreme.Recapitulare teoreme.• Teorema cateteiTeorema catetei • Teorema înălţimiiTeorema înălţimii

A

B D C

AB²=BD·BC

AC²=DC· BC

C²=pr c· ip

A

BD C

AD²=BD · DC

h²=pr(c1) · pr(c2)

Teorema lui PitagoraTeorema lui Pitagora

•Fiind dat Fiind dat ΔΔABC dreptunghic, ABC dreptunghic, teorema lui Pitagora se teorema lui Pitagora se poate scrie astfel:poate scrie astfel:

222 ACABBC

PROBLEMA 1Fie triunghiul ABC dreptunghic in A in care AB = 10cm si AD = 53cm, ADBC. Aflati lungimea lui BD, BC si AC.

Rezolvare:

A

B CD

10cm

53c

m1) Aplicam teorema lui Pitagora in ABD pentru a afla BD:

BD2 = AB2 – AD2 BD2 = 100 – 75 = 25 BD = 25 = 5cm.

5cm

2) Aplicam teorema catetei (pentru cateta AB) pentru a afla BC:

AB2 = BDBC 100 = 5BC BC = 100:5 = 20cm.

20cm

3) Pentru a afla lungimea lui AC aplicam teorema lui Pitagora in ABC:

AC2 = BC2 – AB2 AC2 = 400 – 100 = 300

AC = 100 = 103cm.

103cm

Pentru consolidarea tehnicii de rezolvare a unui triunghi dreptunghic, incercati sa rezolvati problema aplicand si teorema inaltimii.

.

Fie ABCD un patrat de latura AB = 10cm; punctul E se afla in interiorul patratului astfel incat AEB sa fie echilateral. Aflati lungimea lui [EC]. Rezolvare:

PROBLEMA 2

A B

CD

E

Construim perpendiculara FG pe AB ce trece prin E.

F

G

In EGB avem: BE=10cm, BG=5cm.

10

5

GE2 = BE2 – BG2 GE2 = 100-25=75

.3575 cmGE

53FE = GF – GE = 10 - 53cm.

In CEF: CE2 = FE2 + FC2

310020053510 222 CE

.32103100200 cmCE

.

Fie ABCD un paralelogram cu AB = 10cm, AD = 25cm si DE = 4cm unde DEAB, Aflati lungimile celor doua diagonale.Rezolvare:

PROBLEMA 3

A B

CD

E

25

10

4

In ADE aflam pe AE:

AE2 = AD2 – DE2 = 20 – 16 = 4.

AE = 4 = 2cm.

2

BE = AB – AE = 10 – 2 = 8cm.

8

In BDE aflam pe BD:

BD2 = BE2 + AD2 = 64 + 16 = 80.

BD = 80 = 45cm.

Coboram o perpendiculara din C pe dreapta AB:

F

BF = AE = 2cm.

2

CF = DE = 4cm.

4

In ACF avem: AC2 = AF2 + CF2 = 122 + 42 = 144+16=160.

.104160 cmAC

.

Fie triunghiul ABC isoscel, AB=AC=10cm, BC=12cm. Aflati raza cercului inscris triunghiului ABC. Rezolvare:

PROBLEMA 4

A

B CD

O E

Construim: ADBC; OEAC, O=centrul cercului inscris

In ADC: AD2=AC2-CD2=100-36=64; AD=64=8cm.

10

12

6

Notam OD=OE= x;

x

x

Daca CD=6 atunci si CE=6; AE=AC-EC=4cm.

6

4 Daca AD=8 atunci AO = AD – OD = 8–x.

8-x

In AOE: AO2 = AE2 + OE2

(8 – x)2 = 42 + x2 64 – 16x + x2 = 16 + x2

16x = 64 – 16 16x = 48 x = 3cm.

Deci Rcercului inscris= 3 cm.Gasiti si o alta metoda de rezolvare!

.

Fie triunghiul isoscel ABC, AB=AC=10cm, BC=12cm. Aflati raza cercului circumscris triunghiului ABC. Rezolvare:

PROBLEMA 5

A

B C

O

D

10cm

Daca BC = 12cm, atunci BD = BC:2 = 6cm.

6cm

Notam AO=OB= x (raza cercului circumscris).

x

x

In ADC: AD2=AC2-CD2=100-36=64; AD=64=8cm.Rezulta ca OD=AD-AO=8-x.

8-x

Aplicam teorema lui Pitagora in OBD:OB2 = BD2 + OD2

x2 = 62 + (8-x)2 16x = 100

cmx 25,616

100

Gasiti si o alta metoda de rezolvare!

.

Fie ABCD un trapez dreptunghic, cu bazele AB=a, CD=b, astfel incat se poate inscrie un semicerc. Cum se poate calcula media aritmetica, media geometrica si media armonica cu ajutorul acestei probleme, urmariti rezolvarea.

Rezolvare:

PROBLEMA 6

A B

CD

O

Pentru ca acest trapez sa fie circumscris unui semicerc trebuie indeplinita conditia: BC=AB+CD=a+b. Urmariti figura.

N

a

b

a

b

M

1) Sa calculam linia mijlocie OM (media aritmetica):

2) Sa calculam ON=raza semicercului (media geometrica):AD2=BC2–(AB–CD)2=(a+b)2–(a–b)2=4ab.

.24 ababAD

22

baCDABOM

3) Sa calculam lungimea segmentului NP (media armonica):

P

.abON

E

NPOCEB BC

NO

CE

NP

ba

ab

ab

NP

2

.22

ba

ab

ba

ababNP

.

PROBLEMA 7Fie ABC un triunghi isoscel cu AB = AC = 10cm si BC = 16cm. Se cere sa se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Rezolvare:A

B C D

O

Prelungim pe AD pana taie cercul in E.

E

Unind E cu C se formeaza triunghiul ACE dreptunghic in C.

Aplicam teorema lui Pitagora in ADC:

10

8

AD2 = AC2 – CD2 = 100 – 64 = 36AD = 36 = 6cm. 6

Aplicam teorema catetei in ACE:

AC2 = ADAE 100 = 6AE AE = 100:6 = 16,(6) cm.

Raza=AO=AE:2=8,(3)cm.

.

PROBLEMA 8Fie ABCD un patrat cu latura de 12cm. Fie punctele EAB si FAD astfel incat triunghiul CEF sa fie echilateral. Aflati lungimea lui BE.

Rezolvare:

A

.

B

CD

E

F

12cmNotam pe BE = x.

x

Atunci AE = AF = 12 – x.

12-x

12-

x

Aplicam teorema lui Pitagora in BEC

CE2 = BC2 + BE2 = 144 + x2

Aplicam teorema lui Pitagora in AFE

FE2 = AE2 + AF2 = 2(12 – x)2

Dar FE = CE, asadar

2(12 – x)2 = 144 + x2 x2 – 48x + 144 = 0

31224 x.

Pentru a finaliza aceasta problema este necesar a se cunoaste rezolvarea ecuatiei de gradul II.

PROBLEMA 9Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, bazele AB = 16cm si CD = 8cm. Sa se calculeze perimetrul trapezului si lungimile diagonalelor.

Rezolvare:

A B

CD

16

8

O

Daca trapezul este isoscel atunci si triunghiurile AOB si COD sunt isoscele.

.282

16

2

ABAO

.242

8

2

CDOC

.212 OCAOACAplicam teorema lui Pitagora in BOC

28

24

BC2 = BO2 + OC2 = 128 + 32 = 160

.104160 cmBC

.1082410428162 cmBCCDABPABCD

.Realizat de prof. TIT CUPRIAN

.

FUNCTII TRIGONOMETRICE

Fie un triunghi cu lungimile a doua laturi a si b si masura unghiului cuprins intre ele egala cu . Sa se afle lungimea celei de-a treia laturi. Rezolvare:

PROBLEMA 1

a

b

Construim inaltimea pe latura de lungime b.

O notam cu h.

h

In triunghiul din stanga avem:

h= asin si x = acos

x y

c Inseamna ca y = b – x = b - acos

Aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul din dreapta:c2 = h2 + y2 = (asin)2 + (b - acos)2

c2 = a2sin2 + b2 – 2abcos + a2cos2c2 = a2(sin2 + cos2)+b2 – 2abcos

Dar sin2 + cos2 = 1, asadar

( Teorema lui Pitagora generalizata sau teorema cosinusului ).

c2 = a2 + b2 – 2abcos

PROBLEMA 2Fie triunghiul ABC cu masura unghiului B de 600, masura unghiului A de 750 si AB = 8cm. Se cere sa se afle perimetrul si aria triunghiului.

Rezolvare: A

B C

600 450

8cm

m(<BAC) = 1800 – m(<B) – m(<C) = 1800 – 600 – 450 = 750.

D

In ABD: BD = ABcos60 = 80,5 = 4cm. AD = ABsin60 = 83/2 = 43cm.

In ADC: CD = AD = 43cm. (ADC=isoscel si dreptunghic.)

AC = CDsin45 = 432/2 = 26cm.

PABC = AB + AC + BC = = 8 + 26 + 43 + 4 = = 12 + 43 + 26cm.

.

.3382

34344

22cm

ADBCA ABC

PROBLEMA 3Trapezul ABCD cu baza mica CD = 3cm are AD = 4cm si masura unghiului A de 600 iar masura unghiului B de 300. Se cere sa aflati perimetrul si aria trapezului.

Rezolvare:

A B

CD

4cm

3cm

8cm

600 300

E F

AE = ADcos60 = 40,5 = 2cm.

DE = CF = ADsin60 = 43/2 = 23cm.

BC = CF:sin30 = 23/0,5 = 43cm.

BF = BCcos30=433/2=6cm.EF = CD = 3cm.

.34182363434 cmEAFEBFCBDCADPABCD

.314

2

32311

22cm

DECDABAABCD

.

PROBLEMA 4Fie triunghiul ABC cu AB = c = 7cm, BC = a = 9cm si AC = b = 8cm. Sa se afle sinA, sinB si sinC.

Rezolvare:

A

B C

7cm

9cm

8cm

Folosim urmatoarea formula de calcul a ariei unui triunghi:

cpbpappA Unde p = semiperimetrul triunghiului.

p = (a+b+c):2 = (7+8+9):2 = 12

51291281271212 AFolosim alta formula de calcul a ariei unui triunghi:

2

sin AACABA

7

53

87

51222sin

ACAB

AA

Analog vom calcula la fel si sin B sau sin C.

Se poate aplica in continuare si teorema sinusului: C

c

B

b

A

a

sinsinsin

.

PROBLEMA 5Printr-un anume procedeu calculati tg150

Rezolvare: Luam un triunghi dreptunghic cu un unghi de 300 si construim bisectoarea acestui unghi; stabilim, de exemplu, lungimea lui BC = 2 si apoi urmariti pasii de rezolvare:A

B C

300

D

bisectoarea

150

Daca BC =2, atunci: AC = 2BC = 4. AB = ACcos300 = 43/2 = 23.

Aplicam teorema bisectoarei:

232

432

DCBD

ACAB

DC

AC

BD

AB

63432

32

32

ABBD

.

3232

634150

AB

BDtg

Calculati singuri si sin150 si sin750.

PROBLEMA 6Fara a utiliza tabele trigonometrice, calculati sin750.

Rezolvare: Construim un triunghi cu unghiurile de 750, 450 si 600.

A

B C

7 50

450

600

D

Notam BD = 1

1

Rezulta: AB = 2; AD = 3; CD = 3; AC = 6.

2 3

3

6Aria triunghiului ABC:

2

33

2

331

2

ADBCAABC

Dar aria ABC cu formula sinusului este:

2

75sin62

2

75sin 00

ACABAABCAsadar avem:

2

33

2

75sin62 0

4

26

12

2363

62

1863

62

3375sin 0

.