relation and function

1

คลาดบ

ผลคณ

คารท

เซยน

ความสม

พนธ

ฟงกช

น โจทย

เกยวกบค

วามส

มพนธ

และฟ

งกชน

โดเมนแ

ละเรน

จ

พชคณ

ตของฟง

กชน

• f+

g •

f-g

• f•

g •

f/g

ฟงกช

นประกอ

บ

• f

g •

gf

กราฟ

ของฟ

งกชน

และค

วามส

มพนธ

• ฟง

กชนเชงเสน

, ฟงกชน

กาลงสอ

ง •

ฟงกช

นเอก

ซโพเนน

เชยล

•

ฟงกช

นคาสมบ

รณ ,

ฟงกช

นขนบ

นได

• กราฟ

ภาคต

ดกราย เชน

วงกล

ม พา

ราโบ

ลา ,

ไฮเปอรโบ

ลา , วงร

เปนต

น

• ฟง

กชนจ

าก A

ไป B

into

•

ฟงกช

นจาก

A ไป

B o

nto

• ฟง

กชนจ

าก A

ไป B

ont

o แบ

บ ทว

ถง

• ฟง

กชนจ

าก A

ไป B

1-1

•

ฟงกช

นจาก

A ไป

B 1

-1

แบบท

วถง

อนเวอ

รสขอ

งความส

มพนธ

และฟ

งกชน

2

ความสมพนธและฟงกชน

1. คลาดบหรอคอนดบ คอนดบ คอสญลกษณทแสดงการจบคกนระหวางสง 2 สง แลวแทนสญลกษณดวย (a,b)

เมอ a แทนสมาชกตวทหนงหรอสมาชกตวหนา และ b แทนสมาชกตวทสองหรอสมาชกตวหลง เชน การจบคระหวางจานวนเกาอและจานวนโตะในหองหองหนง ถาในหองนนมจานวนเกาออย 14 ตว และมจานวนโตะอย 2 ตว จะเขยนแทนดวยคอนดบ (14,2) เปนตน

1.1 ความเทากนของคอนดบ

คอนดบ (a,b) = (c,d) กตอเมอ a = c และ b = d เมอ a,bc,d เปนจานวนจรงใดๆ

ตวอยางเชน จงหาคาตวแปรจากคอนดบตอไปน 1. จงหาคาตวแปรจากคอนดบตอไปน (4,a) = (b,7)

จะสรปไดวา 4=b และ a=7 2. คอนดบ (3,4) ≠ (2,1) , (2,0) ≠ (0,2) 3. จงหาคาของ x และ y ททาให (2x + y, 24) = (6, 3x – y)

จะสรปไดวา 2x + y = 6 ………. และ 3x – y = 24………… + ………………..(2x+y+3x-y) = 6+24 5x = 30 x = 6

1 2

1 2

3

แทนคา x=6 ลงในสมการ

2(6) + y = 6 12 + y = 6

y = 6-12 y = -6 4. กาหนดให (2x,y-2) = (x+3,1) จงหา (x+y,x-y)

จะสรปไดวา 2x = x+3 และ y-2 = 1 2x-x = 3 y = 1+2 x = 3 y = 3 ∴ (x+y,x-y) = (3+3,3-3)

= (6,0)

2. ผลคณคารทเชยน ผลคณคารทเชยนของเซต A และเซต B คอ เซตของคอนดบทมสมาชกตวหนาเปนสมาชกใน

เซต A และมสมาชกตวหลงเปนสมาชกในเซต B เขยนแทนดวย AxB อานวา เอคณบ หรอ เอครอสบ

{ }( , ) / ,AxB a b a A b B= ∈ ∈

ตวอยางเชน

1. กาหนด A={ }1, 2,3 , B={ }4,5 จงหา AxB วธทา เปนการจบคคอนดบระหวางสมาชกตวหนาทอยในเซต A และสมาชกตวหลงทอยในเซต B 4 4 4 1 2 3 5 5 5 ∴AxB ={ }(1,4), (1,5), (2, 4), (2,5), (3, 4), (3,5)

1

4

ขอสงเกต – จานวนสมาชกของ AxB เทากบ จานวนสมาชกของ A คณดวยจานวนสมาชก

ของ B

( ) ( ) ( )n AxB n A x n B=

2. กาหนดให A={ }1,2,3 , B={ }, ,a b c และ C={ },a b จงหา

2.1) ( )Ax B C∩ 2.2) ( ) ( )AxB AxC∩ 2.3) ( )Ax B C∪ 2.4) ( ) ( )AxB AxC∪ 2.5) ( )Ax B C− 2.6) ( ) ( )AxB AxC−

วธทา

2.1) หา { },B C a b∩ = , { }1,2,3A =

∴ { }( ) (1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (3, ), (3, )Ax B C a b a b a b∩ = 2.2) หา

{ }(1, ), (1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (2, ), (3, ), (3, ), (3, )AxB a b c a b c a b c= { }(1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (3, ), (3, )AxC a b a b a b=

∴ { }( ) ( ) (1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (3, ), (3, )AxB AxC a b a b a b∩ =

2.3) หา { }, ,B C a b c∪ =

∴ { }( ) (1, ), (1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (2, ), (3, ), (3, ), (3, )Ax B C a b c a b c a b c∪ =

2.4) หา{ }( ) ( ) (1, ), (1, ), (1, ), (2, ), (2, ), (2, ), (3, ), (3, ), (3, )AxB AxC a b c a b c a b c∪ =

5

2.5) หา { }B C c− =

∴ { }( ) (1, ), (2, ), (3, )Ax B C c c c− =

2.6) { }( ) ( ) (1, ), (2, ), (3, )AxB AxC c c c− = ขอสงเกต-

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Ax B C AxB AxCAx B C AxB AxCAx B C AxB AxC

∩ = ∩ ∪ = ∪− = −

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

B C xA BxA CxAB C xA BxA CxAB C xA BxA CxA

∩ = ∩ ∪ = ∪− = −

3. ให A={ }2,4,8 และ B={ },a c จงหา AxB , BxA

วธทา a a a 2 4 8 c c c ∴AxB = { }(2, ), (2, ), (4, ), (4, ), (8, ), (8, )a c a c a c

2 2 a 4 c 4 8 8

6

∴BxA = { }( , 2), ( , 4), ( ,8), ( , 2), ( , 4), ( ,8)a a a c c c

ขอสงเกต- โดยทวไป AxB ≠ BxA Ax∅ = xA∅ = ∅

4. กาหนดให A={ }3,5,7 และ n(AxB)=15 จงหา n(B) วธทา จาก n(AxB) = n(A) x n(B) จากโจทย n(A) = 3 แทนคา

15 3 ( )n B= ×

15( )3

n B =

( ) 5n B∴ =

5. กาหนดให A={ }5,7 จงหา AxA

วธทา 5 5

5 7 7 7

∴AxA = { }(5,5), (5,7), (7,5), (7,7)

3. ความสมพนธ ความสมพนธ คอ เซตของคอนดบทเปนตามเงอนไขของความสมพนธ โดยทเปนสบเซตของผลคณคารทเซยน คอ ให A และ B เปนเซต ความสมพนธจาก A ไป B คอ สบเซตของ AxB

r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r AxB⊂

r เปนความสมพนธจาก A ไป A หรอใน A กตอเมอ r AxA⊂

7

ขอสงเกต- เนองจาก AxB∅ ⊂ , ∅ จงเปนความสมพนธจาก A ไป B

เนองจาก AxB AxB⊂ , AxB จงเปนความสมพนธจาก A ไป B เนองจาก r AxB⊂ , จานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B เทากบ

จานวนสบเซตทงหมดของเซต AxB = ( )2n AxB


1. กาหนดให A={ }1,2,3 และ B={ }1,3,4 จงหาความสมพนธ r “นอยกวา” จาก A ไป B และ ความสมพนธ r “เทากน” จาก A ไป A

วธทา

-หาความสมพนธจาก A ไป B ทมเงอนไข สมาชกตวหนานอยกวาสมาชกตวหลง

{ }(1,1), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,3), (3,4)AxB = -จากเซต AxB เลอกคอนดบทมความสมพนธสมาชกตวหนานอยกวาสมาชกตวหลง

∴ r = { }(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

‐หาความสมพนธจาก A ไป A ทมเงอนไข สมาชกตวหนาเทากบสมาชกตวหลง

{ }(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)AxA = ∴ r = { }(1,1), (2,2), (3,3)

2. กาหนดให A={ }2,3,25 , B={ }4,5,7 จงหาความสมพนธแบบแจกแจงสมาชกและแบบบอกเงอนไข

2.1 1r เปนความสมพนธ “กาลงสอง” จาก A ไป B 2.2 2r เปนความสมพนธ “รากทสอง” จาก A ไป B 2.3 3r เปนความสมพนธ “กาลงสอง” จาก B ไป A 2.4 4r เปนความสมพนธ “รากทสอง” จาก B ไป A

วธทา

8

2.1 หา{ }(2,4), (2,5), (2,7), (3,4), (3,5), (3,7), (25,4), (25,5), (25,7)AxB =

จาก AxB หาคอนดบทสมาชกตวหนาเปนกาลงสองของสมาชกตวหลง

∴ { }1 (25,5)r = หรอเขยนแบบบอกเงอนไขได คอ

{ }21 ( , ) /r x y AxB x y= ∈ =

2.2 จาก AxB หาคอนดบทสมาชกตวหนาเปนรากทสองของสมาชกตวหลง

∴ { }2 (2, 4)r = หรอเขยนแบบบอกเงอนไขได คอ

{ }2 ( , ) /r x y AxB x y= ∈ = ± 2.3 หา

{ }(4,2), (4,3), (4,25), (5,2), (5,3), (5,25), (7,2), (7,3), (7,25)BxA =จาก BxA หาคอนดบทสมาชกตวหนาเปนกาลงสองสองของสมาชกตวหลง ∴ { }3 (4,2)r = หรอเขยนแบบบอกเงอนไขได คอ

{ }23 ( , ) /r x y BxA x y= ∈ =

2.4 จาก BxA หาคอนดบทสมาชกตวหนาเปนรากทสองของสมาชกตวหลง

∴ { }4 (5,25)r = หรอเขยนแบบบอกเงอนไขได คอ

{ }4 ( , ) /r x y BxA x y= ∈ = ±

9

แบบฝกหด

1. คอนดบน 2 2( , )x y กบ ( , )x y เมอ x,y เปนจานวนจรง เปนคอนดบทเทากนหรอไม เพราะเหตใด

2. จงหาคา x และ y จากคอนดบทเทากนตอไปน 2.1) (2x-6,2y+x) = (3y+2,-3) 2.2) (3x,3y+x) = (2y+1,4y+3) 2.3) (x-1,y+2) = (y-2,2x+1) 2.4) (3x-y,0) = (0,3x+y)

10

3. กาหนดให ={ }1,2,3,4,5 , { }1,2A = และ { }2,3,4B = จงหา

3.1) AxA′ 3.2) ( )B A xB′− 3.3) ( ) ( )A B x A B∪ ∩ 3.4) ( ) ( )A B x A B′ ′− −

11

4. กาหนดใหเซต A มสมาชก 5 ตว เซต B มสมาชก 6 ตว เซต A และเซต B มสมาชกรวมกน 3 ตว จงหาจานวนสมาชกของเซต ( )A B xB∪

5. กาหนดให ={ }1,2,3,4 และ { }1,2A = 5.1) ถา n(AxB) = 4 จงหาเซต B ทเปนไปไดทงหมด

5.2) ถา n(AxB) = 6 จงหาเซต B ทเปนไปไดทงหมด

6. กาหนดให ={ }, , , ,a b c d e และ { },A a b= เซต B เปนเซตทไมมสมาชกรวมกบเซต A เลย


12


6.3) ถา n(AxB) = 8 จงหาเซต B ทเปนไปไดทงหมด 7. กาหนดให { }1,2,3A = และ { }2,3,4B = จงเขยนความสมพนธในรปแบบแจก

แจงสมาชก

7.1) { }1 ( , ) / 0r x y AxB x y= ∈ − >

7.2) { }22 ( , ) /r x y AxB x y= ∈ >

7.3) { }3 ( , ) / 0r x y BxA x y= ∈ − >

7.4) { }24 ( , ) /r x y BxA x y= ∈ >

13

8. กาหนดให { }1,2,3A = และ { }2,3,4B = ความสมพนธใดเปนความสมพนธจาก A ไป B , จาก B ไป A , ภายใน A หรอ ภายใน B

8.1) { }1 (1,2), (2,3), (3,4)r =

8.2) { }2 (2,2), (3,1)r =

8.3) { }3 (4,1), (4,2), (4,3)r =

8.4) { }4 (2,2), (3,3)r =

8.5) { }5 (1,4), (2,3), (3,3)r = 9. กาหนดให { }2,4,6M = และ { }1,3,5,7P = จงเขยนความสมพนธตอไปนใน

รปแจกแจงสมาชก

9.1) { }1 ( , ) / 2 1 0r x y MxP x y= ∈ + − =

9.2) { }22 ( , ) / 1r x y MxP y x= ∈ = −

9.3) { }3 ( , ) / 2 1 0r x y PxM x y= ∈ + − =

14

9.4) { }4 ( , ) / 2 1r x y PxM y x= ∈ ≤ +

4. โดเมนและเรนจของความสมพนธ โดเมนของความสมพนธ คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบทงหมดในความสมพนธนน

เขยนแทนดวยสญลกษณ rD

{ }/ ( , )rD x x y r= ∈

เรนจของความสมพนธ คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบทงหมดในความสมพนธนน

เขยนแทนดวยสญลกษณ rR

{ }/ ( , )rR y x y r= ∈


1. กาหนดความสมพนธ { }(1, ), (2, ), (3, ), (4, )r p q r s= จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r

วธทา โดเมน คอสมาชกตวหนาทงหมด ∴ { }1,2,3,4rD = และ

15

เรนจ คอสมาชกตวหลงทงหมด ∴ { }, , ,rR p q r s= อาจเขยนเปนแผนภาพความสมพนธไดดงน

โดเมน เรนจ 2. จงหาโดเมนและเรนจจากความสมพนธ { }( , ) / 2 5r x y IxI y x= ∈ = +

วธทา

1. หา rD จากการพจารณาคา x I∈ จากสมการ วา x เปนจานวนเตมทมคาใดไดบางซงจะเหนวา x เปนจานวนเตมไดทกคา เพราะสามารถแทนคา x เปนจานวนเตมใดกได เชน

…,-3,-2,-1,0,1,2,3,… ลงในสมการ 2 5y x= + แลวสามารถหาคา y ได

∴ { }/rD x x I= ∈ 2. หา rR จากการแทนคา x เปนจานวนเตมลงในสมการ 2 5y x= + แลวหาคา y

ดงน ……….…….. x = -2 y = 2(-2)+5 y = 1 x = -1 y = 2(-1)+5 y = 3 x = 0 y = 2(0)+5 y = 5 x = 1 y = 2(1)+5 y = 7 x = 2 y = 2(2)+5 y = 9…………. ∴ { }...,1,3,5,7,9,...rR = หรอสามารถเขยนแผนภาพของความสมพนธไดดงน

16

x y

โดเมน เรนจ

4.1 การหาโดเมนและเรนจจากความสมพนธของตวแปร x และ y ในกรณทใหความสมพนธเปนสมการระหวาง x และ y มา แลวใหหาโดเมนและเรนจของ

ความสมพนธนน ใหทาการจดกลมตวแปรดงน คอ ถาจะหาโดเมนใหจดกลมตวแปรจากสมการทโจทยใหมาใหอยในรปดงน

rD ---------- y = กลมของตวแปร x

และถาจะหาเรนจใหจดกลมตวแปรจากสมการใหอยในรปดงน

rR ---------- x = กลมของตวแปร y

แลวพจารณาวากลมของตวแปรนนมขอหาม หรอขอกาหนดเปนเงอนไขใดบาง เชนในการหาโดเมนและเรนจ ถากลมของตวแปร x หรอกลมของตวแปร y อยในรป

4.1.1 เศษสวน ………

มขอหามหรอเงอนไข คอ ตวหาร ≠ 0

-2 -1 0 1 2

1 3 5 7 9

ตวตง

ตวหาร

17

4.1.2 รากทสองหรอรากทเปนจานวนค …………… ( ), ( )f x f y เมอ f(x) และ f(y) แทนกลมของตวแปร x และ y ตามลาดบ

มขอหามหรอเงอนไข คอ ตวแปรภายในรากท 2 หรอรากทเปนจานวนค ≥ 0

หรอ ( ) 0, ( ) 0f x f y≥ ≥

4.1.3 กาลงสองหรอกาลงทเปนจานวนค …………

2 2( ), ( )y f x x f y= =

เมอ f(x) และ f(y) แทนกลมของตวแปร x และ y ตามลาดบ

มขอหามหรอเงอนไข คอ ( ) 0, ( ) 0f x f y≥ ≥

4.1.4 คาสมบรณ …………… ( ), ( )y f x x f y= = เมอ f(x) และ f(y) แทนกลมของตวแปร x และ y ตามลาดบ

มขอหามหรอเงอนไข คอ ( ) 0, ( ) 0f x f y≥ ≥

สรปแผนผงการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

18

ตวอยางการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธแบบตางๆเชน

ตวอยาง 1 กาหนดให { }1,2,3,4,5S = กาหนดความสมพนธ 1r , 2r และ 3r ใน S

ดงตอไปน { }1 ( , ) / 6r x y SxS x y= ∈ + =

{ }2 ( , ) / 2 3r x y SxS x and y= ∈ > =

{ }3 ( , ) / 6r x y SxS x y= ∈ − = จงหาโดเมนและเรนจของแตละความสมพนธ

การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

ความสมพนธทสามารถแจกแจงเปนคอนดบ (x,y) ความสมพนธทเปนสมการระหวาง xและy

-โดเมนคอสมาชกตวหนา -เรนจคอสมาชกตวหลง

เศษสวน รากทเปนจานวนค กาลงทเปนจานวนค

ตวหาร ≠ 0

จดกลมตวแปร y=f(x) จดกลมตวแปร x=f(y)

หาโดเมน หาเรนจ

ภายในรากหามตดลบ กาลงคมากกวาหรอเทากบศนยเสมอ

แกอสมการหาเซตคาตอบของโดเมนและเรนจตามเงอนไขในแตละกรณ

คาสมบรณ

คาสมบรณตองมากกวาหรอเทากบศนยเสมอ

19

วธทา

หาโดเมนและเรนจของความสมพนธ { }1 ( , ) / 6r x y SxS x y= ∈ + = 1) สามารถแจกแจงสมาชกของความสมพนธ 1r เปนคลาดบได ทาการแจกแจงสมาชกของ

ความสมพนธ 1r 2) ตรวจสอบคาของ x และ y ตามสมการ x+y = 6 , เพราะวา x S∈ แทนคา

x =1,2,3,4,5 แลวหาคา y โดย y = 6-x x = 1…..... y = 6-1 = 5 ….. 5 S∈ …. 1(1,5) r∈ x = 2…..... y = 6-2 = 4 ….. 4 S∈ …. 1(2, 4) r∈ x = 3…..... y = 6-3 = 3 ….. 3 S∈ …. 1(3,3) r∈ x = 4…..... y = 6-4 = 2 ….. 2 S∈ …. 1(4, 2) r∈ x = 5…..... y = 6-5 = 1 ….. 1 S∈ …. 1(5,1) r∈

3) ∴ { }1 (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)r =

4) ∴ { }1

1, 2,3,4,5rD = และ { }1

1, 2,3,4,5rR = หาโดเมนและเรนจของความสมพนธ { }2 ( , ) / 2 3r x y SxS x and y= ∈ > =

1) สามารถแจกแจงสมาชกของความสมพนธ 2r เปนคลาดบได ทาการแจกแจงสมาชกของ

ความสมพนธ 2r 2) ตรวจสอบคาของ x และ y เพราะวา x S∈ และ x>2 ∴ 3,4,5x =

เพราะวา y S∈ และ y=3 ∴ 3y = 3) จบคคา x และ y หาคอนดบ 2( , )x y r∈

โดเมน เรนจ

3 4 5

3

20

4) ∴ { }2 (3,3), (4,3), (5,3)r =

5) ∴ { }2

3, 4,5rD = และ { }2

3rR = หาโดเมนและเรนจของความสมพนธ { }3 ( , ) / 6r x y SxS x y= ∈ − =

1) สามารถแจกแจงสมาชกของความสมพนธ 3r เปนคลาดบได ทาการแจกแจงสมาชกของ

ความสมพนธ 3r 2) ตรวจสอบคาของ x และ y ตามสมการ x-y = 6 , เพราะวา x S∈ แทนคา

x =1,2,3,4,5 แลวหาคา y โดย y = x-6 x = 1…..... y = 1-6 = -5 ….. 5 S− ∉ …. 3(1, 5) r− ∉ x = 2…..... y = 2-6 = -4 ….. 4 S− ∉ …. 3(2, 4) r− ∉ x = 3…..... y = 3-6 = -3 ….. 3 S− ∉ …. 3(3, 3) r− ∉ x = 4…..... y = 4-6 = -2 ….. 2 S− ∉ …. 3(4, 2) r− ∉ x = 5…..... y = 5-6 = -1 ….. 1 S− ∉ …. 3(5, 1) r− ∉

3) ∴ { }3r = = ∅

4) ∴ 3rD = ∅ และ 3r

R = ∅

ตวอยาง 2 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

1( , ) /

2r x y RxR y

x⎧ ⎫= ∈ =⎨ ⎬−⎩ ⎭

วธทา

หาโดเมน rD 1) เลอกวธการหาโดเมนจากการพจารณาความสมพนธระหวาง x และ y จากสมการ

12

yx

=−

2) หาโดเมนจากการจดกลมตวแปรจากสมการใหอยในรป y=f(x) เมอ f(x) คอกลม

ของตวแปร x ซงได 1

2y

x=

−

3) จาก y=f(x) อยในรปของ เศษสวน ซงมขอหามคอ ตวสวน≠ 0

21

∴ 2 0x − ≠ 2x ≠

4) { }/ 2rD x R x∴ = ∈ ≠

หาเรนจ rR

1) หาเรนจจากการจดกลมตวแปรจากสมการ 1

2y

x=

− ใหอยในรป x=f(y) เมอ

f(y) คอกลมของตวแปร y ดงน 1

2y

x=

−

2) จาก x=f(y) ทได………… อยในรป เศษสวน …………ตวสวน≠ 0 ∴ 0y ≠

3) { }/ 0rR y R y∴ = ∈ ≠

ตวอยาง 3 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ 3 1( , ) /2 5

xr x y RxR yx

−⎧ ⎫= ∈ =⎨ ⎬+⎩ ⎭

วธทา

12

1 2

1 2

xy

xy

yxy

− =

= +

+= *

22

จดกลมตวแปรในรป...y=f(x)

………3 12 5

xyx

−=

+

3 12 5

xyx

−=

+ ….. เศษสวน

ตวสวน ≠ 0

2 5 05

2

x

x

∴ + ≠−

≠

5/2rD x R x −⎧ ⎫∴ = ∈ ≠⎨ ⎬

⎩ ⎭

3 1( , ) /2 5

xr x y RxR yx

−⎧ ⎫= ∈ =⎨ ⎬+⎩ ⎭

rD rR

จดกลมตวแปรในรป...x=f(y) 3 1......2 5

(2 5) 3 12 5 3 15 1 3 25 1 (3 2 )

5 13 2

xyx

y x xyx y xy x yxy x y

yxy

−=

++ = −

+ = −+ = −+ = −

+∴ =

−

5 13 2

yxy

+=

−….. เศษสวน

ตวสวน ≠ 0 3 2 02 3

32

yy

y

∴ − ≠ ≠

≠

3/2rR y R y⎧ ⎫∴ = ∈ ≠⎨ ⎬

⎩ ⎭

23

ขอสงเกต- ความสมพนธทมสมการอยในรป เศษสวน Ax CyBx D

+=

+ โดยท A,B,C และ

D เปนจานวนจรงใดๆและ 0B ≠ สามารถสรปโดเมนและเรนจของความสมพนธไดดงน

/r

DD x R xB

−⎧ ⎫= ∈ ≠⎨ ⎬⎩ ⎭

/rAR y R yB

⎧ ⎫= ∈ ≠⎨ ⎬⎩ ⎭


{ }( , ) / 3 4r x y RxR y x= ∈ = −

วธทา

{ }( , ) / 3 4r x y RxR y x= ∈ = −

rD rR


……… 3 4y x= −

3 4y x= − ….. ภายในรากท2 ≥ 0

3 4 0

43

x

x

∴ − ≥

≥

4/3rD x R x⎧ ⎫∴ = ∈ ≥⎨ ⎬

⎩ ⎭

จดกลมตวแปรในรป...x=f(y)

…….. 3 4y x= −

2

2

2

3 44 3( 4)

3

y xy x

yx

= −

+ =

+∴ =

0y ≥

y R∈ 0y R y∈ ∩ ≥

0y ≥

{ }/ 0rR y R y∴ = ∈ ≥

24


{ }2( , ) / 9r x y RxR y x= ∈ = −

วธทา

{ }2( , ) / 9r x y RxR y x= ∈ = −

rD rR


………2 9y x= −

2 9y x= − ….. ภายในรากท2 ≥ 0

2 9 0

( 3)( 3) 03 3

xx x

x x

∴ − ≥− + ≥

≤ − ∪ ≥

{ }/ 3 3rD x R x x∴ = ∈ ≤ − ∪ ≥


……..2 9y x= −

2 2

2 2

2

99

9

y xy x

x y

= −

+ =

∴ = ± +

0y ≥

2

2

9 09

yy

+ ≥

≥ −

ซงเปนจรงเสมอไมวา y จะเปนจานวนใดๆ

0y R y∈ ∩ ≥

0y ≥

{ }/ 0rR y R y∴ = ∈ ≥

y R∈

25


{ }( , ) / 3 1r x y RxR y x= ∈ = + +

วธทา

{ }( , ) / 3 1r x y RxR y x= ∈ = + +

rD rR


……… 3 1y x= + +

3 1y x= + + ….. ภายในรากท2 ≥ 0

1 01

xx∴ + ≥

≥ −

{ }/ 1rD x R x∴ = ∈ ≥ −


…….. 3 1y x= + + 3 1y x− = +

2

2

( 3) 1( 3) 1

y xx y− = +

∴ = − −

3 03

yy

− ≥ ∴ ≥

แทนคา y เปนจานวนใดๆกได หาคา x ได เสมอ

3y R y∈ ∩ ≥

3y ≥

{ }/ 3rR y R y∴ = ∈ ≥

y R∈

26


{ }2( , ) / 16r x y RxR y x= ∈ = −

วธทา

{ }2( , ) / 16r x y RxR y x= ∈ = −

rD rR


………216y x= −

216y x= − ….. ภายในรากท2 ≥ 0

2

2

16 016 0

( 4)( 4) 04 4

xxx x

x

∴ − ≥

− ≤− + ≤

− ≤ ≤

{ }/ 4 4rD x R x∴ = ∈ − ≤ ≤


……..216y x= −

2 2

2 2

2

1616

16

y xx y

x y

= −

= −

∴ = ± −

0y ≥

4 4 0y y− ≤ ≤ ∩ ≥

0 4y≤ ≤

{ }/ 0 4rR y R y∴ = ∈ ≤ ≤

4 4y− ≤ ≤

216x y= ± − ….. ภายในรากท2 ≥ 0

2

2

16 016 0

( 4)( 4) 04 4

yyy y

y

∴ − ≥

− ≤− + ≤

∴− ≤ ≤

27


{ }2( , ) / 2 3r x y RxR y x x= ∈ = − −

วธทา

{ }2( , ) / 2 3r x y RxR y x x= ∈ = − −

rD rR


………2 2 3y x x= − −

…….2 2 3y x x= − −

แทนคา x เปนจานวนจรงใดๆกไดสามารถหาคา y ไดเสมอ

{ }rD x R∴ = ∈

x R∈


……..2 2 3y x x= − −

2

2

2

( 2 1) 3 1( 1) 44 ( 1)

4 1

4 1

y x xy xy x

y x

x y

= − + − −

= − −

+ = −

± + = −

∴ = ± + +

4 1x y= ± + + ….. ภายในรากท2 ≥ 0

4 04

yy

∴ + ≥ ≥ −

4y ≥ −

{ }/ 4rR y R y∴ = ∈ ≥ −

28

ขอสงเกต- ความสมพนธทมสมการอยในรปพหนามกาลง 2….. 2y ax bx c= + + ….โดยท a,b และ c เปนจานวนจรงใดๆและ 0a ≠ สามารถสรปคาตอบของโดเมนและเรนจของความสมพนธไดดงน

{ }rD x R= ∈

24/4r

ac bR y R ya

⎧ ⎫−= ∈ ≥⎨ ⎬

⎩ ⎭ เมอ 0a >

24/4r

ac bR y R ya

⎧ ⎫−= ∈ ≤⎨ ⎬

⎩ ⎭ เมอ 0a <

เชนจากตวอยางทแลว 2 2 3y x x= − − …… 1, 2, 3a b c= = − = −

{ }rD x R∴ = ∈ และเนองจาก 0a > ……..

2

2

44

4(1)( 3) ( 2)4(1)

12 44

4

ac bya

y

y

y

−≥

− − −≥

− −≥

≥ −

……….

{ }/ 4rR y R y∴ = ∈ ≥ −

29


{ }2 2( , ) / 2 1 0r x y RxR y xy x= ∈ − − + =

วธทา

{ }2 2( , ) / 2 1 0r x y RxR y xy x= ∈ − − + =

rD rR

จดกลมตวแปรในรป...y=f(x) 2 2

2

2

2 1 0(1 2 ) 1

11 2

y xy xy x x

xyx

− − + =

− = −−

∴ =−

…….2 1

1 2xy

x−

=−

เนองจาก 2 0y ≥ เสมอ

1 01 2

( 1)(1 2 ) 0 , 1 2 0( 1)(2 1) 0 , 2 11 11 ,2 2

xx

x x xx x x

x x

−∴ ≥

−− − ≥ − ≠− − ≤ ≠

≤ ≤ ≠

1/ 12rD x R x⎧ ⎫∴ = ∈ < ≤⎨ ⎬

⎩ ⎭

1 12

x< ≤ ตรวจสอบวา 1

2x = ไมไดจรง

โดยการแทนคา x ลงใน 2 2

2 2

2 2

2 1 01 12( ) 1 02 2

1 02

1 10...... ....2 2

y xy x

y y

y y

false x

− − + =

− − + =

− + =

= ≠

จดกลมตวแปรในรป...x=f(y) 2 2

2 2

2 2

2

2

2 1 01 21 (2 1)

12 1

y xy xy xy xy x y

yxy

− − + =

+ = +

+ = +

+∴ =

+

…….

2

2

12 1yxy

+=

+

เปน เศษสวน….ตวหาร≠ 0 2

2

2 1 01

2

y

y

+ ≠−

≠

ซง 2 2 102

y y −≥ ∴ ≠ จรงเสมอ

ไมวา y จะเปนจานวนใดๆ

y R∈

{ }rR y R∴ = ∈

30


{ }( , ) / 3 7r x y RxR y x= ∈ = − +

วธทา

{ }( , ) / 3 7r x y RxR y x= ∈ = − +

rD rR


3 7y x= − +

……. 3 7y x= − + แทนคา x เปนจานวนจรงใดๆกไดสามารถหาคา y ไดเสมอ

{ }rD x R∴ = ∈

x R∈

จดกลมตวแปรในรป...x=f(y) 3 7

3 7

y x

x y

= − +

∴ − = −

……. 3 7x y− = −

เพราะวาคา 3 0x − ≥ เสมอ

7 07

yy

∴ − ≥ ≥

{ }/ 7rR y R y∴ = ∈ ≥

7y ≥

31

แบบฝกหด 1. จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน

1.1) { }1 ( 1,2), (3,4), ( 5, 1), (4,0)r = − − − 1.2) { }2 (1,2), (2,1), (3,1), (4,1), (5,2)r = 1.3) { }3 ( , ) / 3r x y IxI y x= ∈ = − 1.4) { }2

4 ( , ) /r x y NxN y x= ∈ =

32

1.5) { }2 25 ( , ) / 4r x y IxI x y+= ∈ + =

2. กาหนด { }0,1,9A = , { }0,1,3B = และ { }2,7,10C = หาโดเมนและเรนจ

ของความสมพนธตอไปน

2.1) { }1 ( , ) / ,r x y x A y B and x y= ∈ ∈ > 2.2) { }2 ( , ) / , 5r x y x B y C and x y= ∈ ∈ + ≥

2.3) { }3 ( , ) / ,r x y x A y B and y x= ∈ ∈ =

33

2.4) { }24 ( , ) / ,r x y x C y A and y x= ∈ ∈ =

3. จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน

3.1) 2

12( , ) /1

xr x y RxR yx

+⎧ ⎫= ∈ =⎨ ⎬+⎩ ⎭

3.2) { }2 ( , ) / 1r x y RxR x y= ∈ + =

34

3.3) 3 2

1( , ) /9

r x y RxR yx

⎧ ⎫= ∈ =⎨ ⎬

−⎩ ⎭

3.4) 42 5( , ) / xr x y RxR y

x⎧ ⎫+⎪ ⎪= ∈ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

35

3.5) { }25 ( , ) / 3 8r x y RxR y x x= ∈ = + +

3.6) 6 2

1( , ) /2 3

r x y RxR yx x

⎧ ⎫= ∈ =⎨ ⎬− −⎩ ⎭

36

3.7) 73( , ) /3 4

r x y RxR yx

⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ =⎨ ⎬+ −⎪ ⎪⎩ ⎭

3.8) { }28 ( , ) / 4r x y RxR y x= ∈ = −

37

3.9) { }2 29 ( , ) / 2 2 1 0r x y RxR x y xy x= ∈ + − + + =

3.10) { }210 ( , ) / 4 5 2r x y RxR y x and x= ∈ = − − < <

38

3.11) { }2 211 ( , ) / 2 3r x y RxR y x x= ∈ = + −

3.12) 12 2

4( , ) / 2( 1) 4

r x y RxR yx

⎧ ⎫= ∈ = −⎨ ⎬− −⎩ ⎭

39

3.13) 2 2

13( 1) ( 2)( , ) / 1

25 16x yr x y RxR

⎧ ⎫− −= ∈ + =⎨ ⎬

⎩ ⎭

3.14) 2

14 2

1( , ) /1

xr x y RxR yx

⎧ ⎫−⎪ ⎪= ∈ =⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭

40

3.15) 15 2

3( , ) /2 1

xr x y RxR yx x

−⎧ ⎫= ∈ =⎨ ⎬− +⎩ ⎭

3.16) 162( , ) /

4r x y RxR y

x

⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ =⎨ ⎬−⎪ ⎪⎩ ⎭

41

5. ฟงกชน 5.1 ลกษณะของฟงกชน ฟงกชน คอ ความสมพนธทสมาชกในโดเมนแตละตวจบคกบสมาชกในเรนจของ

ความสมพนธเพยงตวเดยวเทานน ความสมพนธทเปนฟงกชนเราเขยนแทนความสมพนธนนวา f และเขยน ( )y f x= แทน ( , )x y f∈ และเรยก ( )f x วาคาของฟงกชน f ท x โดยอานวา “เอฟของเอกซ” หรอ “เอฟเอกซ”

{ }1 1 1 2 1 2( , ) / ( , ) ( , )f x y if x y f and x y f then y y= ∈ ∈ =

ตวอยางเชน 1. จงพจารณาวาความสมพนธใดตอไปนเปนฟงกชน

1.1) { }1 (1,2), (2,3), (3,4), (4,5)r =

วธทา พจารณาคอนดบ (x,y) ทกคอนดบในความสมพนธ 1r วามคอนดบใดทมสมาชกตวหนาซากนบาง -----ถาไมมคอนดบใดทมสมาชกตวหนาซากนเลย หรอ

-----ถามคอนดบทมสมาชกตวหนาซากนแลว สมาชกตวหลงตองเหมอนกนดวย

จะถอวาความสมพนธนนเปน f

1r∴ เปน f เพราะไมมสมาชกตวหนาซากนเลย

1.2) { }2 (1,2), (1,3), (3,4), (4,5)r =

วธทา 2r ไมเปน f เพราะวามคอนดบทมสมาชกตวหนาซากนแลวสมาชกตวหลงไมเหมอนกนคอ (1,2) กบ (1,3)

42

1.3) { }3 (1,2), (3,4), (4,5), (1,2)r =

วธทา 3r เปน f เพราะวามคอนดบทมสมาชกตวหนาซากนแลวสมาชกตวหลงเหมอนกนคอ (1,2) ขอสงเกต สามารถสรปเปนแผนภาพการพจารณาวาความสมพนธทมลกษณะแจกแจงเปนคอนดบ ความสมพนธใดเปนฟงกชนดงน

{ }( , )r x y=

มคอนดบทมสมาชกตวหนาซากนหรอไม

ไมซา

r f=

ซา

คอนดบนนสมาชกตวหลงเหมอนกนหรอไม

r f≠

ไมเหมอน

เหมอน

43

หรออาจพจารณาเปนตวอยางแผนภาพการจบคระหวาง x และ y ในความสมพนธตางๆไดดงน

-------------ไมเปน f เพราะ 3 จบคกบ a และ b

(คา x ซากนไมได)

------------ เปน f เพราะ คา x ไมซากน (คา y ซากนได)

5.2 การพจารณาความสมพนธในรปสมการ x และ y วาเปนฟงกชน จากลกษณะของฟงกชน คา x 1 คาตองจบคกบคา y เพยงคาเดยวเทานน เพราะฉะนนถาเรา

สามารถแทนคา x เทากบจานวนจรงใดๆในสมการระหวาง x และ y แลวใหคา y มากกวาตงแต 2 คาขนไป กจะสรปไดวาความสมพนธนนไมเปนฟงกชน โดยมขอสงเกตวาถาสมการระหวาง x

และ y นนสามารถจดกลมใหอยในรปของ y = (กลมของตวแปร x) ,2y = (กลม

ของตวแปร x) หรอ y = (กลมของตวแปร x) ได ความสมพนธนน จะไมเปนฟงกชน

เพราะวาเทอม y ,2y หรอ y สามารถแทนคา y ไดถง 2 คาคอคา y ทเปน + 1

คา และคา y ทเปน – อก 1 คา แลวใหคาออกมาเทาเดม แตถาสมการสามารถจดกลมใหอยในรป y = (กลมของตวแปร x) แลวความสมพนธ

ดงกลาวจะเปนฟงกชนเพราะคา x 1 คาสามารถหาคา y ได 1 คาเทานน

y = (กลมของตวแปร x) f

2, ,y y y = (กลมของตวแปร x) ไมใช f

3 5

a b c

3 5

a b c

(กาลงค)

(กาลงค)

(กาลงค)

44


1. พจารณาความสมพนธ { }2 2( , ) / 4r x y RxR x y= ∈ + = วาเปนฟงกชนหรอไม

วธทา ใหพจารณาทคา y วาให y ออกมามากกวาตงแต 2 คาหรอไม…… จากสมการ 2 2 4x y+ = มเทอม

2y ซงใหคา y ออกมา 2 คา

{ }2 2( , ) / 4r x y RxR x y∴ = ∈ + = ……………. ไมเปน f

2. พจารณาความสมพนธ { }2( , ) / ; 0r x y RxR x y y= ∈ = ≥ วาเปนฟงกชน

หรอไม

วธทา ใหพจารณาทคา y วาให y ออกมามากกวาตงแต 2 คาหรอไม…… จากสมการ 2; 0x y y= ≥ มเทอม

2y ซงจะใหคา y ออกมา 2 คาคอคา +และคา - แตเงอนไขทวา 0y ≥ ทาใหจากดคา y เปน + หรอ 0 ไดคาเดยว

{ }2( , ) / ; 0r x y RxR x y y∴ = ∈ = ≥ คา x 1 คา ใหคา y เพยงคาเดยว

เทานน………เปน f

3. พจารณาความสมพนธ { }2( , ) / 3 1r x y RxR y x= ∈ + = − วาเปนฟงกชน

หรอไม

วธทา ใหพจารณาทคา y วาให y ออกมามากกวาตงแต 2 คาหรอไม…… จากสมการ 23 1y x+ = − มเทอม 3y + ซงจะมคา y 2 คาทแทนลงใน 3y + แลวใหคา

ออกมาเทากน เชน ถาคา y=1 แทนคาลงใน 3 1 3 4y + = + =

คา y=‐7 แทนคาลงใน 3 7 3 4y + = − + =

{ }2( , ) / 3 1r x y RxR y x∴ = ∈ + = − …………… ไมเปน f

5.3 การใชกราฟมาพจารณาวาความสมพนธนนเปนฟงกชน ถาเราสามารถวาดกราฟของความสมพนธใดๆได เราสามารถทดสอบไดวาความสมพนธนน

เปน f หรอไม ไดโดยการวาดเสนตรงใดๆทขนานกบแกน ( , )y c c R= ∈ แลวถา

คา y 2คาใหคาออกมาเทากน

45

เสนตรงนนตดกราฟของความสมพนธมากกวาตงแต 2 จดขนไป แสดงวาความสมพนธนนไมเปน

f ตวอยาง เชน

1. พจารณากราฟของความสมพนธ { }2( , ) /r x y RxR y x∴ = ∈ =

2y x=

2. พจารณากราฟของความสมพนธ { }( , ) /r x y RxR y x∴ = ∈ =

3. พจารณากราฟของความสมพนธ { }2( , ) /r x y RxR y x∴ = ∈ =

•

•

1 1( , )x y

1 2( , )x y

y

x

เสนตรง y c= ตดกบกราฟของ

ความสมพนธ r 2 จด……ไมเปน f

y c=

y

x

y x=

•

•

1 1( , )x y

1 2( , )x y



y

x

y c=

• 1 1( , )x y

y c=


ความสมพนธ r เพยง 1 จด……เปน f

2y x=

46

4. พจารณากราฟของความสมพนธ { }2 2( , ) / 9r x y RxR x y∴ = ∈ + =

5.4 ฟงกชนจาก A ไป B

ฟงกชน f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ โดเมนของ f เทากบเซต A

และเรนจของ f เปนสบเซตของเซต B เขยนแทนดวย :f A B→

( : ) ( )f ff A B D A R B→ ↔ = ∧ ⊂

ตวอยาง เชน

1. กาหนด { } { }1,2,3,4 , , ,A B a b c= = ฟงกชน

{ }1 (1, ), (2, ), (3, ), (4, )f a a b c= ,

{ }2 (1, ), (2, ), (3, ), (4, )f a a a c= และ

{ }3 (1, ), (2, ), (4, )f a a c= เปนฟงกชนจาก A B→ หรอไม

วธทา

{ }1 (1, ), (2, ), (3, ), (4, )f a a b c=

1) 1f เปนฟงกชน หา 1fD และ 1fR จาก { }1 (1, ), (2, ), (3, ), (4, )f a a b c=

y

x

1 1( , )x y

y c=

2 2 9x y+ = •

• 1 2( , )x y



47

{ }1 1,2,3,4fD =

{ }1 , ,fR a b c=

2) จาก { }1,2,3,4A = และ { }1 1,2,3,4fD = 1fD A∴ =

และ { }, ,B a b c=

, { }1 , ,fR a b c=

1fR B∴ ⊂

3) 1 :f A B→

สามารถเขยนเปนแผนภาพไดดงน

A B

1f 1 :f A B→ 1fD A= 1fR B⊂

{ }2 (1, ), (2, ), (3, ), (4, )f a a a c=


1 2 3 4

a b c

48

A B

{ }{ }

2

2

1,2,3,4

,f

f

D

R a c

=

=

2

2

f

f

D A

R B

=

⊂

{ }3 (1, ), (2, ), (4, )f a a c=


1 2 3 4

a b c

2f

2 :f A B→

49

A B

{ }{ }

3

3

1,2,4

,f

f

D

R a c

=

=

3fD A≠

5.5 ฟงกชนจาก A ไปทวถง B

ฟงกชน f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ โดเมนของ f เทากบเซต A

และเรนจของ f เทากบเซต B เขยนแทนดวย : ontof A B⎯⎯⎯→

( : ) ( )onto

f ff A B D A R B⎯⎯⎯→ ↔ = ∧ =


1. กาหนด { } { }, , , , 1,2,3A a b c d B= = ฟงกชน

{ }1 ( ,1), ( , 2), ( ,3), ( ,1)f a b c d= ,

{ }2 ( ,1), ( ,1), ( ,1), ( ,1)f a b c d= และ

{ }3 ( ,1), ( , 2), ( ,3)f a b d= เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B หรอไม

1 2 3 4

a b c

3f

3f ไมเปนฟงกชนจาก A ไป B

50

วธทา

{ }1 ( ,1), ( , 2), ( ,3), ( ,1)f a b c d=


A B

1

1

f

f

D A

R B

=

=

1 : ontof A B⎯⎯⎯→

{ }2 ( ,1), ( ,1), ( ,1), ( ,1)f a b c d=


a b c d

1 2 3

1f { }{ }

1

1

, , ,

1, 2,3f

f

D a b c d

R

=

=

51

A B

{ }{ }

2

2

, , ,

1f

f

D a b c d

R

=

=

2

2

f

f

D A

R B

=

≠

{ }3 ( ,1), ( , 2), ( ,3)f a b d=


a b c d

1 2 3

2f

2f ไมเปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B

52

A B

{ }{ }

3

3

, ,

1,2,3f

f

D a b d

R

=

=

3fD A≠

5.6 ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B

ฟงกชน f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป

B โดยทถา 1 1( , )x y f∈ และ 2 1( , )x y f∈ แลว 1 2x x= เขยนแทน

ดวย 1:1:f A B⎯⎯→

[ ]1:11 2 1 2( : ) ( : ) [( ) ( )]f A B f A B y y x x⎯⎯→ ↔ → ∧ = → =


1. กาหนด { } { }, , , , 1,2,3,4A a b c d B= = ฟงกชน

{ }1 ( ,1), ( ,3), ( , 2), ( , 4)f a b c d= ,

{ }2 ( ,1), ( ,1), ( , 2), ( , 4)f a b c d= และ

{ }3 ( ,1), ( , 2), ( ,3)f a b d= เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B หรอไม

a b c d

1 2 3

3f

3f ไมเปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B

53

วธทา

{ }1 ( ,1), ( ,3), ( , 2), ( , 4)f a b c d=


A B

{ }2 ( ,1), ( ,1), ( , 2), ( , 4)f a b c d=


1 2 3 4

a b c d

1f 1 :f A B→

1f ไมมการจบคทสมาชกตวหลงซากน

1:11 :f A B⎯⎯→

54

A B

{ }3 ( ,1), ( , 2), ( ,3)f a b d=


A B

1 2 3 4

a b c d

2f 2 :f A B→

2f มการจบคทสมาชกตวหลงซากนคอ (a,1) กบ (b,1)

ไมเปน 1:1

2 :f A B⎯⎯→

1 2 3 4

a b c d

3f ไมเปน 3 :f A B→

เพราะ 3fD A≠

ไมเปน 1:1

3 :f A B⎯⎯→

55

5.7 ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B

ฟงกชน f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนหนง

ตอหนงจาก A ไป B และ f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B เขยนแทนดวย 1:1: ontof A B⎯⎯⎯→

1:1 1:1( : ) ( : ) ( : )onto

ontof A B f A B f A B⎡ ⎤⎯⎯⎯→ ↔ ⎯⎯→ ∧ ⎯⎯⎯→⎣ ⎦


1. กาหนด { } { }, , , , , 1,2,3,4,5A a b c d e B= = ฟงกชน

{ }( ,1), ( ,3), ( , 2), ( , 4), ( ,5)f a b c d e= เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B หรอไม

วธทา


A B

1 2 3 4 5

a b c d e

f

1:1:f A B⎯⎯→ เพราะ ไมมสมาชกตวหลงซากน

1:12 : ontof A B⎯⎯⎯→

: ontof A B⎯⎯⎯→

เพราะ fR B=

56

2. กาหนด { } { }, , , , 1,2,3,4,5A a b c d B= = ฟงกชน

{ }( ,1), ( , 2), ( ,3), ( ,5)f a b c d= เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B หรอไม

วธทา


A B

สามารถสรปความสมพนธของฟงกชนชนดตางๆ เปนแผนภาพของเซตไดดงน

1 2 3 4 5

a b c d

f

1:1:f A B⎯⎯→ เพราะ ไมมสมาชกตวหลงซากน

ไมเปน 1:1: ontof A B⎯⎯⎯→

ไมเปน : ontof A B⎯⎯⎯→

เพราะ fR B≠

M=เซตของ :f A B⎯⎯→

N=เซตของ 1:1:f A B⎯⎯→

Q=เซตของ : ontof A B⎯⎯⎯→

=เซตของความสมพนธทเปนฟงกชน

P=เซตของฟงกชนทไมใชฟงกชนจาก Aไป B

S=เซตของ 1:1: ontof A B⎯⎯⎯→ M

N Q

S

P

57

ตอไปนเปนตวอยางเกยวกบความสมพนธทเปนฟงกชน และฟงกชนในรปแบบตางๆดงน

ตวอยางท 1 ความสมพนธตอไปนเปน :f R R⎯⎯→ หรอไม ถาใชเปนฟงกชนประเภทใดบาง

1.1) { }31 ( , ) /r x y y x= =

1.2) { }22 ( , ) / 1r x y y x= = −

1.3) 31( , ) /8

xr x y yx

−⎧ ⎫= =⎨ ⎬+⎩ ⎭

1.4) { }4 ( , ) / 1 1r x y y x x= = + − −

1.5) { }5 ( , ) /r x y x y x y= + ≥ +

วธทา 1.1)

1r f=

เพราะวาสามารถเขยนใหอยในรป y = (กลมของตวแปร x)

1 1,r rD R R R= =

3y x= , สามารถแทนคา x เปนจานวนใดๆกได

1rx R D R∈ →∴ =

13x y= , สามารถแทนคา y เปนจานวนใดๆกได

1ry R R R∈ →∴ =

1r เปน :f R R→

เพราะวา 1 1r rD R R R= ∧ ⊂

1r เปน : ontof R R⎯⎯⎯→ 1r เปน 1:1:f R R⎯⎯→ 1r เปน 1:1: ontof R R⎯⎯⎯→

เพราะวา 1rR R= เพราะวาสามารถเขยนสมการใหอยในรป

x=(กลมของตวแปร y) คอ 13x y= ได

{ }31 ( , ) /r x y y x= =

เพราะวา 1r เปนทง : ontof R R⎯⎯⎯→

และ 1r เปน 1:1:f R R⎯⎯→

58

1.2)

1.3)

2r f=

[ ] [ ]2 21,1 , 0,1r rD R= − =

หา 2rD ; 21y x= − , ในรากหามตดลบ

[ ]

2 2

2

1 0 ; 1 0 ; ( 1)( 1) 0 ;1 1 1,1r

x x x xx D

∴ − ≥ − ≤ − + ≤

− ≤ ≤ → ∴ = −

หา 2rR ; 21 ; 0y x y= − ≥

[ ]

2 2 2 2 2

2

2

1 ; 1 ; 1

1 0 0 0 10,1r

y x x y x y

y y yR

= − = − = ± −

− ≥ ∧ ≥ → ≤ ≤

∴ =

2r ไมเปน :f R R→

เพราะวา 2rD R≠

{ }22 ( , ) / 1r x y y x= = −

3r f=


{ } { }3 38 , 1r rD R R R= − − = −

หา 2rD ; 18

xyx

−=

+, ตวสวนหาม=0

{ }3

8 0 ; 88r

x xD R

∴ + ≠ ≠ −

∴ = − −

หา 3rR ; จดรป x = (กลมของตวแปร y)

{ }3

1 ; ( 8) ( 1) ; 8 1;8

8 18 1; (1 ) 8 1;1

1 0 ; 1 1r

xy y x x yx y xx

yx yx y x y y xy

y y R R

−= + = − + = −

++

− = + − = + =−

− ≠ ≠ →∴ = −

3r ไมเปน :f R R→

เพราะวา 3rD R≠

31( , ) /8

xr x y yx

−⎧ ⎫= =⎨ ⎬+⎩ ⎭


59

1.4) –พจารณาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

-จดกลมตวแปรในรป..y=f(x) …… 1 1y x x= + − − -จากสมการสามารถแทนคา x เปนจานวนใดๆกไดแลวสามารถหาคา y ไดเสมอ x R∴ ∈

{ }4 ( , ) / 1 1r x y y x x= = + − −

rD rR

-จากสมการไมสามารถจดกลมตวแปรในรป...x=f(y) ได -ใหท าการถอดค าสมบรณออกกอน โดยการกาหนด ชวงของคา x แลวคอยจดกลมตวแปรในรป...x=f(y)

{ }4rD x R∴ = ∈

-จากสมการ… 1 1y x x= + − − … คาวกฤตของคา x ม 2 คาคอ -1 และ 1 จากการจบ 1 0x + = และ 1 0x − =

แกสมการหาคา x = -1,1 -แบงคา x เปน 3 ชวง ดงน

• • 1−

1 2 3

1x < − 1 1x− ≤ < 1x ≥

1 1( 1) ( ( 1))

1 12

y x xy x xy x x

y

= + − −

= − + − − −= − − + −

∴ = −

∵ 1 1( 1) ( ( 1))

1 1

2 ........2

1 1 1 12

2 2

y x xy x xy x x

yy x x

yx

y

= + − −

= + − − −= + + −

∴ = =

− ≤ < →∴− ≤ <

∴− ≤ <

∵

∵

1

1 1( 1) ( 1)

1 12

y x xy x xy x x

y

= + − −

= + − −= + − +

∴ =

∵

{ }4 / 2 2rR y R y∴ = ∈ − ≤ ≤

60

• พจารณาวาเปนฟงกชนอะไรบาง

4r f=


{ }4 ( , ) / 1 1r x y y x x= = + − −

[ ]4 4, 2,2r rD R R= = −

4r เปน :f R R→

เพราะวา 4 4r rD R R R= ∧ ⊂

4r ไมเปน : ontof R R⎯⎯⎯→ 4r ไมเปน 1:1:f R R⎯⎯→ 4r ไมเปน 1:1: ontof R R⎯⎯⎯→

เพราะวา 4rR R≠ เพราะวาสามารถหาคา x อยางนอย 2 คา แทนในสมการ 1 1y x x= + − − แลว

ไดคา y เทากน เชน ท x=-3 แทนคาได y=-2 และท x=-2 กแทนคาได y=-2 เชนกน

เพราะวา 4r ไมเปน : ontof R R⎯⎯⎯→

61

1.5) พจารณาวา { }5 ( , ) /r x y x y x y= + ≥ + เปนฟงกชนหรอไม

• โดยการหาคา x จานวน 1 คา แทนลงไปในสมการ แลวไดคา y ออกมาอยางนอย 2 คาจะทาใหความสมพนธนนไมเปนฟงกชน เชนท x=2 , y=1 และท x=2 , y=2 แทนลง

ในสมการ x y x y+ ≥ + ทาใหสมการเปนจรงทงค

5...r not function∴

5.8 การหาคาของฟงกชน

ในกรณท f เปนฟงกชนเราสามารถแทน ( , )x y f∈ ดวย ( )y f x= การหา

คาของฟงกชนเปนการหาคาของ ( )f x ท x เปนคาใดๆนนเอง


1. ให { }(1, 2), (3, 4), (2,7), (8,5)f = จงหาคาของ 1.1) (3)f 1.2) (8)f 1.3) ( (1))f f 1.4) (4)f 1.5) ถา ( ) 5f x = จงหาคา x

วธทา

1.1) (3) ?f = …….พจารณาคอนดบของฟงกชน f ทมคา x=3……..(3,4) (3) 4f∴ =

.... 2, 1

2 1 2 1

3 33 3..........

at x yx y x y

true

= =

+ ≥ +

+ ≥ +

≥

≥

..... 2, 2

2 2 2 2

4 44 4..........

at x yx y x y

true

= =

+ ≥ +

+ ≥ +

≥

≥

62

1.2) (8) ?f = …….พจารณาคอนดบของฟงกชน f ทมคา x=8……..(8,5) (8) 5f∴ =

1.3) ( (1)) ?f f = ………หาคาของ (1)f กอน ได (1) 2f =

( (1)) (2) 7f f f∴ = = 1.4) (4) ?f = ………..เนองจากคอนดบของฟงกชน f ไมมคอนดบใดทมคา x=4

(4)f∴ หาคาไมได 1.5) ( ) 5f x =∵ ………พจารณาคอนดบทมคา y=5 ซงกคอคอนดบ (8,5)

8x∴ = 2. ให ( ) 3 1f x x= − จงหาคาของ 2.1) (2)f 2.2) 2( 1)f x −

วธทา

2.1) (2) ?f = ………ทาการแทนคา x=2

( ) 3 1(2) 3(2) 1(2) 6 1

(2) 5

f x xff

f

= −= −= −

∴ =

2.2) 2( 1) ?f x − = ……….ทาการแทนคา x ดวย

2( 1)x −

2 2

2 2

2 2

( ) 3 1( 1) 3( 1) 1( 1) 3 3 1

( 1) 3 4

f x xf x xf x x

f x x

= −

− = − −

− = − −

∴ − = −

63

3. กาหนดให (3 4) 4 3f x x− = + จงหาคาของ (8), (2)f f

วธทา

3.1) (8) ?f = ……….หาคา x ทแทนใน 3x-4 แลวทาใหมคาเทากบ 8

3 4 83 12

4

xxx

− ==

∴ =

…….แทนคา x=4 ลงใน (3 4) 4 3f x x− = +

(3 4) 4 3(3(4) 4) 4(4) 3(8) 16 3

(8) 19

f x xff

f

− = +− = +

= +∴ =

3.2) (2) ?f = ……….หาคา x ทแทนใน 3x-4 แลวทาใหมคาเทากบ 2 3 4 23 6

2

xxx

− ==

∴ =

…….แทนคา x=2 ลงใน (3 4) 4 3f x x− = +

(3 4) 4 3(3(2) 4) 4(2) 3(2) 8 3

(2) 11

f x xff

f

− = +− = +

= +∴ =

64

แบบฝกหด 1. ความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม

1.1) { }1 (2,0), (3,1), (7,6)r = 1.2) { }2 (2, 4), (2,6), (5,6), (9,6)r = 1.3) { }3 (3, 2), (3, 4), (3,5)r = 1.4) { }4 (0, 4), ( 3,5), (1,8)r = − 2. พจารณาความเปนฟงกชนจากความสมพนธตอไปน

2.1) { }1 ( , ) / 3 9r x y RxR y x= ∈ = + 2.2) { }2

2 ( , ) /r x y RxR y x= ∈ =

65

2.3) { }23 ( , ) /r x y RxR x y= ∈ =

2.4) { }2

4 ( , ) / , 0r x y RxR x y y= ∈ = ≤ 2.5) { }2 2

5 ( , ) / 4r x y RxR x y= ∈ + = 2.6) { }2 2

6 ( , ) / 4,0 2r x y RxR x y y= ∈ + = ≤ ≤ 2.7) { }2 2

7 ( , ) / 4,0 2 0 2r x y RxR x y x and y= ∈ + = ≤ ≤ ≤ ≤ 2.8) { }2

8 ( , ) / 2 8r x y RxR y x x= ∈ = − − 2.9) { }2

9 ( , ) / 2 8r x y RxR x y y= ∈ = − −

66

2.10) { }210 ( , ) / 2 8, 1r x y RxR x y y y= ∈ = − − ≥

3. กราฟจากความสมพนธดงตอไปนความสมพนธใดเปนฟงกชน 3.1) 3.2) 3.3)

y

x

y

x

y

x

67

3.4) 3.5) 3.6) 3.7)

y

x

y

x

y

x

y

x

68

3.8) 3.9) 3.10)

4. กาหนด { }1, 2A = และ { }3, 4B = จงหา

4.1) ฟงกชนจาก A ไป B ไดแก

y

x

y

x

y

x

69

4.2) ฟงกชนจาก B ไป A ไดแก

5. กาหนด { }1, 2,3A = และ { },B a b= จงหา 5.1) ฟงกชนจาก A ไป B ไดแก 5.2) ฟงกชนจาก B ไป A ไดแก

6. กาหนด { }1, 2,3A = และ { }, ,B a b c= จงหา 6.1) ฟงกชน 1-1 จาก A ไป B ไดแก 6.2) ฟงกชน 1-1 จาก B ไป A ไดแก

70

6.3) ฟงกชนจาก A ไปทวถง B ไดแก

7. ให { }2,6,9A = และ { }4,0,1,7B = − บอกชนดของฟงกชนตอไปน

7.1) { }1( ) (2, 4), (6,1), (2,1)f x = − 7.2) { }2 ( ) ( 4,2), (0, 2), (1,2), (7, 2)f x = − 7.3) { }3 ( ) ( 4,0), (0,0), (1,7), (7,7)f x = − 7.4) { }4 ( ) ( 4, 2), (0,6), (1,6), (7,9)f x = − 7.5) { }5 ( ) (2,0), (6,1), (9, 4)f x = − 8. จงพจารณาหาฟงกชน 1-1 จากกราฟตอไปน 8.1)

y

x

71

8.2) 8.3) 8.4) 8.5)

y

x

y

x

y

x

y

x

72

8.6) 9. จงพจารณาวาฟงกชนทกาหนดใหตอไปน ฟงกชนใดเปนฟงกชน 1-1 9.1) ( ) 3 2f x x= + 9.2) 2( ) 7f x x= − 9.3) ( ) 4 5f x x= + 9.4) ( ) 7f x x= − 9.5) 2( ) 14 50f x x x= − +

y

x

73

10. กาหนด ( ) 3 2f x x= − และ 2 2x− ≤ ≤ จงหา fR 11. กาหนด 2( ) 1f x x= + และ 4 2x− ≤ ≤ จงหา fR 12. กาหนด 2( ) 2 8f x x x= − − และ 2 2x− ≤ ≤ จงหา fR

13. กาหนดให 2( ) 2 5 2f x x x= − + เมอ 2 2x− ≤ ≤ จงหา 13.1) (0)f 13.2) ( 1)f − 13.3) (1)f 13.4) ( 2)f −

74

13.5) ( 3)f − 13.6) (3)f

14. กาหนด

2( )

2f x x −

=

จงหา

14.1) ( 2)f − 14.2) (0)f 14.3) (1)f 14.4) ( 3)f 14.5) (2)f 14.6) (3)f

เมอ 0x <

เมอ0 2x≤ ≤

เมอ 2x >

75

15. กาหนด { }2( , ) / 4 5f x y RxR y x x= ∈ = − + จงหา fD และ fR

16. กาหนด 1( , ) /

2f x y RxR y

x⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ =⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭

จงหา fD และ fR

76

6. กราฟของความสมพนธและฟงกชน

ในระบบแกนมมฉากเราสามารถกาหนดจดพกด (x,y) แทนคอนดบของจานวนจรงของ ความสมพนธ r ใดๆได และจากการกาหนดพกดแทนคอนดบนเอง เราจะไดกราฟของความสมพนธ r ซงจากกราฟนเองทาใหเราสามารถระบโดเมนและเรนจของความสมพนธได แทนการพจารณาโดเมนและเรนจจากสมการของตวแปร x และ y รวมทงการพจารณาวาความสมพนธใดเปนฟงกชน และฟงกชนใดเปนฟงกชน 1-1 บาง เปนตน

ให R เปนเซตของจานวนจรง และ r RxR⊂ กราฟของความสมพนธ r

คอ เซตของจดบนระนาบ โดยทแตละจดแทนสมาชกของความสมพนธ r

อาจสรปประเภทของกราฟไดดงแผนภาพตอไปน

กราฟของความสมพนธและฟงกชน

กราฟของจด

กราฟเสนตรง

กราฟพาราโบลา

กราฟวงกลม กราฟฟงกชนเอกโปเนนเชยล

กราฟฟงกชนคาบนได

กราฟฟงกชนกาลงสอง

กราฟฟงกชนเชงเสน

กราฟฟงกชนคาสมบรณ

กราฟของอสมการ

77

6.1 กราฟของจด เปนกราฟของความสมพนธหรอฟงกชนทประกอบไปดวยจดทไมมความตอเนองกนเปนเสน


1. จงเขยนกราฟของความสมพนธ { }(0, 2), ( 1, 1), (3,1), (2, 2)r = − −

2. จงเขยนกราฟของความสมพนธ { }( , ) / 4r x y AxA x y= ∈ + = โดยท { }0,1, 2,3, 4A =

วธทา แจกแจงสมาชกของ r ไดดงน { }(0,4), (1,3), (2, 2), (3,1), (4,0)r =

1 2 3 1−

1−

1

2 •

•

•

•(2,2)

(3,1)

( 1, 1)− −

(0,2)

y

x

y

x 1 2 3 4

1

2

3

4

0

•

•

•

•

•

(0,4)

(1,3)

(2,2)

(3,1)

(4,0)

78

6.2 กราฟเสนตรง ความสมพนธทสมการ x และ y มกาลงเปน 1 และมรปแบบของสมการอยในรป y mx c= + โดยท m เปนคาความชนหรอความลาดเอยงของกราฟเสนตรง และ c คอระยะตดแกน y ตวอยางเชน กราฟของสมการ y=2x+1 จะเปนกราฟเสนตรงทมความลาดเอยงของกราฟเทากบ 2 และมระยะตดแกน y เปน 1 ซงสามารถวาดเปนกราฟไดดงน ถาความลาดเอยงของกราฟเปน + จะไดกราฟเสนตรงทเอยงทามมแหลมกบแกน x แตถาความลาดเอยงเปน – จะไดกราฟเสนตรงทเอยงทามมปานกบแกน x และถาความลาดเอยงมคาเปน 0 กราฟจะเปนเสนตรงทวางตวตามแนวนอน สวนกราฟเสนตรงททามมฉากกบแกน x คาความชนของกราฟจะหาคาไมได โดยอาจสรปลกษณะความลาดเอยงของกราฟไดดงน

y

x 1 2 3

1

2

3

•(0,1)

y

x

y

x

y

x

y

x

ความลาดเอยงเปน + ความลาดเอยงเปน -

ความลาดเอยงเปน 0 ความลาดเอยงหาคาไมได

79

ตวอยางท 1 จงวาดกราฟของความสมพนธ { }( , ) / 3 1r x y y x= = + วธทา จากสมการ y=3x+1 เมอเทยบกบรปแบบสมการ y=mx+c จะไดคาความชนหรอความลาดเอยงเทากบ 3 และระยะตดแกน y เทากบ 1 เพราะฉะนนจะไดวากราฟผานจด (0,1) ในการวาดกราฟเสนตรงตองทราบจด 2 จด จดท 1 คอ (0,1) ซงเปนจดตดแกน y ทาการหาจดท 2 โดยการแทนคา y=0 แลวหาคา x จากสมการ y=3x+1

และ

ตวอยางท 2 จงวาดกราฟของความสมพนธ { }( , ) / 3 4 2r x y x y= + =

วธทา หาจดตดแกน x และ y โดย 1) จดตดแกน x หาไดโดยแทนคา y=0 แลวหาคา x

3 4 23 4(0) 23 2

23

x yxx

x

+ =+ ==

∴ =

จดตดแกน x เปน1( ,0)

3−

จดตดแกน y เปน (0,1)

y

x •

•

1( ,0)3−

(0,1)

จดตดแกน x เปน2( ,0)3

3 13(0) 1

1

y xy

y

= += +

∴ =

3 10 3 13 1

13

y xx

x

x

= += += −

−⎛ ⎞∴ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

80

2) จดตดแกน y หาไดโดยแทนคา x=0 แลวหาคา y

3 4 23(0) 4 24 2

12

x yy

y

x

+ =+ =

=

∴ =

3) สามารถวาดกราฟไดดงน

6.3 กราฟพาราโบลา ความสมพนธทมสมการ x,y อยในรปกาลงสอง โดยมรปแบบอยในรป 2y ax bx c= + +

หรอ 2x ay by c= + + โดยท a,b และ c คอคาคงททเปนจานวนจรงใดๆ โดยแบงประเภทและชนดของพาราโบลาไดดงน

ถา a >0 เปนกราฟพาราโบลาหงาย 2y ax bx c= + +

ถา a <0 เปนกราฟพาราโบลาควา

จดตดแกน y เปน1(0, )2

y

x •

•2( ,0)3

1(0, )2

81

ถา a >0 เปนกราฟพาราโบลาตะแคงขวา

2x ay by c= + +

ถา a <0 เปนกราฟพาราโบลาตะแคงซาย

จากกราฟ 2y ax bx c= + + พาราโบลาจะมจดยอดท

จากกราฟ 2x ay by c= + + พาราโบลาจะมจดยอดท24( , )

4 2ac b b

a a− −

y

x

y

x

2y ax bx c= + +

0a < 0a >

y

x

y

x

2x ay by c= + +

0a <

0a >

24( , )2 4b ac ba a

− −

82

ตวอยางท 1 จงวาดกราฟของความสมพนธ 23 5 10y x x= + + วธทา หาคา a ,b และ c จากการเทยบสมการ 23 5 10y x x= + + กบ 2y ax bx c= + +

จะไดคา 3, 5, 10a b c= = = พจารณาทคา a=3 มคาเปนบวก และกาลง 2 อยท x กราฟจะ

เปนพาราโบลาหงาย มจดยอดอยท 24( , )

2 4b ac ba a

− −=

25 4(3)(10) 5( , )2(3) 4(3)

5 120 25( , )6 125 95( , )

6 12

− −=

− −=

−=

ตวอยางท 2 จงวาดกราฟของความสมพนธ 23 5 10x y y= + + วธทา จากสมการเทยบส.ป.ส.หาคา a,b,c ได a=3,b=5,c=10 คา a เปนบวกและกาลง

สองอยท y จะไดกราฟพาราโบลาตะแคงขวา มจดยอดอยท 5 95( , )6 12

− เหมอนตวอยางทแลว

เพราะคา a,b,c เหมอนกน

y

x

•

5 95( , )6 12−

y

x

•

5 95( , )6 12−

83

ตวอยางท 3 จงวาดกราฟของความสมพนธ 23 8 10x y y= − + + วธทา จากสมการเทยบส.ป.ส.หาคา a,b,c ได a=-3,b=8,c=10 คา a เปนลบและกาลงสองอยท y จะไดกราฟพาราโบลาตะแคงซาย มจดยอดอยท

2

2

4( , )4 2

4( 3)(10) 8 8( , )4( 3) 2( 3)

120 64 8( , )12 6

184 4( , )12 346 4( , )3 3

ac b ba a− −

=

− − −=

− −− − −

=− −

=

=

ตวอยางท 4 จงวาดกราฟของความสมพนธ 2 8 10y x x= − + + วธทา จากสมการเทยบส.ป.ส. หาคา a,b,c ได a=-1 , b=8 และ c=10 คา a เปนลบและ

กาลงสองอยท x จะไดกราฟพาราโบลาควา มจดยอดอยท 24( , )

2 4b ac ba a

− −=

28 4( 1)(10) 8( , )2( 1) 4( 1)

40 64(4, )4

104(4, )4

(4,26)

− − −=

− −− −

=−

−=

−=

y

x

•46 4( , )3 3

84

6.4 กราฟของวงกลม ความสมพนธทมสมการทวไปอยในรป 2 2 2( ) ( )x h y k r− + − = โดยท ( , )h k คอจด

ศนยกลางของวงกลม และ r คอรศมของวงกลม

ตวอยางท 1 จงวาดกราฟของความสมพนธ 2 2( 3) ( 1) 9x y− + − =

วธทา จดสมการใหอยในรปแบบ 2 2 2( ) ( )x h y k r− + − = ได 2 2 2( 3) ( 1) 3x y− + − = เทยบคา h,k และ r ไดคา h=3,k=1 และ r=3 ไดกราฟวงกลมทมจดศนยกลางท (3,1) และมรศมเทากบ 3 สามารถวาดกราฟไดดงน

y

x

(4,26)

x

( , )h k

•

• r

y

• 3r =

y

x

(3,1)

85

ตวอยางท 2 จงวาดกราฟของความสมพนธ 2 2( 2) ( 1) 4x y− + + =

วธทา จดสมการใหอยในรปทวไป คอ 2 2 2( 2) ( 1) 2x y− + + = จะไดคา h=2,k=-1 และ r=2 สามารถวาดกราฟไดดงน

6.4 กราฟของอสมการ เมอเราเรยนรกราฟเสนตรง กราฟพาราโบลา และกราฟวงกลม แลว กราฟของอสมการกจะ

กลาวถงกราฟอสมการของกราฟเสนตรง พาราโบลา และวงกลม ดงจะยกตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 จงเขยนกราฟของ 3 4y x≤ + วธทา วาดกราฟของ 3 4y x= + กอน ซงเปนกราฟเสนตรง แลวเลอกคา y ทนอยกวาหรอเทากบเสนกราฟ ดงรป

y

x

(2, 1)− •

2r =

y

x

3 4y x≤ +

86

ตวอยางท 2 จงเขยนกราฟของ 3 4y x> +

วธทา วาดกราฟของ 3 4y x= + กอน แลวเลอกคา y ทมากกวาเสนกราฟ ดงรป

ตวอยางท 3 จงเขยนกราฟของ 2 2 1y x x> + +

วธทา วาดกราฟของ 2 2 1y x x= + + กอน ซงเปนกราฟพาราโบลาแลวเลอกคา y ทมากกวาเสนกราฟ ดงรป

ตวอยางท 4 จงเขยนกราฟของ 2 2 1x y+ >

วธทา วาดกราฟของ 2 2 1x y+ = กอน ซงเปนกราฟวงกลมแลวเลอกพนทของกราฟอยในชวงนอกวงกลม ดงรป

x

3 4y x> +

y

y

x

2 2 1y x x> + +

87

7. พชคณตของฟงกชน คอการดาเนนการของฟงกชน เชน การนาฟงกชนมาบก ลบ คณ หรอหารกน โดยมลกษณะ

ดงน

กาหนดให f และ g เปนฟงกชน 1) การนาฟงกชนมาบวกกน-ฟงกชน f บวกฟงกชน g เขยนแทนดวย f+g โดยม

ความหมายดงน

( )( ) ( ) ( ) f g f gf g x f x g x D D D++ = + ⇒ = ∩

2) การนาฟงกชนมาลบกน-ฟงกชน f ลบฟงกชน g เขยนแทนดวย f-g โดยมความหมายดงน

( )( ) ( ) ( ) f g f gf g x f x g x D D D+− = − ⇒ = ∩

3) การนาฟงกชนมาคณกน-ฟงกชน f คณฟงกชน g เขยนแทนดวย f g⋅ โดยมความหมายดงน

( )( ) ( ) ( ) f g f gf g x f x g x D D D+⋅ = ⋅ ⇒ = ∩

y

x

2 2 1x y+ >

88

4) การนาฟงกชนมาหารกน-ฟงกชน f หารฟงกชน g เขยนแทนดวย fg โดยมความหมาย

ดงน

( )( )( ) , ( ) 0 ( ) { | ( ) 0}( ) f g f g

f f xx g x D D D x g xg g x += ≠ ⇒ = ∩ − =


1. ถา 2( ) 3 2 1f x x x= − + และ ( ) 2 1g x x= −

จงหา ( )( ) , ( )( ) , ( )( )f g x f g x f g x+ − ⋅ และ ( )f xg

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

วธทา

1) หา ( )( )f g x+

จาก ( )( ) ( ) ( ) , f g f gf g x f x g x D D D++ = + = ∩

2

2

2

( )( ) (3 2 1) (2 1) ,

( )( ) 3 2 1 2 1 ,

( )( ) 3 ,

f g

f g

f g x x x x D R R

f g x x x x D R

f g x x x R

+

+

+ = − + + − = ∩

+ = − + + − =

+ = ∈

2) หา ( )( )f g x−

จาก ( )( ) ( ) ( ) , f g f gf g x f x g x D D D−− = − = ∩

2

2

2

( )( ) (3 2 1) (2 1) ,

( )( ) 3 2 1 2 1 ,

( )( ) 3 2 ,

f g

f g

f g x x x x D R R

f g x x x x D R

f g x x x x R

−

−

− = − + − − = ∩

− = − + − + =

− = − 4 + ∈

89

3) หา ( )( )f g x⋅

จาก ( )( ) ( ) ( ) , f g f gf g x f x g x D D D⋅⋅ = ⋅ = ∩

2

2 2

( )( ) (3 2 1)(2 1) ,

( )( ) (3 2 1)(2 ) (3 2 1) ,f g

f g

f g x x x x D R R

f g x x x x x x D R⋅

⋅

⋅ = − + − = ∩

⋅ = − + − − + =

3 2 2

3 2

( )( ) (6 2 ) (3 2 1) ,

( )( ) 6 7 4 1 ,f gf g x x x x x x D R

f g x x x x x R⋅⋅ = − 4 + − − + =

⋅ = − + − ∈

4) หา ( )( )f xg

จาก ( )( )( ) , ( ) { | ( ) 0}( ) f f g

g

f f xx D D D x g xg g x

= = ∩ − =

2

2

2

3 2 1 1( )( ) , ( ) { | }2 1 2

3 2 1 1( )( ) , { | }2 1 2

3 2 1 1( )( ) ,2 1 2

fg

f g

f x xx D R R x xg x

f x xx D R x xg xf x xx xg x

+

− += = ∩ − =

−

− += = − =

−

− += ≠

−

2. ถา 2( ) 3 2 1f x x x= − + โดยท 3 3x− ≤ ≤ และ

( ) 2 1g x x= − โดยท 0 5x≤ ≤ จงหา ( )( )f g x+ และ ( )( )f xg

วธทา

1) หา ( )( )f g x+

จาก ( )( ) ( ) ( ) , f g f gf g x f x g x D D D++ = + = ∩

2

2

2

( )( ) (3 2 1) (2 1) , [3, 3] [0,5]

( )( ) 3 2 1 2 1 , [0,3]

( )( ) 3 , 3

f g

f g

f g x x x x D

f g x x x x D

f g x x x

+

+

+ = − + + − = − ∩

+ = − + + − =

+ = 0 ≤ ≤

90

2) หา ( )( )f xg

จาก ( )( )( ) , ( ) { | ( ) 0}( ) f f g

g

f f xx D D D x g xg g x

= = ∩ − =

2

2

2

2

3 2 1 1( )( ) , ([ 3,3] [0,5]) { | }2 1 2

3 2 1 1( )( ) , [0,3] { | }2 1 2

3 2 1 1 1( )( ) , [0, ) ( ,3]2 1 2 2

3 2 1 1( )( ) , 02 1 2

fg

fg

fg

f x xx D x xg x

f x xx D x xg x

f x xx Dg x

f x xx xg x

− += = − ∩ − =

−

− += = − =

−

− += = ∪

−

− += ≤ <

−

8. ฟงกชนประกอบ คอ การซอนหรอเชอมโยงกนของฟงกชนอยางนอย 2 ฟงกชน อาจอธบายโดยภาพการเชอมโยงไดดงตวอยางตอไปน

หรอ 1 32

x< ≤

1 2 4

3 6 5

0 2 8

A B f g

C

ฟงกชน f และ g เชอมโยงกนโดยเซต B

เราสามารถหาคาของฟงกชนประกอบ f และ g ได เชน ( )(1)g f ⇒ มคาหรอความหมายเปน ( (1)) (3) 0g f g = =

91

ตวอยาง เชน 1. ให ( ) 2 1f x x= + และ 2( ) 4g x x= + จงหา g f และ f g

วธทา

1) ( )( ) ( ( ))g f x g f x=

2

2

2

(2 1)(2 1) 4(4 4 1) 44 4 5

g xxx x

x x

= +

= + +

= + + +

= + +

2) ( )( ) ( ( ))f g x f g x=

2

2 2

2

2

( 4)2( 4) 12 8 12 9

f xx

xx

= +

= + +

= + +

= +

ขอสงเกต

1) ถา f gR D∩ ≠ ∅ แสดงวาสามารถหา g f ได ถา g fR D∩ ≠ ∅ แสดงวาสามารถหา f g ได

2) ( )( )f g x ไมจาเปนตองเทากบ ( )( )g f x

2. ให ( ) 4f x x= + และ ( ) 3 9g x x= + จงหา ( )( )g f x และ ( )( )f g x

วธทา

1) ตรวจสอบวาสามารถหา ( )( )g f x และ ( )( )f g x ไดหรอไม ⇒ ถา ( )( )g f x หาได แลว [f g fR D R R∩ ≠ ∅ = และ ]gD R=

R R∩ ≠ ∅ R ≠ ∅ จรง

( )( )g f x∴ สามารถหาคาได

92

⇒ ถา ( )( )f g x หาได แลว [g f gR D R R∩ ≠ ∅ = และ ]fD R=

R R∩ ≠ ∅ R ≠ ∅ จรง

( )( )f g x∴ สามารถหาคาได

2) หาคาของ ( )( )g f x และ ( )( )f g x ( )( ) ( ( ))g f x g f x⇒ =

( 4)3( 4) 93 12 93 21

g xx

xx

= += + += + += +

( )( ) 3 21g f x x∴ = +

( )( ) ( ( ))f g x f g x⇒ =

(3 9)(3 9) 43 13

f xx

x

= += + += +

( )( ) 3 13f g x x∴ = +

3. กาหนดให ( )f x = และ ( ) 2 5g x x= + จงหาคาของ ( )(3)f g และ ( )( 2)g f − วธทา

1) หาคา ( )(3)f g ( )(3) ( (3))f g f g=

(2(3) 5)(11)

ff

= +=

จาก ( )f x =

2x

7x −

เมอ 1x ≥

เมอ 1x <

2x

7x −

เมอ 1x ≥

เมอ 1x <

11x = (11)f

93

(11) 2(11) 22f⇒ = = ( )(3) 22f g∴ =

2) หาคา ( )( 2)g f − ( )( 2) ( ( 2))g f g f− = − จาก ( )f x =

( ( 2)) ( 2 7)g f g⇒ − = − −

( 9)2( 9) 5

18 513

g= −= − += − += −

( )( 2) 13g f∴ − = −

9. ความสมพนธผกผนและฟงกชนผกผน เมอกาหนดให r เปนความสมพนธใดๆจาก A ไป B

{( , ) }r x y A B= ∈ × ความสมพนธผกผนของ r เราเขยนแทนดวย 1r− มความหมายดงน

1 {( , ) | ( , ) }r y x x y r− = ∈ ในกรณของฟงกชนผกผนกเชนเดยวกนกบความสมพนธผกผนคอ ถาให f เปนฟงกชนจาก

A ไป B แลว ฟงกชนผกผนของ f เขยนแทนดวย 1f − มความหมายคอ

1 {( , ) | ( , ) }f y x x y f− = ∈ ตวอยาง เชน

2x

7x − เมอ 1x ≥

2x = − ( 2)f −

เมอ 1x <

94

1. ให {1,2,3, 4}A = และ { , , , }B a b c d= และ {(1, ), (2, ), (3, )}r a c d= จงหา 1r− วธทา

หา 1r− ไดโดยการสลบ (x,y) เปน (y,x) ดงน 1 {( ,1), ( , 2), ( ,3)}r a c d− =

2. กาหนด 2{( , ) | 2 1}r x y A B y x= ∈ × = + จงหา 1r− วธทา

หา 1r− ไดโดยการสลบ (x,y) เปน (y,x)

3. กาหนดให 3 1{( , ) | }2 1xr x y R R yx

+= ∈ × =

+ จงหา 1r−

วธทา

1 3 1{( , ) | }

2 1yr x y R R xy

− += ∈ × =

+

พจารณา 3 12 1

yxy

+=

+

(2 1) 3 12 3 1

1 3 21 (3 2 )

x y yxy x y

x y xyx y x

+ = ++ = +

− = −− = −

2{( , ) | 2 1}r x y A B y x= ∈ × = +

1 2{( , ) | 2 1}r y x B A y x− = ∈ × = +

1 2{( , ) | 2 1}r x y B A x y− = ∈ × = +

95

13 2xy

x−

=−

1 1{( , ) | }3 2xr x y R R y

x− −

∴ = ∈ × =−

4. ให {( , ) | ( ) 2 5}f x y R R f x x= ∈ × = + จงหา 1f −

วธทา

พจารณา………. 2 5x y= + ………คา 0x ≥

2 2 5x y= + ………คา 0x ≥

2 5 2x y− = ………คา 0x ≥

2 52

xy −= ………คา 0x ≥

21 5{( , ) | , 0}

2xf x y R R y x− −

∴ = ∈ × = ≥

5. กาหนดให (3 1) 2 8f x x− = + แลว 1(10)f − เทากบเทาใด วธทา

1) สมมตให ……..

2) จาก (3 1) 2 8f x x− = + นามาเทยบกบ ( ) 10f a =

จะไดวา……..

3) 1(10) 2f − =

{( , ) | 2 5}f x y R R y x= ∈ × = +

1 {( , ) | 2 5}f x y R R x y− = ∈ × = +

1(10)f a− = ( ) 10f a =

2 8 102 2

1

xx

x

+ ==

=

3 13(1) 13 1

2

x aa

aa

− =− =

− =∴ =

96

6. กาหนดให 1 1( 1) 12 2

f x x+ = − แลว 1(2)f − เทากบเทาใด

วธทา 1) สมมตให ……..

2) จาก 1 1( 1) 12 2

f x x+ = − นามาเทยบกบ ( ) 2f a =

จะไดวา……..

3) 1(2) 4f − =

7. กาหนดฟงกชน f และ g ดงน 3( ) ,

2xf x x R+

= ∈ และ ( ) ,g x x x R= ∈

เมอ 3x = คาของ 1 1[( )( ) ( )(2)]

2f g x f g

x

− −−− เทากบเทาใด

วธทา 1) หาคาของ

1 11 1[( )(3) ( )(2)] ( )(3) ( )(2)

3 2f g f g f g f g

− −− −−

= −−

2) หาคาของ 1( )(3)f g−

1 1( )(3) ( (3))f g f g− −=

1

1

( 3 )

(3)

f

f

−

−

=

=

สมมตให

1 1 221 32

6

x

x

x

− =

=

=

1 121 (6) 123 1

4

x a

a

aa

+ =

+ =

+ =∴ =

1(2)f a− = ( ) 2f a =

1(3)f a− = ( ) 3f a =

97

นา ( ) 3f a = มาเทยบกบ 3( )

2xf x +

=

1( )(3) 3f g−∴ = 3) หาคาของ 1( )(2)f g−

1 1( )(2) ( (2))f g f g− −=

1

1

( 2 )

(2)

f

f

−

−

=

=

สมมตให

นา ( ) 2f a = มาเทยบกบ 3( )

2xf x +

=

1( )(2) 1f g−∴ =

4) หาคา 1 1( )(3) ( )(2)f g f g− −− 1 1( )(3) ( )(2) 3 1 2f g f g− −− = − =

∴ เมอ 3x = คาของ 1 1[( )( ) ( )(2)] 2

2f g x f g

x

− −−=

−

3 32

3 63

x

xx

+=

+ ==

33

x aa

a

==

∴ =

1(2)f a− = ( ) 2f a =

3 22

3 41

x

xx

+=

+ ==

11

x aa

a

==

∴ =

98

แบบฝกหด 1. จงเขยนกราฟของความสมพนธหรอฟงกชนตอไปน 1) 1 {(1,2), (3,4), (5,6)}r =

2) 2 {( , ) | 1}r x y I I y x+ += ∈ × = +

99

3) 3 {( , ) | 1}r x y y x= = +

4) 4 {( , ) | 1}r x y y x= > +

100

5) 5 {( , ) | }r x y y x= =

6) 6 {( , ) | 2}r x y y x= + =

101

7) 7 {( , ) |r x y y x= ≥ และ 10 0}x y− ≤

8) 28 {( , ) | 2 3}r x y y x x= = − +

102

9) 29 {( , ) | 2 3,0 3}r x y y x x x= = − + ≤ ≤

10) 210 {( , ) | 2 3}r x y y x x= = − +

103

11) ( )f x =

12) ( ) 4f x x= −

4 ; 2x x− ≥

; 2x x− <

104

13) ( ) 3 4f x x= − +

14) ( )f x =

2 ; 0x x >

2 ; 0x x− ≤

105

15) 2 211 {( , ) | 4}r x y R R x y= ∈ × + ≥

16) 212 {( , ) | ( 1) }r x y R R x y= ∈ × ≥ +

106

17) 213 {( , ) | ( 1) }r x y R R x y= ∈ × < − −

18) 214 {( , ) | 1 2 }r x y R R x y y= ∈ × − ≥ +

107

19) 15 {( , ) | 3}r x y R R x y= ∈ × ≥ −

20) 16 {( , ) | 1 1}r x y R R y x= ∈ × < − + +

108

2. ให {(0,2), (2,3), (3,4), (4,5)}f = และ {(0,1),(1,2),(2,0)}g = จงหา 1) f g+

2) f g−

3) f g⋅

4) fg

109

3. ให {(1,3),(2,7),(3,9),(5,10)}f = และ {(1,3),(2,5),(3,0),(4,2)}g = จงหา

1) f g+

2) f g−

3) f g⋅

4) fg

110

4. ให ( ) 3 , ( ) 4 2f x x g x x= = + จงหาพชคณตของฟงกชนตอไปน

1) f g+

2) f g−

3) f g⋅

4) fg

111

5. ถา ( ) (3 )(2 )f x x x= + − และ 1( )

3g x

x=

+ แลวจงหาโดเมนของ

f g−

112

6. ให 2( ) 1f x x= − เมอ 2 2x− ≤ ≤ และ ( ) 2 2g x x= − เมอ 1 5x− ≤ ≤

จงหา ,f g f gD R− − และ f g−

113

7. ให 2( ) 5 2, ( )f x x g x x= + = จงหาพชคณตของฟงกชนตอไปน

1) f g+

2) f g−

3) f g⋅

4) fg

114

8. ให 2 6 1( ) , ( )

2x xf x g x

x x− −

= =− จงหาพชคณตของฟงกชนตอไปน

1) f g+

2) f g−

3) f g⋅

4) fg

115

9. ให {(1,2), (3,4), (5,6)}f =

{(2,10), (4,20), (6,30)}g =

จงหา g f

10. ให {(1,7), (2,8), (3,9), (7,1), (8,2), (9,3)}f =

{(1,1), (2,2), (3,3), (7,7), (8,8), (9,9)}g =

จงหา , ,g f f g g g

116

11. ให ( ) 6, ( ) 2 3f x x g x x= + = − ใหหา ( )(2)g f และ ( )(3)f g

12. ให 2( ) 2 , ( ) 5f x x x g x x= − = − ใหหา ( )(3)g f และ ( )(9)f g

117

13. กาหนด ( ) 3f x x= และ ( )g x =

จงหา 1( )( )5

g f −

14. กาหนดให ( ) 3f x x= ( )h x =

2( ) 1g x x= + จงหาวา ( )(1)f h g มคาเทากบเทาใด

2 ; 1x x ≥ −

2 ; 13

x x− ≤ −

2 2 ; 0x x− <

2 3 ; 0x x− ≥

118

15.กาหนด ( ) 2 1f x x= + และ ( )( ) 2 4g f x x= + จงหา ( )g x 16.กาหนด ( ) 2f x x= − และ 2( )( ) 4 4g f x x x= − − จงหา ( 1)g −

119

17. จงหา ( )f x จาก ( )g x และ ( )( )g f x ทกาหนดใหตอไปน

17.1) ( )g x x= และ 2( )( ) 1g f x x= − 17.2) ( ) 2g x x= + และ 3( )( ) 2g f x x= +

120

18. กาหนด ( )( ) 4 5g f x x= − และ ( ) 2 1g x x= + จงหา ( )f x 19. กาหนด ( ) 5f x x= − และ 2( )g x x= จงหา ,g fD g f

121

20. กาหนด 2( ) xf x

x−

= และ 1( )g xx

= จงหา ,g fD g f

21. กาหนด 2( )f x x= และ ( ) 5g x x= + จงหา ,g fD g f

122

22. กาหนด 1( ) xf x

x+

= และ ( ) 2 3g x x= − จงหา , ,g f f g f f

พรอมหาโดเมนของทกฟงกชน

123

23. กาหนด 1( )f xx

= และ 2( ) 4g x x x= + จงหา ,g f f g พรอมหา

โดเมนของทกฟงกชน

124

24. กาหนด 2( )f xx

= และ 2( ) xg x

x−

= จงหา ,g f f g พรอมหาโดเมน

ของทกฟงกชน

125

25. กาหนดให {1,2,3,4}A = , { , , , , }B a b c d e= ,

1 {(1, ),(2, ), (3, ),(4, )}f a b c d= และ 2 {(1, ), (2, ), (3, ), (4, )}f a c e a=

จงหา 1 1

1 2,f f− − และพจารณาวา

1 11 2,f f− −

เปนฟงกชนหรอไม

26. กาหนดให 1( )

3xf x −

= จงหา 1(3)f −

126

27. กาหนดให 1( )

2xf x

x− =

− จงหา ( )f x

28. กาหนดให ( ) 3 1f x x= + จงหา 1( )f x−

127

29. จงหาอนเวอรสของความสมพนธตอไปน 29.1) 1 {(0,2), (1,3), ( 4,2), (1,0), ( 3, 3)}r = − − − 29.2) 2 {( , ) | 3 2 5}r x y x y= + =

29.3) 31{( , ) | }

2 3xr x y yx−

= =−

128

29.4) 2 24 {( , ) | 1; (0,1)}r x y x y x= + = ∈

29.5) 5 2

1{( , ) | }1

r x y yx

= =−

129

30. กาหนดให 2( ) 5 7f x x x= − + จงหา 1(1)f − 31. ถา f เปนฟงกชน ซง ( 3) 2 1f x x+ = − จงหา 1(1)f −

130

32. กาหนด 2( ) 9f x x= − เมอ [0,3]x∈ จงหา 1( )f x− 33. กาหนด ( ) 6 4f x x= + เมอ [0,10]x∈ จงหา 1( )f x−

131

34. กาหนด 2( ) 4f x x= − เมอ 0 2x≤ ≤ จงหา 1( )f x− 35. กาหนด ( ) 4f x x= + และ 3( )g x x= จงหา 1( ) ( )g f x−

132

36. ให {( , ) | 2 5}g x y R R y x= ∈ × = + และ {( , ) | 4 3}h x y R R y x= ∈ × = −

จงหาคาของ 1 1( )(3)h g− −

133

37. กาหนด 1 1( )( ) 4 5f g x x− − = − และ ( ) 2 1g x x= + จงหา ( )f x

134

38. กาหนด 1 1( ) ( ) 2 6f g x x− − = − และ ( ) 3g x x= + จงหา 1( )f x−

relation and function

Education