relativitas khusus
DESCRIPTION
FISIKA DASARTRANSCRIPT
1
RELATIVITAS KHUSUS
Teori relativitas diperlukan justru untuk mendapatkan sesuatu yang mutlak dan berlaku
umum. Jadi, setiap hukum fisika yang dirumuskan secara relativistik akan berlaku
umum, bebas dari kerangka tempat pengamatan gejala fisika itu dilakukan. Untuk
memulainya, kita pahami terlebih dahulu konsep penting tentang kerangka acuan.
Kerangka acuan inersial : Kerangka acuan inersial ialah kerangka tempat hukum
Newton pertama berlaku
Kerangka acuan yang kita tambatkan pada karusel (komedi putar) yang sedang berputar
adalah contoh kerangka acuan non inersial sebab di atas karusel yang sedang berputar,
hukum Newton pertama tidak berlaku : bila anda meletakkan sebuah benda yamg
memiliki permukaan cukup licin pada lantai karusel, maka benda itu akan terlempar
keluar. Kalau anda sangkutkan benda itu pada pegas, maka pegas itu bertambah panjang
meskipun anda tidak menariknya. Andaikan kita telah mempunyai sebuah kerangka
acuan inersial dan terdapat kerangka acuan lain yang bergerak dengan kecepatan tetap
terhadap kerangkan acuan inersial kita. Maka kerangka acuan terakhir inipun
merupakan kerangka inersial, karena pada kerangka ini hukum Newton pertama
berlaku. Buktikan! Jadi jumlah kerangka inersial itu tak terhingga jumlahnya. Teori
Relativitas yang dibicarakan pada kerangka-kerangka inersial semacam itu disebut
Tahukah anda bahwa warga Hirosima dan Nagasaki tahun 1945 adalah kelinci
percobaan bagi riset di bidang persenjataan nuklir yang kini telah mencapai
prestasi yang mencengangkan. Untuk itukah prinsip kesetaraan massa dan energi
dipikirkan?
2
Teori Relativitas Khusus. Teori yang dibicarakan pada kerangka-kerangka non-inersial
disebut teori Relativitas Umum. Dalam buku ini kita tidak akan membahas teori
relativitas umum. Jadi, untuk selanjutnya, jika disebutkan teori relativitas, maka yang
dimaksudkan adalah teori relativitas khusus (tanpa mengurangi arti).
Sebelum Einstein, sudah ada orang yang mengusulkan suatu teori relativitas,
yaitu Galileo Galilei. Teori relativitas ini dikenal sebagai teori relativitas Galileo.
Tetapi, relativitas Galileo memperlihatkan berbagai kelemahan terutama bila diterapkan
untuk hukum-hukum elektromagnetika yang tersaji melalui empat persamaan Maxwell.
Tegasnya, relativitas Galileo hanya berlaku untuk mekanika Newton, tetapi tidak untuk
elektromagnetika Maxwell.
Berangkat dari kenyataan semacam itu, terdapat beberapa kemungkinan
berkenaan dengan keberadaan suatu teori relativitas. Kemungkinan itu adalah
Kemungkinan Pertama :
Suatu relativitas yang hanya berlaku untuk mekanika Newton saja, tidak untuk
elektromagnetika Maxwell. Dalam elektromagnetika Maxwell harus ada
kerangka acuan istimewa tempat hukum-hukum elektromagnetika Maxwell
berlaku, kerangka ini disebut kerangka acuan ether.
Untuk menentukan kebenaran kemungkinan ini, orang harus membuktikan keberadaan
ether, yakni apakah ether benar-benar ada, sebagai medium bagi penjalaran gelombang
elektromagnetik.
Kemungkinan Kedua :
Suatu relativitas yang berlaku baik untuk mekanika Newton maupun untuk suatu
teori elektromagnetika tetapi bukan teori elektromagnetika Maxwell karena
elektromagnetika Maxwell salah.
Jika kemungkinan ini benar, maka elektromagnetika Maxwell harus dirombak sehingga
diperoleh sebuah teori elektromagnetika yang sejalan dengan relativitas semacam itu.
Kemungkinan Ketiga : Suatu relativitas yang berlaku baik untuk teori elektromanegtika Maxwell
maupun untuk suatu mekanika tetapi bukan mekanika Newton karena mekanika
Newton salah.
Jika kemungkinan ini benar, maka suatu teori mekanika baru perlu dibangun kembali
untuk mengganti mekanika Newton.
Morley tahun 1881 dan Michelson tahun 1887 menyusun sebuah eksperimen
yang memiliki tujuan untuk menunjukkan adanya ether. Eksperimen ini tidak
menemukan jejak-jejak keberadaan ether. Bahkan malah sebaliknya menemukan hal-hal
yang bertentangan dengan adanya ether. Jadi, hasilnya negatif. Tegasnya, ether tidak
ada. Pada tahun 1909 Bucherer melakukan suatu eksperimen guna mengukur kecepatan
partikel-partikel bertenaga tinggi. Menurut Newton jika tenaga suatu partikel dilipat-
empatkan, maka laju partikel tersebut menjadi dua kali laju semula. Dari pengukuran
yang dilakukannya, Bucherer mendapatkan kesimpulan bahwa kemungkinan pertama
dan kedua harus dilupakan. Oleh karena itu, tinggallah kemungkinan ketiga sebagai
satu-satunya kemungkinan yang masih memberi harapan. Artinya, diperlukan untuk
3
merumuskan suatu mekanika baru guna menggantikan mekanika Newton. Namun,
karena mekanika Newton telah menunjukkan kesesuaian yang sangat menakjubkan
dengan hasil-hasil eksperimen yang hanya melibatkan sistem-sistem berkelajuan rendah
(yakni kelajuan yang dapat diabaikan bila dibandingkan dengan kelajuan cahaya c),
maka teori mekanika yang baru harus menjelma menjadi mekanika Newton bilamana
diterapkan untuk sistem-sistem berkelajuan rendah. Dengan kata lain, mekanika Newton
harus menjadi hal istimewa atau khusus dari teori mekanika baru itu. Atau, dengan kata
lain lagi, mekanika Newton harus merupakan pendekatan terhadap mekanika baru
tersebut untuk sistem-sistem berkelajuan rendah. Pada tahun 1905 Albert Einstein
mengusulkan dua postulat yang di kemudian hari mempengaruhi persepsi (pandangan)
manusia akan ruang dan waktu. Dan pada giliranya, melahirkan mekanika baru yang
merupakan perumuman mekanika Newton.
Sebelum membaca bab ini, ada baiknya jika anda telah menguasai dengan baik
aljabar vektor yang pernah dibahas di kelas satu. Agar tidak bingung dalam
membedakan antara teori Newton dan relativitas khusus, perhatikanlah latar belakang
sejarah hingga teori relativitas terlahir, terimalah dahulu prinsip-prinsip yang
diadopsinya dan jangan anda benturkan dahulu dengan prinsip-prinsip lama yang yang
ada dalam mekanika Newton. Menerima prinsip yang di anut suatu teori, adalah kunci
untuk memahami teori tersebut sekaligus membedakannya dari teori yang lain.
1. Sebutkanlah beberapa contoh kerangka acuan yang bukan kerangka acuan
inersial!
2. Apakah bumi kita ini termasuk kerangka acuan yang inersial?
3. Seseorang sedang naik lift. Tiba-tiba entah mengapa, tiba-tiba tali penarik lift itu
putus. Apa yang terjadi? Betul! Lift beserta orang di dalamnya jatuh bebas. Pada
saat itu orang di dalam lift yang jatuh itu tidak merasakan adanya gravitasi.
Berlakukah hukum Newton pertama pada saat itu di dalam lift? Berdasarkan
jawaban anda tadi, inersialkah lift yang jatuh bebas itu sebagai kerangka?
1 Dua Postulat Einstein
Teori Relativitas Einstein yang dikemukakan oleh Albert Einstein memuat dua
postulat :
Postulat Pertama :
Semua hukum fisika (yang tersaji dalam bentuk persamaan-persamaan
matematis) mempunyai bentuk yang sama pada semua kerangka acuan inersial.
Postulat Kedua :
Laju perambatan cahaya bernilai sama di semua kerangka acuan inersial.
Ungkapan lain untuk postulat pertama ialah ketiadaan kerangka acaun inersial istimewa
tempat hukum-hukum fisika mempunyai bentuk istimewa yang berbeda dari yang
diamati di kerangka acuan inersial lain. Semua kerangka acuan inersial sama baiknya
untuk merumuskan hukum-hukum fisika. Menurut prinsip kedua, boleh dikatakan
bahwa kelajuan cahaya, yang nilainya sering ditulis sebagai c, bersifat invarian.
Hampir semua kalangan (termasuk di dalamnya para fisikawan) telah sepakat
bahwa segala sesuatu yang ada di dunia ini ada batasnya. Semua terbatas kecuali Tuhan.
4
Demikian halnya dengan kelajuan benda, mesti ada batasnya (eksperimen yang
dilakukan Bucherer mendukung pandangan ini). Jadi, di setiap kerangka acuan inersial,
kelajuan setiap benda ada batasnya. Menurut prinsip pertama batas kelajuan ini harus
sama untuk semua kerangka inersial. Mengapa? Karena bila setiap kerangka acuan
inersial memiliki batas kelajuan sendiri-sendiri, maka dipastikan ada kerangka acuan
dengan batas kelajuan paling tinggi. Kalau terdapat kerangka acuan inersial semacam
itu, maka kerangka inersial tersebut tentu merupakan kerangka inersial istimewa. Tetapi
keberadaan kerangka acuam istimewa bertentangan dengan postulat pertama. Maka
yang benar adalah bahwa nilai batas kelajuan harus sama untuk setiap kerangka acuan
inersial. Menurut postulat kedua, dapat disimpulkan bahwa batas kelajuan yang
dimaksud ialah laju rambat cahaya : Kelajuan cahaya merupakan batas kelajuan di
alam. Artinya, tak ada satupun benda yang mampu mencapai kelajuan melebihi
kelajuan cahaya. Jika cahaya dianggap sebagai sinyal pengirim interaksi, maka hal itu
berarti bahwa tidak ada interaksi dengan sinyal lebih cepat dari cahaya. Salah satu
konsekuensi adanya batas kelajuan ini ialah bahwa kaidah penjumlahan kecepatan
model Newton perlu dirubah, diganti dengan kaidah penjumlahan yang baru. Mengapa?
Kedua postulat relativitas Einstein itu kemudian menjadi, pakem bagi
perumusan-perumusan teori yang diusulkan sesudahnya. Suatu teori terasa masih
kurang meyakinkan bilamana teori itu diramu tanpa diusahakan sejalan atau konsisten
dengan kedua postulat di atas.
1. Mengapa aturan penjumlahan kecepatan versi Newton (yakni vtotal = v1 + v2 )
tidak sesuai dengan postulat Einstein sehingga harus diganti dengan aturan
yang baru?
2. Dapatkah anda ceritakan hal-hal ajaib yang akan terjadi bila saja kelajuan
maksimum c dalam postulat Einstein diganti c’ = 10-7
c? (Dalam optik
misalnya)
2 Transformasi Lorentz
Ditinjau sebuah kerangka acuan inersial K yang dilengkapi dengan sistem
koordinat (x, y, z). Dari kerangka acuan ini posisi suatu titik dalam ruang tentu
ditunjukkan oleh vektor posisi r = (x, y, z) = xi + yj + zk. Lalu, diandaikan bahwa
seorang pengamat di kerangka K ini, mencatat suatu peristiwa terjadi pada saat t. Jadi,
suatu peristiwa yang terjadi di titik (x, y, z) pada saat t oleh pengamat di K ditengarai
(ditandai) dengan empat bilangan riil, yaitu x, y, z, dan t. Empat bilangan ini kemudian
menjadi koordinat bagi titik-titik dalam ruang berdimensi empat dengan waktu t
sebagai koordinat keempatnya. Keseluruhan titik-titik yang ditandai dengan empat
bilangan ini dikenal sebagai ruang-waktu. Misalnya terdapat kerangka lain K‟ yang
bergerak dengan kecepatan konstan V = Vi sepanjang sumbu-x (lihat gambar). Oleh
pengamat yang berada di kerangka K‟ ini, posisi suatu peristiwa ditengarai oleh vektor
posisi r’ = (x’, y’, z’) = x’i + y’j + z’k sedang waktu terjadinya peristiwa dicatat oleh
pengamat di K‟ itu sebagai t’. Jadi, bila sebuah peristiwa diamati dari K‟, maka tempat
terjadinya peristiwa itu beserta waktu kejadiannya ditengarai oleh empat bilangan yaitu
x’, y’, z’, dan t’. Oleh katena itu, dari kerangka inersial K‟ dapat disusun koordinat
ruang-waktu yang lain, yakni (x’, y’, z’, t’)
5
Bila dua orang pengamat yang masing-masing diam di kerangka K dan K‟
mengamati suatu peristiwa yang sama dan tak lupa mencatat tempat dan waktu
terjadinya peristiwa itu, maka kedua koordinat yang dicatat oleh kedua pengamat itu
pada umumnya berbeda. Tetapi, kedua koordinat ruang-waktu itu mewakili tempat dan
waktu kejadian yang sama. Nah, pertanyaan yang sekarang harus dijawab,
bagaimanakah kedua koordinat itu terkait satu dengan yang lain? Jawaban atas
pertanyaan ini diberikan oleh konsep transformasi koordinat atau alihragam
koordinat. Yang dimaksud dengan alihragam koordinat ialah suatu aturan yang
memuat persamaan-persamaan yang menghubungkan koordinat (x, y, z, t) dengan (x’,
y’, z’, t’ ).
Lebih jelasnya, alihragam koordinat adalah persamaan-persamaan yang memberitahu
kita tentang
- ketergantungan x’ pada koordinat (x, y, z, t),
- ketergantungan y’ pada koordinat (x, y, z, t),
- ketergantungan z’ pada koordinat (x, y, z, t),
- ketergantungan t’ pada koordinat (x, y, z, t)
atau sebaliknya
- ketergantungan x pada koordinat (x’, y’, z’, t’),
- ketergantungan y pada koordinat (x’, y’, z’, t’),
- ketergantungan z pada koordinat (x’, y’, z’, t’),
- ketergantungan t pada koordinat (x’, y’, z’, t’).
Tujuan kita sekarang ialah mencari suatu transformasi koordinat yang taat pada
kedua postulat relativitas Einstein tersebut di atas. Artinya, suatu transformasi yang
tidak menyalahi postulat-postulat Einstein secara keseluruhan. Namun, demi tujuan
tersebut, ada baiknya (walupun sekilas) jika kita melihat terlebih dahulu relativitas
Galileo. Dalam pandangan Galileo maupun Newton, waktu merupakan sesuatu yang
mutlak. Artinya, tidak tergantung pada tempat mengukurnya. Maksudnya, jika suatu
peristiwa teramati saat t di suatu kerangka inersial dan peristiwa yang sama teramati
Transformasi (x, y, z, t) (x’, y’, z‟, t‟). (1)
Gambar
y
x, x’
y’
z
z’
V = Vi
K’ K
6
pada saat t’ di suatu kerangka inersial yang lain, maka kedua hasil pengamatan waktu
itu memenuhi
t’ = t, (2)
asalkan jam yang digunakan oleh kedua pengamat itu sebelumnya telah disesuaikan satu
dengan yang lain (disingkronkan). Dapat dibuktikan bahwa dalam relativitas Galileo,
x‘ = x – Vt (3a)
y ‘ = y (3b)
z ’ = z (3c)
t ‘ = t. (3d)
Transformasi ini dikenal sebagai transformasi Galileo. Apakah transformasi Galileo ini
memenuhi kedua butir postulat Einstein di atas? Ternyata tidak. Alasannya begini, bila
ada suatu partikel bergerak dengan kecepatan tetap sepanjang sumbu-x (dan tentu saja
juga sepanjang sumbu-x‟), maka kecepatan partikel itu diukur dari kerangka K adalah
u = dt
dx (4)
atau bila diukur dari K‟ ialah
u‟ = '
'
dt
dx (5)
Berdasarkan persamaan (3) diperoleh
u‘ = dt
dx' =
dt
dx − V = u –V, (6)
karena dt’ = dt, yakni karena waktu bersifat mutlak. Sekarang, andaikan partikel yang
ditinjau itu adalah foton. Maka u = c, sehingga cepat rambat cahaya bila diukur dari
kerangka K‟ adalah
u‘ = c‟ = c – V . (7)
Persamaan (7) secara jelas mengatakan bahwa cepat rambat cahaya tidak invarian dalam
transformasi Galileo. Hal ini tentu bertentangan dengan postulat kedua Einstein dan
telah cukup guna membuktikan pernyataan bahwa alihragam Galileo tidak sejalan
dengan postulat-postulat Einstein tersebut.
7
Sekarang diandaikan bahwa pada saat t = 0 kerangka acuan K‟ berimpit dengan
kerangka K sedemikian rupa sehingga titik pangkal O(0,0,0) milik K berimpit dengan
titik pangkal O‟(0,0,0) milik K‟ dan sumbu-x, sumbu-y serta sumbu-z berturut-turut
berimpit dengan sumbu-x‟, sumbu-y‟ serta sumbu-z‟. Pada saat itu t = 0 = t’ (artinya,
jam di masing-masing kerangka menunjukkan angka yang sama, yaitu detik ke 0).
Kemudian, kita akan menerapkan postulat-postulat relativitas khusus. Jika pada saat t =
0 = t’ itu suatu sumber cahaya yang diam di K di titik O(0,0,0) berkedip memancarkan
foton ke segala arah, maka baik dari K sendiri maupun dari K‟ terlihat bahwa foton-
foton itu memiliki kelajuan sama, yakni c. Oleh karena itu, setiap saat foton-foton itu
terletak pada suatu permukaan bola dengan jejari
r = ct, (8)
bila dilihat dari kerangka K atau
r’ = ct’ (9)
bila dilihat dari kerangka K‟ (lihat gambar 3). Karena titik-titik pada permukaan bola
dengan jejari r dan r’ berturut-turut memenuhi persamaan r2 = x
2 + y
2 + z
2 dan r’
2 = x’
2
+ y’2 + z’
2, maka
x’2 + y’
2 + z’
2 = c
2 t’
2 (10)
dan
x2 + y
2 + z
2 = c
2 t
2. (11)
Perhatikanlah dengan seksama bahwa persamaan (8), (9), (10), dan (11)
diperoleh dari penerapan postulat-postulat relativitas Einstein secara ketat. Jadi, yang
harus dicari adalah transformasi koordinat yang memenuhi persyaratan-persyaratan
r = ct
Gambar 3
y’
z’
y
x, x’
z
V = Vi
r = ct
r’ = ct’
8
(10), dan (11). Tentu saja transformasi Galileo tidak memenuhinya. Lalu transformasi
koordinat, macam apa yang memenuhi persamaan-persamaan itu?
Selanjutnya, diusulkan transformasi koordinat yang ditentukan oleh persamaan-
persamaan berikut :
x‟ = γ (x – Vt)
(12a)
y „ = y
(12b)
z ‟ = z
(12c)
t „ = γ (t − 2c
V x ), (12d)
dengan
γ = 22 /1
1
cV. (13)
Dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa transformasi tersebut memenuhi persamaan
(10) dan (11). Transformasi ini dikenal sebagai transformasi Lorentz.
Transformasi Lorentz ini dapat diperoleh melalui pembahasan dalam ruang
momentum tenaga maupun melalui pembahasan dalam ruang konfigurasi. Pembahasan-
pembahasan itu menuntut matematika yang agak tinggi, maka, seperti telah dikatakan di
atas, tidak untuk disajikan di sini.
Contoh 1 : Pada kelajuan relatif berapakah transformasi Galileo dan transformasi
Lorentz untuk posisi x berbeda
(a) 0,10 persen?
(b) 10 persen?
Jawab :
(a) Menurut transformasi Galileo xG‟ = x − vt, sedangkan transformasi Lorentz
menyatakan xL‟ = ( x − vt). Jadi, kita harus mencari nilai kelajuan relatif v, agar
L
GL
x
xx
'
'' = 0,10 % = 0,001.
Persamaan terakhir ini dapat ditulis sebagai
L
G
x
x
'
'= 1 − 0,001 = 0,9990.
Jika ungkapan untuk xG‟ dan xL‟ di depan dimasukkan ke dalam persamaan terakhir ini,
maka diperoleh
1 = 0,9990.
Padahal 1/ = 22 /1 cv . Jadi,
9
1 − 2
2
c
v = 0,9980 atau
2
2
c
v = 0,002.
Oleh karena itu, maka v = 0,0447c. Jadi, untuk kelajuan-kelajuan relatif yang kurang
dari 0,0447c, transformasi Galileo hanya meleset 0,1 %. Maka untuk sistem-sistem fisis
yang melibatkan kelajuan rendah transformasi Galileo telah mencukupi.
(b) Dengan cara yang sama didapatkan bahwa agar transformasi Galileo dan
transformasi Lorentz berbeda 10 %, maka kelajuan relatif yang dibutuhkan adalah v =
0,44 c.
Contoh 2 : Seorang pengamat pada kerangka acuan K melihat sebuah peristiwa yang
terjadi sepanjang sumbu-x, tepatnya pada titik x = 4,00 meter dan pada saat t = 6,00 ×
10−9
detik. Jika kerangka acuan K‟ bergerak dengan kecepatan V = 0,8ci relatif terhadap
kerangka K, di manakah dan kapankah peristiwa itu terjadi bila diamati dari kerangka
acuan K‟?
Jawab : Dalam masalah ini yang harus dihitung adalah x’ dan t’ menurut persamaan
(4.12). Karena kecepatan K‟ relatif terhadap K adalah V = 0,8ci, maka V = 0,8c dan
γ = 22 /1
1
cV =
2
2)8,0(1
1
c
c
= 1,67.
Jadi,
x’ = γ(x − Vt) = (1,67)(4,00 − (0,8)(3 × 108m/dt)(6,00× 10
−9 dt) = 4,28 meter
dan
t’ = γ (t − 2c
V x )
= (1,67)( 6,00 × 10−9
dt − (2
8,0
c
c)(4,00 m))
= (1,67)( 6,00 × 10−9
dt − 1,066 × 10−8
dt)
= 7,78 × 10−9
dt.
1. Tunjukkan bahwa transformasi Lorentz memenuhi persamaan (4.10) dan (4.11)!
2. Pada kecepata relatif berapakah transformasi Galileo dan transformasi Lorentz
berbeda 1% pada bagian posisi dan waktunya? Simpulkanlah sendiri bagaimana
perbedaan nilai tersebut saat kecepatannya makin mendekati kecepatan cahaya!
3. Pada kerangka K, saat waktu menunjukkan t = 0,05 detik sebuah kejadian
terjadi pada koordinat x = 5 m dan y = 10 m. Menurut kerangka K‟ yang
bergerak dengan kecepatan V = 0,7cj relatif terhadap kerangka K, di manakah
dan kapankah peristiwa itu terjadi?
4. Tunjukkanlah bahwa transformasi Lorentz merupakan transformasi yang lebih
umum dari pada transformasi Galileo!
5. Apakah transformasi Lorentz dapat digunakan untuk partikel-partikel
berkelajuan lebih besar dari kelajuan cahaya? Apa alasannya?
10
3 Penjumlahan Kecepatan (Transformasi Kecepatan)
Dari transformasi Lorentz yang diberikan oleh persamaan (12) dapat diperoleh
kaidah transformasi kecepatan yang juga sejalan dengan kedua postulat relativitas
Einstein. Untuk itu, diandaikan terdapat sebuah partikel yang bergerak ke arah
sembarang. Di kerangka acuan K, komponen kecepatan partikel itu pada masing-masing
sumbu koordinat dimisalkan Ux, Uy dan Uz. Jadi,
Ux = dt
dx ; Uy =
dt
dy dan Uz =
dt
dz. (14)
Di kerangka K‟, yang bergerak sepanjang sumbu-x dengan kecepatan tetap V = Vi,
ketiga komponen itu teramati misalkan sebagai Ux‟, Uy‟ dan Uz‟. Tentu saja berlaku
persamaan berikut
Ux‟ = '
'
dt
dx ; Uy‟ =
'
'
dt
dy dan Uz‟ =
'
'
dt
dz (15)
Dari persamaan (12) diperoleh
dx‟ = γ(dx – Vdt ) = γ (dt
dx – V ) dt (16)
dt‟ = γ(dt – 2c
Vdx) = γ(1 –
2c
V
dt
dx) dt (17)
dy’ = dy ; dz’ = dz. (18)
Dari persamaan (16), (17) dan (18) didapatkanlah
Ux‟ = '
'
dt
dx =
dtdt
dx
c
V
dtVdt
dx
)1(
)(
2
=
21
c
VU
VU
x
x
(19)
Uy‟ = '
'
dt
dy =
dtdt
dx
c
V
dy
)1(2
=
)1(2 x
y
Uc
V
U
(20)
Uz‟ = '
'
dt
dz =
dtdt
dx
c
V
dz
)1(2
=
)1(2 x
z
Uc
V
U
(21)
11
Berikut adalah sebuah contoh penerapan transformasi ini. Semoga mendapatkan
kejelasan.
Contoh 3 : Andaikan sebuah mobil, sebut mobil pertama, bergerakdengan kecepatan V1
= V1i sepanjang sumbu–x terhadap seorang pengamat yang diam tanah. Mobil lain,
sebut mobil kedua, bergerak dengan kecepatan V2 = V2 i, juga sepanjang sumbu-x
terhadap pengamat yang diam di tanah (lihat gambar 4.4.). Berapakah kecepatan mobil
kedua dilihat dari pengamat yang ikut menumpang mobil pertama ?
Jawab : Mobil pertama dapat dianggap sebagai kerangka K‟, sedang tanah merupakan
kerangka K. Jadi, kecepatan mobil pertama tidak lain adalah kecepatan kerangka K.
Jadi,
V =V1 = V1i
Mobil kedua dapat dianggap sebagai partikel yang dibicarakan dalam uraian di muka,
sehingga
U = V2 = V2 i.
Perlu diperhatikan di sini bahwa mobil kedua bergerak menyusuri sumbu-x sehingga Uz
= Uy = 0 = V2z = V2y dan Ux = V2. Berdasarkan persamaan (19), (20) dan (21) diperoleh
V2z‟ = V2y‟ = 0
dan
V2x‟ = V2‟ =
2
21
12
1c
VV
VV
V2‟ inilah kecepatan mobil kedua dilihat dari mobil pertama.
Contoh 4 : Persoalannya mirip dengan persoalan pada contoh pertama, hanya saja
sekarang mobil kedua bergerak sepanjang sumbu-z dengan kecepatan V = V2k (lihat
Gambar).
Jawab : Sekarang U = V2 = V2k sehingga Uz = V2, Ux = V2x = 0 dan Uy = V2y = 0.
Menurut persamaan (19), (20) dan (21) diperoleh
V2x‟ = −V = −V1,
V1 V2
Gambar 4
Sumbu-x
12
V2y‟ = 0,
V2z‟ =
2V = V2
2
2
11c
V
Jadi, bila dilihat dari mobil pertama, mobil kedua tampak bergerak dengan kecepatan
V2‟ = −V1i + V2 2
2
11c
V k.
1. Tunjukkanlah dengan menggunakan kaidah penjumlahan Lorentz, bahwa benda
yang bergerak dengan kelajuan cahaya di sebuah kerangka inersia, juga akan
terlihat bergerak dengan kelajuan cahaya pula bila dilihat dari kerangka inersia
lainnya.
2. Pesawat angkasa Alpha bergerak dengan kelajuan 0,9c terhadap bumi. Jika
pesawat angkasa Beta melewati Alpha dengan kelajuan 0,5c, berapa kelajuan
Beta terhadap bumi?
3. Pesawat A berangkat dari bumi dengan kelajuan 0,8c kemudian disusul pesawat
B dengan kelajuan 0,5c (relatif terhadap pesawat A) searah dengan pesawat A.
Menurut pesawat A, berapakah kelajuan pesawat B?
4. Sebuah meteor besar menuju bumi dengan kelajuan 0,5c. Untuk mencegah
tabrakan antara meteor dan bumi, dikirimlah rudal nuklir ke angkasa untuk
ditabrakkan ke meteor tersebut. Jika rudal nuklir berangkat dari bumi dengan
kelajuan 0,6c, berapakah kelajuan meteor menabrak rudal?
4 Kontraksi Panjang dan Dilatasi Waktu
Menurut relativitas Einstein (diejawantahkan dalam bentuk transformasi
Lorentz), waktu bukanlah sesuatu yang mutlak. Artinya, selang waktu yang diukur dari
suatu kerangka acuan inersial tidak sama dengan selang waktu yang diukur dari
Gambar 5
Sumbu-z
Sumbu-x
V2
V1
13
kerangka lain meskipun selang-selang waktu itu diukur dengan jam yang telah
disinkronkan dan selang-selang waktu itu memisahkan dua peristiwa yang sama.
Berikut hendak diuraikan akibat lain dari transformasi Lorentz.
Andaikan dua peristiwa terjadi berturut-turut di titik (x, y, z) pada saat t dan di
titik (x + x, y + y, z + z) pada saat t + t bila diamati dari kerangka K‟. Jadi, kedua
peristiwa itu terpisah oleh selang koordinat (x, y, z) dan oleh selang waktu selama
t. Bagaimana kedua peristiwa itu dilihat dari kerangka acuan K‟? Dari transformasi
Lorentz, yakni persamaan (12), diperoleh bahwa kedua peristiwa itu dipisahkan oleh
selang koordinat (x’, y’, z’) dan oleh selang waktu selama t’, dengan
∆x’ = γ (∆x – V ∆t) (22)
∆t’ = γ (∆t – 2c
V ∆x) (23)
∆y’ = ∆y ; ∆z’ = ∆z. (24)
Jika dua buah peristiwa terjadi di dua tempat dalam waktu yang berbeda maka
∆x, ∆y, ∆z menunjukkan jarak antara dua peristiwa itu diukur dari kerangka K,
sedangkan ∆t adalah selang waktu yang memisahkan kedua peristiwa itu. Andaikan
peristiwa pertama terjadi di titik (x1, y1, z1) pada saat t1 dan peristiwa kedua terjadi di
titik (x2, y2, z2) pada saat t2, maka
∆x = x2 – x1
∆y = y2 – y1
∆z = z2 – z1
∆t = t2 – t1.
Lalu, ∆x’, ∆y’, ∆z’, dan ∆t’ tentu saja menunjukkan jarak dan selang waktu antara kedua
peristiwa yang sama, tetapi diamati dari kerangka K‟ yang bergerak sepanjang sumbu-x
dengan kecepatan tetap sebesar V. Dua peristiwa yang terjadi pada saat bersamaan
dikatakan sebagai dua peristiwa yang serentak. Dua peristiwa yang terjadi di tempat
yang sama dikatakan sebagai dua peristiwa yang setempat. Dua peristiwa yang terjadi
pada saat yang sama dan tempat yang sama dikatakan sebagai dua peristiwa yang
serentak dan setempat. Dua peristiwa yang setempat di suatu kerangka belum tentu
setempat di kerangka lain. Sebaliknya, dua peristiwa yang serentak di suatu kerangka
belum tentu serentak di kerangka lain. Hal ini mudah disimpulkan dari persamaan (22),
(23), dan (24). Andaikan dua peristiwa terjadi di tempat yang sama bila dilihat dari
kerangka K. Maka tentulah berlaku ∆x = 0, ∆y = 0 dan ∆z = 0. Dari kerangka K‟ kedua
peristiwa itu terpisah oleh jarak sejauh
∆x‟ = γ(∆x – V∆t) = − γV∆t . (24)
Di K‟ peristiwa-peristiwa itu tidak terlihat sebagai dua peristiwa yang setempat, kecuali
jika ∆t = 0. Jadi, dua peristiwa yang terlihat setempat sekaligus serentak di suatu
kerangka akan terlihat serentak dan setempat di kerangka lain.
14
Contoh 5 : Dalam misi penerbangan jarak jauhnya, sebuah pesawat alien melintas di
atas bumi dengan laju 0,999999c. Para awak misi tersebut mencatat peristiwa letusan
dua gunung berapi di bumi yang terjadi pada saat bersamaan. Menurut alat ukur yang
berada pada pesawat alien, kedua gunung yang meletus itu berjarak 200 km. (a)
Mungkinkah kedua letusan itu terlihat dalam waktu yang bersamaan pula bila dilihat
dari bumi? (b) Mungkinkah kedua gunung berapi yang meletus itu terletak semuanya di
pulau Jawa?
Jawab :
(a) Dua letusan itu memang terlihat terjadi pada saat yang bersamaan bila dilihat dari
pesawat alien. Tetapi belum tentu bagi seorang penduduk kota Semarang. Kita akan
menghitung berapakah selang waktu terjadinya dua letusan itu bila diukur dari bumi.
Anggaplah kerangka acuan yang menempel pada pesawat sebagai kerangka acuan K
dan yang menempel di bumi sebagai K‟. Jadi, K‟ bergerak dengan kecepatan sebesar
0,999999c ke arah yang berlawanan dengan arah gerak pesawat. Dengan begitu, maka
γ =
2
2
1
1
c
V
= 707,11.
Karena t = 0, maka menurut persamaan (4.23)
∆t’ = γ (∆t – 2c
V ∆x) = γ (−
2c
V ∆x) = (707,11)(
2
999999,0
c
c)(200.000 meter) = 0,47
detik.
Jadi, bila dilihat dari bumi kedua letusan itu tidak terjadi pada saat yang bersamaan.
(b) Menurut persamaan (4.22), dilihat dari bumi kedua gunung itu terpisah oleh jarak
sejauh
∆x’ = γ (∆x – V ∆t) = γ ∆x = (707,11)(200 km) = 141.422 km. Mengingat Banyuwangi
(termasuk kota yang terletak paling timur di pulau Jawa) dan Merak (kota yang terletak
paling barat di pulau Jawa) dipisahkan oleh jarak 1266 km, maka kedua gunung itu
tidak mungkin kedua-duanya berada di pulau Jawa.
. Kontraksi Panjang
Sekarang andaikan terdapat sebuah batang yang bergerak dengan kecepatan
tetap V terhadap pengamat di tanah sepanjang garis lurus. Dalam keadaan diam batang
itu mempunyai panjang semisal l0. Batang yang dalam keadaan bergerak hendak diukur
dari tanah oleh seorang pengamat. Pengukuran panjang batang yang sedang bergerak
berarti penentuan jarak antara dua peristiwa yang terjadi serentak pada ujung-ujung
batang itu. Jadi, ∆t = 0. Karena dalam kerangka diamnya batang itu mempunyai panjang
l0 maka panjang ∆x„ = l0 , sehingga menurut persamaan (22)
l0 = γ ∆x = γl
atau
15
l = 2
2
00 1
c
V
,
(26)
dengan l adalah panjang batang diukur dari tanah. Karena V2/c
2 selalu kurang dari 1,
namun positif maka l < l0. Batang terlihat lebih pendek dibandingkan dengan l0.
Gejala ini dikenal sebagi kontraksi panjang atau kontraksi Lorentz.
Contoh 6 : Sebuah anak panah memiliki panjang 0,5 meter ketika diukur dalam
keadaan diam di tanah. Seorang pemburu membidikkannya pada seekor bison,
sehingga anak panah itu melesat dengan laju 15 meter/detik mendatar. Berapa
panjangkah anak panah yang melesat itu diukur dari tanah?
Jawab :
Dalam masalah ini l0 = 0,5 meter dan V = 15 m/dt. Kelajuan sekian ini sama nilainya
dengan V = 5 × 10-8
c. Oleh karena itu, V2 = 2,5 × 10
-15c
2 dan
2
2
1c
V = 2/115105,21 1.
Oleh sebab itu, anak panah yang sedang bergerak mendatar dengan laju V = 15 m/dt itu
terlihat memiliki panjang l l0 = 0,5 meter. Kasus ini mengajarkan kepada kita
bahwa penyusutan untuk benda-benda yang memiliki kelajuan jauh di bawah laju
cahaya c tidak cukup ketara untuk diamati. Bandingkan sekarang dengan contoh berikut
ini.
Contoh 7 : Sebuah elektron dengan tenaga kinetik sebesar 50 MeV akan memiliki laju
0,999949c. Sebuah elektron dengan tenaga sekian itu bergerak sepanjang sumbu suatu
tabung yang panjangnya 10 meter diukur dari kerangka K yang diam terhadap tabung
itu. Andaikan kerangka K‟ merupakan kerangka yang menempel pada elektron itu. Jadi,
K bergerak dengan kecepatan 0,999949c terhadap K. Berapa panjangkah tabung itu
dilihat dari elektron yang sedang bergerak dengan laju sekian itu?
Jawab :
Di kerangka K‟ elektron dalam keadaan diam, sedangkan tabung bergerak dengan
kecepatan 0,999949c berlawanan arah dengan gerak elektron. Dalam hal ini panjang
tabung yang 9,5 meter adalah panjang tabung diukur dari kerangka diamnya, jadi ini
tidak lain adalah l0. Dan yang hendak dihitung adalah panjang tabung dilihat dari
kerangka yang ikut bergerak bersama elektron dan ini adalah l. Oleh karena itu
berdasarkan persamaan (4.26)
l = 2
2
0 1c
V ,
= (9,5 meter) 2)999949,0(1
= 0,096 meter.
16
Kontraksi panjang ini sangat tampak dan tentu tidak dapat diabaikan sama sekali. Oleh
karena itu dalam perancangan peranti-peranti yang melibatkan partikel-partikel yang
bertenaga tinggi (sama artinya dengan berkelajuan tinggi), maka gejala penyusutan
panjang ini harus benar-benar diperhitungkan.
Dilatasi Waktu
Andaikan ada dua perisiwa yang bila diamati dari tanah terjadi pada tempat yang
sama. Jadi, ini adalah dua peristiwa setempat. Dari tanah kedua peristiwa itu dipisahkan
oleh selang waktu selama ∆t. Kedua peristiwa itu bila dilihat dari sebuah pesawat yang
bergerak dengan kecepatan V terhadap tanah akan terlihat sebagai dua peristiwa yang
dipisahkan oleh selang waktu sebesar sebesar ∆t’ yang dihitung menurut
∆t’ = γ ∆t
atau
∆t’ =
2
2
1c
V
t
, (27)
yaitu dengan menggunakan persamaan (4.23). Karena V2/c
2 selalu kurang dari 1, namun
positif, maka ∆t’ > ∆t. Kedua peristiwa itu terasa terjadi lebih lama dibandingkan bila
diukur dari kerangka K. Gejala ini dikenal sebagi dilatasi waktu. Pemuluran waktu ini
dapat diamati pada berbagai gejala alam. Sebagai contoh adalah proses kelahiran dan
peluruhan zarah (partikel) elementer yang disebut muon. Partikel muon ini biasanya
lahir pada peristiwa tumbukan antara partikel-partikel bertenaga tinggi dan akan
meluruh menjadi elektron dan paratikel-partikel lain. Umur hidup muon adalah selang
waktu dari saat muon itu lahir hingga ia meluruh diukur dari kerangka acuan tempat
muon itu diam. Dari pengukuran di laboratorium, diketahui bahwa umur hidup muon
adalah 2 × 10−6
detik. Muon juga lahir pada peristiwa tumbukan antara sinar kosmik
dengan partikel-partikel (atom-atom) udara yang berada pada lapisan atmorfer paling
luar. Muon yang terlahir dengan cara semacam ini kemudian akan menuju tanah dengan
kelajuan yang sangat tinggi, bahkan mendekati laju cahaya. Seandainya saja muon itu
hidup selama 2 × 10−6
detik diukur dari tanah, maka mereka paling jauh hanya akan
menempuh jarak sekitar 600 meter dan kemudian meluruh. Suatu jarak yang amat
pendek dibandingkan dengan ketebalan atmosfer kita yang 100 kilometer. Oleh karena
itu kita tidak akan pernah melihat muon itu di atas tanah. Namun, kenyataanya muon-
muon masih teramati di permukaan bumi, bahkan dalam jumlah yang sangat besar.
Penjelasaanya, umur hidup muon yang 2 × 10−6
detik itu hanya kalau diukur dari
kerangka acuan tempat muon itu diam. Bila diukur dari bumi, yang bergerak sangat
cepat terhadap muon itu, umur hidupnya akan terukur jauh lebih lama.
1. Sebuah partikel berusia 10-7
s jika diukur dalam keadaan diam. Berapa jauh
partikel tersebut bergerak hingga sebelum meluruh, jika kelajuannya 0,99c sejak
partikel tersebut tercipta?
17
2. Andaikan anda sedang naik sebuah mobil imajiner yang bergerak dengan
kelajuan yang tidak dapat diabaikan terhadap cepat rambat cahaya. Pada saat itu
anda melongok ke luar jendela mobil dan melihat ada sebuah gambar elips yang
cukup lonjong. Benarkah yang anda lihat itu elips yang lonjong?
3. Sebuah pesawat bergerak dengan kelajuan 300 m/s, berapakah waktu terbang
yang diperlukan agar jam penumpang pesawat menjadi terlambat 1 detik dari
jam orang-orang yang di bumi (pada awalnya jam penumpang dan orang yang di
bumi di cocokkan agar tidak berbeda)?
4. Galaksi dalam konstelasi Ursa Mayor menjauhi bumi dengan kelajuan 15.000
km/s. Galaksi tersebut memancarkan gelombang elektromagnetik dengan
panjang gelombang 5.500 „amstrong‟. Menurut orang dibumi, panjang
gelombang yang diterima bergeser berapa ‟mstrong‟?
5. Seorang astronot saat di bumi diukur mempunyai tinggi 170 cm. Jika astronot
tersebut berbaring sejajar dengan sumbu pesawat angkasa yang sedang bergerak
dengan kelajuan 0,8c relatif terhadap bumi, berapakah tingginya saat diukur oleh
orang-orang dalam pesawat? Berapa pula tingginya bila diukur oleh pengamat
yang ada di bumi?
6. Seorang astronot berangkat mengunjungi planet berjarak 1 tahun cahaya (jarak
yang ditempuh cahaya selama bergerak dalam satu tahun) dari bumi
menggunakan pesawat dengan kelajuan 0,95c relatif terhadap bumi. Berapakah
perbedaan umur astronot tersebut saat kembali ke bumi jika dibandingkan
dengan umur sesungguhnya jika berada di bumi?
5 Transformasi Lorentz untuk Momentum dan Tenaga
Ditinjau sebuah benda bermassa m, yaitu massa benda diukur dalam keadaan
diam terhadap pengukur. Benda tersebut diandaikan mempunyai kecepatan V terhadap
kerangka acuan K. Penerapan kedua postulat relativitas Einstein dalam ruang
momentum tenaga (tidak akan diuraikan secara rinci di sini. Untuk itu, anda dapat
membuka buku-buku seperti yang disebutkan dalam daftar pustaka.) memberikan hasil
bahwa momentum benda tersebut bila diukur di K ialah
p =
2
2
1c
V
m
V. (28)
Tenaga keseluruhan yang dimiliki oleh benda tersebut (tidak termasuk tenaga potensial)
diberikan oleh
E =
2
2
2
1c
V
mc
. (29)
Untuk V = 0 benda tersebut mempunyai tenaga yang dikenal sebagai tenaga diam benda
sebesar
E0 = mc2. (4.30)
Tenaga gerak (kinetik) benda itu diberikan oleh
18
Ek = E – E0
Ek = 2
2
2
2
1
mc
c
V
mc
(31)
Contoh 8 : Untuk V yang sangat rendah (dibandingkan dengan c), V2/c
2 menjadi
sangat kecil. Oleh karena itu, faktor dapat dituliskan sebagai
=
2
2
1
1
c
V
1 + 2
12
2
c
V
(Untuk saat ini mohon diterima saja persamaan ini. Bukti lengkap atas persamaan ini
bisa anda dapatkan di buku-buku kalkulus.). Berdasarkan persamaan tersebut, hitunglah
tenaga kinetik untuk benda-benda yang bergerak dengan kelajuan rendah!
Jawab :
Bila ungkapan untuk yang terakhir ini kita masukkan ke dalam persamaan (31), maka
didapatlah
Ek = mc2(1 +
2
12
2
c
V) – mc
2 = mc
2(1 +
2
12
2
c
V – 1) =
2
1mV
2.
Ini tidak lain adalah ungkapan untuk tenaga mekanik yang telah diberikan pada buku
jilid 1 dan 2.
Persamaan (28) dan (29) dapat ditulis dalam bentuk
p = m‟V (32)
dan
E = m’c2, (33)
dengan
m’ =
2
2
1c
V
m
. (34)
Massa m adalah massa benda yang diukur ketika benda dalam keadaan bergerak.
Karena faktor
2
2
1
1
c
V
> 1,
maka m’ > m. Hal inilah yang disebut sebagai “pemekaran” massa.
19
Contoh 9 : (a) Berapakah massa sebuah peluru yang sedang melesat dengan laju V =
15 m/dt, bila massa peluru itu dalam keadaan diam 10 gram? (b) Berapakah laju peluru
itu agar massa peluru itu teramati 10 kali lebih besar bila diukur dari tanah?
Jawab :
(a) Dari contoh enam kita ingat bahwa untuk kecepatan serendah 15 m/dt itu, 1. Jadi,
pemekaran massa peluru itu tidak begitu teramati.
(b) Bila peluru yang sedang bergerak itu terlihat bermassa 10 kali lebih besar daripada
massa terukur diam di tanah, maka
10 × (10 gram) = (10 gram) .
Jadi, = 10. Untuk itu
2
2
1
1
c
V
= 10.
Persamaan ini dipenuhi jika V = 0,995c.
Contoh 10 : Sebuah batang memiliki panjang l0 = 1,00 m dan massa m = 1,00 kg bila
diukur dalam keadaan diam di tanah. Berapakah rapat massa linier batang itu, yakni
massa batang persatuan panjang, dalam keadaan bergerak dengan kelajuan 0,5c diukur
dari bumi?
Jawab :
Bila massa jenis linier batang itu pada saat diam di bumi, maka tentulah = m/l0.
Selanjutnya bila ‟ massa jenis linier batang itu dalam keadaan bergerak dengan
kelajuan 0,5c, maka ‟ = m’/l, dengan
m’ =
2
2
1c
V
m
dan l = l0 2
2
1c
V .
Jadi,
‟ = m’/l =
2
2
1c
V
m
÷ l0 2
2
1c
V =
2 .
Karena = m/l0 = 1,00 kg/m dan 2 = 1,33 maka ‟ = (1,33)( 1,00 kg/m) = 1,33 kg/m.
Jadi, batang itu bertambah padat.
Menggunakan persamaan (28) dan (29) dapat dibuktikan bahwa
E2 – p
2c
2 = m
2 c
4 (35)
Inilah persamaan terkenal yang mengaitkan energi total (E) dengan momentum (p).
20
Andaikan dari kerangka acuan K sebuah benda teramati mempunyai momentum
p = px i + py j + pz k dan tenaga E. Andaikan bila benda tersebut diamati dari kerangka
K‟ mempunyai momentum p‟ = p’x i + p’y j + p’z k dan tenaga E’, maka
px‟ = γ (px – 2c
V E) (36a)
E’ = γ ( E – V px) (36c)
py‟ = py (36c)
pz „ = pz. (36d)
Kerangka acuan K‟ bergerak sepanjang sumbu-x dengan kecepatan V = Vi.
Transformasi terakhir ini dikenal sebagai transformai Lorentz untuk momentum dan
tenaga. Persamaan (36) diperoleh dari penerapan prinsip relativitas pad ruang
momentum-tenaga.
Diketahui : massa elektron = 9,1 x 10-31
kg, massa proton = 1,67 x 10-27
kg, 1 eV =
1,602 x 10-19
J
1. Massa sebuah partikel ketika bergerak menjadi tiga kali massa saat diamnya,
berapakah kelajuan partikel tersebut?
2. Apa konsekuensi penerapan persamaan (4.34) untuk foton (khususnya) dan
(barangkali) partikel-partikel lain yang mampu bergerak secepat cahaya?
3. Sebuah elektron berenergi kinetik sebesar 0,1 MeV. Tentukanlah kelajuannya
menurut mekanika klasik dan teori relativitas!
4. Sebuah partikel mempunyai energi relativistik total 6 MeV dan momentum 5
MeV/c. Berapakah massa diam partikel tersebut?. Jika partikel tersebut diamati
dari kerangka lain yang bergerak dengan kelajuan 0,5c dari kerangka lama,
berapakah energi relativistik totalnya dan momentumnya?
4.6 Daftar Pustaka
1. Bergmann, P.G. .1942. Introduction to the Theory of Relativity, Prentice-Hall, Inc.,
USA.
2. Brehm , J.J. dan Mullin., 1989. Introduction to The Structure of Matter, Edisi
pertama, John Wiley & Son, New York.
3. Greiner, W. dan Rafelski, J., 1992, Spezielle Relativitätstheori, edisi ketiga, Verlag
Harri Deuthsch, Frankfurt am Main.
4. Resnick, R., 1972. Basics Concepts of Relativity and Early Quantum Theory. John
Wiley & Son. New York.
4.7 Proyek Kita