relationen zwischen mengen a b. operationen von mengen ababab m a
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Relationen zwischen Mengen
A B
Operationen von Mengen
A B A B
A BM
A
Produktmengen
0 1 2
2
x
y
Funktionsbegriff
A B
f
Funktionsbegriff
A B
f
A B
f
Pascalsches Dreieck
1 2
Horner-Schema
x = 3
3
3•
-1 2 1
9=
+
8
24
+
26
78
+
79 = f(3)
Horner-Schema
x
an
•
an-1 an-2 a1
an•x=
+ +
… = f(n)an an•x+an-1
(an•x+an-1)•x
… a0
Komplexe Zahlen
reelle Achse
imaginäre Achse
0 1
j
bjb>0
Komplexe Zahlen
1 5
j
3j
a
bja+jb
Komplexe Zahlen
a
bjz=a+jb
|z|
konjugiert komplex
z
z
Spiegelungan x-Achse
Addition
z1
z2z2
z=z1+z2
Re
j•Im
z1 wird um z2 nachoben verschoben
Scheinleitwert
R1
R2
L1
L2
C
Y
Z
Polarkoordinaten
a
bz=a+jb
r = |z|
φ
Im
Re
Multiplikation
r = r 1
• r2
φ=φ1+φ2
Im
Re
r2
r1
φ1
φ2
Wechselstrom
reeller Vorgangin Technik
Übertragungins Komplexe
Rechnen imKomplexen
komplexesErgebnis
bilden desRealteils
reellesRechenergebnis
Reihenschaltung
R L C
monoton wachsend
0 1
Horner-Schema
x0
an
•
an-1 an-2 a1
cn-1x0=
+ +
…cn-1 cn-2
… a0
cn-2x0
cn-3 c0 0
+
c1x0
+
c0x0
arcsin
x
y = sin x
π2
π2 x = arcsin y
y
π2
π2
x
y = arcsin x
π2
π2-1
1
-1
1
-1
1
arccos
x
y = cos x
π2
-1
1
x
y = arccos x
π2
-1
1
π
π
arctan
x
y = tan x
π2
π2
x
y = arctan x
π2
π2Asymptote
arccot
x
y = cot x
π2
x
y = arccot x
π2
Asymptote
π
π
Exponentialfunktion
x
y = ax
1
a > 1
x
y = ax
1
0 < a < 1
Logarithmus
x
y = ex
1 x
y = ln x
1
hyperbolius
x
y
1
x
y
1coshx
sinhx
-1
tanhx
cothx
Geometrische Interpretation
x1
x2
x1
x2
x n=2
P
Rechtssysteme
e3
e2
e1
Skalarprodukt
u
v
uv
x1
x2
Skalarprodukt
u
v
cosu
φ
u
v
v
φ
uv
0 0
Skalarprodukt
3ee
2e
x
y
z
α β
γ
1e
Vektorprodukt
ba
b
a
Physik
r
F
e
A
P
starrer Körper
IB
Spatprodukt
c
b
a
Anwendungen
c
b
a
c
b
a
Parmeterform
G
S
r
0r x
y
Parameterfreie Form
r nr
G x
y
φ
n
Lot
1* rr *r
S
0 1r0r P
parallel und windschief
1S
c
2r
y
x
z
0
2S
1r
G2
G1
Ebene
n0
r
φ
Lot auf Ebene
1r
0
*r
Lot auf Ebene
1r
0
n
Multiplikation
87
105
16
942
031
756
BA
Falksches Schema
Unterräume
R2
Unterräume
a1
span{a1}
a1
span{a1,a2}
a2dim = 1
a1
span{a1,a2}=R2
a2
Mannigfaltigkeit
U
r0
M
symmetrische Matrizen
653
542
321
A
Quadriken im R2
x
y
x
y
x
y
Quadriken im R2
x
y
x
y
x
y
Quadriken im R3
zx
yx
y
z
x
y
z
Quadriken im R3
x
y
z
c
yx
z
y
x
z
Quadriken im R3
x y
z
y
z
x x
y
z
Quadriken im R3
xy
z
ba
c
x y
z
c
Quadriken im R3
xy
z
a bx
y
z
ab
c
Grenzwert
a1 a3 a2
a - ε a + ε
Im Reellen
ε
a
a2
a3
a1
unendlich vieleWerte innerhalb
Im Komplexen
einseitiger Grenzwert
xcosxsinx
xtan
P
P1
Q10
1
rechtsseitige Polstelle
stetige Funktion
x0 - δ x0 + δx0
f(x) - ε
f(x) + ε
f(x)
Unstetige Funktionen
1 1
-1
1 2
12
Klassifikation von Unstetigkeitsstellen
x0 x0 a bx
y
Das Differential
x x+dx
f(x)
f(x+dx)
dyΔy
Umkehrfunktionen
xfy
x
y
yfx 1
von Rolle
a b
Mittelwertsatz
Parallel
x0
Newtonverfahren
x1x2
x
f(x1)
y=f(x)
P(x1,f(x1))
Newtonverfahren
x1
x1
Kurvendiskussion
x2x1
f‘(x1,2)=0
x
f‘(x) existiertnicht
Kurvendiskussion
x
a
bαβ
Wendepunkte
konvex konkav
fTangente
Parameterdarstellung
a
b
Parameterdarstellung
x
y
x
y
λ=1
λ<1
λ>1
Tangentenvektor
bestimmtes Integral
x0=a x1 b=xn
μ1
m1
xi-1 xi
mi
μi
1
bestimmtes Integral
f(ξ)f
a b
Hauptsatz
a b
f(x)= 1x 1
2
Integrale unbeschränkter Funktionen
1 ca b
unbeschränkter Intervalle
Flächen zwischen Graphen
f(x)
g(x)
f(x)+c
g(x)+c
Flächen von Sektoren
α
βφ
x
y
1
x
y
φ
r
Volumina von Rotationskörpern
y=f(x)
xi-1 xi x
z
y
x
z
y
h
Längenberechnung von Kurvenstücken
t=a
γ(t1)γ(t2)
t=b
x
y
dyΔy
dx=Δx
dx=Δx
ds
Δs
Oberfläche von Rotationskörpern
x
z
y
Trapezregel
y
x
α β
f(x) y
x
f(x)
Geraden
Simpsonsche Regel
α β
α+β2
Grundbegriffe
121
4
18
…
Grundbegriffe Funktionenreihen
x
x4
10
Potenzreihen
Im
1
Re
Konvergenzinnerhalb Kreis
r
r~
Sägezahn
π-π π-π
Original Sägezahn 10-te Partialsumme
Gibbs-Phänomen
anzunäherndeFunktion
Die Maxima derÜberschwingerbilden Gerade
Si(π)
π2
0.179•π2
y
x
N=3
N=6
xN xN+3
Rechteckfunktion
π
Fourierentwicklung
π
Rechteckfunktion
π
-1
1
-1-2-3-4 1 2 3 4
Rechteckimpuls
-a a
Beispiel 3
1
verschobener Rechteckimpuls
-a+c a+c
Satz 3
2121ˆˆ ffff
Heaviside Funktion
[
a
C
0
KonvergenzHalbebene
Dämpfung im Bildbereich
t
f(t) f(t-δ)
δ
hδ(t)•f(t-δ)
vorne durch 0 ersetzt
Rechteckimpuls
c
a b
elektrischer Schwingkreis
L
RCu
i
Silberne Taschenuhr
Faden nachoben gezogen
straffer Faden a x
y
Uhr
Uhr
Faden ist jeweilstangential zur
Bahnkurve
Geometrische Interpolation
x0 x0+h
a
y1
1
y2
y1
Wechselspannung
S
R
Lu(t)
Beispiel 2
Re
j•Im
mechanisches Schwingungssystem
FederMasse
mk
r
Dämpfer
R
ωt
Transformatorschaltung
R
LU R
M
i1 i2
System von gewöhnlichen DGL
i
t
i1(t)
i2(t)