repÀs bioestadÍstica ii part interval de confianÇa proves d'hipÒtesis comparaciÓ de dues...
DESCRIPTION
REPÀS BIOESTADÍSTICA II PART INTERVAL DE CONFIANÇA PROVES D'HIPÒTESIS COMPARACIÓ DE DUES VARIABLES. REPÀS INTERVAL DE CONFIANÇA. Repàs interval de confiança. Interval de confiança d’una mitjana: σ coneguda σ desconeguda, n gran (n≥30) σ desconeguda, n petita (nTRANSCRIPT
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 1
REPÀSBIOESTADÍSTICA
II PART
INTERVAL DE CONFIANÇAPROVES D'HIPÒTESIS
COMPARACIÓ DE DUES VARIABLES
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 2
REPÀSINTERVAL DE CONFIANÇA
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 3
Repàs interval de confiança
Interval de confiança d’una mitjana:
σ coneguda
σ desconeguda, n gran (n≥30)
σ desconeguda, n petita (n<30)
nz
2
2X
n
sz
2
2X
n
st
,n
2
21X
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 4
Repàs interval de confiança
Interval de confiança d’una proporció:
n
)p(pzp 00
20
1
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 5
REPÀSPROVES D’HIPÒTESIS
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 6
Repàs proves d’hipòtesi
Una prova d’hipòtesis consta de quatre elements:
Hipòtesis nul·la (H0) Hipòtesis alternativa (Hα) El estadístic de la prova La regió de rebuig o regió crítica
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 7
Repàs proves d’hipòtesi
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a
• El estadístic de la prova (σ coneguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La regió de rebuig o regió crítica
Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)
Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96
nNX ,:
),(N
n
ZX
10-X-X
2
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 8
Repàs proves d’hipòtesi
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a
• El estadístic de la prova (σ coneguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La regió de rebuig o regió crítica
Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-∞,zα)
Si α=0.05 z α= z 0.05=1.645
nNX ,:
),(N
n
ZX
10-X-X
2
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 9
Repàs proves d’hipòtesi
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = a
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a
• El estadístic de la prova (σ desconeguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La regió de rebuig o regió crítica
Rebuig de H0 si t Є (-∞,-t n-1,α/2) o t Є (t n-1,α/2,∞)
Acceptació de H0 si t Є (- t n-1,α/2,t n-1,α/2)
Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)
n,t:X )n( 1
12
-X-X n
X
t
n
sT
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 10
Repàs proves d’hipòtesi
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ ≤ a
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a
• El estadístic de la prova (σ desconeguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La regió de rebuig o regió crítica
Rebuig de H0 si t Є (t n-1,α,∞)
Acceptació de H0 si t Є (-∞ ,t n-1,α)
Si n gran la t-student es equivalent a una N(0,1)
nNX ,:
12
-X-X n
X
t
n
sT
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 11
Contrastos unilateral i bilateral
La posició de la regió crítica depèn de com es facin les hipòtesis.
Unilateral Unilateral
Bilateral
H0: µ ≤ aH1: µ ≥ a
H0: µ ≥ aH1: µ ≤ a
H0: µ = aH1: µ ≠ a
- z/2 z/2
- z z
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 12
Exercici
Sigui X una variable aleatòria amb desviació estàndar = 2
Volem testar:
• Si la mitjana de X es 40
• Si la mitjana de X es igual o menor que 40
Agafem una mostra de 16 elements.
Calculem la seva mitjana i ens dona 40’90
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 13
Exercici
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µ = 40 H0: µ ≤ 40
• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ 40 Hα : µ > 40
• El estadístic de la prova (σ coneguda)
• Sota la hipòtesi H0 certa 162,40: NX
)1,0(
162
04-X-X22
N
n
Z
8150
900
162
409040
9040
2'
'
''Z
'X
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 14
Exercici
Pel test bilateral, la regió de rebuig o regió crítica es:
Rebuig de H0 si z Є (-∞,-zα/2) o z Є (zα/2,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-zα/2,zα/2)
Si α=0.05 z α/2= z 0.025=1.96
Rebuig de H0 si z Є (-∞, -1’96) o z Є (1’96,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-1’96,1’96)
1’80 esta dintre de la regió de acceptació.
Acceptem la hipòtesi nul·la, la mitjana es igual a 40
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 15
Exercici
Pel test unilateral, la regió de rebuig o regió crítica és:
Rebuig de H0 si z Є (zα,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-∞ ,zα)
Si α=0.05 z α= z 0.25=1.645
Rebuig de H0 si z Є (1’645,∞)
Acceptació de H0 si z Є (-∞, -1’645)
1’80 esta dintre de la regió de rebuig.
Rebutgem la hipòtesi nul·la,
Acceptem hipòtesi alternativa, la mitjana es major que 40
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 16
Tipus de error, poder i nivell de confiança
DecisióPoblació real
H0 és falsa H0 és certa
Es refusa la H0 Decisió correcte1- (poder)
Risc (error tipus I)
No es refusa la H0 Risc (error tipus II)
Decisió correcte1- (confiança)
[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00
[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
[ ] [ ]certaésH|HrefusarobPr=ItipuserroruncometreobPr=α 00
[ ] [ ]falsaésH|HrefusaesnoobPr=IItipuserroruncometreobPr=β 00
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
[ ]falsaésH|HrefusarobPr=potenciaoPoder=β1 00
1- és el nivell de confiança
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 17
Contrast per al paràmetre p
n
p1p
ppz
oo
o
- z
1 -
z
1 -
- z/2 z/2
1 -
Hipòtesi nul·la
Ha
Hipòtesi alternativa
Ha
Tipus de contrast
Estadístic de contrast
Regió d’acceptació
P = Po P ≠ pobilater
al
segueix una llei N(0,1)
(-z/2,z/2)
P po P > pounilater
al(-∞,z)
P ≥ po P < ppunilater
al(-z,+∞)
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 18
REPÀSCOMPARACIÓ DUES
VARIABLES
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 19
Resum de la comparació de dues mitjanes observades• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• El estadístic de la prova
• Sota la hipòtesi H0 certa
• La distribució del estadístic de la prova i la formula del estimador de EE depèn de:
• La mida de les mostres• La normalitat de X en els dos grups• La variança de X sigui igual en els grups
^^
BA XX
EE
d
EE
EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 20
Resum de la comparació de dues mitjanes observadesEstratègia:
coneguda (1) desconeguda
nA i nB 30 (2) nA i/o nB < 30
Distribució Normalvariàncies homogènies (2
A = 2B) (3)
variàncies NO homogènies (2A 2
B)(4) Distribució no Normal proves no paramètriques
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 21
1 coneguda
2 desconeguda, n gran
3 desconeguda, n petita, X normal, 2A = 2
B
4 desconeguda, n petita, X normal, 2A 2
B
EEBA nnBA 22
+ = EE B
2
A
2
ns
ns BA
EE BA n
sns
22
ˆˆ
2 - +
2BB
2AA
= nn
s1)-n(+s1)-n( s
BA
2
)1,0(NEE
dZ
)1,0()2( _ NnntEE
dT grann
bA
)2( bA nntEE
dT
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 22
Exercici
Un grup de 16 individus que segueix una dieta A te una mitjana de IMC de 27 amb una desviació estàndard de 4.
Un grup de 13 individus que segueix una dieta B te una mitjana de IMC de 27 amb una desviació estàndard de 5.
Tenen els dos grups el mateix IMC amb una significació α=0’05 ?
Quin es el grau de significació?
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 23
• Hipòtesis Nul·la (H0) H0: µA- µB = 0• Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0• El estadístic de la prova
• Sota la hipòtesi H0 certa
• Situació: desconeguda • n petita, • X normal, 2
A = 2B
^^
BA XX
EE
d
EE
EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes
Exercici
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 24
desconeguda, n petita, X normal, 2A = 2
B
EE BA n
sns
22
ˆˆ
2 - +
2BB
2AA
= nn
s1)-n(+s1)-n( s
BA
2
)2( bA nntEE
dT
Exercici
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 25
Resultats
Estimació de la variància comuna (2) a partir de la mitjana ponderada pels graus de llibertat de les variàncies s2
A i s2B
'444427
120
2 - 13 165 1)-(134 1)-(16
s2
5;B 23; ;31
4;A 27; ;61
sXn
sXn
2
BB
2
AA
27 2 - 13 16 gl
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 26
+ = EE ns
ns
O
2
P
2
Càlcul de l’Error Estàndard
1'659 13
16
EE 4'4444'444
22
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 27
⇒
-
EE
d t ⇒
- d
tyy
yy
27
O
2
P
2
O P
O P
ns
ns
Càlcul de l’estadístic de contrast: t de Student
2'411 1'659
4 t ⇒
432-72 d
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 28
Resultats
El grau de significació es aquell valor de α tal que
411,22
,27t
La regió critica o de rebuig serRebuig de H0 si t Є (-∞,-t 27,α/2) o t Є (t27,α/2 ,∞)
Acceptació de H0 si t Є (-t27,α/2 ,t27,α/2 )
Si α=0.05 t27,α/2= t27,0.025=2’0518
2’2411 esta en la regió critica,
Rebutgem H0, les mitjanes del IMC en el grup A i el grup B no es poden considerar iguals
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 29
Comparació de dues variables qualitatives
Una taula té f files i c columnesPer cada casilla de la taula calculem
ofc = freqüències observades
efc = freqüències
esperades
Variable 2 Total
1 .... f
Variable 1
1 n 3.
...
f n 1.
Total n.1 n.3 n
n
nne
.ji.
ij
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 30
Comparació de dues variables qualitatives
))1)(1((~
22
1 1
2
∑∑)-(
fcc
i
f
j eij
eijoij
Ho: Les distribucions de les categories de una variable NO SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable.
H1: Les distribucions de les categories de una variable SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable.
Estadístic de contrast:
Regió crítica:
Rebuig de H0 si X2 > X2 ( α , (c-1)(f-1) )
Acceptació de H0 si X2 < X2 ( α , (c-1)(f-1) )
Bioestadística FMCS Reus Curs 2013-14 31
Mida de la mostra per comparar dues proporcions observades
BA
BBAAβα
2
pp
p1pp1pzp1p2z-
---2
n
n = nombre d’individus necessaris a cada grup z = valor de z corresponent al risc fixat z = valor de z corresponent al risc fixat pA = valor de la proporció esperada al grup A pB = valor de la proporció esperada al grup B pA-pB = valor mínim de la diferencia que es vol
detectar p = mitjana ponderada de les proporcions pA i pB