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REMUNERAÇÃO DE CAPITAIS
Registro 496.115 – FBN – 21/05/2010
PARTE I – TEÓRICA
PARTE II – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Uma conotação objetiva, com abordagens conceituais e exercícios resolvidos,
para estudantes e para quem gosta de valorizar seus recursos financeiros.
Autor: Mourão Lobato
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PARTE I – TEÓRICA
Para evitar desconfigurações nas fórmulas de juros compostos, houve
necessidade de adoção de símbolos de configuração. Assim, quando verificar em
uma fórmula composta o termo ( ^ ) , significa elevado a, ou exponencial; e ( . ou
x ou *), significa multiplicação. Também nos capítulos sobre Anuidades,
considerei o Fator Price como sendo ( 1/a___n ! i ).
ABORDAGEM INICIAL
Antes de adentrarmos aos conceitos sobre remuneração de capitais,
faremos uma abordagem rápida e necessária sobre álgebra.
1. Símbolos Matemáticos Utilizados nos Sistemas Informatizados:
1. Multiplicação: ( x , . , * )
2. Divisão: ( : , / )
3. Exponencial: ( ^ )
4. Separadores de operações nas equações: {colchetes}, [chaves],
(parênteses). São utilizados para facilitarem a visualização, compreensão e
segurança nos mecanismos das operações de multiplicações, divisões, somas,
subtrações e exponenciações simultâneas nas equações algébricas.
2. Desenvolvimento de Equações Algébricas:
1. Operações com Multiplicação:
A + B x C ou A + (B x C)
A + B . C ou A + (B . C)
A + B * C ou A + (B * C)
2. Operações com Divisão:
A + B / C ou A + (B / C)
3
A + B : C ou A + (B : C)
3. Operações com Exponencial:
A + B ^ C ou A + (B ^ C)
4. Operações Mistas:
{(A + B) x (C+D) / E} + F ou {(A + B) x [(C+D) / E ]+ F}
(A+B) . (C+D) : (E+F) ou (A+B) x (C+D) : (E+F)
(A + B)² x (C+D) / (E + F) ou [(A + B) ^2 ] x [(C+D) / (E+ F)]
P = VF x [ ((1+i) ^ n) x i ] / {[ (1+i) ^ n ] – 1 }
P = VF x i x [ (1+i) ^ n ] / {[ (1+i) ^ n ] – 1}
ou
P = VF . [ ((1+i) ^ n) . i ] / {[ (1+i) ^ n ] – 1 }
P = VF . i . [ (1+i) ^ n ] / {[ (1+i) ^ n ] – 1}
OBJETIVO
Detectar as variações de Capitais e suas formas de cálculos, tendo como
referenciais: a taxa de juros; o capital aplicado; e o tempo de aplicação.
1. Porcentagens
As relações percentuais são bastante úteis em nosso cotidiano.
Podemos utilizá-las em cálculos de participações de lucros, em relações de
grandezas numéricas, comparando-se uma parte com o todo, em análises
financeiras de estrutura (ou vertical), horizontal (ou de evolução, ou de
crescimento).
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As terminologias adotadas são: x% (x por cento); percentual; porcentagem;
variação percentual.
Exemplos:
1. Imaginemos que em uma sala de aula existam dez alunos, sendo
quatro morenos (x), três louros (y) e três negros (z). Qual a relação percentual de
cada grupo de alunos em relação ao total de alunos?
Sendo 10 alunos, correspondentes a 100% do conjunto de alunos (x, y, z):
% x = 4 / 10 = 0,4 = 40%
% y = 3 / 10 = 0,3 = 30%
% z = 3 / 10 = 0,3 = 30%
2. Uma sociedade composta por três sócios possui a seguinte
distribuição de cotas de seu capital, cabendo ao sócio A, 30%, ao sócio B, 40% e
ao sócio C, o restante. Supondo-se um lucro a distribuir de $50, quanto caberá ao
sócio C?
O total de cotas corresponde a 100% do capital da sociedade.
As participações percentuais de cada sócio serão:
A = 30 / 100 = 30%; B = 40 / 100 = 40%; C = 30 / 100 = 30%
Sendo o lucro a distribuir de $50, ao sócio C caberá:
$50 x 30% = $15
3. Uma sociedade apresentou a seguinte demonstração de resultados:
Vendas Líquidas $1.000
(-) Custo Operacionais $ 600
= Lucro Bruto $ 400
(-) Despesas Operacionais $ 200
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Qual o percentual do custo dos produtos, do lucro bruto e das despesas
operacionais em relação às vendas líquidas? Qual será o percentual do lucro
operacional?
% do Custo = 600 / 1000 = 60 / 100 = 60%
% do Lucro Bruto = 400 / 1000 = 40 / 100 = 40%
% das despesas operacionais = 200 / 1000 = 20%
O lucro operacional será igual ao lucro bruto menos as despesas
operacionais, ou seja, (40% - 20%) = 20%.
2. Regime de Juros Simples
Nos capítulos posteriores utilizaremos, para efeito de cálculo, a seguinte
convenção:
- um ano comercial equivale a 12 meses;
- um mês comercial equivale a 30 dias;
- um ano comercial equivale a (12 x 30 dias), ou 360 dias.
2.1. Juros Simples
Neste sistema, os juros são proporcionais ao período ou tempo de
aplicação.
O valor dos juros calculados está sempre associado ao tempo aplicado.
J = C.i.n
J = juros; C = capital aplicado;
i = taxa de juros; n = período da aplicação.
Exemplos:
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1. Qual o juro proporcionado pela aplicação de $100, durante 2 meses,
à taxa de juros simples de 2% ao mês?
C = $100; n = 2 meses; i = 2% ao mês.
J = $100 x 2% x 2 = $4
Assim, o valor dos juros ( J ) será de $4, ou 4% de $100.
A taxa de juros deverá estar associada ao tempo da aplicação, ou seja:
. 2% ao mês, quando o período de aplicação for o mês;
. 2% ao bimestre, quando o período de aplicação for o bimestre (equivale a
1% ao mês);
. 2% ao ano, quando o período for o ano.
2.2. Montante no Regime de Juros Simples
Consiste em determinar o valor total de juros produzidos, a partir de
determinado capital aplicado, após determinado tempo de aplicação.
A partir da fórmula (j = c.i.n), podemos chegar à seguinte fórmula geral de
montante no regime de juros simples:
1o. período J1 = C.i
M1 = C + C.i = C(1 + i) M1 = C(1 + i);
2o. período J2 = C.i
M2 = M1 + C.i M2 = C + C.i + C.i M2 = C (1+ 2i);
3o. período J3 = C.i
M3 = M2 + C.i M3 = C(1 + 2i) + C.i
M3 = C (1+ 2i + i) M3 = C (1+ 3i)
Podemos perceber que a cada período o novo montante será acrescido de
(J = C.i.n) ao capital inicial, tal que:
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Mt (montante total) = C (capital inicial) + J1 + J2 + J3 + ... + Jn;
Como J1 = J2 = J3 = ... = Jn, podemos deduzir que o total de juros será de
(n.J) ou (n.C.i).
Assim, a fórmula do Montante a juros simples será:
Mn = C . (1 + i . n)
Exemplo:
1. Calcular o montante produzido pelo capital $100, aplicado por 8
meses, à taxa de 12% ao ano, no regime de juros simples.
C = $100; n = 8 meses; i = 12% ao ano, ou seja, 1% ao mês.
M8 = $100 x (1+ 1%x8) = $100 x 1,08 = $108; ou
M8 = $100 x (1 + 8/12 x 12%) = $100 x (1+8%) = $100 x 1,08 = $108
Assim, o valor do montante M8 será de $108.
2.3. Desconto Simples
Possui duas formas distintas: Desconto por Fora ou Comercial e Desconto
por Dentro ou Racional.
2.3.1. Desconto Simples por Fora, ou Desconto Comercial
Consiste em determinar o valor líquido (VL) que se quer receber, tendo
como referência um valor ou capital futuro (VF), descontado a juros simples, à
taxa (i), em n períodos antes de seu vencimento.
VL = VF – Dc
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Sendo:
Dc = VFxin e VL = VF – VF x i.n
Podemos escrever que:
VL = VF. (1 - i.n)
Exemplo:
1. Qual o desconto simples por fora sofrido por um título de $1000,
descontado 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de juros simples de 5% ao
mês?
VF = $1000; i = 5% ao mês; n = 2 meses
VL = VF (1 - i.n) = $1000 x (1 - 5% x 2) = $1000 x 0,90 = $900 =>VL = $900
Valor do Desconto Comercial (DC):
VF - VL = $1000 - $900 = $100;
Ou,
Dc = VF x ni = $1000 x 5% x 2 = = $1000 x 10/100 = 100
Dc = $100
2.3.2. Desconto Simples por Dentro ou Desconto Racional
Consiste em determinar o valor líquido (VL), ou valor presente, tal que,
acrescido a um valor de desconto (D), proporcionado pelo desconto a uma taxa i,
encontremos o valor futuro (VF).
VL + VL.i.n = VL.(1 + i.n) = VF
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VL = VF / (1 + i.n)
Considerando VL o Capital Inicial (C) e VF o Montante Final (M), temos:
C = M / (1 + i . n )
M = C. (1+ i . n)
Exemplo:
1. Qual o desconto por dentro de um título de $1000, descontado 2
meses antes do vencimento, à taxa de 5% ao mês?
VF = $1000; i = 5% ao mês; n = 2 meses.
VL = VF / (1 + i.n) = 1000 / (1 + 5% x 2) = 1000 / 1,10
VL = $909,09
Valor do Desconto Racional (DR):
Dr = VF - VL = $1000 - $909,09 = 90,91
Dr = $90,91
3. Regime de Juros Compostos
3.1. Juros Compostos
Consiste em calcular os juros proporcionados pela incidência de
determinada taxa de juros i, composta, sobre o capital inicial no primeiro instante
e sobre o montante Mk nos demais instantes, sendo (k = 1 até n períodos), de
forma que o montante antecedente seja o capital sobre o qual incidirá a taxa i
para cálculo do montante consequente.
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1o. período:
J1 = C.i, já que n é igual a 1
M1 = C + C.i = C(1 + i) M1 = C(1 + i);
2o. período: J2 = M1.i
M2 = M1 + J2
M2 = C(1 + i) + M1.i
M2 = C(1 + i) + C(1 + i).i
M2 = C(1 + i).(1 + i) M2 = C(1 + i)^2 ;
3o. período: J3 = M2.i
M3 = M2 + J3
M3 = C(1 + i)^2 + M2.i
M3 = C(1 + i)^2 + C(1 + i)^2.i
M3 = C(1 + i)^2 . (1 + i) M3 = C(1 + i)^3
Podemos perceber que a cada período, o novo montante será acrescido do
fator (1 + i) ao capital inicial, tal que:
Mn (montante total) = C (capital inicial) x (1+i) x (1+i) x (1+i) ... n vezes
Assim, a fórmula do montante a juros compostos será:
Mn = C . (1 + i)^n
Para calcularmos o número de períodos da capitalização, fazemos:
log Mn = log C.(1 + i)^n
log Mn = log C + n.log (1+i)
log Mn – log C = n. log(1+i)
n = (log Mn - log C) / log (1 + i)
n = Log (Mn / C) / Log (1 + i)
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Exemplos:
1. Qual o montante final do capital inicial $100, aplicado à taxa de juros
compostos de 5% ao ano, durante 8 anos?
C = $100; i = 5% ao ano; n = 8 anos
Mn = 100 x (1 + 5%)^8 = 100 x (1,05)^8 = 100 x 1,4775
Mn = $147,75
2. Recalcule o montante acima, para n = 8 anos e 6 meses.
Em 1 ano a taxa é de 5%; 6 meses = ½ ano; 8 anos e 6 meses = 8,5 anos
Assim,
Mn = 100 x (1,05)^8,5 = 151,39
Mn = $151,39
3.2. Taxa Efetiva em Juros Compostos
É efetiva a taxa de juros, quando coincide com a capitalização:
. 2% ao mês, com capitalização mensal;
. 2% ao bimestre, com capitalização bimestral;
. 2% ao ano, com capitalização anual.
3.3. Taxa Nominal em Juros Compostos
Sendo a taxa de juros diferente da de capitalização, a taxa será nominal:
. 72% ao ano, com capitalização mensal, equivale a 6% ao mês => (72/12
meses);
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. 32% ao ano, com capitalização trimestral, equivale a 8% ao trimestre =>
(32/4 trimestres).
Exemplo:
1. Qual o montante do capital de $500, ao fim de 2 anos, com juros
compostos de 32 % ao ano, capitalizados ao trimestre?
1 ano possui 4 trimestres;
32% ao ano equivale a 8% ao trimestre.
C = $500;
n = 2 anos ou 8 trimestres;
i = 8% ao trimestre
Mt = 500 ( 1 + 8%)^8 = 500 (1,08)^8 = 500 x 1,85093
Mt = $925,46
A taxa efetiva de juros no caso foi de ($925,46 / $500) - 1 = 0,85092 ou
85,092%, equivalente a 36,04852% a.a. ou 2,5985568% a.m. ou a 8% at.
3.4. Equivalência de Taxas na Capitalização Composta
i (taxa);
n (período de aplicação);
k (regime em relação à taxa i);
r (períodos correspondentes ao n-ésimo período da capitalização).
i ( e ) = {[ (1+i) ^ (k/r)] - 1}x 100
Exemplos:
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1. Taxa composta de 32% ao ano, capitalizados bimestralmente,
equivale a:
O ano tem 6 bimestres; ou 1 bimestre é 1/6 do ano.
Então:
i ( e ) = ( 1,32^(1/6) - 1) x 100 = 4,7359% ao bimestre.
2. Taxa composta de 45% ao ano, capitalizados diariamente,
equivalem a:
(1/360), pois 1 ano tem 360 dias (comercial)
i ( e ) = ( 1,45^(1/360) - 1 ) x 100 = 0,10327% ao dia.
3.5. Desconto Composto
Possui duas formas distintas: Desconto Comercial Composto (DCc) e
Desconto Racional Composto (DRc).
A uma mesma taxa dada, com valores futuros iguais, o valor do DCc é
sempre maior que o DRc.
3.5.1 Desconto Comercial Composto (Dcc)
Dc1 = VF x i
VL1 = VF – Dc1 = VF x (1 - i)
Dc2 = VL1 x i
VL2 = VL1 – Dc2 = VF x (1 - i) – VF x (1 - i) x i
VL2 = VF x ((1 - i) x (1 - i) = VF x (1 - i) ^ 2
Assim, podemos escrever que:
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VLn = VF . ((1 - i) ^ n)
Exemplo:
1. Qual o desconto de um título de $200, resgatado 2 meses antes do
vencimento, pelo regime de desconto comercial composto, à taxa de 2% ao mês?
VL = $200 ( 1 - 2% )^2 = $200 x (0,98)^2 = $192,08
Assim, o valor líquido VL = $192,08
D = $(200 - 192,08) = $7,92 => Dcc = $7,92
3.5.2. Desconto Racional Composto (Drc)
É um caso de equivalência de Capitais como mais tarde demonstraremos.
VL1 = VF / (1 + i) = VF x 1/(1+i)
VL2 = VL1 / (1 + i) = VL1 x 1/(1+i) = [VF/(1+i)] x 1/(1+i) = VF / (1+i)^2
Assim, conclui-se que:
VLn = VF / (1+i)^n
Exemplo:
1. Qual o desconto racional composto, calculado para um título de
$200, descontado 2 meses antes do vencimento, à taxa de juros compostos de
2% ao mês?
VL = $200 / (1,02)^2 = $200 / 1,0404 = $192,23 => VL = $192,23
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DRc = $(200 – 192,23) = $7,77 => Drc = $7,77
Podemos verificar que o Drc < Dcc do exercício anterior
3.5.3. Equivalência de Taxas no Dcc e no Drc, na Capitalização Composta
Considerando o mesmo capital, o mesmo prazo e o mesmo valor líquido
após os descontos comercial composto e racional composto, às taxas Ic e Ir,
respectivamente, temos:
Dcc = VF – VLn VLn = VF – Dcc
Drc = VF – VLn VLn = VF – Drc
Como de acordo com o enunciado, os dois valores líquidos são iguais,
temos:
Dcc = Drc
VF – VF . (1- ic)^n = VF – VF / (1+ ir)^n
Como o enunciado, os Capitais também são iguais. Assim, temos:
( 1 – ic )^n = 1 / (1+ ir)^n
ou,
[(1 - ic)^n] x [(1 + ir)^n] = 1
3.6. Equivalência de Capitais
Dois capitais, com datas diferentes, são equivalentes, quando
transportados para uma mesma data focal, a uma mesma taxa, produzirem
valores iguais.
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Exemplo:
1. Resgate, hoje, de um título de $1000, com vencimento para 4
meses, sendo i = 1% ao mês; de outro título de $1.020,10, com vencimento para 6
meses, com a mesma taxa de juros. Pergunta-se se são equivalentes?
VL1 = $1.000 / (1+0,01)^4 = $1.000 / 1,040604 = $960,98
VL1 = $960,98
VL2 = $1.020,10 / (1+0,01)^6 = $1.020,10 / 1,061520 = $960,98
VL2 = $960,98
Como podemos verificar, para solução do problema acima, aplicamos o
Desconto Racional Composto. Assim, podemos dizer que o Desconto Racional
Composto é um caso de equivalência de Capitais.
3.7. Fluxos Equivalentes
Dois fluxos são equivalentes quando, ao transportarmos as entradas e
saídas de cada um deles, para uma mesma data focal, à mesma taxa de juros, as
somas dos valores presentes coincidirem nos dois fluxos.
Exemplo:
1. Consideremos uma dívida resgatável em 4 meses por $2400, com
juros de 5% a.m. O devedor quer refinanciá-la em 2 pagamentos ( X1 e X2),
sendo o primeiro para 3 meses e o segundo para 6 meses. Sabendo-se que X1 =
98% de X2, calcule X1 e X2.
Para solucionar este problema, devemos trazer os dois fluxos à data focal
zero.
Assim,
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X1 / (1,05)^3 + X2/(1,05)^6 = $2400/(1,05)^4
X1/1,1576 + X2/1,3401 = $2400/1,215506 = 1974,49
(0,98/1,157625 + 1/1,3400096) X2 = 1974,49
1,592776 x X2 = $1.974,49 => X2 = $1.239,65
X1 = 98% x 1.239,65 => X1 = $1.214,86
2. Considerando-se o fluxo de caixa a seguir, calcular o saldo na data
focal zero, sabendo-se que a taxa de juros é de 10% ao mês:
Entradas: final do 2o. mês, 1100; final do 3o. mês, 1200;
Saídas: início do 1o. mês, 1000; final do 1o. mês, 500.
Sz = $1.100 / (1,1)^2 + $1.200 / (1,1)^3 - $1000 - $500 / (1,1)
Sz= $(909,09 + 901,58 - 1000 - 454,55) = $356,12
Assim, o saldo do fluxo de caixa acima para a data focal zero será de
$356,12.
4. Anuidades e Rendas
Podem ser Postecipadas, Antecipadas e Diferidas.
4.1. Anuidades
As anuidades são utilizadas quando desejamos verificar a parcela mensal
a ser paga, em decorrência de financiamento de uma determinada quantia, a uma
determinada taxa de mercado ou de financiamento, em determinado prazo.
4.1.1. Anuidades Postecipadas
O valor das prestações ou pagamentos são calculados considerando o final
do período.
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P (prestação); VF (valor financiado); 1 / a __ n!i ( fator Price );
C R1 CR2 CR(n-1) CRn
_________ ________ ________ ________
(Valor Principal) S (Montante)
O valor atual corresponde, segundo a equivalência de capitais, à soma dos
valores atuais de cada termo.
Assim:
C = R / ( 1+ i ) + R / ( 1 + i ) ^ 2 + ... + R / ( 1 + i ) ^ (n-1) + R / ( 1 + i ) ^ n
Utilizando-se os conceitos de Progressão Geométrica, temos:
Sn = a1 x [( q ^ n) – 1] / ( q - 1 );
Sendo, [a1 = R / (1 + i )]; e [q = 1 / ( 1 + i )]
Temos:
C = [ R / ( 1 + i ) ] x { [ 1 / ( 1 + i ) ^ n ] - 1 } / { [ 1 / ( 1 + i ) ] - 1 }
C = [R / ( 1 + i )] x {[ 1 - ( 1 + i ) ^ n ] / [( 1 + i ) ^ n] } / {[ 1 - (1 + i ) ] / (1 + i) }
C = [ R / ( 1 + i ) ] x { [ 1 - (1 + i) ^ n ] / [( 1 + i ) ^ n] } / { [ 1 - 1 - i ] / ( 1 + i ) }
C = [ R / ( 1 + i ) ] x { [ 1 - ( 1 + i ) ^ n ] / [( 1 + i ) ^ n] } / { - i / ( 1 + i ) }
Multiplicando-se os fatores acima por (-1), temos:
C = [ R / ( 1 + i ) ] x { [ ( 1 + i ) ^ n - 1 ] / [( 1 + i ) ^ n] } / { i / ( 1 + i ) }
C = [ R / ( 1 + i ) ] x { [ ( 1 + i ) ^ n - 1 ] / [( 1 + i ) ^ n] } x {( 1 + i ) / i}
C = R / i x { [ ( 1 + i ) ^ n - 1 ] / ( 1 + i ) ^ n }
C = R x { [ ( 1 + i ) ^ n - 1 ] / ( 1 + i ) ^ n x i }
Por convenção,
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[ ( 1 + i ) ^ n - 1 ] / ( 1 + i ) ^ n x i = a ___ n ! i
Assim,
C = R x a ___ n ! i
R = C x 1 / a_____ n ! i e [ 1 / a_____ n ! i ] é o Fator Price
Fazendo:
C = VF (valor financiado); e
R = P (pagamentos ou parcelas pagas), temos:
P = VF x ( 1 / a __ n ! i )
Exemplos:
1. Mary comprou um televisor, em 20 parcelas de $200, com
vencimento no final do mês, à taxa de 10% a.m. Qual o valor do televisor?
Cálculo do Fator Price:
$200 = VF x Fator Price (igual a 0,1174596)
VF = $1702,71
2. Qual o valor da prestação de um financiamento concedido de $500,
em 10 prestações mensais, à taxa composta de 3% a . m . ?
$500 = P x [ (( 1 + 0,03 ) ^ 10) – 1 ] / [ (( 1 + 0,03 ) ^ 10) x 3 %]
$500 = P x (0,343916 / 1,343916) x 100 / 3
P = $15 / 8,5301916
P = $58,62
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4.1.2. Anuidades Antecipadas
As prestações são calculadas considerando o início de cada período, a
partir da aprovação do contrato de financiamento.
Considerando (1 / a __ n ! i) sempre calculado para o final do período, e
sendo a data origem da série antecipada de um período, então o cálculo da série
antecipada deverá ser dividida pelo termo ( 1 + i ), tal que:
P = VF. { [ ( ( 1+ i ) ^ n ) . i ] / [ ( ( 1+i ) ^ n ) – 1 ] } / ( 1 + i )
P = [ VF / ( 1 + i ) ] x ( 1 / a __ n ! i )
Exemplos:
1. Compra de um televisor, com pagamento em 10 meses, vencendo
as parcelas no início do período, com valor de $200 cada. Qual o valor atual do
televisor, sabendo-se que a taxa de juros aplicada foi de 3% a. m.?
Utilizando-se a fórmula descrita, para n = 10 e i = 3% a.m., o valor do Fator
Price, na Tabela de Capitalização Price, é de de 0,11723064.
$200 = VF x 0,11723064 x 1 / (1,03)
VF = $200 / 0,11381615
VF = $ 1.757,22
2. Seja $500 financiados em 10 prestações mensais, sendo as
parcelas pagas no ato da liberação do financiamento. Qual o valor da prestação,
considerando-se a taxa de capitalização composta no valor de 2% a . m. ?
Utilizando-se a fórmula descrita, para n=10 e i=2% am, o valor do Fator
Price, na Tabela de Capitalização Price, é de de 0,11132653.
VF = $500; n = 10; i = 2 % a . m.; m = 1; p = ?
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p = $500 x 0,11132653/1,02 = $500 x 0,109143654 = $54,57
p = $54,57
4.1.3. Anuidades Diferidas
O valor das prestações é calculado considerando determinado período de
carência, após o início do contrato. O primeiro pagamento só ocorre depois de
decorridos m períodos de tempo após o contrato de financiamento.
CR(1+m) R(2+m) R(n+m) CR [ m ] R(m+n-1) _______ _______ .............. ____________.
P (prestação); VF (valor financiado); 1 / a n ! i ( Fator Price );
R = ( 1 + i ) ^ m
m = K (período de carência) – 1, pois o Fator Price pressupõe o pagamento
no final de cada período.
Assim, temos:
P = VF. R . {( 1+ i ) ^ n . i } / {( 1+i ) ^ n - 1}
P = VF . ( 1 / a __ n ! i ) . R
Exemplos:
1. Compra de um televisor, com pagamento parcelado em 10 meses,
vencendo a primeira parcela no final de 3 meses do início do financiamento, com
valor de $250 cada. Qual o valor atual do televisor, sabendo-se que a taxa de
juros aplicada foi de 3% a. m.?
22
m = K (período de carência) – 1
K = 3 => m = 2
$200 = VF x 0,1172305 x (1,03) ^ 2
VF = $200 / 0,1243698
VF = $ 1.608,11
2. Uma pessoa comprou um bem financiado em 12 prestações
mensais, vencendo-se a primeira a 5 meses da data do financiamento.
Considerando o valor financiado de $5000 e a taxa composta de 3% a. m.,
calcular o valor das prestações.
n = 12; VF= $5000; i= 3 % a.m.; K = 5; p = ?
m = k – 1 = 5 - 1 = 4
p = 5000 x 0,100462084 x (1,03) ^ 4 = 565,35
p = $565,35
4.2. Rendas
O conceito de Rendas é geralmente utilizado quando necessitamos de
determinar o valor total de depósitos ou aplicações mensais, no final de
determinado período, considerando-se uma taxa determinada de mercado ou de
aplicação financeira.
Sendo Sn (somatório dos depósitos efetuados), e Dn (Depósitos), temos
que:
Sn = D + D(1+i) + D(1+i)^2 ... + D(1+i)^(n-1) + ... + D(1+i)^n
Utilizando-se dos conceitos de uma PG qualquer, temos:
Sn = a1 . [( q ^ n ) – 1] / ( q – 1 ), onde:
23
Sn = soma de uma PG; a1 = D(Depósito); q(Razão da PG) = (1+i)
Assim, temos:
Sn = D . [(( 1+i) ^ n) – 1 ] / [( 1+i) – 1 ]
Sn = D . [(( 1+i) ^ n) – 1 ] / i
Fazendo:
[ (( 1+i) ^ n) – 1 ] / i = S ___ n ! i (Fator de formação de Capitais),
Sn = D x S ___ n ! i
4.2.1. Rendas Postecipadas
Neste caso, os depósitos ou aplicações são efetuados no fim do período de
determinado contrato.
Sn = D x [(1+ i) ^ n - 1] / i
Exemplos:
1. Uma pessoa deseja ter uma quantia de $1.500 no final de 12 meses.
Quanto deverá depositar mensalmente em uma caderneta de poupança que
pague taxa composta de 3 % a . m .?
S = $1500 n = 12 i = 3% a . m . D = ?
$1500 = D x [ ((1,03 ) ^ 12) - 1 ] / 3% = D x 14,192030
D = $105,69
2. Qual o montante gerado por 6 depósitos mensais e consecutivos de
$200, no final de cada mês, à taxa de 2% ao mês.
24
S = $200 x [((1,02) ^ 6) – 1] / 2% = $1261,62
S = $1261,62
4.2.2. Rendas Antecipadas
Neste caso, os depósitos ou aplicações são efetuados no início do período
de determinado contrato e a Renda Total considerada no final do período.
Assim, considerando a fórmula Sn = D x [((1+ i) ^ n) - 1] / i para depósitos
no final do período, quando fazemos a antecipação para o ínicio do período,
devemos levar em conta a correção desse fator para o final do período em que
será considerada a soma de todas as aplicações.
Dessa forma, devemos multiplicar o termo acima por ( 1 + i ), chegando à
fórmula de cálculo da Renda Antecipada somo a seguir:
Sn = D x (1+i) x [(1+ i) ^ n - 1] / i
Exemplo:
1. Aplicação financeira, com depósitos no início do mês, no valor de $200,
em 20 meses, à taxa de 10% ao mês. Qual o Valor no final do período da
aplicação?
S = $200 x 1,1 x [((1,1) ^ 20) - 1] / 10%
S = $1.260,05 / 10%
S = $ 12.600,50
5. Perpetuidade
Representam recebimentos infinitos decorrentes de uma aplicação
colocada para gerar rendas perpétuas. Esses recebimentos assemelham-se a
25
uma propriedade de valor X, que alugada, gerará um aluguel de y%
mensalmente.
5.1. Perpetuidade Postecipada
Representam recebimentos infinitos decorrentes de uma aplicação
colocada para gerar rendas perpétuas, no final do período da assinatura do
contrato.
R (Renda Anual Perpétua) = C x i
C = Capital; i = taxa de juros
Exemplo:
1. Quanto deve ser depositado hoje, para obter-se uma renda anual
perpétua de $1000, pagáveis no fim de cada ano, se a taxa de juros for de 10%
ao ano.
R = $1000; i= 10% ao ano; C = $1000 / 10% = 10000
C = $10.000
5.2 Perpetuidade Antecipada
Representam recebimentos infinitos decorrentes de uma aplicação
colocada para gerar rendas perpétuas, no início do período da assinatura do
contrato.
R = C x i / ( 1 + i ) ou C = R x ( 1 + i ) / i
C = Capital; R = Valor recebido periodicamente; i = taxa de juros
26
Exemplo:
1. Depósito para obtenção de renda anual perpétua de $1000, no início
do período, com taxa de 10% a. a.
C = R x 1,1 / 0,1
C = 1000 x 11 = $ 11.000
C = $11.000
6. Sistemas de Amortização
Os mais aplicados são:
SAC
Amortização Constante, com prestações decrescentes;
PRICE
Sistema Francês, com prestações fixas;
MISTO
Média das prestações adotadas no SAC e PRICE;
AS
Sistema Americano, onde o retorno do Capital é de uma só vez, no fim do
prazo contratado, obrigando-se o devedor ao pagamento do juro no fim de cada
período a que se refere a taxa de juros;
6.1. SAC (Amortização Constante)
27
Neste sistema paga-se mais no início do período de amortização, pois
estas são iguais ao longo do período de amortização e os juros decrescentes,
fazendo com que as parcelas sejam decrescentes na proporção dos juros pagos.
Seja uma dívida D, a ser amortizada em (n) parcelas, à taxa i de juros:
Período Dívida Amortização Juros Prestação
1 D D/n Di D/n . (1+n.i)
2 D/n.(n-1) D/n D/n.(n-1)i D/n . [1+(n-1).i]
3 D/n.(n-2) D/n D/n.(n-2)i D/n . [1+(n-2).i]
… … … … …
T D/n.(n-t+1) D/n D/n.(n-t+1)i D/n . [1+(n-t+1).i]
… … … … …
n-ésima D/n D/n D/n.i D/n . (1+i)
t é uma prestação qualquer das n possíveis.
Exemplo:
1. Seja um empréstimo de $2000, com pagamento em 10 parcelas, à
taxa de 5% ao mês, sendo a primeira 30 dias após a assinatura do contrato.
Calcular o valor de cada pagamento.
Utiliza-se a fórmula P = D/n . [1+(n-t+1).i], onde n é o prazo do contrato e t
é o período a que se refere a prestação.
Lembre-se que tratando-se de capital variável, no caso de correção do
saldo devedor em determinado período, a correção das parcelas será
determinada no contrato – valores em $.
Prestação Dívida Cálculos dos Juros Amortização Valor da
Prestação
1 2000 2000 * 5% = 100 200 300
2 1800 1800 * 5% = 90 200 290
3 1600 1600 * 5% = 80 200 280
28
Prestação Dívida Cálculos dos Juros Amortização Valor da
Prestação
4 1400 1400 * 5% = 70 200 270
5 1200 1200 * 5% = 60 200 260
6 1000 1000 * 5% = 50 200 250
7 800 800 * 5% = 40 200 240
8 600 600 * 5% = 30 200 230
9 400 400 * 5% = 20 200 220
10 200 200 * 5% = 10 200 210
6.2. Price (Francês)
Neste sistema, as prestações são fixas e calculadas conforme abaixo:
P = VF . {[(( 1 + i ) ^ n) . i] / [ (( 1 + i ) ^ n) – 1]}
VF = valor financiado; P = prestações; i = tx de juros; n = período de amortização.
Exemplos:
1. Compra de um televisor por $1600, financiado em 6 parcelas iguais
e mensais, sendo a taxa de juros i de 8% ao mês e a 1a. parcela paga 30 dias
após a compra.
O problema será resolvido com a aplicação dos conceitos de anuidade
postecipada.
P = $1600 x 8% x {[((1,08) ^ 6) / [((1,08) ^ 6) - 1 ]}
P = $1600 x 8% x [1,58687 / 0,58687] = $346,10
P = $346,10
2. Um conjunto de móveis foi vendido por $300 a vista ou em 12
parcelas mensais de $44, sendo a 1a. parcela paga 30 dias após a compra. Qual
a taxa de juros praticada?
29
Utilizando a tabela Price:
44 = 300 x {(1+i) ^ 12 / (1 + i ) ^ 12 - 1}
então, 0,1467 = 1 / a _ n ! i
Procurando-se na Tabela Price (final da parte teórica) a linha
correspondente à posição 12 meses, e na coluna correspondente ao fator acima,
acharemos a taxa de juros i = 10% ao mês.
3. Dado i livre de risco, calcular o spread bancário para determinação
da taxa real.
(1+ Is) -> Spread
(1+ Irf) -> Taxa livre de Risco
(1+ Ir) -> Taxa Real
Temos:
(1+ Ir) = (1+Irf) x (1+ Is)
6.3. Misto
A prestação corresponde ao valor da média das prestações no sistema
SAC e PRICE.
Prestação no Sistema SAC
P = D/n . {1 + ( n - t + 1).i }
D = dívida; n = parcelas financiadas; t = parcela a ser calculada.
Prestação no Sistema Price
P = VF . {[(( 1 + i ) ^ n) . i] / [(( 1 + i ) ^ n) – 1]}
30
Exemplo
1. Um televisor foi comprado a prazo, em 12 parcelas de $44,
calculada pelo Sistema de Amortização Price. A 1a parcela foi paga 30 dias após
a compra, sendo a taxa de juros i = 10% ao mês. Calcule o valor da 3a prestação
no SAM.
Price
Sendo P = $44, ao substituirmos os dados do período e da taxa, dados, na
fórmula Price, acharemos o valor financiado FV = $299,80.
44 = VF . {[(( 1 + 0,10 ) ^ 12) . 0,10] / [(( 1 + 0,10 ) ^ 12) – 1]}
44 = VF . {[((1,10 ) ^ 12) . 0,10] / [((1,10 ) ^ 12) – 1]}
44 = VF . {0,313842837 / 2,13842838} = VF . 0,146763314
VF = 44 / 0,146763314 = 299,80
VF = $299,80
SAC
P3 = 299,80 / 12 * { 1 + ( 12 - 3 + 1) * 0,10}
P3 = 299,80 / 12 * { 1 + 10 * 0,10 } = 299,80 / 12 * 2
P3 = 299,80 / 6 = 49,97
P3 = $49,97
Misto ( média das duas prestações)
P3 = (49,97+ 44) / 2 = $93,97 / 2 = 46,98
P3 = $46,98
6.4. SA (Sistema Americano)
Financiamento de VF, à taxa i, com pagamento final no k-ésimo mês.
31
Períodos Pagamentos
1o. VF.i
2o. VF.i
...
k-ésimo VF (1+i)
Exemplos:
1. Qual o valor mensal que devo depositar no final do mês, para que no
k-ésimo mês eu tenha VF . (1+i) ?
Trata-se de uma renda postecipada, ou seja:
P = S.i / {((1+i) ^ n) - 1}
2. Seja um financiamento de $5000, com pagamento daqui a 5 anos,
sendo a taxa de juros de 10% ao ano. Quanto deverei depositar ao final de cada
ano para saldar a dívida no prazo contratado?
Daqui a 5 anos minha dívida será de:
D = 5000 * (1,1) ^ 5 = 8.052,55
P = 8.052,55 x 10% / {((1,1) ^ 5) - 1} = 8052,55 x 0,10 / 0,61051 = 1.318,99
P = $1.318,99
7. Aplicações em Bolsas de Valores
Os investimentos em mercado de ações são considerados de risco e de
maturação no médio e longo prazos.
Embora conceitualmente o Mercado de Capitais tenha sido criado para que
as empresas pudessem se capitalizar através de lançamento de ações no
32
mercado financeiro e buscarem recursos através de lançamento de títulos com
rendimentos ou conversão em ações, na prática o que tem ocorrido são
distorções muito grandes na movimentação de recursos especulativos, tornando
essa atividade muito arriscada para pequenos investidores.
Alguns Fundos de Investimentos de Bancos podem dar bons rendimentos
aos aplicadores.
Para conhecer os Fundos disponíveis nos mercados bancários, o melhor,
antes de aplicar, é verificar em cada banco as carteiras de Fundos de
Investimentos disponíveis e avaliar suas rentabilidades e as empresas
participantes dos mesmos.
Contudo, o bom é investir recursos disponíveis e não necessários no
período mínimo de um ano, e investir aos poucos. Por exemplo, no primeiro
momento, 25% dos recursos disponíveis, esperando as movimentações do
mercado para aplicar o restante, pois pode acontecer que na época da aplicação
o mercado caia abruptamente por razões desconhecidas dos investidores, dando
chance para o investidor aplicar na baixa e reduzir o custo de sua aplicação para
recuperar e até ganhar na alta do mercado.
33
PARTE II – PRÁTICA – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
OBJETIVO
Proporcionar ao leitor condições para aprender a lidar com cálculos de
remuneração de capitais, através de exercícios resolvidos, facilitando, após a
leitura da teoria, sua compreensão e assimilação.
1. Porcentagens
Exercícios Resolvidos:
1. Três pessoas formaram uma sociedade com aporte de $1000 de
Capital Social. Havendo um prejuízo de $100, quanto caberá a cada sócio,
considerando que:
O investidor A participou com $300; o B, com $400; e o C com $300.
Devemos levar em conta, primeiro, a participação percentual de cada sócio
na sociedade.
Assim, caberá a cada sócio a seguinte participação:
A = 300 / 1000 = 30%;
B = 400 / 1000 = 40%;
C = 300 / 1000 = 30%
Portanto, ao prejuízo de $100, caberá a seguinte distribuição:
A => 30% x 100 = $30;
B => 40% x 100 = $40;
C => 30% x 100 = $30
34
2. De quantos por cento sobre o custo, corresponde um lucro de 60%
sobre a venda?
Vendas (V) = 100%
Lucro = 60% V
Custo = 40% V
L / C = 60% V / 40% V = 0,6 / 0,4 = 1,5
L = 1,5 C = 150% C
O Lucro será de 50% a mais do que o Custo
3. Um cliente obteve um desconto de 20% no preço da mercadoria.
Considerar o lucro, sabendo-se que o preço de venda, sem desconto,
corresponde a 120% do custo total.
PV (Preço de Venda Bruto) = 120% C (Custo Total);
LB = PV – Desconto – Custo = PV – 20% PV – PV / 120%
LB = 80% PV – PV / 1,2 = PV ( 0,8 – 1 / 1,2 )
LB = PV * (1,2 * 0,8 – 1 ) / 1,2 = (0,96 – 1 ) / 1,2 * PV = - 0,0333 PV
Assim, não houve lucro, mas prejuízo de 3,33% sobre as vendas.
4. Em Belo Horizonte, o BHTRANS determinou aumento das
passagens por dois anos consecutivos. Em 1997, aumentou 18%; e em 1998,
aumentou 15%. Qual foi o reajuste no período considerado?
1997 => aumento de 18%, correspondendo ao fator 1,18;
1998 => aumento de 15%, correspondendo ao fator 1,15.
Cálculo do aumento:
1,18 x 1,15 = 1,357 ou 135,7%
(135,7 – 100)% = 35,7% de acréscimo percentual no período considerado.
35
5. Em 1994, o preço de um carro popular custava $7000. Em 1998, o
preço desse mesmo carro custava $12000. Qual o aumento percentual verificado
no período? Não considerar a inflação no período.
$12000 / $7000 = 1,714 ou 171,40%
(171,4 – 100)% = 71,40% de acréscimo percentual no período.
Ou $12.000 - $7.000 = $5.000 de acréscimo;
$5.000 / $ 7.000 = 71,40%
6. Em uma compra a vista, o cliente pagaria por um televisor o valor de
$600. Adquirindo parcelado, em 24 meses, pagaria $2000. Não considerando a
perda de poder de compra da moeda (inflação), qual o valor pago a mais pelo
cliente?
2000/ 600 = 3,3333 = 333,33%
Valor pago a mais foi de: (333,33 – 100)% = + 233,33%
Ou ainda, o valor pago a mais foi de:
(2000-600) / 600 = 1400 / 600 = + 233,33%
7. Três sócios investiram $150.000 em uma sociedade. O sócio A
participou com $50.000, o sócio B, com $70.000 e o sócio C, com o restante. No
final do ano, a sociedade lucrou $50.000. Sabendo-se que do lucro apurado, 30%
serão distribuídos aos sócios, 10% aos empregados, 40% incorporado ao Capital
Social e 20% à conta de Reserva de Lucros, pede-se quanto do lucro distribuído
caberá a cada sócio.
Lucro distribuído = $50.000 x 30% = $15.000
Sócios Valor do Capital $
% de Participação
Lucro Distribuído $
A 50.000 33,33 5.000
B 70.000 46,67 7.000
C 30.000 20,00 3.000
TOTAL 150.000 100,00 15.000
36
8. Dois sócios A e B investiram, respectivamente, $100.000 e $150.00
em um empreendimento. No final do exercício, após ser apurado o montante do
lucro a ser distribuído aos sócios, verificou-se que o sócio A recebeu $30.000 do
valor total distribuído. Quanto foi distribuído e, percentualmente, quanto
representa sobre o total do capital investido?
Sócios Capital Social $
% de Participação
Lucro Distribuído - $
% LD / CS
A 100.000 40,0 30.000 30,00
B 150.000 60,0 45.000 30,00
Total 250.000 100,0 75.000 30,00
Lucro distribuído total = $30.000 / 40% = $75.000
% de participação sobre o Capital Social = 75.000/250.000 = 30%
9. Dois sócios A e B investiram $100.000 em um empreendimento. O valor
integralizado pelo sócio A foi de $50.000 no início do mês de maio/xx e
pelo sócio B, de $50.000 no início do mês de junho/xx. Sabendo-se que o
lucro apurado no exercício foi de $30.000, quanto coube a cada um? Não
considerar a variação da moeda.
Sócio Aplicação $ Tempo %
A 50.000 8 meses 8 / 15 = 53,33
B 50.000 7meses 7 / 15 = 46,67
Total 100,00
Distribuição do Lucro de $30.000:
Sócio A = 53,33% x $30.000 = $15.999
Sócio B = 46,67% x $30.000 = $14.001
10. A população mundial cresce 3% a cada ano. Sabendo-se que
atualmente corresponde a 5 bilhões de seres humanos na terra, quantos serão
daqui a 5 anos? Qual o acréscimo total em percentual?
37
Ano Percentual de aumento
Acréscimo em Bilhões
População total em bilhões
1 3% 0,150 5,150
2 3% 0,155 5,305
3 3% 0,159 5,464
4 3% 0,164 5,628
5 3% 0,169 5,797
Fator de aumento com aproximação:
5,79637 / 5,000 = 1,15927 ou, (1,03) ^ 5 = 1,15927
(115,93 – 100,00) % = +15,927% de acréscimo percentual.
A Rigor, a população deveria corresponder a 5. 796.370 habitantes.
2. Regime de Juros Simples
2.1. Juros Simples
J = C.i.n
J = juros; C = capital aplicado; i = taxa de juros; n = período da aplicação.
2.2. Montante no Regime de Juros Simples:
Sendo a taxa mensal, o período é mensal; sendo anual, o período é anual;
sendo diária, o período é diário.
Mn = C . (1 + i . n)
Exercícios Resolvidos:
1. Qual o montante produzido por uma aplicação de $60.000, à taxa
simples de 15% a.a., pelo prazo: 1 ano; 1 ano e 3 meses; e de 1 ano, 2 meses e
10 dias.
38
1 ano -> 360 dias -> 1 ano
1 ano e 3 meses -> 450 dias -> 1,25 do ano
1 ano, 2 meses e 10 dias -> 430 dias -> 1,19444 do ano
Cálculo do Montante:
a) Ma = 60.000 x (1 + 0,15 x 1) = 60.000 x 1,15 = 69.000
Ma = $69.000,00
b) Mb = 60.000 x (1 + 0,15 x 1,25) = 60.000 x 1,1875 = 71.250
Mb = $71.250,00
c) Mc = 60.000 x (1 + 0,15 x 1,19444) = 60.000 x 1,179167 =
Mc = $70.750,02
2. Qual o juro produzido pela aplicação de $50.000, à taxa simples de
1% a.m., durante o prazo de: 2 anos; 2 anos e 2 meses; e 2 anos, 2 meses e 20
dias.
2 anos -> 24 meses
2 anos e 2 meses -> 26 meses
2 anos, 2 meses e 10 dias -> 800 dias -> 26,667 meses
Considerando o mês igual a 30 dias, temos:
a) Ja = 50.000 x (1% x 24,00) = 12.000
Ja = $12.000
b) Jb = 50.000 x (1% x 26,00) = 13.000
Jb = $13.000
c) Jc = 50.000 x (1% x 26,667) = 13.335
Jc = $13.335
39
3. Emprestei $16.000 durante 19 dias e recebi um montante de
$16500. Determine a taxa de juros mensal e anual na capitalização de juros
simples.
M = C . (1 + i . n)
16.500 = 16.000 x (1 + 19 x id)
1+ 19id = 16.500/16.000 = 1,03125 => 19id = 1,03125 - 1
id = 0,03125 / 19 = 0,0016447 => id = 0,16447%a.d.
im = 0,16447% x 30 = 4,934% => im = 4,9340%a.m.
ia = 0,16447% x 360 dias = 59,2096% a.a.
ia = 59,2096%a.a.
4. Qual o valor a ser resgatado de um empréstimo de $10.500, ao
prazo de 4 meses, à taxa linear de 6% a.a.?
M (Valor de Resgate) = C . (1 + i . n)
M = C x (1 + 6% x 4/12) = 10.500 x 1,02 = 10.710
M = $10.710
5. Qual o juro obtido na aplicação de um capital de $100.0000, durante
3 meses, à taxa simples de 10% a.m.,?
J = 100.000 x 10% x 3 = 100.000 x 30% = $30.000
J = $30.000
6. Um capital K, aplicado à taxa de 6% a.m., durante 10 meses,
produziu A/2 de juros. Qual o tempo necessário para que o mesmo capital
produza o mesmo juro, caso a taxa simples seja de 15% a.m.?
A / 2 = K x 6% x 10 A / 2 = K x 15% x n
K x 6% x 10 = K x 15% x n 15% n = 60%
n = 60 / 15 = 4 n = 4 meses
40
7. Um capital no valor de $15.000, à taxa de 3,6% a.m., produziu um
juro simples de $500. Qual o tempo de aplicação?
500 = 15.000 x 3,6% x n
n = 0,03333 x 100 / 3,6 = 0,92593 meses n = 27,78 dias
8. Ao fim de quanto tempo ficará duplicado um capital, aplicado à taxa
de 15% a.m.?
M = C . (1 + i . n)
M = X . ( 1 + 15% . n )
2X = X . ( 1 + 15% . n )
2 = 1 + 15% . n
15% . n = 1
n = 1 / 15% = 6,67 meses
n = 6,67 meses
9. Um investidor aplicou um certo capital à taxa de 5% a.m., durante 4
meses, recebendo juros de $15.000. Outro investidor aplicou um capital à taxa de
6% a.m., durante o mesmo prazo, e recebeu $17.000 de juros. Qual o valor dos
capitais aplicados?
J1 = 15.000 = A x 5% x 4
15.000 = 20% x A => A = 15.000 / 20% = $75.000
J2 = B x 6% x 4 = 17.000
17.000 = 24% x B => B = 17.000 / 24% = $70.833,33
10. Um investidor aplicou um certo capital à taxa de 30% a.a., durante 5
meses. No final do prazo retirou $5.000 e reaplicou o restante à mesma taxa,
durante 4 meses. Ao final do prazo resgatou o total de $50.000. Qual o valor do
capital aplicado?
Cálculo do Período:
1 ano –> 12 meses
n anos –> 5 meses => n = 5/12
41
M1 = C x (1 + 30% x 5 / 12) = C . ( 1 + 1,5 / 12) =
M1 = 1,125 C
M2 = (M1 - 5.000) x (1+ 30% x 4 / 12) = (M1 – 5.000) x 1,1
50.000 = (1,125 x C – 5.000) x 1,1 = 1,2375 x C – 5.500
1,2375 x C = 55.500
C = 55.500 / 1,2375 = 44.848,48
C = $44.848,48
2.3. Desconto Simples
Relembrando os conceitos da parte teórica, possui duas formas distintas:
Desconto por Fora ou Comercial, e Desconto por Dentro ou Racional.
2.3.1. Desconto Simples por Fora ou Desconto Comercial
Sendo a taxa mensal, o período é mensal; sendo anual, o período é anual;
sendo diária, o período é diário.
VL = VN . (1 – i . n)
Exercícios Resolvidos:
1. Qual o valor atual ou valor líquido e valor nominal de um título,
descontado por fora, 3 meses antes do seu vencimento, à taxa simples de 2%
a.m., sabendo-se que o valor do desconto foi de $5.000?
VL = VN - 5.000
VL = VN ( 1 – 2% x 3 ) = VN ( 1 – 6% ) = 94% VN
VN - 5000 = 94% VN => 6% VN = 5000
VN = 5000 / 6% = 83.333,33 => VN = $83.333,33
VL = 83.333,33 – 5.000 = 78.333,33 => VL = $78.333,33
42
2. Qual a taxa mensal que, utilizada para desconto comercial de um título
de $60.000, resultou um valor líquido de $45.000, três meses antes de seu
vencimento?
VL = VN (1 - i . n)
45.000 = 60.000 (1 – 3 x i) 45.000/60.000 = 1 – 3 x i
0,7500 = 1 – 3i i = 0,25 / 3 = 0,083333
Desprezando-se as demais casas, i = 8,333% a.m.
3. Desejando-se uma rentabilidade mensal linear (juros simples) de 10% ,
a que preço unitário um investidor deverá adquirir um título com 90 dias da data
de seu vencimento?
90 dias = 3 meses
VL = VN (1 – 3 x 10%) = VN ( 1 – 0,3) = 0,7 VN
VL corresponde a 70% do seu valor nominal (VN).
4. Um título de $105.000, adquirido com 65 dias de seu vencimento, por
$90.000, foi negociado a que taxa simples mensal?
90.000 = 105.000 x [ 1 – (65 / 30)i] = 105.000 x (30 – 65i) / 30
90.000 / 105.000 = (30 - 65i) / 30
90x30/105 = 30 – 65 i
65 i = 30 – 25,714286
i = 4,285714286 / 65 = 0,06593 i = 6,593% a.m.
5. Uma nota promissória, com valor de face de $10.000, foi descontada
por fora, 98 dias antes de seu vencimento, à taxa de 3% a.m. Qual o valor líquido
apurado e o valor do desconto?
VL = 10.000 ( 1 – 98 x 3% / 30) = 10.000 ( 1 – 0,098 )
VL = 10.000 x 0,902 = 9.020 VL = $9.020
43
Dc = VN – VL = 10.000 – 9.020 = 980 Dc = $980
6. Rubens descontou 3 títulos em um banco, no regime de desconto
simples comercial, a uma taxa de 18% a.a. O primeiro, A, vencia em 100 dias; o
segundo, B, em 90 dias; o terceiro, C, em 60 dias. Sabendo-se que o total dos
descontos foi de $10.000 e que os títulos B e C correspondem, respectivamente,
a 90% e 70% do A, qual o valor nominal de cada um?
I) Da + Db + Dc = 10.000
II) B = 90% A
III) C = 70% A
Cálculo do Desconto:
Da = A x 18% x 100 / 360 = 0,05 x A
Da = 5% A
Db = Bx18% x 90 / 360 = 0,045 x B
Db = 4,5 % B
Dc = Cx18% x 60 / 360 = 0,03 x C
Dc = 3% C
Cálculo do Título:
5% A + 4,5% B + 3% C = 10.000
5% A + 4,5% x 90% A + 3% x 70% A = 10.000
A ( 5% + 4,5% x 90% + 3% x 70% ) = 10.000
11,15% A = 10.000
A = $89.686,10; B = $80.717,49; C = $62.780,27
Substituindo-se em Da, Db e Dc, temos:
Da = $4.484,30; Db = $3.632,29; Dc = $1.883,41
44
2.3.2. Desconto Simples por Dentro ou Desconto Racional
VL = VN / ( 1 + i . n )
VLc = VN * ( 1 - ic.n )
VLr = VN / (1+ ir.n)
Exercícios Resolvidos:
1. O valor líquido racional de um título descontado é igual a 95% do seu
valor nominal. Calcular a taxa de desconto, sabendo-se que esse título venceria
daqui a 6 meses.
95% VN = VN / ( 1 + 6i )
(1 + 6i) x 95% = 1 => 0,95 + 5,7 i = 1
i = 0,05 / 5,7
i = 0,00877
i = 0,877% a.m.
2. Seja um título com vencimento para 6 meses, no valor nominal de
$60.000, descontado à taxa de desconto racional de 3% a.m. Qual o valor líquido
a ser apurado se regatá-lo hoje?
VL = 60.000 / (1+ 3% x6) = 60.000 / (1+18%) = 60.000 / 1,18
VL = $50.847,46
3. Seja um título com vencimento para 5 meses, no valor nominal de
$50.000. Qual o valor líquido a ser resgatado hoje, considerando-se:
a) Desconto comercial à taxa de 3%;
b) Desconto racional à taxa de 3%;
c) Qual é menor?
45
a) Desconto Comercial:
VLc = 50.000 x (1-3%x5) = 50.000 x (1-15%) = 85% x 50.000
VLc = $42.500
Dc = 50.000 – 42.500 = 7.500,00
Dc = $7.500,00
b) Desconto Racional:
VLr = 50.000 / (1+5x3%) = 50.000 / 1,15
VLr = $43.478,26
Dr = 50.000 – 43.478,26 = 6.521,74
Dr = $6.521,74
c) Podemos verificar em a e b que o desconto racional é menor que o
desconto comercial.
4. Um título de $10.000 produziu um desconto por dentro (racional), de
$400, quando descontada dois meses antes de seu vencimento. Qual a taxa
mensal aplicada?
VN = VL (1+ in)
10.000 = 9.600 x (1+2 i)
10.000 = 9.600 + 9.600 x 2 i
10.000 – 9.600 = 9.600 x 2i
400 = 9.600 x 2 i
i = 4 / (96 x 2) = 4 / 192
i = 2,0833 % a.m.
5. Qual a diferença apurada entre o desconto por fora (comercial), e o
desconto por dentro (racional), considerando o desconto de um título de $5000,
descontado 4 meses e 20 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de 18%
a.a.?
46
VLc = 5000 x (1 - 18% x 140 / 360) = 5000 x ( 1 – 0,07 ) = 5000 x 0,93
VLc = $4.650
Dc = VN – VL
Dc = $( 5000 – 4650) = $350 => Dc = $350,00
VLr = 5000 / (1 + 7%) = 5000 / 1,07 = 4.672,90
VLr = $4.672,90
Dr = VN – VL
Dr = $(5000 – 4672,90) = $327,10 => Dr = $327,10
Cálculo da diferença de modalidades de desconto:
Dc – Dr = $(350 – 327,10) = $22,90 => Diferença = $22,90
6. Um título, no valor de $10.000, foi adquirido a 182 dias de seu
vencimento, à taxa de 18% a.a. de desconto racional. Apurar o valor pago pelo
título.
VL = 10.000/(1 + 18% x 182/360) = 10000/(1+9,1%)
VL = 10.000 / 1,091 = 9165,90
VL = $9.165,90
3. Regime de Juros Compostos
3.1. Juros Compostos
M = C . (1 + i) ^ n
Para calcularmos o número de períodos da capitalização, fazemos:
logM = log[C . (1 + i) ^ n] = log C + n . log(1+i)
47
log M – log C = n . log (1+i)
n = Log (M / C) / Log (1 + i)
Exercícios resolvidos:
1. Empréstimo de $15000, em 10 anos, à taxa de 12% a.a.,
corresponderá a que Montante na capitalização composta?
M = 15.000 x (1,12) ^ 10 = 15.000 x 3,1058482 = 46.587,72
M = $46.587,72
2. Por quanto devo adquirir um título, para que daqui a 6 meses obtenha
um montante de $15.000, sabendo-se que a taxa de juros composta é de 3,5%
a.m.?
M = VA x (1+i) ^ n
VA = 15.000 / (1,035) ^ 6 = 15.000 / 1,22925533 = 12.202,51
VA = $12.202,51
3. Uma aplicação de $20.000, a juros compostos, gerou um montante de
$35.000 em 12 meses. Qual a taxa mensal de juros aplicada?
35.000 = 20.000 x (1 + i) ^ 12 = 35.000 / 20.000 = (1+i) ^ 12
( 1 + i ) ^ 12 = 1,75
1 + I = 1,047739147
i = 1,047739147 – 1 = 0,047739147
i = 4,773915 % a.m.
4. Qual o valor de resgate de uma aplicação de $19.000, com prazo de
resgate para 155dias e taxa composta de 3% a.m., considerando-se as
convenções linear e exponencial?
Convenção Linear:
48
Neste caso, os juros correspondentes ao período fracionado serão
calculados de acordo com o sistema de juros simples. A outra parcela será
conforme o sistema de juros compostos.
155 dias / 30 = 5 meses + 5 dias
VL = 19000 x [(1+3%) ^ 5 ] x (1 + 3% x 5/30)
VL = 19000 x 1,159274 x 1,005 = 22.136,34
VL = $22.136,34
Convenção Exponencial ( a que mais se adequa ao conceito teórico de
cálculo do montante no regime de juros compostos)
Neste caso, os juros serão calculados de acordo com o sistema de juros
compostos.
VL = 19000 x (1,03) ^ 155/30 = 19000 x (1,03) ^ 5,1666667
VL = 19000 x 1,16499929 = 22.134,99
VL = $22.134,99
5. Um investidor obteve um ganho de 98% em uma aplicação, aplicada à
taxa de juros compostos, durante o prazo de 365 dias. Quanto ganharia, caso
aplicasse o mesmo capital durante o prazo de 189 dias? Considere a ausência de
inflação no período.
(1,98) ^ (1/365) = 1,001873251 = 0,1873251 % a.d.
(1,001873251) ^ 189 = 1,4243466
Poderíamos também escrever:
1,98 ^ (189/365) = 1,4243466
1,4243466 – 1 = 0,4243466, correspondente a uma rentabilidade de
aproximadamente 42,43%.
6. Considerando o resultado apurado no exercício anterior, qual teria sido
o ganho real, caso a inflação no período fosse de 20%?
49
O conceito de inflação considera que a moeda ao longo do tempo perde
seu valor de compra, se desvaloriza.
1,4243466 / 120% = 1,1869555
Cálculo do ganho real (Gr), descontada a inflação no período de 20%:
1,1869555 - 1 = 0,1869555
Gr = aproximadamente 18,69%.
7. Determine o montante final de uma aplicação de $140.000, durante o
prazo de 35 dias, considerando a taxa de juros compostos de 3% a.m., utilizando-
se o método do coeficiente linear.
M = 140.000 x 1,03 x ( 1+ 3% x 5/30 )
M = 140.000 x 1,03 x 1,005 = 144.921
M = $144.921
8. Qual o valor de resgate de uma aplicação de $100.000, com
vencimento para 180 dias, considerando-se:
1. Taxa de juros compostos de 3% a.m.;
2. Comissão de aplicação de 5% sobre o valor aplicado, descontados no
início do período;
3. Imposto de Renda de 20% sobre o valor do rendimento apurado.
Aplicação líquida (VN – Co) = 100.000 x 0,95 = 95.000
M = (VN – Co) x [(1 + i) ^ n
M = 95.000 x (1,03) ^ 6 = 95.000 x 1,194052297 = 113.434,97
Rendimento Bruto (RB):
RB = (VN – Co) x [(1 + i) ^ n – 1]
113.434,97 – 95.000 = 18.434,97
RB = $18.434,97
50
Imposto de Renda:
IR = RB x % IR
18.434,97 x 20% = $3.686,99
Valor de Resgate (Vr):
M – Imposto de Renda = 113.434,97 – 3.686,99 = 109.747,98
Vr = $109.747,98
9. Qual o percentual de ganho líquido apurado na aplicação do exercício
anterior?
109.747,98 / 100.000 = 1,09748
1,09748 – 1 = 0,09748 ou 9,748%
% de ganho líquido mensal ( taxa real de aplicação):
(1,09748) ^ 1/6 = 1,015623
1,015623 – 1 = 0,015623 ou 1,5623% a.m.
10. Um investidor aplicou $20.000, à taxa racional composta de 3% a.m.,
pelo prazo de doze meses. Qual o montante gerado?
A taxa racional composta é a taxa de juros no sistema de juros compostos.
Então:
M = 20.000 x ( 1+ 3% ) ^ 12 = 20.000 x 1,425761 = 28.515,22
M = $28.515,22
3.2. Equivalência de Taxas na Capitalização Composta
i (taxa); n (período de aplicação); k (regime em relação à taxa i);
r (períodos correspondentes ao n-ésimo período da capitalização).
51
i ( e ) = { (1+i) ^ (k/r) - 1} x 100
Exercícios Resolvidos:
1. Qual é a taxa que em 95 dias equivale à taxa anual de 98%?
i(e) = [(1,98) ^ 95/360 - 1] x 100% = [1,1975307 – 1] x 100%
i(e) = 0,1975307 ou 19,75307%
2. Uma taxa de 36% a.a. corresponde a que taxa equivalente bimestral?
i(e) = [(1,36) ^ 2/12 - 1] x 100% = [1,05258 – 1] x 100%
i(e) = 0,05258 ou 5,258% a.b.
3. Uma taxa de 6% a.m. corresponde a que taxa equivalente anual?
i(e) = [(1,06) ^ 12 - 1] x 100% = [2,012196 – 1] x 100%
i(e) = 1,012196 x 100 = 101,196%
i(e) = 101,2196% a.a.
4. Qual a taxa diária, mensal, bimestral, trimestral e semestral que
equivalem à taxa de 60% a.a.?
Diária
i(diária) = [(1,6) ^ 1/360 - 1] x 100% = [1,001306 – 1] x 100%
i(diária) = 0,001306 x 100% = 0,1306% a.d.
Mensal
i(mensal) = [(1,6) ^ (1/12) - 1] x 100% = [1,03994 – 1] x 100%
i(mensal) = 0,03994 x 100% = 3,994% a.m.
Bimestral
i(bimestral) = [(1,6) ^ (2/12) - 1] x 100% = [1,08148 – 1] x 100%
i(bimestral) = 0,0814837 x 100% = 8,14837% a.b.
52
Trimestral
i(trimestral) = [(1,6) ^ (3/12) - 1] x 100% = [1,124683–1]x100%
i(trimestral) = 0,124683 x 100% = 12,4683% a.t.
Semestral
i(semestral) = [(1,6) ^ (6/12) - 1] x 100% = [1,264911–1] x 100%
i(semestral) = 0,264911 x 100% = 26,4911% a.s.
5. 118% a.s. correspondem à taxa equivalente bimestral de?
i(e) = [(2,18) ^ (2/6) - 1] x 100% = [ 1,2966 - 1] x 100%
i(e) = 0,2966 x 100% = 29,66% a.b.
3.3. Desconto Composto
3.3.1. Desconto Comercial Composto (Desconto Bancário)
VL = VN (1 - i) ^ n
DC = VN x [ 1 – ( 1 – i ) ^ n ]
Exercícios Resolvidos:
1. Ao descontar-se por fora um título no Banco ABC S/A, quatro meses
antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% a.m., obteve-se
$3.000 de desconto. Qual o valor nominal do título e o líquido recebido?
3000 = VN – VL = VN – VN (1 – 0,02) ^ 4
3000 = VN x [ 1 – (0,98) ^ 4 ] = VN x 0,07763
VN = 3000 / 0,07763 = 38.643,94
VN = $38.643,94
53
VL = 38.643,94 – 3.000 = 35.643,94
VL = $35.643,94
2. Determinar o prazo de um título de $65.000, que descontado
comercialmente à taxa composta de 2,5% a.m., resultou um valor líquido de
$59.000.
VL = VN x [ ( 1 – i ) ^ n ]
59.000 = 65.000 x [( 1 – 2,5%) ^ n]
0,907692307 = ( 1 – 2,5%) ^ n = (0,975) ^ n
log (0,907692308) = n log (0,975)
n = - 0,04206 / - 0,010995 = 3,8254 meses
n = 3 meses e 24 dias
3. Qual a taxa de desconto bancário, considerando-se um título de
$100.000, que descontado 3 meses antes de seu vencimento, proporcionou um
valor descontado de $90.000?
90.000 = 100.000 x ( 1 – i ) ^ 3
( 1 – i ) = ( 0,90 ) ^ 1/3 = 0,965489
i = 1 – 0,9654894 = 0,0345106
i = 3,45% a.m., aproximadamente.
4. Um título descontado, à taxa de desconto bancário de 3% a.m.,
resultou em um desconto de $3.000, 3 meses antes de seu vencimento.
Determine o valor atual desse título.
VN – 3.000 = VN x ( 1 – 3% ) ^ 3
VN – 3.000 = 0,912673 VN
VN x ( 1 – 0,912673 ) = 3.000
VN = 3.000 / 0,087327
VN = $34.353,64
54
5. Considerando-se DR (desconto racional) e DC (desconto comercial), a
uma mesma taxa i composta, para um mesmo prazo e mesmo valor dos títulos,
qual a relação entre DR e DC?
DR = VN x [ 1 – ( 1 / ( 1 + i ) ^ n ] ( 1 )
DC = VN x [ 1 – (1 – i ) ^ n ] ( 2 )
Suponhamos os seguintes valores:
VN = 100 i = 2% n = 2
Substituindo em ( 1 ) e ( 2 ), temos:
DR = 100 x [ 1 – (1 / (1,02) ^ 2 ) ]
DR = $3,88
DC = 100 x [ 1 – ( 1 – 2% ) ^ 2 ] = 1 x [ 1 – 0,9604]
DC = 100 x 0,0396 = 3,96
DC = $3,96
DC/ DR = 3,96 / 3,88 = 1,0206
DC > DR
3.3.2. Desconto Racional Composto
VL = VN / (1 + i) ^ n
Exercícios Resolvidos:
1. Ao ser descontado por dentro um título no Banco ABC S/A, quatro
meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% a.m.,
obteve-se $3.000 de desconto. Qual o valor nominal do título e o líquido recebido?
55
3000 = VN x [ 1 – 1 / (1,02) ^ 4 ] = VN [ 1 – 1 / 1,082432 ]
3000 = VN x ( 1 – 0,9238 ) = 0,076154 VN
VN = 3.000 / 0,076154 VN = $39.393,56
VL = 39.393,56 – 3.000 = 36.393,56 VL = $36.393,56
2. Determinar o prazo de um título de $65.000, que descontado
racionalmente à taxa composta de 2,5% a.m., resultou um valor líquido de
$59.000.
59.000 = 65.000 / [( 1,025 ) ^ n]
(1,025) ^ n = 65/59
n log 1,025 = log ( 65 / 59 )
n = log (1,101695)/log 1,025
n = 3,9222 ou aproximadamente 3 meses e 27 dias
3. Qual a taxa de desconto racional, considerando-se um título de
$100.000, que descontado 3 meses antes de seu vencimento, proporcionou um
valor descontado de $90.000?
90.000 = 100.000 / ( 1 + i ) ^ 3
100 / 90 = ( 1 + i ) ^ 3
( 1 + i ) = (100 / 90) ^ 1/3 = 1,035744
i = 1,035744 – 1 = 0,035744
i = 3,5744 % a.m.
4. Um título descontado à taxa de desconto racional de 3% a.m., resultou
em um desconto de $3.000, 3 meses antes de seu vencimento. Determine o valor
atual desse título (VL).
VN – VN / ( 1,03 ) ^ 3 = 3.000
VN x [1 – 1 / (1,03) ^ 3] = 3.000
VN x [ 1 – 0,915142] = VN x 0,0848583 = 3000
VN = $35.353,04
VL = $32.353,04
56
5. Utilizando-se do conceito de equivalência entre taxas de Dr e Dc
compostos, determine o valor da taxa de desconto comercial, sabendo-se que a
taxa de desconto racional é de 3% a.m. Considere o prazo de 3 meses para
ambos os casos.
[(1 - ic) ^ n] x [(1 + ir) ^ n] = 1
[(1,03) ^ 3] x [(1-ic) ^ 3] = 1
1 / 1,092727 = (1-ic) ^ 3
(0,915141669) ^ (1/3) = (1- ic)
0,970873786 = 1 - ic
ic = 1-0,970873786 = 0,0291262
ic = 2,91262%
3.4. Equivalência de Capitais
Exercícios Resolvidos:
1. 10 títulos (t) de $2500 cada, com vencimentos mensais e consecutivos,
o primeiro para 30 dias, são vendidos à taxa de 3% a.m. Qual o valor presente
líquido a receber na data focal zero?
VP = 2500 / 1,03 + 2500 / (1,03 ^ 2) + 2500 / (1,03 ^ 3) + 2500 / (1,03 ^ 4) +
2500 / (1,03 ^ 5) + 2500 / (10,3 ^ 6) + 2500 / (1,03 ^ 7) + 2500 / (1,03 ^ 8) +
2500 / (1,03 ^ 9) + 2500 / (1,03 ^ 10)
VP = 2500 x ( 0,97087 + 0,94259 + 0,91514 + 0,88849 + 0,86261 +
0,83748 + 0,81309 + 0,78941 + 0,76642 + 0,74409 )
VP = 2500 x 8,530203 = 21.325,51
VP = $21.325,51
Considerando-se T(títulos), q(razão = 1 / 1,03), e a1 = (T x q).
Aplicando-se os conceitos de soma de uma P.G., para os termos acima,
temos:
57
VP = a1 x [( q ^ 10) – 1] / ( q - 1 )
VP = 2.500 x (1/1,03) x [ (( 1 / 1,03 ) ^ 10) - 1 ] / [( 1 / 1,03 ) - 1]
VP = (2500 / 1,03) x ( - 0,255906085 ) / ( - 0,029126213 )
VP = (2500 / 1,03) x 8,786108918 = 2500 x 8,530203 = 21.325,51
VP = $21.325,51
2. Calcular o valor presente atual (VP) equivalente à série abaixo, com
vencimento no final do ano, sabendo-se que n = 6 anos e i = 10,5% a.a.:
R$ ( 200, 300, 400, 500, 600, 700)
VP = 100 x [ (7/1,105) ^ 6 + (6/1,105) ^ 5 + (5/1,105) ^ 4 +(4/1,105) ^ 3 +
(3/1,105) ^ 2 + 2/1,105 ]
VP = 100 x [ 3,84525 + 3,64200 + 3,35367 + 2,96465 + 2,45695 +1,80995 ]
= 18,072468 x 100 = 1.807,25
VP = $1.807,25
3. Calcular o valor presente atual (VP) correspondente à série abaixo,
com vencimento no final do ano, sabendo-se que n=6 anos e i = 10,5% a.a.:
R$ ( 150, 300, 450, 600, 750, 900)
VP = 100 x [9/(1,105)^6 + 7,5/(1,105)^5 + 6/(1,105)^4 + 4,5/(1,105)^3 +
3/(1,105)^2 + 1,5/1,105]
VP = 100 x ( 4,94389 + 4,55250 + 4,02441 + 3,33523 + 2,45695 + 1,35747)
= 20,67045 x 100 = 2.067,05
VP = $2.067,05
4. Calcular o valor presente atual (VP) equivalente da série abaixo, com
vencimento no final do ano, sabendo-se que n = 4 anos e i = 10% a.a.:
R$ ( 300, 600, 1200, 2400 )
A série acima pode ser escrita como sendo: $300 x ( 1, 2, 4, 8 ).
58
1ª opção:
VP = 300 x [1 / 1,10 + 2 /(1,10) ^ 2 + 4 /(1,10) ^ 3 + 8 /(1,10) ^ 4]
VP = 300 x [0,9090909 + 1,652892562 + 3,005259204 + 5,464107643]
VP = 300 x 11,03135032 = 3309,41
VP = $3.309,41
2ª opção:
Utilizando-se dos conceitos de uma P.G., e q = (2 / 1,10), temos:
VP = 300 x (1/1,10) x [(2/1,10) ^ 4 – 1] / [( 2/1,10) – 1]
VP = 300 x (1/1,10) x [ 10,92821529 – 1 ] / [ 1,818181818 – 1 ]
VP = 300 x 0,909090909 x 9,92821529 / 0,818181818 =
VP = 300 x 11,03135032 = 3309,41
VP = $3.309,41
5. Uma empresa deverá pagar por um empréstimo, no fim de cada ano, o
valor de $1000, durante cinco anos, pela aquisição de uma máquina industrial.
Poderá fazer opção, também, pelo pagamento em dois anos, com uma entrada de
$1500 mais duas parcelas anuais e consecutivas de $1000. Considerando a taxa
de juros de 15% a.a., determinar a opção mais vantajosa.
Podemos escrever os pagamentos da seguinte forma:
$1000 x [ 1/(1,15); 1/(1,15)^2; 1/(1,15)^3; 1 /(1,15)^4, 1/(1,15)^5 ]
1ª opção:
Aplicando-se os conceitos de uma P.G., podemos escrever:
VP = 1000 x 1/1,15 x [(1/1,15) ^ 5 – 1 ] / [ 1/1,15 – 1]
VP = 1000 x 0,869565217 x (- 0,502823264) / (- 0,130434782)
VP = $3.352,16
59
2ª opção
VP = 1500 + 1000 / 1,15 + 1000/(1,15) ^ 2
VP = 1500 + 1000 x [(1/1,15) + (1/ 1,15) ^ 2 ]
VP = 1500 + 1000 x [ 0,869565217 + 0,756143667 ]
VP = 1500 + 1000 x 1,625708884 = 1500 + 1625,71 = 3.125,71
VP = $3.125,71
Resposta: A segunda opção é mais vantajosa para o comprador.
6. Com novo equipamento, a empresa ALFA S/A, nos próximos 5 anos,
elevará sua Receita Líquida mensal atual de $15.000 em mais $10.000 no final do
1º ano, decrescendo $500 em cada ano, nos anos posteriores, até o quinto ano.
No final do 5º ano o equipamento poderá ser vendido por $5.000.
25000; 24500; 24000; 23500; 23000
Considerando a taxa i composta de 10% a.a., por quanto a empresa
deveria comprar o equipamento para que seu custo hoje fosse 50% menor que
sua receita líquida? Desconsidere os efeitos da variação da moeda.
RLP = 100 x [250/1,1+245/1,21+240/1,331+235/1,4641)+230/1,61051]
RLP = 100x[227,2727+202,479339+180,315552+160,508162+142,811904]
RLP= 100 x 913,3877 = 91.338,77
RLP = $91.338,77
Custo = 50% x RLP = 50% x 91.338,77 = 45669,39
C = $45.669,39
Preço de Compra (PC) = Custo – 5000 / (1,1 ^ 5) = 45.669,39 – 3.104,61
PC = $42.564,78
7. Seja o financiamento de $105.000, financiado em 18 parcelas mensais,
pagas no final de cada mês, à taxa de 3% a.m. Qual o valor da parcela mensal?
60
Corresponde ao financiamento pelo Sistema Price.
P = 105.000 x (1,03)^18 x 0,03 / [(1,03)^18 - 1] = 105.000 x 0,051/0,702
P = 105.000 x 0,072708695 = 7634,41
P = $7.634,41
8. Supondo, no exercício anterior, que o cliente deseje liquidar o débito na
10ª prestação, quanto pagaria nesta época?
1º Passo:
Levar as prestações de 11 a 18 para a prestação de nº 10.
D10 = 7634,41 x 1/1,03 x [ (1/1,03) ^ 8 - 1] / [(1/1,03) - 1]
D10 = 7.634,41 x (1/1,03) x [-0,210590765]/(-0,029126213) = 53.591,21
D10 = $53.591,21
2º Passo:
Somar o resultado acima com o valor da 10ª prestação, e teremos o total a
ser pago (P10).
P10 = 7.634,41 + D10 = 61.225,62
P10 = $61.225,62
9. AFTN-91 – Com adaptações: A uma taxa de 15% a.m, um valor de
$1000 para o fim do período t, mais $2000 no fim do período t+2, são
equivalentes, no fim do período t+1, a um valor de?
1000 x 1,15 + 2000/1,15 = 1150 + 1739,13 = 2.889,13
Em t+1, o valor será de $2.889,13
10. Seja um veículo no valor de $15.000, com a seguinte opção de
financiamento: entrada de 20%; saldo financiado em 24 parcelas iguais de $700,
61
com pagamento da primeira parcela 30 dias após o financiamento. Qual a taxa de
juros aplicada?
Considerando o exercício anterior, qual deverá ser a prestação mensal,
para que haja equivalência composta de capitais, se a proposta do cliente é de
financiá-lo em 36 parcelas mensais iguais, com pagamento da 1ª parcela 30 dias
após o financiamento? Utilize a data focal zero.
Cálculo da Taxa i:
VF = $(15.000 – 3.000} = $12.000
700 = 12000 x [ ((1+i) ^ 24) x i] / [((1+i) ^ 24) - 1]
a ____ i ! 24 = 700/12000 = 0,05833333
Verificando na Tabela Price, o valor de i para 2,80% é de 0,05778256; de i
para 3,00% é de 0,0590474. Portanto, o fator 0,05833 acima está entre 2,80% e
3,00%.
0,20% -> 0,0012648
X -> 0,00055077
x = 0,000110154 / 0,126486 = 0,000871
i = ( 2,80 + x ) % = 2,80% + 0,0871% = 2,8871%
i = 2,8871%
Para que haja equivalência de capitais, a taxa de juros deverá ser
equivalente.
Cálculo da prestação, considerando 36 meses:
P = 15000 x [((1,028871) ^ 36) x 0,028871] / [((1,028871) ^ 36) - 1]
P = 15000 x [0,08043687 / 1,78607848] = 675,53
P = $675,53
62
4. Anuidades e Rendas
4.1. Anuidades
As anuidades são utilizadas quando desejarmos verificar a parcela mensal
a ser paga, em decorrência de financiamento de uma determinada quantia, a uma
determinada taxa de mercado ou de financiamento, em determinado prazo.
Muitas vezes, ao contratar-se um financiamento junto a bancos, o gerente
embute ao valor financiado o IOF e outras taxas de liberação de crédito e seguro,
e ainda juros para que as parcelas vençam no dia de escolha do cliente,
alterando-se o valor financiado.
4.1.1. Anuidades Postecipadas
Para prestações pagas no final do período da data da compra ou da data
do financiamento. É um exemplo da aplicação do Sistema de Amortização Price,
já explicado na parte teórica.
P = VF x { [((1+i) ^ n) x i ] / [(( 1 + i ) ^ n) - 1 ] }
Assim,
P = VF x ( 1 / a __ n ! i )
Exercícios Resolvidos:
1. Aquisição de um carro no valor de $50.000, financiado em 12
prestações mensais, à taxa de 2,5% a.m., com vencimento da 1ª parcela 30 dias
do financiamento. Qual o valor de cada prestação?
P = 50.000 x [(1,025 ^ 12) x 0,025] / [((1,025) ^ 12) - 1]
63
P = 50.000 x 0,097487126 = $4.874,36
P = $4.874,36
2. Aquisição de uma máquina de lavar roupas por $545 à vista ou em 10
parcelas de $99, com vencimento da 1ª parcela 30 dias após a compra. Qual a
taxa utilizada pela empresa vendedora?
Fator de Capitalização a uma taxa de juros x:
99 = 545 x K (fator de capitalização)
k = 99/545 = 0,18165138
Fatores Price, correspondentes aos juros de 12,5% é de (0,18062178) e de
13%, (0,18428955). Assim, a taxa de juros estará mais próximo de 12,5%.
Dessa forma,
(0,18165138 – 0,18062178) = 0,00102960
A diferença do intervalo de 12,5% para 13% é de:
(13 – 12,5)% = 0,5% = 0,18428955 - 0,18062178 = 0,00366777
Então:
0,5% <=> 0,00366777
x% <=> 0,00102960 x% = 0,00140357765
A taxa de juros procurada será de aproximadamente:
I = 12,50% + x% = 12,50% + 0,140357765% = 12,640036%
Assim, a taxa de juros adotada foi de aproximadamente 12,64 %a.m.
64
3. Aquisição de um veículo no valor de $12.000, com prestações mensais
de $280, com vencimento da primeira, 30 dias após o financiamento, à taxa de
juros compostos de 3% a. m. Qual o prazo de financiamentos, sabendo-se que foi
pago de entrada o valor de $4000?
Valor Financiado = 12.000 - 4000 = $8.000,00
280 = 8000 x [(1,03) ^ n] x 0,03 / [ ((1,03) ^ n) - 1 ]
0,035 x [((1,03) ^ n) - 1] = [(1,03) ^ n ]x 0,03
1,1667 x [((1,03) ^ n) - 1] = (1,03) ^ n
1,1667 x [(1,03) ^ n] – 1,1667 = (1,03) ^ n
(1,1667 – 1) x (1,03) ^ n = 1,1667
(1,03) ^ n = 1,1667 / 0,1667 = 6,9988
n log (1,03) = log 6,9988
n = log 6,9988 / log 1,03 = 65,826
n = 65,826 meses
Fazendo: (0,826 x 30 = 24 dias), temos n = 65 meses e 24 dias
4. Aquisição de um veículo, com pagamento em 18 parcelas de $500.
Sabendo-se que a 1ª parcela será paga 30 dias após o financiamento e à taxa
composta de juros de 8% a.m., qual o valor financiado?
500 = VF x K ( fator de capitalização )
n = 18 meses;
i = 8% a. m.
Na tabela Price, o fator de capitalização correspondente a juros de 8% e
período de 18 meses é de 0,106702.
Assim,
500 = VF x 0,106702
VF = 500 / 0,106702
VF = $4.685,95
65
Por outro lado, Utilizando-se a fórmula:
500 = VF x [ ((1,08) ^ 18) x 0,08 ] / [ ((1,08) ^ 18) - 1 ]
500 = VF x 0,31968 / 2,9960
500 = VF x 0,106702
VF = $4.685,95
5. Aquisição de um imóvel financiado em 60 parcelas mensais de $1500,
mais duas parcelas de $6.000 na 12ª e 24ª parcelas. Sendo que a taxa de juros
compostos aplicada foi de 1,5% a.m., calcular o valor financiado (VF) referente às
parcelas mensais e o valor presente do total (VT) do Imóvel.
VT = VF + 6000 x [(1 / (1,015) ^ 12 + (1 / (1,015) ^ 24 ]
VT = VF + 6000 x [ 0,8366387 + 0,699544 ] = VF + 6000 x 1,5362
VT = VF + 9.217,25
VF = 1500 x [((1,015) ^ 60) - 1] / [((1,015) ^ 60) x 0,015]
VF = 1500 x [ 1,443219776 / 0,036648296]
VF = 1500 x 39,38026889 = 59.070,40
VF = $59.070,40
VT = 59.070,40 + 9.217,25 = 68.287,65
VT = $68.287,65
6. Sendo a taxa de um financiamento igual a 3% a . m. e o prazo de 23
meses, determinar o fator (K) de capitalização, sendo o pagamento efetuado 30
dias após o financiamento.
Verificando-se na Tabela Price, o fator de capitalização (k), correspondente
à coluna de 3% e à linha com prazo de 23 meses, é igual a 0,060813902:
K = 0,060813902
7. Sendo o fator de capitalização igual a 0,07614, determinar o prazo do
financiamento, considerando que a taxa composta de juros é de 4% a. m. e a 1ª
parcela com vencimento 30 dias após o financiamento.
66
Verificando-se na Tabela Price, o fator de capitalização, correspondente à
coluna de 4% e à linha correspondente ao fator 0,076144, corresponde ao prazo
de 19 meses.
n = 19 meses
Fator de capitalização (K) na tabela Price, considerando a Coluna 4%, e a
linha 19 meses, é de 0,07614.
8. Determinar o valor da prestação mensal que em 60 meses amortizará
um financiamento de $60.000, considerando uma taxa composta de juros de 3%
a.m. e o pagamento da primeira parcela 30 dias do financiamento.
P = 60000 x [((1,03) ^ 60) x 0,03] / [((1,03) ^ 60) - 1]
P = 60000 x [0,176748093 / 4,891603104] = 60000 x 0,036132958
P = $2.167,98
9. Caso a taxa composta de juros do problema anterior fosse de 4%,
quanto seria a prestação? Qual o fator de aumento da prestação?
P = 60000 x {[(1,04) ^ 60 x 0,04] / [(1,04) ^ 60 - 1]}
P = 60000 x [ 0,420785096 / 9,519627408 ] = 60000 x 0,044201845
P = $2.652,11
Fator de aumento da prestação será: 2652,11 / 2167,98 = 1,2233
Assim, podemos verificar que o acréscimo de apenas 1% na taxa de juros
compostos provocou um acréscimo na prestação de 22,33%.
Verificando-se na Tabela Price, para juros de 3% e 4%, e prazo de 60
meses, temos:
FP3 = 0,036133 e FP4 = 0,044202.
Assim,
FP4/FP3 = 0,044202/0,036133 = 1,2233 ou acréscimo de 22,33%.
67
10. Qual o valor da expressão a ___ n ! i,
Considerando-se o Fator de Capitalização Price (FP), de 0,21632, temos:
FP = 1 / a ___ n ! i = 0,21632
1 / a ___ n ! i = 0,21632
a ___ n ! i = 1 / 0,21632 = 4,62278 a ___ n ! i = 4,62278
4.1.2. Anuidades Antecipadas
As prestações são cobradas no início de cada período, a partir da
aprovação do contrato ou financiamento.
P (prestação);
VF (valor financiado);
1 / a __ n ! i (Fator de Capitalização Price)
Sendo a data origem da série antecipada de um período, então teremos:
P = VF x ( 1 / a __ n ! i ) / (1+i)
Exercícios Resolvidos:
1. Aquisição de um carro no valor de $50.000, financiado em 12 parcelas
mensais, à taxa de 2,5% a.m., com vencimento da 1ª parcela no início do
financiamento. Qual o valor de cada parcela?
Verificando o fator de capitalização para n = 12 e i = 2,5% a.m., temos:
P = VF x (1/1,025) x [ ((1,025) ^ 12) x 0,025 ] / [ ((1,025) ^ 12) - 1 ]
P = 50000 x (1/1,025) x 0,97487125
P = 50.000 x 0,09510939 = 4.755,47
P = $4.755,47
68
2. Aquisição de um veículo no valor de $12.000, com prestações mensais
de $280, com vencimento da 1ª parcela no início do financiamento, à taxa de juros
de 3% a. m. Qual o prazo do financiamento, sabendo-se que foi pago de entrada
o valor de $4.000?
280 = 8000 x (1/1,03) x { [((1,03)^ n) x 0,03] / [ ((1,03) ^ n) - 1 ] }
280 = 8000 x 0,970873786 x 0,03 x { (1,03) ^ n / [ ((1,03) ^ n) - 1 ] }
280 = 233,0097086 x { (1,03) ^ n / [ ((1,03) ^ n) - 1 ] }
1,201666667 x [ ((1,03) ^ n) - 1 ] = (1,03) ^ n
1,201666667 x (1,03) ^ n - (1,03) ^ n = 1,201666667
0,201666667 x (1,03) ^ n = 1,201666667
(1,03) ^ n = 5,9586777
n log 1,03 = log 5,9586777
n = log 5,9586777 / log 1,03 = 60,382981 meses
Fazendo 30 x 0,382981 = 11,49 dias, temos:
n = 60 meses e 11 dias
3. Aquisição de um veículo, com pagamento em 18 parcelas de $50.
Sabendo-se que a primeira parcela será paga no início do financiamento, à
taxa composta de juros de 8% a . m., qual o valor financiado?
50 = VF x K (fator de capitalização) x 1 / (1,08)
n = 18 meses; i= 8% a . m.
Na tabela Price, o fator de capitalização correspondente à coluna de juros
de 8% e à linha (prazo) de 18 meses, é de 0,106702095.
50 = VF x 0,106702095 / 1,08 = VF x 0,098798296
VF = 50 / 0,098798296 = 506,09
VF = $506,08
69
4. Aquisição de um imóvel financiado em 60 parcelas mensais de $1500,
pelo sistema composto, pagas no início do período, mais duas parcelas de $6000
na 12ª e 24ª parcelas, também pagas no início do período. A taxa de juros
aplicada foi de 1,5% a. m. Calcular o valor financiado (VF).
1.500 = VF x (0,036648296 / 1,443219776) x 1 / 1,015
1.500 = VF x 0,025018155
VF = 1.500 / 0,025018154 = 59.956,46
VF = $59.956,46
Cálculo das parcelas ao valor presente:
P = 6000 x [(1 / (1,015) ^ 11 + (1 / (1,015) ^ 23 ] x (1/1,015)
P = 6000 x [0,848933233 + 0,710037078] = 6000 x 1,53593 / 1,015
P = 9.079,40
VFT = 59.956,46 + 9,079,40 = 69.035,86
VFT = $69.035,86
5. Sendo a taxa de um financiamento igual a 3% a.m. e o prazo de 23
meses, determinar o fator de remuneração de capitais, sendo o pagamento
efetuado no início do financiamento.
Fator de capitalização (k) na tabela Price, para juros de 3% (coluna) e
prazo de 23 meses (linha), é de 0,06081390. Como o pagamento será no início do
período:
K = 0,06081390 / 1,03 = 0,059042623
k = 0,059042623
6. Determinar o valor da prestação mensal que em 50 meses amortizará
um financiamento de $60.000, considerando a taxa composta de juros 3% a. m. e
o pagamento da primeira parcela no início do financiamento.
P = 60.000 x {[(1,03)^ 50 x 0,03] / [((1,03) ^ 50) - 1 ] } x (1/1,03)
P = 60.000 x {(0,13151718 / 3,383906019)} x 1 / 1,03
70
P = 60.000 x 0,038865494 / 1,03 = 60000 x 0,037733489 = 2264,01
P = $2.264,01
7. Caso a taxa composta de juros do problema anterior fosse de 4%,
quanto será a prestação? Qual o fator de aumento em relação ao cálculo do
exercício anterior?
P = 60.000 x (1 / 1,04) x {[((1,04) ^ 50) x 0,04] / [((1,04) ^ 50) - 1 ] }
P = 60.000 x {0,284267333 / 6,106683346} / 1,04
P = 60.000 x 0,0465502 / 1,04 = 60000 x 0,044759807 = 2685,59
P = $2.685,59
Fator de aumento:
[ (2685,59 / 2264,01) – 1 ] x 100
[ 1,186209 – 1 ] x 100 = 0,186209 x 100 = 18,62%
Assim, podemos verificar que o acréscimo de apenas 1% na taxa de juros
compostos provocou um acréscimo na prestação de 18,62%.
8. Aquisição de um carro no valor de $50.000, financiados em 50 meses,
à taxa de 2,5% a.m., sendo as parcelas pagas no início do período. Calcular o
valor da prestação mensal.
P = 50000 x {[((1,025) ^ 50) x 0,025] / [((1,025) ^ 50) - 1 ] } x (1 / 1,025)
P = 50000 x [ 0,085927717 / 2,43710872 ] / 1,025
P = 50000 x 0,035258056 / 1,025 = 50000 x 0,0343981 = 1719,91
P = $1.719,91
4.1.3. Anuidades Diferidas
P (prestação); VF (valor financiado);
m (data do financiamento)
1/a __ n ! i (fator de capitalização Price)
71
A primeira parcela do contrato ou financiamento será diferida para um
prazo futuro, e as demais parcelas nos períodos subsequentes.
Sendo (m) o prazo de diferimento da série, então a equação (1) será
escrita da seguinte forma:
P = VF x [(1+i) ^ (m-1)] x {[((1+i) ^ n) x i] / [(( 1 + i ) ^ n) – 1] }
P = VF x (1 / a __ n ! i ) x [(1+i) ^ (m-1)]
Observação: (m - 1), porque a fórmula considera o pagamento para 30 dias
do financiamento.
Exercícios Resolvidos:
1. Financiamento de um veículo no valor de $50.000, em 12 parcelas
mensais e consecutivas, vencendo a 1ª parcela cinco meses da data do
financiamento, à taxa composta de 2,5% a. m.
Sendo m o prazo de diferimento, então m -1 = 5 -1 = 4
P = VF x [(1,025) ^ 4] x [((1,025) ^ 12) x 0,025] / [( (1,025) ^ 12) - 1 ]
P = 50000 x [(1,025 ) ^ 4] x [ 0,03362222 / 0,344888824 ]
P = 50000 x 0,0974871 x 1,1038129 = 50000 x 0,107608 = 5380,38
P = $5.380,38
2. Aquisição de um imóvel, no valor de $100.000, financiado em 12
parcelas mensais e consecutivas, à taxa de 2,914%a.m. Calcular o valor da
prestação, considerando: o 1° pagamento feito no final do 2° mês da data do
financiamento; o 1° pagamento feito no final do 10° mês da data do
financiamento; o 1° pagamento feito no início do 10° mês.
a) Sendo m o prazo de diferimento, então m -1 = 2 -1 = 1
72
P = VF x (1,02914) x [((1,02914)^12) x 0,02914] / [((1,02914) ^ 12) - 1 ]
P = 100.000 x (1,02914 ) x [ 0,041132305 / 0,411541012 ]
P = 100.000 x 1,02914 x 0,09995 = 100.000 x 0,1028595 = 10.285,95
P = $10.285,95
b) Sendo m o prazo de diferimento, então m -1 = 10 - 1 = 9
P = VF x (1,02914)^9 x [((1,02914)^12) x 0,02914] / [ (1,02914)^12) - 1 ]
P = 100.000 x (1,02914 )^9 x [ 0,041132305 / 0,411541012]
P = 100.000 x 1,295 x 0,09995 = 100.000 x 0,129435356 = 12943,54
P = $12.943,54
c) Sendo m o prazo de diferimento, então m - 1 = 10 -1 = 9
Entretanto, como o pagamento será feito no início do mês, teremos n = 8:
P = VF x [(1,02914)^8] x [((1,02914)^12) x 0,02914] / [((1,02914)^12) - 1 ]
P = VF x [(1,02914 )^8] x [ 0,041132305 / 0,411541012 ]
P = VF x 1,258333235 x 0,099947037 = 100.000 x 0,125766678
P = $12.576,67
3. Seja uma dívida de $60.000, vencida hoje, refinanciada em n meses,
com valores iguais a $3.000, vencendo a 1ª parcela 30 dias da data do
refinanciamento. Calcular a prestação, considerando a taxa de juros composta de
18% a.a., com capitalização bimestral.
i = 3% a . b.
i(m) = 1,489% a . m.
3000 = 60000 x {[((1,01489) ^ n) x 1,489%] / [((1,01489) ^ n) - 1] }
0,05 = {[((1,01489) ^ n) x 1,489%] / [((1,01489) ^ n) - 1 ] }
0,05 / 0,01489 = [1,01489) ^ n] / [((1,01489) ^ n) - 1 ]
3,35795836 = [(1,01489) ^ n] / [((1,01489) ^ n) - 1 ]
3,35795836 x [((1,01489) ^ n) - 1 ] = (1,01489) ^ n
3,35795836 x ((1,01489) ^ n) – ((1,01489) ^ n) = 3,35795836
2,35795836 x (1,01489) ^ n = 3,35795836
73
3,35795836 / 2,35795836 = (1,01489) ^ n = 1,4240957
n x log (1,01489) = log 1,4240957
n = 0,153539175 / 0,006418973 = 23,91
n = 23 prestações
Valor residual = 0,91 x 3000 = $2.730,00
4. Aquisição de uma máquina de lavar roupas por $500 a vista ou em 10
parcelas, com vencimento da 1ª parcela 120 dias da data da compra, à taxa de
3% a.m. Qual deverá ser o valor da prestação?
Sendo o diferimento de 120 dias = 4 meses, m= 3.
P = 5000 x ((1,03) ^ 3) x [((1,03) ^ 10) x 0,03] / [((1,03) ^ 10) - 1 ]
P = 5000 x ((1,03) ^ 3) x [0,040317491 / 0,343916379]
P = 5000 x 1,092727 x 0,117230506 = 500 x 0,128101
P = $640,51
5. Seja um financiamento de um veículo em 60 parcelas mensais e
consecutivas de $280, vencendo a 1ª parcela 60 dias da data do financiamento.
Considerando a taxa de juros de 2% a.m., e que o agente financeiro
embutiu no valor financiado uma taxa de comissão de 5% sobre o valor do
veículo, qual o valor do financiamento?
Sendo o diferimento de 60 dias = 2 meses, m = 1.
Valor do veículo = A
Valor financiado = 1,05 x A
280 = (1,05 x A) x (1,02) x [((1,02) ^ 60) x 0,02] / [((1,02) ^ 60) - 1 ]
280 = (1,05 x A) x (1,02) x [ 0,065620615 / 2,281030788 ]
280 = (1,05 x A) x 1,02 x 0,028767965 = (1,05 x A) x 0,029343325
9.542,20 = 1,05 x A
A = $9.087,81
74
Valor financiado = $9.087,81
Comissão = $454,39
6. Um financiamento de $6.000 foi concedido à taxa de 3% a.m., com
prazo de 23 meses. Determinar o valor da prestação, sabendo-se que o 1º
pagamento feito foi no 5º mês da data do financiamento.
P = 6.000 x ((1,03) ^ 4) x [((1,03) ^ 23) x 0,03] / [((1,03) ^ 23) - 1 ]
P = 6.000 x 1,12550881 x 0,059207595 / 0,973586511
P = 6.000 x 1,12550881 x 0,060813902 = 6.000 x 0,068446583
P = $410,68
7. Considerando-se os dados do exercício anterior, qual o valor da
prestação, se o pagamento das parcelas for efetuado no início do período?
Neste caso não haverá diferimento do financiamento.
P = 6.000 x 1 / (1,03) x [((1,03) ^ 23) x 0,03] / [((1,03) ^ 23) - 1 ]
P = (6.000 / 1,03) x 0,059207595 / 0,973586511
P = 5.825,2427 x 0,060813902 = 354,26
P = $354,26
Ou $410,68 x [ 1 / (1,03 ) ^ 5 ] = 354,26
8. Qual o prazo de um financiamento, considerando-se: taxa de
financiamento de 3% a.m.; pagamento da 1ª parcela, 30 dias do
financiamento; valor da prestação de $398,00; e valor do financiamento de
$1760,00.
398 = 1760 x [((1,03) ^ n) x 0,03] / [((1,03) ^ n) - 1 ]
((1,03) ^ n) - 1 = 0,13266332 x ((1,03) ^ n)
((1,03) ^ n) - 0,13266332 x ((1,03) ^ n) = 1
0,86733668 x ((1,03) ^ n = 1
(1,03) ^ n = 1,152955
n x log 1,03 = log 1,152955
75
n = 0,0618124 / 0,012837 = 4,81
n = 4,81 meses
9. Um veículo foi financiado em 50 parcelas mensais e consecutivas de
$286. Sabendo-se que a taxa aplicada ao financiamento foi de 28% a.a.,
composta semestralmente, que foi cobrada e financiada uma taxa de
administração de 1% sobre o valor do veículo, e que a 1ª parcela foi paga três
meses da data do financiamento, calcular o valor do financiamento.
ir = 28% a. a.
is = 14% a . s.
im = (1,14) ^ (1/6) - 1 = 1,02208 - 1 = 0,02208 ou 2,208% a . m.
286 = VF x [((1,02208)^50) x 0,02208] / [((1,02208)^50) - 1 ] x (1,02208)^2
286 = VF x (0,0658027 / 1,980194) x 1,0446475
286 = VF x 0,0332304 x 1,0446475 = VF x 0,034714
286 / 0,034714 = VF
VF = $8.238,74
Contudo, VF tem uma taxa de financiamento embutida, VF = 1,01 E
8238,74 / 1,01 = E (valor do empréstimo)
E = $8157,17
10. Calcular o valor financiado no exercício anterior, considerando-se:
prazo = 18 meses; taxa = 24% a.a., composta bimestralmente; primeiro
pagamento, 6 meses da data do financiamento; prestação de $286,00; taxa de
administração de 1% sobre o valor do veículo.
ir = 24% a. a.
ib = 4% a . b.
im = (1,04) ^ (1/2) - 1 = 1,0198039 - 1 = 0,0198039 ou 1,9804% a. m.
286 = VF x [((1,01980)^18) x 0,01980] / [((1,01980)^18) - 1 ] x (1,01980) ^ 5
286 = VF x (0,0281873/0,423312) x 1,10302043
76
VF = 286 / 0,073447372 = 3893,94
VF = $3.893,94
Contudo, VF tem uma taxa de financiamento embutida, VF = 1,01 E
3893,94/1,01 = E (valor do empréstimo)
E = $3.855,39
4.2. Rendas
O conceito de Rendas é geralmente utilizado quando necessitamos
determinar o valor total de depósitos ou aplicações mensais, no final de
determinado período, considerando-se uma taxa determinada de mercado ou de
aplicação financeira.
4.2.1. Rendas Postecipadas
Valores para depósitos ou pagamentos no final do período.
Fator de Formação de Capitais (S):
Rn = D x { [ ( (1 + i) ^ n ) – 1 ] / i }
Exercícios Resolvidos:
1. Um investidor em poupança fez um compromisso de depositar
mensalmente $1000 no agente financeiro, durante o prazo de 72 meses, no final
de cada mês.
Considerando-se a taxa nominal de remuneração igual a 18% a.a.,
capitalizada mensalmente, incluindo juros e atualização monetária, calcular o
valor do montante a ser resgatado no final do período de aplicação.
77
Ver considerações sobre taxa efetiva e taxa nominal na parte teórica, em
Regime de Juros Compostos.
18 / 12 = 1,5% a . m.
S = 1.000 x [((1,015) ^ 72) - 1 ] / 0,015 = 1.000 x 1,921157961 / 0,015
S = 1.000 x 128,0771974 = 128077,20
S = $128.077,20
2. Calcular o valor de 60 depósitos mensais (Dm), no final de cada mês,
para que se consiga um montante de $780.000 no final do período, considerando
uma taxa composta de 1,8% a .m.
780.000 = Dm x [((1,018) ^ 60) - 1 ] / 0,018
780.000 = Dm x 1,916531558 / 0,018
Dm = 780.000 / 106,4739755 = 7325,73
Dm = $7.325,73
3. Calcular o valor da taxa de capitalização composta mensalmente, para
um montante de $70.000, com depósitos de $1.000,00 no final de cada mês, e
prazo de 60 meses.
70.000 = 1.000 x [(( 1 + i ) ^ 60) - 1 ] / i
70 = [(( 1 + i ) ^ 60) - 1 ] / i
[(( 1 + i ) ^ 60) - 1 ] / i => Fator de acumulação de capitais (Ks)
Construindo-se uma tabela com fatores de capitalização, teremos:
a) para i = 0,5%, o fator Ks será de 69,77003051;
b) para i = 0,55%, o fator Ks será de 70,85654595
0,55% - 0,50% = 0,05%
70,85654595 – 69,77003051 = 1,08651544
70 – 69,77003051 = 0,22996949
78
0,05% => 1,08651544
X% => 0,22996949
X% = 0,011498474 / 1,08651544 = 0,010583
i = 0,5 + 0,010583 = 0,510583
i = 0,510583%, aproximadamente.
4. Qual o montante produzido por 24 depósitos mensais de $5000, no fim
de cada mês, à taxa de 2% a . m. ?
S = 5.000 x [((1,02) ^ 24) - 1 ] / 0,02 = 5000 x 0,6084 / 0,02 = 152.109,31
S = $152.109,30
Ou consultando a tabela de fatores de acumulação de capitais (final da
parte teórica), na coluna de juros de 2% e na linha correspondente a 24 meses,
teremos:
S = 5.000 x 30,42186 = $152.109,30.
5. Sendo o montante de $150.000, quanto deveria ser depositado durante
24 meses, no fim de cada mês, sendo a taxa de remuneração de 2% a. m.?
150.000 = D x [((1,02) ^ 24) - 1] / 0,02
3.000 = P x 0,6084
P = 3.000 / 0,6084 = 4.930,97
P = $4.930,97
6. Considere uma aplicação à taxa de 1% a . m., em 24 parcelas mensais
de $2000, no final de cada mês. Qual o valor do imposto descontado se no final
do prazo foi resgatado $50.000?
S = 2.000 / 0,01 x [((1,01) ^ 24) - 1 ] = 2000 x 0,2697346485 = 53946,93
S = $53.946,93
R = 53.946,93 – 50.000 = 3.946,93
79
Imposto = $3.946,93 ou 7,32% sobre o montante total
7. Qual o prazo para que uma aplicação feita em n depósitos mensais de
$150, no fim de cada mês, aplicados à taxa composta de 2% a.m., é necessário
para que se acumule um capital de $100.000?
100.000 = (150 /0,02) x [((1,02) ^ n) - 1 ]
13,33333 = (1,02) ^ n - 1
(1,02) ^n = 13,3333 + 1 = 14,3333
n log 1,02 = log 14,3333
n = log 14,3333 / log 1,02 = 134,46
n = 134,46 meses ou 134 meses e 13 dias
8. Um apartamento custa $95000. Quanto devo depositar no final de cada
mês para que no final de 10 anos, mantido os preços constantes, uma aplicação
remunerada à taxa de 2% a.m., acumule o valor correspondente ao valor do
apartamento?
95.000 = P x [((1,02) ^ 120) - 1 ] / 0,02
1.900 = 9,765163034 x P
P = 1.900 / 9,765163034 = 194,57
P = $194,57
9. Um investidor em poupança fez um compromisso de depositar
mensalmente $1000 no agente financeiro, no final de cada mês. Acumulou uma
quantia de $100.000,00 no final do período da aplicação.
Considerando a taxa nominal de remuneração igual a 18% a.a.,
capitalizada mensalmente, calcular o prazo de aplicação.
18 / 12 = 1,5% a . m.
100.000 = 1.000 x [((1,015) ^ n) – 1 ] / 0,015
100 = [((1,015) ^ n) - 1 ] / 0,015
100 x 0,015 = [((1,015) ^ n) - 1 ]
80
[((1,015) ^ n) - 1 ] = 1,5
(1,015) ^ n = 2,5
n log 1,015 = log 2,5
n = log 2,5 / log 1,015 = 0,397940 / 0,006466042 = 61,54
n = 61,54 meses ou 61 meses e 19 dias
10. Qual a taxa de imposto sobre o valor de resgate de um montante
produzido por 36 depósitos mensais de $1500, no final de cada mês, à taxa
composta mensal de 3% a.m., se ao final do período o investidor resgatou
$80.000? E sobre o montante produzido?
(80.000 + I) = 1.500 x [ (1,03) ^ 36 - 1 ] / 0,03
80.000 + I = 1.500 x 63,27594427 = 94.913,92
I = 94.913,92 – 80.000 = 14.913,92
I = $14.913,92
Taxa sobre o valor do Resgate:
14.913,92 / 80.000,00 = 18,64%
Taxa sobre o valor do Montante Produzido (TM):
14.913,92 / 94.913,92 = 15,71%
4.2.2. Rendas Antecipadas
O valor das parcelas é depositado no início do período de determinado
contrato.
Sn = soma das parcelas; D = parcelas;
n = período; i = taxa de juros
Sn = D x {[((1 + i) ^ n) – 1 ] / i } x (1+i)
81
Exercícios Resolvidos:
1. Um investidor fez depósitos de $5000 no início de cada trimestre,
durante 5 anos, à taxa nominal de 24% a.a., composta ao bimestre. Calcular o
montante no final de cinco anos.
1 ano = 6 bimestres ib = 4% a . b.
im = 1,9804% a . m.
it = 6,0596% a . t.
S = 5.000 x {[((1,060596) ^ 20) - 1] / 0,060596} x 1,060596
S = 5.000 x 37,022145 x 1,060596 = 5.000 x 39,265539 = 196.327,69
S = $196.327,69
2. Quantos depósitos de $2.500,00 deverei efetuar, no início de cada
mês, para que ao final do período tenha $96.000, considerando uma taxa
composta de 2% a . m.?
96.000 = 2.500 x {[(1,02) ^ n - 1] / 0,02 } x 1,02
38,4 = {[(1,02) ^ n - 1] / 0,02 } x 1,02
0,752941176 = (1,02) ^ n - 1
(1,02) ^ n = 0,752941176 + 1 = 1,752941176
n x log 1,02 = log 1,752941176
n = log 1,752941176 / log 1,02 = 0,24376734 / 0,00860017 = 28,34
n = 28,34 meses
3. Considerando depósitos de $2.500, no início de cada mês, sendo de
$96.000 o saldo apurado no final do período, qual a taxa utilizada se o prazo de
aplicação foi de 28 meses?
96.000 = 2.500 x { [ ( 1 + I ) ^ 28 - 1 ] / i } x (1 + i)
38,40 = { [ ( 1 + I ) ^ 28 - 1 ] / i } x (1 + i)
Cálculo de i:
82
De acordo com a Tabela de Rendas Antecipadas, temos:
2,1 % -> 38,3826
2,2% -> 38,9839
2,2 – 2,1 = 0,1
38,9839 – 38,3826 = 0,6013
38,40 – 38,3826 = 0,0174
0,1% -> 0,6013
X% -> 0,0174
X = 0,00289
I = 2,10 % + 0,00289% = 2,1029%
i = 2,1029%
4. Qual será o montante produzido no final do período de 24 meses,
tendo sido depositados 24 parcelas de $5.000 cada, no início de cada mês,
considerando uma taxa de 2% a. m.?
S = 5.000 x 1,02 x [(( 1,02) ^ 24) - 1 ] / 0,02
S = 5.000 x 31,0303 = 155.151,50
S = $155.151,50
5. Considerando o montante de $160.151,50, no início do 24º depósito,
com taxa de remuneração composta de 2% a. m., qual será o valor do depósito
mensal?
160.151,50 = {D x 1,02 x [(( 1,02) ^ 23) - 1 ] / 0,02} + D
160.151,50 = D x 29,42186247 + D = 30,42186247 x D
D = 160.151,50 / 30,421862 = 5.264,36
D = $5.264,36
83
6. Qual o montante produzido no final do 24º depósito, considerando-se
24 depósitos mensais de $2.000, no início de cada mês, à taxa composta de 1%
a.m.? Qual o valor do rendimento e taxa de retorno? Não considerar a inflação.
Depósitos = 24 x $2000 = $48000
S = 2000 x 1,01 x [(( 1,01) ^ 24) - 1 ] / 0,01
S = 2000 x 27,243200 = 54.486,40
S = $ 54.486,40
Rendimento (R) = 54.486,40 – 48000 = 6.486,40
R = $6.486,40
Taxa de retorno (Tr) = 6.486,40 / 48.000,00 = 13,5133%
7. Quantos depósitos de $150 deverei efetuar para que obtenha o
montante de $100.000, considerando a taxa composta de 2% a. m. e os depósitos
no início de cada mês?
(100.000 / 150) x 0,02 /1,02 = [((1,02) ^ n) – 1] = 13,07189542
(1,02) ^ n = 13,07189542 + 1 = 14,07189542
n log 1,02 = log 14,07189542
n = 1,148352599 / 0,008600171
n = 133,53 meses
n = 133 meses e 15 dias
8. Quanto deverei depositar mensalmente, no início de cada mês, para
que ao final de 120 meses obtenha o montante de $95000, considerando a taxa
composta de juros de 2% a . m.?
95.000 x 0,02 = D x [(( 1,02) ^ 120) - 1 ] x 1,02
1.900 = D x [ 10,76516303 – 1 ] x 1,02
D x 9,76516303 x 1,02 = 1.900
D = 1900 / 9,9604663 = 190,75
D = $190,75
84
9. Quantas parcelas mensais de $1.000 devo depositar, no início de cada
mês, para que obtenha o montante de $100.000 ao depositar a última parcela,
considerando uma taxa composta de 1,5% a . m.?
100.000 = {1000 x 1,015 x [((1,015) ^ (n -1)) - 1] / 0,015} + 1000
99.000 = 1000 x (1,015/0,015) x [(( 1,015) ^ (n -1)) - 1 ]
99 = 67,67 x ((1,015) ^ (n -1)) – 67,67
166,67 = 67,67x ((1,015) ^ (n -1))
2,462982 = ((1,015) ^ (n -1))
n -1 = log 2,462982 / log 1,015 = 0,391461237 / 0,006466042 = 60,54
n = 61,54
10. Qual o montante gerado por 36 depósitos sucessivos e mensais de
$1500, no início de cada mês, considerando uma remuneração de 3% a. m.? Qual
o rendimento total apurado?
S = 1.500 x 1,03 x [((1,03) ^ 36) - 1 ] / 0,03
S = 1.500 x 65,1742226 = 97.761,33
S = $97.761,33
Depósitos = $1500 x 36 = $54.000
Rendimento total ( Rt) = 97.761,33 – 54.000 = 43.761,33
Rt = $43.761,33
5. Perpetuidade
R = C x i
C = Capital; R (Renda) = Valor recebido periodicamente; i = taxa de juros
5.1. Perpetuidade Postecipada
Representam pagamentos infinitos no final de cada período.
85
Exercícios Resolvidos:
1. Qual a taxa de mercado considerada para uma renda perpétua mensal
de $500, no final de cada mês, considerando um depósito de $10.000?
i = R / C
i = 500 / 10.000 = 0,05
i = 5% a . m.
2. Um investidor deseja comprar um imóvel para locação e receber uma
renda perpétua no final de cada mês, à taxa de mercado de 1,5% a . m. Por
quanto deverá adquirir o imóvel se calcula receber $1500 mensais?
Desconsiderar a inflação.
R = C x i
1500 = C x 1,5%
C = 1.500 / 1,5% = 100.000
C = $100.000,00
3. Qual o depósito deverá ser feito hoje, para obter-se uma renda
perpétua anual de $1000, no final de cada ano, considerando-se uma taxa de
mercado de 3% a . a .?
C = R / i
C = 1.000 / 3% = 33.333,33
C = $33.333,33
4. Qual será a renda perpétua mensal para cobrir um investimento de
$150.000 em um imóvel colocado em locação, considerando-se uma taxa de
mercado de 2% a . m.?
R = C x i
R = 150.000 x 2% = 3.000
R = $3.000,00
86
5. Quanto devo depositar para que obtenha uma renda mensal perpétua
real no final de cada mês, de $1500, considerando uma taxa de mercado de 2,5%
a.m. e uma inflação mensal de 1%?
C x i = R => C = 1500 / 0,025 = 60.000
Para correção mensal da renda perpétua, o investidor deverá apresentar a
taxa de mercado pelo fator mensal de 1,01.
5.2. Perpetuidade Antecipada
Representam pagamentos infinitos no início de cada período.
Como (R = Ci) representa a renda para o final do período, se desejamos a
renda antecipada para o início do período, devemos alterar o valor total da renda,
adicionando parcela para atualizá-lo ao início do período.
Assim, obtemos a fórmula:
R = C x i / (1 + i)
C = Capital; R = Valor recebido periodicamente; i = taxa de juros
Exercícios Resolvidos:
1. Qual a taxa de mercado considerada para uma renda perpétua mensal
de $500, no início de cada mês, e um depósito de $10.000 ?
500 = 1000 x i / (1+i)
10000 i = 500 (1 + i) = 500 + 500 I
9500 i = 500
i = 500 / 9500 = 0,0526
i = 5,26% a. m.
87
2. Um investidor deseja comprar um imóvel para locação e receber uma
renda perpétua no início de cada mês, à taxa de mercado de 1,5% a . m. Por
quanto deverá adquirir o imóvel se calcula receber $1500 mensais?
C = 1.500 x ( 1,015 ) / 0,015 = 1500 x 67,6666667 = 101.500
C = $101.500,00
3. Qual o depósito deverá ser feito hoje, para obter-se uma renda
perpétua anual de $1000, no início de cada ano, considerando-se uma taxa de
mercado de 3% a. a.?
C = 1.000 x 1,03 / 0,03 = 34,333,33
C = $34.333,33
4. Qual será a renda perpétua mensal, no início de cada período, para
cobrir um investimento de $150.000 em um imóvel colocado em locação,
considerando-se uma taxa de mercado de 2% a. m.?
R = 150.000 x 2% / 1,02 = 2.941,18
R = $2.941,18
5. Quanto devo depositar para que obtenha uma renda mensal perpétua
real de $1500, no início de cada mês, considerando uma taxa de mercado de
2,5% a. m. e uma inflação mensal de 1%?
C = 1.500 x 1,025 / 0,025 = 61.500
C = $61.500
Como o investidor deseja obter renda perpétua atualizada à taxa de
inflação de 1%, deverá acrescentar ao seu rendimento o fator inflacionário de
1,01, ou seja, c = $62.115.
6. Sistemas de Amortização
88
6.1. SAC ( Amortização Constante )
Não havendo cláusula de correção no contrato de financiamento, após a
amortização de determinada parcela, as cotas de amortização são constantes em
todo o período de amortização e os juros são decrescentes – ver exercícios
resolvidos a seguir.
Para que possamos identificar o valor de uma determinada prestação, de
um contrato de n períodos, devemos aplicar a fórmula:
Pt = (VF / n) x [ 1 + ( n – t + 1) x i ]
Onde t = Prestação; VF/n, a Cota de Amortização (1); e os Juros (2)
correspondem a ( n – t + 1 ) x i x (VF/n)
Exercícios Resolvidos:
1. Empréstimo de $36.000, em 12 parcelas mensais e juros de 1% a. m.
Construir o plano de amortização adotando o sistema SAC.
Parcela VF/n Juros
( n - t + 1 ) x i x VF/n
Prestação Capital a Amortizar
Saldo Devedor
1 3.000,00 360,00 3.360,00 33.000,00 34.980,00
2 3.000,00 330,00 3.330,00 30.000,00 31.650,00
3 3.000,00 300,00 3.300,00 27.000,00 28.350,00
4 3.000,00 270,00 3.270,00 24.000,00 25.080,00
5 3.000,00 240,00 3.240,00 21.000,00 21.840,00
6 3.000,00 210,00 3.210,00 18.000,00 18.630,00
7 3.000,00 180,00 3.180,00 15.000,00 15.450,00
8 3.000,00 150,00 3.150,00 12.000,00 12.300,00
9 3.000,00 120,00 3.120,00 9.000,00 9.180,00
10 3.000,00 90,00 3.090,00 6.000,00 6.090,00
11 3.000,00 60,00 3.060,00 3.000,00 3.030,00
12 3.000,00 30,00 3.030,00 0,00 0,00
Total 36.000,00 2.340,00 38.340,00 0,00 0,00
2. Sendo um financiamento de $10.000,00 calcular o valor da prestação
no décimo mês, sabendo-se que a taxa de juros negociada foi de 1% a. m. e o
prazo de 10 meses.
Pt = 10.000/10 x [ 1 + (10 – 10 + 1) x 1% ] = 1000 x 1,01 = 1010,00
89
P10 = $1.010,00
3. Sendo o valor da 4ª prestação igual a $4.500, qual o valor do capital e
do prazo do financiamento, sabendo-se que a taxa aplicada foi de 2% a . m. e a
quota de amortização constante de $1.500?
Cálculo do Prazo:
4500 = 1500 x [ 1 + (n – 4 + 1) x 0,02 ]
3 = 1 + ( n – 3 ) x 0,02
2 / 0,02 = n – 3
100 = n – 3
n = 103 meses
Cálculo do Capital:
C = D x n
C = 1500 x 103 = 154.500
C = $154.500,00
4. Sabendo-se que a 5ª parcela de um financiamento de $160.000,
corresponde a $4.000; e a parcela de amortização a $1.500, calcule a taxa de
aplicação.
Cálculo do número de parcelas:
n = VF / K
n = 160.000 / 1500 = 106,6667
n = 106,6667
Cálculo da taxa de juros:
4000 = 1500 x [1 + ( 106,6667 – 5 + 1 ) x i ]
2,6667 = 1 + ( 102,6667 ) x i
2,6667 – 1 = 102,6667 x i
90
1,6667 = 102,6667 i
i = 1,6667 / 102,6667
I = 1,6234% a.m.
5. Num sistema de amortização constante, sendo a 8ª prestação igual a
$3.150, qual o valor do saldo devedor após seu pagamento, considerando o valor
de juros de $150 e a taxa de mercado de 1% a . m.?
P8 = 3150; j = 150;
Amortização ( K):
K = 3150 - 150 = $3000,00
Prazo do Financiamento (n):
3150 = 3000 x [ 1 + (n – 8 + 1) x 0,01 ]
1,05 = 1 + (n – 7) x 0,01
0,05 = (n – 7) x 0,01
n – 7 = 5 n = 12
Valor Financiado (VF):
K = VF / n
VF = 3000 x 12 = 36000
VF = $36.000
Saldo devedor (S9) após a oitava prestação:
S8 = (3120 + 3030) x 4 / 2 = 12.300,00
S8 = $12.300,00
6. Empréstimo de $100.000, em 120 parcelas mensais e juros de 8% a. a.
Considerar os seguintes encargos acrescidos à prestação mensal: Seguro MIP,
$177,40, Seguro DFI, $22,03, e taxa de administração de R$25,00.
91
Construir o plano de amortização adotando o sistema SAC.
Juros de 8% a.a. = 0,6667% a.m.
Parcela Amortização
VF/n
Juros ( n - t + 1 ) x i x
VF/n Prestação Taxas
Total da Prestação
1 833,33 666,67 1.500,00 224,43 1.724,43
... ... ... ... ... ...
120 833,33 5,56 838,89 224,43 1.063,32
6.2. Price ( Francês)
Neste sistema, as prestações são fixas e calculadas conforme abaixo:
P = VF . [(( 1 + i ) ^ n) . i] / [(( 1 + i ) ^ n) - 1]
P = VF x ( 1 / a ___ n ! i )
VF = Valor financiado;
P = Prestações ou parcelas;
i = taxa de juros;
n = período de amortização
Não havendo cláusula de correção no contrato de financiamento, as
prestações são iguais durante todo o período do financiamento e a amortização é
crescente.
Exercícios Resolvidos:
1. Financiamento de $100.000 em cinco prestações anuais iguais, com
taxa i = 10% a.a., sendo o primeiro pagamento a ser efetuado no final de 2 anos.
Pede-se fazer o plano de amortização do capital, utilizando-se o Sistema Price.
VF = 100.000 x (1,1) ^ 2 = 121000
VF = $ 121.000,00
92
P = 121.000 x K (Fator Price) = 121.000 x 0,263797 = 31919,44
P = $ 31.919,50
2. Financiamento de $20.000, pelo Sistema Price, em 10 parcelas
mensais e iguais, sendo a 1ª parcela paga trinta dias após o financiamento e juros
compostos à taxa de 2% a.m. Considerando os dados abaixo, faça o plano de
amortização: 2ª parcela será paga na 3ª; 6ª parcela será paga com atraso de 12
dias; 8ª parcela será paga com a 7ª parcela.
Parcela Prestação Juros Amortização Amortização do Capital
1 2.226,53 400,00 1.826,53 18.173,47
2 2.226,53 363,47 1.863,06 16.310,41
3 2.226,53 326,21 1.900,32 14.410,09
4 2.226,53 288,20 1.938,33 12.471,76
5 2.226,53 249,44 1.977,09 10.494,67
6 2.226,53 209,89 2.016,64 8.478,03
7 2.226,53 169,56 2.056,97 6.421,06
8 2.226,53 128,42 2.098,11 4.322,95
9 2.226,53 86,46 2.140,07 2.182,88
10 2.226,53 43,65 2.182,88 0,00
Total 22.265,30 2.265,30 20.000,00
Fator Price = 0,11132653
Prestações (P) = $2.226,53
1. 2ª parcela será paga com a 3ª:
2.226,53 x 1,02 + 2.226,53 = $4.497,59
2. 6ª parcela será paga com atraso de 12 dias;
2.226,53 x (1+ 0,02/30 x 12) = $2.244,34
3. 8ª parcela será paga com a 7ª parcela.
2.226,53 / 1,02 + 2.226,53 = 2182,87 + 2226,53 = $4.409,40
3 Financiamento de $50.000, em nove meses, sendo a taxa de juros de
1% a.m. Fazer o plano de amortização, sabendo-se que a cada três meses
haverá um fator de atualização do saldo devedor, cujos índices serão de 1,012 e
1,010 no fim do 3º e do 6º mês.
P = VF x ( a ___ 9 ! 1% ) = 50000 x 0,11674 = 5837
93
P = $5.837,00
4. Financiamento de $100.000,00, em seis parcelas mensais, à taxa de
3% a.m., sendo cobrado imposto de 1% sobre o montante da dívida, embutido em
cada parcela a pagar. O valor líquido recebido foi de $100.000,00.
Cálculo das Prestações sem Impostos:
P = 100.000 x K (Fator Price)
P = 100.000 x 0,18460 = 18.460,00
P = $18.460,00
Prestação com Imposto:
1,01 x P = 1,01 x 18.460 = 18.644,60
P = $ 18.644,60
5. Considerando um financiamento de $95.000,00 à taxa composta de
10% a.a., com capitalização mensal, qual será o valor da prestação mensal se o
prazo for de 120 meses?
P = 95000 x [((1 + 10%/12) ^ 120) x (10%/12)] / [((1 + 10%/12 ) ^ 120) - 1]
P = 95000 x (0,022558679) / (1,70704149)
P = 95000 x 0,013215073 = 1255,43
P = $1.255,43
6.3. Misto
A prestação corresponde ao valor da média das prestações nos sistemas
SAC e Price.
a) Prestação no sistema SAC:
Pt = VF/n x { 1 + ( n - t +1) x i }
94
t = prestação qualquer; k = cota de amortização = VF / n
b) Prestação no sistema Price:
P = VF . [(( 1 + i ) ^ n) . i] / [(( 1 + i ) ^ n) - 1 ]
Exercícios Resolvidos:
1. Financiamento de $100.000, em 6 parcelas mensais e sucessivas, no
fim de cada mês, considerando-se a taxa composta de 1% a.m. e a modalidade
de Sistema Misto de Amortização. Calcular o valor da 1ª e 6ª prestações.
Pt = VF/2 x { [ 1 + ( n – t + 1 ) x i ] / n + [ ( (1 + i ) ^ n) x i] / ( ( (1 + i ) ^ n) - 1 ) ] }
Cálculo da primeira prestação:
P1 = 50000 x { [ 1 + ( 6 – 1 + 1 ) x 0,01 ] / 6 ] + 0,1725484 }
P1 = 50000 x { [1+ 0,06] / 6 + 0,1725484 }
P1 = 50000 x {0,1766667 + 0,1725484}
P1 = 50000 x 0,3492151
P1 = $17460,75
Cálculo da sexta prestação:
P6 = 50000 x { [ 1 + ( 6 – 6 + 1 ) x 0,01 ] / 6 ] + 0,1725484 }
P6 = 50000 x { [1+ 0,01] / 6 + 0,1725484 }
P6 = 50000 x { 0,1683333 + 0,1725484 } = 50000 x 0,3408817
P6 = $17044,08
2. Um cliente deseja adquirir um imóvel com financiamento pelo Sistema
Misto. Com base em suas economias, escolheu um apartamento no valor de
$140000, financiado, sendo: entrada de $20.000,00; duas parcelas de $20.000,00
no 12º mês e 24º mês da data do financiamento e $27.981,08 no 36º mês, com
juros de 1% a.m.; taxa composta de 1% a.m.; prazo de 120 meses.
95
Qual o valor da 120ª prestação?
Cálculo do valor do financiamento:
VF=140000–20000–20000/(1,01)^12–20000/(1,01)^24– 27981,08/(1,01)^36
VF = 120000 –17748,98 – 15751,32 – 19556,67 = 66943,03
VF = $66.943,03
Cálculo de P120:
P120 = 66943,03/2 x {[ [1 + (120 – 120 + 1 ) x 0,01 ] /120 ] + 0,014347094 }
P120 = 33471,52 x { [1,01] / 120 + 0,014347094 }
P120 = 33471,52x { 0,00841667 + 0,014347094 } = 33471,52 x 0,02276376
P120 = $761,94
3. Considerando o valor da prestação no Sistema Misto no valor de
$17.460,83, determinar o valor da prestação no sistema SAC, considerando o
valor da mesma no Sistema Price de $17.254,84.
Psm = ( Psac + Pprice ) / 2
17460,83 = ( Psac + 17254,84 ) / 2
34921,66 = Psac + 17254,84
Psac = 34921,66 – 17254,84
Psac = $17.666,82
4. Seja um financiamento de $100000, à taxa composta de 1% a.m.
Determine o prazo de amortização pelo Sistema Misto, sabendo-se que o valor da
primeira prestação no sistema SAC corresponderia a $6.000,00.
P1 = VF/n x { [ 1 + ( n - 1 + 1) ] x i)
6 = 100/n x { 1 + n x 0,01 } = 100/n + 1
100/n = 5
n = 20 meses
96
6.4. SA ( Sistema Americano )
Financiamento de VF, à taxa i, com pagamento final no n-ésimo mês.
Exercícios Resolvidos:
1. Financiamento de $100.000,00 em cinco anos. No fim de cada ano
pagar-se-á juros de 10% a.a. Qual o fundo deverá ser constituído para quitar a
dívida no final do período do financiamento, sendo a taxa de remuneração de 8%
a.a.?
J = 100000 x 10% = 10.000 por ano;
No quinto pagamento, o mutuário deverá pagar $110.000,00.
S = [ (1+i) ^ n – 1 ] x P / i
110000 = [ (1,08) ^ 5 – 1 ] x P / 0,08 = [ 1,469328 – 1 ] x P / 0,08
110000 x 0,08 = 0,469328 x P => P = 8800 / 0,469328
P = $18.750,21 por ano.
2. Financiamento de $80.000,00, por quatro anos. No final de cada ano
pagar-se-á juros de 30% a.a. Quanto deverá ser depositado mensalmente, à taxa
de 2% a.m., para quitar o valor da dívida no final do período do financiamento?
J = 80000 x 30% = 24.000 por ano;
No quinto pagamento, o mutuário deverá pagar $104.000,00.
104000 = [ (1,02) ^ 48 – 1 ] x P / 0,02 = [ 2,587070 – 1 ] x P / 0,02
104000 = (1,587070 / 0,02) x P
P = $1.310,59 por mês
97
Bibliografia:
Faria, Rogério Gomes de
Matemática Comercial e Financeira, 1973
Editora MCGraw – Hill do Brasil, Ltda.
São Paulo, SP, 3ª Edição, 1983.
Francisco, Walter DE
Matemática Financeira, 1974
Editora Atlas
São Paulo, SP, 1ª Edição, 1974.
Faro, Clóvis de
Matemática Financeira, 1974
Editora Atlas
São Paulo, SP, 9ª Edição, 1982, 7ª Tiragem.
Coelho, Sílvio Teixeira
Matemática Financeira e Análise de Investimentos, 1979
Editora Nacional, Universidade de São Paulo
São Paulo, SP, 1979.
98
Sumário
Parte Teórica Página
Abordagem Inicial 02
Objetivo 03
1. Porcentagem 03
2. Regime de Juros Simples 05
2.1. Juros Simples 05
2.2. Montante no Regime de Juros Simples 06
2.3. Desconto Simples 07
2.3.1. Desconto Simples por Fora 07
2.3.2. Desconto Simples por Dentro 08
3. Regime de Juros Compostos 09
3.1. Juros Compostos 09
3.2. Taxa Efetiva em Juros Compostos 11
3.3. Taxa Nominal em Juros Compostos 11
3.4. Equivalência de Taxas na Capitalização Composta 12
3.5. Desconto Composto 13
3.6. Equivalência de Capitais 15
3.7. Fluxos Equivalentes 16
4. Anuidades e Rendas 17
4.1. Anuidades 17
4.2. Rendas 22
5. Perpetuidade 24
6. Sistemas de Amortização 26
6.1. SAC 26
6.2. Price 28
6.3. Misto 29
6.4. SA 30
7. Aplicações em Bolsa 31
99
Parte Prática – Exercícios Resolvidos Página
Objetivo 33
1. Porcentagens 33
2. Regime de Juros Simples 37
2.1 Juros Simples 37
2.2. Montante no Regime de Juros Simples 37
2.3. Desconto Simples 41
2.3.1. Desconto Simples por Fora ou Comercial 41
2.3.2. Desconto Simples por Dentro ou Racional 44
3. Regime de Juros Compostos 46
3.1. Juros Compostos 46
3.2. Equivalência de Taxas na Capitalização Composta 50
3.3. Desconto Composto 52
3.3.1. Desconto Comercial Composto ou Bancário 52
3.3.2. Desconto Racional Composto 54
3.4. Equivalência de Capitais 56
4. Anuidades e Rendas 62
4.1. Anuidades 62
4.1.1. Anuidades Postecipadas 62
4.1.2. Anuidades Antecipadas 67
4.1.3. Anuidades Diferidas 70
4.2. Rendas 76
4.2.1. Rendas Postecipadas 76
4.2.2. Rendas Antecipadas 80
5. Perpetuidade 84
5.1. Perpetuidade Postecipada 84
5.2. Perpetuidade Antecipada 86
6. Sistemas de Amortização 87
6.1. SAC (Amortização) 88
6.2. Price 91
6.3. Misto 93
6.4. AS 96
Bibliografia 97