EXAMEN TRLF 1er curso Grado en Fısica, 4 de julio de 2011

1. Explica por que se dice que el producto vectorial de dos vectores es unaaplicacion bi-lineal anti-simetrica.

2. Sea el cambio de base: ~e ′1 = ~e1, ~e ′2 = ~e3 y ~e ′3 = ~e2. (a) Escribe la matriz(3 × 3) Λ que lo representa y prueba que ΛTΛ = I y que detΛ = −1. (b)Demuestra que, en esta base ~e ′i, se cumple ~e ′i · (~e ′j×~e ′k) = −εijk pues la basecon prima es una base inversa (numerada a derechas) si la base sin prima esdirecta (numerada a izquierdas).

3. Demuestra que, bajo la transformacion dada por Λ con ΛTΛ = I, tenemos:εijk = (detΛ)

∑3l,m,n ΛilΛjmΛkn εlmn; es decir, el sımbolo de Levi-Civita es

un pseudo-tensor isotropoa.

4. Usando el resultado del ejercicio anterior, demuestra que las componentes delmomento angular orbital, ~l = ~r × ~p, se transforman bajo rotaciones comob

l ′i = (det Λ)∑3j=1 Λij lj .

5. (a) Encuentra como se transforman las componentes del operador gradiente−→∇ =

∑i ~ei

∂∂xi

bajo el cambio de coordenadas dado por xk′ = −xk. (b) De-

muestra que la energıa potencial ha de ser invariante bajo paridad si la fuerzaque deriva de ella se transforma como ~F ′(~r ′) = −~F (~r) bajo esa transforma-

cion de paridad. [~F (~r) = −−→∇ V (~r)]

6. Recuerda que, bajo un cambio de base dado por la matrizc O, una matrizA se transforma como A′ = OAO−1. Demuestra que, si O es una matriz derotacion, entonces (A′)T = (AT )

′.

7. Recuerda que, si A|u〉 = |w〉, se cumple que 〈u|A† = 〈w| y viceversa. Demues-tra con esto que los valores propios de un operador U unitario (U†U = UU† =I) son, en general, numeros complejos de modulo unod.

8. Un operador hermıtico H se dice definido positivo si para cualquier |u〉 secumple que 〈u|H|u〉 ≥ 0. (a) Demuestra que el operador hermıtico H = A†A,siendo A cualquier operador, es definido positivo.[Pista: 〈v|v〉 ≥ 0 siempre].(b) Demuestra que el operador |w〉〈w| es un operador hermıtico definido po-sitivo cualquiera que sea |w〉.

9. Los vectores de una base (ortonormal) de un espacio vectorial de dimensionn son vectores propios de un operador A de manera que A| i 〉 = ai| i 〉.(a) Calcula los elementos de matriz de A en la citada base. (b) Si B es unoperador diferente cuyos vectores propios forman la misma base (pero condistintos valores propios), demuestra que AB = BA usando las entradas de lasmatrices que representan a los operadores en la base de autovectores comunes.

PARA ENTREGAR COMO MAXIMO 7 DE LOS EJERCICIOSLISTADOS HASTA AQUI. CADA UNO VALE UN PUNTO (MAXI-MA PUNTUACION EN ESTA PARTE = 7 PUNTOS)

Sigue detras −→

aSus componentes valen lo mismo en todos los sistemas rotados a partir de uno cualquiera yNO falta ninguna prima.

bFıjate que l′i =∑3

j,k=1 εijkx′jp′k donde ε NO lleva prima, ya que podemos asumir que la base

~e ′i es directa.cEn componentes de un vector como una columna, tenemos v′ = O v.dSi z ∈ C, entonces zz∗ = |z| 2, donde |z| designa el modulo del numero complejo z.

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NO OLVIDEIS QUE, EN LO QUE SIGUE, APLICA EL CONVE-NIO DE SUMACION DE INDICES DE EINSTEIN: INDICE RE-PETIDO ARRIBA Y ABAJO ES INDICE SUMADO DE CEROA TRES

10. Una transformacion de Lorentz proxima a la identidad se puede escribir enterminos de las entradas de su matriz Ω como Ωµν = δµν+ω µν con |ω µν | 1(las entradas de una transformacion de Lorentz son adimensionales). Demues-tra que, como consecuencia de la condicion de que Ω ası escrita sea una trans-formacion de Lorentz; es decir, que cumpla ΩT ηΩ = η, se tiene necesaria-mente que ωµ ν = −ων µ si se asume que (ωµ ν) 2 es despreciable. [Recuerdaque ηρµδ

µν = ηρν ].

11. Un atomo inicialmente en reposo y de masa m absorbe una partıcula de masacero con energıa E0. Usando la conservacion de la energıa y el momento,calcula la velocidad ~v del atomo resultante del proceso descrito. Recuerda que,para una partıcula libre cualquiera de masa m, energıa E y momento ~p, secumplen: m2c4 = E2 − ~p 2c2 y ~p c2 = ~v E.

12. La inversa de una transformacion de Lorentz, en terminos de matrices, sepuede escribir como Ω−1 = ηΩT η. Demuestra, partiendo de esta relacion,que podemos escribir con ındices: (Ω−1)µν = Ω ν

µ.

13. (a) Escribe como se transforma el tensor T µν bajo transformaciones de Lo-

rentz. (b) Demuestra que Tµµ es un escalar (invariante) de Lorentz. .

14. Usando la version con ındices de la condicion en terminos de matrices quecaracteriza a una transformacion de Lorentz; a saber: ΩT ηΩ = η, demuestraque ηµν son las componentes de un tensor dos veces covariante bajo transfor-maciones de Lorentz; es decir, que se transforma como xµpν . Al demostrarlo,demostraras tambien que tiene la propiedad extra, que no todos los tensoresdos veces covariantes tienen, de que sus componentes toman el mismo valorpara todos los observadores inerciales; es decir, es un tensor isotropo.

PARA ENTREGAR COMO MAXIMO 3 DE LOS 5 EJERCICIOSPROPUESTOS EN ESTA PARTE. CADA UNO VALE 1 PUNTO(MAXIMA PUNTUACION EN ESTA PARTE = 3 PUNTOS)

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