3

NDICE

RESUMO......................................................................................................... 4

1. INTRODUO ............................................................................................ 5

2. OBJETIVO GERAL ................................................................................... 11

2.1 Objetivos especficos ............................................................................... 11

3. MATERIAIS E MTODOS .................................................................. 12

3.1 Medidas Pr-coliso ........................................................................... 12

3.2 Medidas Ps-coliso ........................................................................... 13

4. RESULTADOS E DISCUSSO ........................................................... 14

5. CONCLUSO ..................................................................................... 18

APNDICE A ................................................................................................. 19

APNDICE B ................................................................................................. 25

APNDICE C ................................................................................................ 30

REFERNCIAS ............................................................................................. 33

4

RESUMO

As colises podem ser de duas maneiras: elsticas e inelsticas. Esta

prtica teve como objetivo o estudo de colises elsticas bidimensionais,

utilizando-se de conceitos como energia cintica e momento linear, estes

relacionados com o experimento por meio de suas leis de conservao.

Lanou-se dez vezes uma esfera de ferro de uma rampa, a qual colidiu com

outra esfera, tambm de ferro, parada no fim da rampa. Aps a coliso, elas

foram lanadas, em queda livre, com um ngulo de 90. Verificou-se que tal

mtodo experimental resultou em erros sistemticos e aleatrios inexpressveis

pois o ngulo resultante est de acordo com a teoria de colises.

5

1. INTRODUO

No estudo das colises entre corpos ideais (partculas puntiformes),

analisam-se as conservaes de duas grandezas: a quantidade de movimento

linear e a energia cintica. Porm, para que exista coliso, no

necessariamente deve haver contato entre os corpos ou interao entre os

mesmos. Um exemplo disso a coliso entre prtons e eltrons

(NUSSENZVEIG, et.al. 2002).

Para um sistema formado por duas partculas de massas e , que

se movem com velocidades v e v

, respectivamente, define-se a quantidade

de momento linear como:

P

v + v

(1)

E a energia cintica como:

K =

+

(2)

A lei da conservao da quantidade de movimento linear estabelece

que: Na ausncia de foras externas, a quantidade de movimento linear de um

sistema de partculas permanece constante (GOLDEMBERG, 1977).

v

p

(3)

Durante uma coliso (que ocorre em um curto intervalo de tempo), a

intensidade da fora impulsiva de interao entre as partculas muito mais

intensa que quaisquer foras externas que possam existir. Ento, as foras

externas sero desprezveis frente fora impulsiva de interao e a

quantidade de movimento linear do sistema de partculas se conserva, ou seja,

a mesma imediatamente antes e logo aps a coliso (BEER, et. al. 1991).

Quando a massa das duas partculas que colidem so idnticas, o

produto escalar dos momentos lineares finais deve ser identicamente nulo (eles

6

so perpendiculares entre si), ou seja, a soma dos ngulos em que as

partculas saem aps a coliso igual a

(ESPINOZA, 2013).

Segundo Rampinelli (2002) as colises so classificadas em elsticas

ou inelsticas conforme a conservao ou no da energia cintica do sistema

de partculas. Se a energia cintica tambm foi conservada, esta coliso ser

dita elstica. Caso contrrio, ser considerada inelstica.

A energia cintica depende das massas e dos mdulos das

velocidades das partculas sendo, ento, uma grandeza escalar. Portanto, a

anlise da sua conservao feita comparando-se os valores obtidos a partir

da aplicao direta da equao dois ao sistema de partculas antes e depois da

coliso.

Entretanto, como a quantidade de movimento linear uma grandeza

vetorial, a anlise de sua conservao deve ser feita com mais cuidado.

necessrio, primeiramente, decompor o vetor quantidade de movimento linear

(equao um) em relao a um sistema de referncia, a fim de obter suas

componentes e e, s ento, a comparao poder ser realizada. Dado um

sistema de referncia, pode-se escrever:

+ (4)

+ (5)

Onde , , e so as componentes dos vetores velocidades

das partculas neste sistema de referncia. Ilustra-se a transferncia do

momento:

7

Figura 1. Demonstrao do Momento Linear de coliso das partculas.

A fora externa que atua no sistema na projeo horizontal do

movimento das esferas, nula tanto antes como aps a coliso, desprezando a

fora de atrito, portanto, podemos considerar que o momento linear horizontal

conserva-se durante a coliso.

De acordo com Halliday (1993) quando um corpo cai no vcuo, de forma

que a resistncia do ar no afete seu movimento, comprovamos um fato

notvel: todos os corpos, quaisquer que sejam seus tamanhos, formas ou

composio caem com a mesma acelerao no mesmo local prximo da

superfcie da Terra. Esta acelerao, indicada pela letra g, denominada

acelerao de queda livre (ou s vezes acelerao devida gravidade).

O valor exato da acelerao de queda livre varia com a latitude e com a

altitude. H tambm variao significativa causada por diferenas na densidade

local da crosta terrestre (HALLIDAY, 1993). O mdulo desse movimento de

queda livre pode ser encontrado partindo das equaes a seguir:

(6)

(7)

(8)

(9)

8

(10)

Figura 3. Representao de um corpo em queda livre

Fonte: Mundo Educao

O movimento de projteis um movimento com acelerao constante,

bidimensional, de uma partcula lanada obliquamente no ar. Este movimento

se realiza com a acelerao constante g, dirigida para baixo. Embora possa

haver uma componente horizontal da velocidade, no h componente

horizontal da acelerao.

(11)

(12)

9

Figura 3. Demonstrao do lanamento oblquo na horizontal, preceito para o

movimento balstico, de um corpo.

Fonte: Os Fundamentos da Fsica

A componente horizontal da velocidade mantm seu valor inicial ao

longo de todo o movimento. J a componente vertical de velocidade a queda

livre. Ela muda com o tempo devido acelerao constante para baixo,

conforme a figura 3 (HALLIDAY, et. al. 2008).

O caso abrangido na prtica envolve uma partcula que se move em um

plano vertical com velocidade inicial v0 e com uma acelerao constante, igual

acelerao de queda livre, dirigida para baixo, e seu movimento chamado

de movimento balstico, demonstrado na figura 4

10

Figura 4. Esquematizao do movimento balstico realizado.

Segundo Young (2003) o lanamento Horizontal pode ser considerado,

de acordo com o princpio da simultaneidade, como o resultado da composio

de dois movimentos simultneos e independentes: queda livre (movimento

vertical, sob ao exclusiva da gravidade, sendo uniformemente variado, pois

sua acelerao se mantm constante) e movimento horizontal (movimento

uniforme, pois no existe nenhuma acelerao na direo horizontal; o mvel o

realiza por inrcia, mantendo a velocidade com que foi lanado).

Este relatrio descreve a verificao da conservao da energia

cintica, da conservao do momento linear e do sistema de dois corpos que

colidem elasticamente.

11

2. OBJETIVO GERAL

Verificar a conservao da energia cintica e do sistema de dois corpos

que colidem elasticamente.

2.1 Objetivos especficos

Representar vetorialmente o momento linear de dois corpos e observar

as colises elsticas em duas dimenses.

12

3. MATERIAIS E MTODOS

Realizou-se um experimento de coliso elstica bidimensional, onde

foram utilizados o conjunto para Lanamentos Horizontais Moller, composto por

um trip, trs sapatas niveladoras amortecedoras, uma rampa de Lanamentos

com escala de posicionamento vertical, haste, suporte regulvel de apoio da

esfera alvo, prumo removvel e mufla abraante, uma chave inversora

normalmente aberta, um conjunto fixador e alinhador com bobina e conexo

eltrica polarizada, duas esferas metlicas e idnticas, duas folhas de papel

carbono e duas folhas de papel milimetrado, fita adesiva, lpis, rgua e um

transferidor.

A Rampa de Lanamentos Horizontal de Projteis foi usada para definir

as condies iniciais do momento antes da coliso e das velocidades iniciais

das duas esferas, onde uma delas estava em repouso ( ). Para

simplificao do experimento considerou-se as duas esferas metlicas como

idnticas, e ento, foram pesadas na balana para encontrar suas massas. A

origem de coordenadas foi escolhida baseando-se na esfera em repouso, onde

esta foi solta de sua altura inicial at alcanar o papel milimetrado, repetidas

vezes.

O plano de coliso foi definido como sendo aquele paralelo base da

rampa de lanamento, que passa pelo nvel zero da mesma e pela posio do

alvo (com o suporte regulvel).

3.1 Medidas Pr-coliso

Mediram-se as alturas h acima do nvel zero da rampa, e a altura H da

rampa. No lanamento livre da massa M1 (lanamento horizontal de projtil) do

topo da rampa, realizado 10 vezes, pode-se medir o seu alcance mdio por

meio da visualizao de um aglomerado de pontos e calcular com isso o tempo

de vo e a velocidade V1i antes da coliso. Mediram-se o desvio longitudinal e

transversal relativo ao alcance mdio, o momento linear e a energia cintica

para a massa M1.

13

3.2 Medidas Ps-coliso

Ao encontrar a posio correta para o suporte, colocou-se as duas

esferas nas suas respectivas posies, a esfera 1 na parte superior da rampa

com altura h e a esfera 2 perto da sada da rampa, em certa distncia

calculada. Realizou-se o experimento soltando a esfera 1 para que ocorresse a

coliso elstica, repetiu-se o procedimento 10 vezes, obtendo um aglomerado

de pontos tanto para M1 como para M2.

Utilizou-se o mtodo da medida dos alcances das duas esferas

lanadas, aps a coliso, para determinar as velocidades finais das mesmas,

pois o movimento de cada esfera, a partir do plano de coliso, parablico.

Mediram-se o ngulo mdio e seus desvios de acordo com as direes dos

vetores velocidades aps a coliso, as energias cinticas finais e momentos

lineares finais.

14

4. RESULTADOS E DISCUSSO

Na coliso elstica bidimensional tem-se que o momento linear do

sistema deve ser conservado, assim como a energia total, que apesar de poder

se converter em outras formas, as energias cinticas antes e aps a coliso

sero iguais.

Considerou-se o caso particular da coliso entre corpos de mesma

massa, onde a massa mdia encontrada para as duas esferas metlicas foi de

0,01624g. Como uma das esferas parte do repouso (M2), as direes do

movimento que elas fazem aps a coliso precisam fazer um ngulo de 90

entre si.

O ngulo encontrado foi de 90 com um erro de graus. Este valor

est dentro das expectativas, pois devido ao fato de no lanamento da esfera

M1 haver uma variao na altura de referncia para solt-la, ocorre formao

de um aglomerado de pontos que faro parte do erro dessa medida, e tambm

pela possvel ocorrncia de uma inclinao da rampa no decorrer dos

lanamentos.

Para o clculo da velocidade inicial da esfera M1 no momento antes da

coliso realizou-se o seu lanamento livre pela rampa, repetidas vezes, e

mediu-se o alcance mdio (0,188m), assim como a altura da rampa H

(0,198m). Como o movimento descrito por ela o mesmo de um lanamento

horizontal de projtil, pode-se utilizar as Equaes (14) e (15) para encontrar o

tempo de vo e a sua variao, respectivamente. Porm, como a variao do

tempo foi muito pequena, esse erro foi desconsiderado em todos os outros

clculos. Por meio da Equao (16) calculou-se a velocidade inicial da esfera

M1 utilizando o alcance medido anteriormente, onde o erro do alcance foi de

m devido aglomerao de pontos pelos diversos lanamentos

consecutivos. O erro da velocidade inicial foi calculado por meio da

Equao (17). Os clculos para as Equaes descritas esto no Apndice A.

No caso da esfera M2, como estava em repouso no incio, sua

velocidade inicial foi igual zero.

Aps as velocidades serem encontradas foi possvel calcular o

momento inicial, , da esfera M1 (pois para a esfera M2 o momento inicial

15

foi igual a zero) e a energia cintica inicial, , por meio das Equaes

(18) e (20), respectivamente. Os erros pertinentes a essas duas medidas foram

calculados mediante as Equaes (19) e (21), respectivamente. Os clculos

esto descritos no Apndice A.

Na tabela 1, a seguir, esto descritos os valores encontrados para as

velocidades iniciais, momento inicial e energia cintica inicial para as duas

esferas com seus respectivos erros.

Tabela 1. Valores calculados de velocidade, momento e energia cintica iniciais.

Esferas Velocidade inicial

com o erro (m/s)

Momento linear

inicial com o erro

(kg.m/s)

Energia cintica

inicial com o erro

(J)

M1 0,94 0,020 0,015 5,6x10-4 7,2x10-3 3,8x10-4

M2 0 m/s 0 0 N*m

Aps a coliso pode-se determinar, mediante o valor encontrado, no

incio, do tempo de vo, as velocidades finais em x e em y de cada uma das

esferas. As componentes em x e em y so utilizadas, pois o alcance medido no

papel milimetrado tem componente tanto em x como em y.

As velocidades finais e foram calculadas por meio do

mesmo princpio anterior (lanamento de projtil), utilizando os alcances

encontrados em x e em y para cada esfera e o tempo de vo do incio para as

duas esferas. Pela utilizao da Equao (22) encontraram-se as velocidades

em x e em y da esfera M1, e os erros pertinentes a cada componente foram

calculados por meio das Equaes (24) e (25). De modo anlogo, foram

calculadas as velocidades em x e em y para a esfera M2 pela Equao (23) e

os erros para cada componente por meio das Equaes (26) e (27). Esses

clculos esto dispostos no Apndice B.

Os clculos dos momentos lineares finais, e , para a

esfera M1 e M2 foram feitos para cada componente x e y. A Equao (28) foi

utilizada para o clculo do momento linear final da esfera M1 e os erros para

cada componente foram calculados por meio das Equaes (29) e (30). Para a

esfera M2 foi utilizada a Equao (31) para encontrar as velocidades finais em x

16

e y, os erros para cada componente foram calculados por meio das Equaes

(32) e (33) Todos os clculos esto presentes no Apndice B.

Foi determinado o mdulo da velocidade final da esfera M1 e da esfera

M2 por meio da hipotenusa do tringulo formado pelas componentes em x e em

y dos alcances das esferas no papel milimetrado (Equaes (21) e (22)), onde

estas foram utilizadas no clculo das energias cinticas finais e .

Estes clculos foram feitos por meio das Equaes (25) e (26) para M1 e M2

respectivamente, e os erros pertinentes de cada medida por meio das

Equaes (27) e (28), respectivamente.

Na Tabela 2, a seguir, esto dispostos os valores calculados das

velocidades finais (em x e y), momentos lineares finais (em x e y) e energias

cinticas finais, com seus respectivos erros, para as duas esferas.

Tabela 2. Valores encontrados para velocidade, momento e energia cintica finais,

com os erros respectivos, para as esferas metlicas.

Esfera

Velocidade

final em x

com o erro

(m/s)

Velocidade

final em y

com o erro

(m/s)

Momento

linear final em

x com o erro

(kg.m/s)

Momento linear

final em y

(kg.m/s)

Energia cintica

final (J)

M1 0,28 0,030 0,45 0,050 0,0045 5,0.10-4 0,0073 8,4.10-4 2,3.10-3 3,2.10-4

M2 0,62 0,040 0,38 0,050 0,010 7,1.10-4 0,0062 8,4.10-4 4,4.10-3 5,5.10-4

Como deve haver a conservao do momento e da energia, a energia

cintica inicial deve se igualar a energia cintica final, onde a inicial dada

somente pela esfera M1 e a final a soma da energia das duas esferas, ao

mesmo tempo em que o momento linear inicial (composto somente pelo da

esfera M1) deve ser igual ao momento linear final, da soma dos momentos das

duas esferas. Os clculos para as duas conservaes esto no Apndice C.

Tem-se que, quando a variao do erro total propagado da energia

maior ou igual variao de energia, esta conservada. Para o momento

17

utiliza-se o mesmo fundamento. A partir disso, pode-se dizer que tanto o

momento linear quanto a energia cintica foram conservadas, e os clculos

pertinentes a estas conservaes esto no Apndice C.

Obteve-se que, para o momento linear o erro calculado foi de 1,0.10-3

em x, que foi igual variao do momento, de 1,0.10-3, em x. No entanto, para

o momento na direo y, o momento resultante foi e o erro foi

, sendo maior que o momento resultante. Para a energia cintica o erro

calculado foi de que maior que a variao da energia, de 5,0.10-4.

18

5. CONCLUSO

Por meio da anlise dos dados obtidos neste experimento pode-se

observar que houve a comprovao do modelo terico, que afirma que na

coliso elstica entre duas esferas de massas idnticas h a disperso das

mesmas, aps o choque, em direes que formam um ngulo de 90 entre si,

onde no experimento o ngulo encontrado foi de 90 3. Afirma tambm que, o

momento linear e a energia cintica do sistema so conservados. Verificou-se

que, apesar de todos os erros provenientes do experimento, a energia cintica

e o momento linear foram, de fato, conservados.

19

APNDICE A

Clculo do tempo de voo, variao do tempo de voo, velocidade inicial e

variao da velocidade da esfera 1, momentum linear e energia cintica inicial

e propagao dos erros para a esfera 1.

(14)

tvoo = tempo de voo (s)

H = altura (m)

g = 9,81 m/s2 (constante)

Propagao dos erros:

20

(15)

onde:

t = erro para o tempo (s)

tvoo = tempo de voo (s)

H = altura (m)

H = erro para a altura (m)

Clculo da velocidade da esfera:

(16)

onde:

= velocidade (m/s)

tvoo = tempo de voo (s)

= alcance (m)

Substituindo os valores tm-se:

21

Clculo da variao da velocidade pela propagao de erros:

(17)

Como o erro do tempo desconsiderado em comparao ao erro do

alcance:

Substituindo os valores relacionados Velocidade 1:

22

Clculo do momento linear:

(18)

Para a esfera 1, tem-se:

(19)

onde:

= momento linear da esfera 1 (kg/m.s)

m1 = massa da esfera 1 (kg)

= velocidade inicial da esfera 1 (m/s)

Substituindo os valores na equao, tem-se:

Para calcular o erro do Momentum Linear:

(20)

23

Substituindo os valores para determinar a variao de Momentum Linear inicial:

Clculo da Energia Cintica:

(21)

Aplicando a Equao esfera 1:

24

Calculando o erro da energia cintica:

Para o clculo da propagao de erros da Energia Cintica da esfera 1:

25

APNDICE B

Clculo das velocidades finais e seus erros, momentum final de cada

esfera e a propagao de erros, mdulo das velocidades e seus erros e a

energia cintica final de cada esfera juntamente com a propagao de erros.

Calculando as velocidades finais:

(22)

(23)

Calculando a propagao de erros nas velocidades:

(24)

(25)

26

Clculo do Momentum Linear Final de cada esfera:

(28)

(29)

(30)

27

(31)

(32)

(33)

Clculo do mdulo das velocidades finais das esferas:

(34)

(35)

28

Clculo da propagao dos erros das velocidades finais das esferas:

(36)

(37)

Clculo da Energia Cintica Final de casa esfera:

(38)

(39)

29

Clculo da propagao dos erros da Energia Cintica Final das esferas:

(40)

(41)

30

APNDICE C

Clculo da conservao do momentum linear e da energia cintica com

a propagao de erros.

Calculando a conservao do momentum linear:

(42)

Desdobrando na direo x:

Calculando o erro da soma do Momentum Final em x:

Calculando a propagao do erro da diferena entre o Momentum Inicial e

Final:

31

Momentum Resultante em x:

Desdobrando em y:

Calculando a propagao do erro na soma do Momentum Final em y:

Calculando o Momentum Final em y:

Calculando a Conservao da Energia Cintica:

32

Calculando a propagao dos erros da soma da Energia Cintica Final:

Calculando a propagao dos erros da diferena da Energia Cintica Inicial e

Final:

33

REFERNCIAS

BEER, P.F; JOHNSTON, E.R.. Mcanica Vetorial para Engenheiros. Vol.2., 5

Edio, So Paulo, Editora MCGraw-Hill. 1991.

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GOLDEMBERG, J.,Fsica Geral e Experimental, vol. 1. 3 edio, Companhia

Editora Nacional, 1977.

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.. Fundamentos de fsica 1

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HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.. Fundamento de fsica, volume 1:

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QUIONES, F. R. E. Apostila de Aula prtica: Coliso elstica bidimensional.

Centro de engenharias e cincias exatas. UNIOESTE. Paran, 2011.DA SILVA,

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YOUNG, HUGH D.. Fsica I: Mecnica . 10ed. So Paulo: Pearson, 2003

34