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Repaso Algebra lineal
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?
0 =
00...0
.
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.EJEM: Los vectores
e1 =
10...0
, e2 =
01...0
, · · · , en =
00...1
son vectores de Rn. A estos vectores los llamamos vectores
canonicos de Rn
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la
cual denotamos como
x =
x1x2...xn
.
Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cuando dos vectores x, y son iguales?
x = y ⇔
x1x2...xn
=
y1y2...yn
⇔ xi = yi
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar
como puntos;
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar
como puntos;
En las aplicaciones fısicas, es importante que pensemos en un vector,no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, direccion ysentido. Estos vectores los llamaremos vectores libres.
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
SUMA: Dados u =
u1u2...un
y v =
v1v2...vn
, definimos
u+ v =
u1 + v1u2 + v2
...un + vn
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Repaso Algebra lineal
PRODUCTO POR ESCALAR: Dados u =
u1u2...un
y λ ∈ R , definimos
λu =
λu1λu2...
λun
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Repaso Algebra lineal
RESTA: Definimos u− v
u− v = u+ (−v)
PR = OR − OP .
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Repaso Algebra lineal
Teorema
Sean u, v y w vectores de Rn y sean α, β dos numeros reales. Entonces
1 u+ v ∈ Rn. Ley clau. para +
2 (u+ v) +w = u+ (v+w). Ley asoc. para +
3 u+ v = v+ u. Ley conm. para +
4 Existe un unico vector z ∈ Rn tal que u+ z = z+ u = u (z = 0).
Ley mod. para la suma
5 Para cada u, existe un unico vector 0 ∈ Rn tal que
u+ 0 = 0+ u = 0, (0 = −u). Existencia del opuesto para suma.
6 αu ∈ Rn. Ley clau para el producto por escalar
7 α(u+ v) = αu+ αv. Ley dist del producto por escalar resp +
8 (α+ β)u = αu+ βu. Ley dist del producto por escalar respecto a +de escalares.
9 (αβ)u = α(βu) = β(αu). Ley asoc respecto al producto por
escalares
10 αu = 0, si y solo si, α = 0 o u = 0.
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Combinacion Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A los
escalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacion
lineal.
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Combinacion Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A los
escalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacion
lineal.
EJEM: Sean u =
(
−12
)
y v =
(
25
)
y w =
(
3−2
)
. Calculemos la
combinacion lineal de ellos dada por 3u− v+ 2w.
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Combinacion Lineal)
Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector
v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk
lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A los
escalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacion
lineal.
EJER: ¿los vectores
−140
y
20−1
son combinaciones lineales de
10−2
y
−52−3
?.
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk}
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
Algebra lineal
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.
EJEM: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u+√5v, 0, u, 3v, u− v son
vectores de V .
Algebra lineal
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.
EJEM: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u+√5v, 0, u, 3v, u− v son
vectores de V .
EJER: ¿El vector
302
pertenece a Gen
101
,
00−1
?.
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.
EJER: Demuestre que Gen{e1, e2, . . . , en} = Rn.
EJER: Determine Gen{e1, e3} si ei ∈ R3.
EJER: Determine Gen{v} si v es cualquier vector no nulo.
EJER: Halle Gen{(
12
)
,
(
24
)
}
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)
Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores
v1, v2, . . . , vk lo representamos por
V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}
V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo
llamamos conjunto generador de V .
OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.
EJER: Determine un conjunto generador de
V =
3r − s
r + 5sr
, r , s ∈ R
Algebra lineal
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si
los unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si
los unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
EJER: Demostremos que
13−2
,
−1−54
,
1−20
, es un conj l.i.
EJER: Demostremos que
13−2
,
−123
,
21−5
, es un conj l.d.
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si
los unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
EJER: Demuestre que todo conjunto de Rn que contenga al vector 0 es
un conjunto l.d.
Algebra lineal
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Conjunto l.i.)
Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si
los unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que
λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0
son todos cero.
EJER: Demuestre que todo conjunto de Rn que contenga al vector 0 es
un conjunto l.d.OBS: Si hay mas vectores que componentes, los vectores son l.d.
EJEM: Gen
{(
02
)
,
(
12
)
,
(
21
)}
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...
un
y v =
v1...
vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Algebra lineal
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...
un
y v =
v1...
vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
EJER: Dados
21−5
,
130
,
−2−1−1
, Calcule u · v, u ·w, v · w,
(3u) · v, (u+ v) · w y v · u.
Algebra lineal
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...
un
y v =
v1...
vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
EJER: Suponga que un fabricante produce cuatro artıculos. La demanda
para los artıculos esta dada por d =
30204010
. Los precios unitarios para los
artıculos estan dados por el vector p =
20151840
. Si satisface su demanda.
¿Cuanto dinero recibira el fabricante?
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...
un
y v =
v1...
vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Teorema
Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces
1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v+w) = u · v+ u ·w. Ley dist
3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.
Algebra lineal
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...
un
y v =
v1...
vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
Teorema
Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces
1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v+w) = u · v+ u ·w. Ley dist
3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.
Note que no tiene sentido la prop. asociativa para ·
Algebra lineal
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Repaso Algebra Lineal
Definicion (Producto escalar )
Dados u =
u1...
un
y v =
v1...
vn
de R
n, definimos u · v el producto escalar
entre u y v, como el escalar dado por
u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn
EJER: Encuentre α y β de forma que los vectores sean ortogonales
1−α
23
y
45
−2β7
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21+ · · ·+ u2
n=
√u · u
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21+ · · ·+ u2
n=
√u · u
EJER: Dados u =
21−5
, y los puntos P =
523
, Q =
1−13
, Calcule
‖u‖ y ‖PQ‖,
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21+ · · ·+ u2
n=
√u · u
Teorema (Propiedades)
Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que
(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para
algun λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
(e) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λv
con λ ≥ 0. Desigualdad triangular.
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21+ · · ·+ u2
n=
√u · u
OBS:1) La distancia euclidiana entre dos vectores u y v es d(u, v) = ‖u− v‖.2) Cuando ‖w‖ = 1, se dice que w es un vector unitario
Algebra lineal
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Repaso Algebra lineal
Definicion (Norma)
Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como
‖u‖ =√
u21+ · · ·+ u2
n=
√u · u
OBS:1) La distancia euclidiana entre dos vectores u y v es d(u, v) = ‖u− v‖.2) Cuando ‖w‖ = 1, se dice que w es un vector unitario
EJER:
1) Halle la distancia entre
−1230
y
−2020
.
2) Halle el vector unitario en la direccion v =
1−21
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con
vertice(
− b
2a, c − b
2
4a
)
en el semiplano superior.
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con
vertice(
− b
2a, c − b
2
4a
)
en el semiplano superior. entonces
0 ≤ c − b2
4a
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con
vertice(
− b
2a, c − b
2
4a
)
en el semiplano superior. entonces
0 ≤ c − b2
4a= ‖v‖2 − 4(u · v)2
4‖u‖2
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0
0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)
= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)
donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con
a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.
Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con
vertice(
− b
2a, c − b
2
4a
)
en el semiplano superior. entonces
0 ≤ c − b2
4a= ‖v‖2 − 4(u · v)2
4‖u‖2
Ademas, si u = λv entonces
|u · v| = |λv · v| = |λ||v · v| = |λ|‖v‖2 = |λ|‖v‖‖v‖= ‖λv‖‖v‖ = ‖u‖‖v‖
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
OBS: Dados dos vectores u y v no nulos, siempre podemos construir untriangulo como el de la siguiente figura
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos
‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entonces cos θ =u · v
‖u‖‖v‖
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos
‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entonces cos θ =u · v
‖u‖‖v‖
EJEM: Calcule el angulo de u =
1−1−11
y v =
1−1−1−1
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos
‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entonces cos θ =u · v
‖u‖‖v‖DEF: Diremos que los vectores no nulos u y v son ortogonales⇔ u · v = 0.
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Angulo entre vectores)
Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo
determinado por u y v como el menor giro positivo.
Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos
‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ
Entonces cos θ =u · v
‖u‖‖v‖DEF: Diremos que los vectores no nulos u y v son ortogonales⇔ u · v = 0.
EJER: u =
−1230
y v =
0−154
son ortogonales?
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Proyeccion ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v
sobre u como el vector
proyuv =( v · uu · u
)
u
Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Proyeccion ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v
sobre u como el vector
proyuv =( v · uu · u
)
u
Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Proyeccion ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v
sobre u como el vector
proyuv =( v · uu · u
)
u
Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
Algebra lineal
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Conceptos basicos de Vectores en Rn
Definicion (Proyeccion ortogonal)
Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v
sobre u como el vector
proyuv =( v · uu · u
)
u
Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.
EJEM: Halle la proyuv y la componente vectorial de v ortogonal a u
(Esto es vc), para cada uno de los siguientes casos:
(a) u =
1−1−1
y v =
1−11
(b) u = e1 y v =
2−103
proyvu =( v · u‖v‖2
)
v
Algebra lineal
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Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la
recta que contiene a P y tiene direccion d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d.
Algebra lineal
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Rectas, Planos e Hiperplanos
DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la
recta que contiene a P y tiene direccion d es
el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d. Al vector d lo llamamos vector director de la recta.
x− 0 = td ⇒ x = 0+ td
Algebra lineal
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Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = 0+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Algebra lineal
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Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = 0+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,
x1 − p1
d1=
x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
Algebra lineal
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Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = 0+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,
x1 − p1
d1=
x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuacion vectorial L :
(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.
Algebra lineal
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Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = 0+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,
x1 − p1
d1=
x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuacion vectorial L :
(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.
2 Determine si R =
(
3−1−2
)
y S =
(
4−10
)
pertenecen a la recta L.
Algebra lineal
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Formas de expresar una recta
Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta
x = 0+ td
x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn
Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,
x1 − p1
d1=
x2 − p2
d2= · · · = xn − pn
dnsiempre que di 6= 0
EJEM Dada la ecuacion vectorial L :
(
x1x2x3
)
=
(
2−13
)
+ t
(
−105
)
1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.2 Halle un vector d que sea un vector director de la recta L y verifique
que el vector PQ, de (a), es paralelo a d.
Algebra lineal
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EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
Algebra lineal
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EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
Algebra lineal
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EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =
3−21
y Q =
530
y
L2 es la recta con ecuacion vectorial
x
y
z
=
0−43
+ t
410−2
Algebra lineal
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EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos
P =
−1201
Q =
21−11
DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2
EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.
1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =
3−21
y tiene vector
direccion v =
23−1
y L2 es la recta que pasa por los puntos
Q =
0−21
y P =
231
Algebra lineal
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Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.
Algebra lineal
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Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
Algebra lineal
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Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
Algebra lineal
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Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1
Algebra lineal
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Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =
321
y Q =
130
y L2
es la recta con ecuacion vectorial
x
y
z
=
5−41
+ t
22−2
Algebra lineal
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Rectas iguales y ortogonales
TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.
EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:
1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =
0−20
y tiene vector
direccion v =
13−1
y L2 es la recta que pasa por los puntos
Q =
1−21
y R =
23−1
Algebra lineal
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PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ R
n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d, es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.
Algebra lineal
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PLANOS
DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ R
n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d, es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.
Observe que PX = tc+ sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y 0 = OP ,entonces para t, s ∈ R
x− 0 = tc+ sd x = 0+ tc+ sd
Esta es la ecuacion vectorial del plano.Algebra lineal
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Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
Algebra lineal
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Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = 0+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
Algebra lineal
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Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = 0+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − s
x2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.
Algebra lineal
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Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = 0+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − s
x2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P
Algebra lineal
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Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = 0+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − s
x2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
Algebra lineal
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Ecuaciones del plano
PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?
x = 0+ tc+ sd
x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn
EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − s
x2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2
1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del
plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?
4 ¿Los puntos M =
221−2
N =
64−9−2
se encuentran en el plano P?.
Algebra lineal
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Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los
puntos P =
(
−253
)
, Q =
(
0−21
)
y R =
(
20−3
)
Algebra lineal
![Page 84: Repaso Algebra lineal - notasfabian.files.wordpress.com · Repaso Algebra lineal Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n nu´meros reales, la cual denotamos como x = x1 x2](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040710/5e11b6a55277d75a6508de85/html5/thumbnails/84.jpg)
Ecuaciones del plano
EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los
puntos P =
(
−253
)
, Q =
(
0−21
)
y R =
(
20−3
)
El plano que contiene los puntos P , Q y R tiene como vectores directoresa d1 = PQ y d2 = PR .
Algebra lineal
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.
Algebra lineal
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.
Teorema (Planos iguales)
Dos planos son iguales, si y solo si, los dos planos son paralelos y tienen
al menos un punto comun
Algebra lineal
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Algebra lineal
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Algebra lineal
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusion de una recta en un plano)
Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si,
L||P y P ∩ L 6= ∅.
Algebra lineal
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusion de una recta en un plano)
Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si,
L||P y P ∩ L 6= ∅.
EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:
x
y
z
=
0−21
+ t
0−21
+ s
20−3
Algebra lineal
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Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al
plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.
Teorema (Inclusion de una recta en un plano)
Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si,
L||P y P ∩ L 6= ∅.
EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:
x
y
z
=
0−21
+ t
0−21
+ s
20−3
PREG: Existe otra recta contenida en P? Cuantas rectas contenidas enP existen?
Algebra lineal
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Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al
plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.
Algebra lineal
![Page 93: Repaso Algebra lineal - notasfabian.files.wordpress.com · Repaso Algebra lineal Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n nu´meros reales, la cual denotamos como x = x1 x2](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040710/5e11b6a55277d75a6508de85/html5/thumbnails/93.jpg)
Rectas y planos ortogonales
DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con
vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al
plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.
Algebra lineal
![Page 94: Repaso Algebra lineal - notasfabian.files.wordpress.com · Repaso Algebra lineal Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n nu´meros reales, la cual denotamos como x = x1 x2](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040710/5e11b6a55277d75a6508de85/html5/thumbnails/94.jpg)
Ejercicios
1. Determine si la recta L:
x
y
z
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
x
y
z
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
.
Algebra lineal
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Ejercicios
1. Determine si la recta L:
x
y
z
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
x
y
z
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: N000
Algebra lineal
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Ejercicios
1. Determine si la recta L:
x
y
z
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
x
y
z
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: N000
2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =
1−11
y
Q =
403
es ortogonal al plano P:
x
y
z
=
5−23
+ r
0−21
+ s
20−3
.
Algebra lineal
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Ejercicios
1. Determine si la recta L:
x
y
z
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela a P:
x
y
z
=
0−21
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: N000
2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =
1−11
y
Q =
403
es ortogonal al plano P:
x
y
z
=
5−23
+ r
0−21
+ s
20−3
. Rta: Sıii
Algebra lineal
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n.
.
Algebra lineal
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
.
Algebra lineal
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.
Algebra lineal
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
Algebra lineal
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0 equivalentemente a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = d (2)
donde con d = a1p1 + a2p2 + · · ·+ anpn = n · p.
Algebra lineal
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
PORQUE
(x − p) · n = 0 equivalentemente a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = d (2)
donde con d = a1p1 + a2p2 + · · ·+ anpn = n · p.A esta ecuacion lallamamos ecuacion general del hiperplano que pasa por P y es ortogonala n.
Algebra lineal
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
Algebra lineal
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Hiperplanos
DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces
PX · n = 0.
Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion
(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)
es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.
-Hiperplanos en R son puntos-Hiperplanos en R
2 son de la forma ax + by + d = 0 (Rectas)-Hiperplanos en R
3 son de la forma ax + by + cz + d = 0 (Planos)
Algebra lineal
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
Algebra lineal
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
Algebra lineal
![Page 108: Repaso Algebra lineal - notasfabian.files.wordpress.com · Repaso Algebra lineal Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n nu´meros reales, la cual denotamos como x = x1 x2](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040710/5e11b6a55277d75a6508de85/html5/thumbnails/108.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
Algebra lineal
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
Algebra lineal
![Page 110: Repaso Algebra lineal - notasfabian.files.wordpress.com · Repaso Algebra lineal Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n nu´meros reales, la cual denotamos como x = x1 x2](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040710/5e11b6a55277d75a6508de85/html5/thumbnails/110.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.
Algebra lineal
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto
P =
2−351
y es ortogonal al Eje X .
SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es
0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)
o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el
origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.
SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer. 82 Talle2parteC
Algebra lineal
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
Algebra lineal
![Page 113: Repaso Algebra lineal - notasfabian.files.wordpress.com · Repaso Algebra lineal Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n nu´meros reales, la cual denotamos como x = x1 x2](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040710/5e11b6a55277d75a6508de85/html5/thumbnails/113.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
Algebra lineal
![Page 114: Repaso Algebra lineal - notasfabian.files.wordpress.com · Repaso Algebra lineal Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n nu´meros reales, la cual denotamos como x = x1 x2](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040710/5e11b6a55277d75a6508de85/html5/thumbnails/114.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
.
Algebra lineal
![Page 115: Repaso Algebra lineal - notasfabian.files.wordpress.com · Repaso Algebra lineal Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n nu´meros reales, la cual denotamos como x = x1 x2](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040710/5e11b6a55277d75a6508de85/html5/thumbnails/115.jpg)
Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
. Como un
punto de H1 es el origen, su ecuacion es
(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.
Algebra lineal
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Hiperplanos Ortogonales y Paralelos
DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.
EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por
el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.
SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =
10002
. Como un
punto de H1 es el origen, su ecuacion es
(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.
PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?
Algebra lineal
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
Algebra lineal
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Algebra lineal
![Page 119: Repaso Algebra lineal - notasfabian.files.wordpress.com · Repaso Algebra lineal Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n nu´meros reales, la cual denotamos como x = x1 x2](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040710/5e11b6a55277d75a6508de85/html5/thumbnails/119.jpg)
Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Teorema (Propiedades)
Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:
1) u× v = −v× u 2) u× (v+ w) = u× v+ u× w
3) (u+ v)× w = u× w+ v× w. 4) λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv)5) u× 0 = 0× u = 0. 6) u× u = 0.7) u× (v× w) = (u · w)v− (u · v)w. 8) (u× v) · u = (u× v) · v = 0.9) u · (v× w) = w · (u× v)
Algebra lineal
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
DEM Prop. 8
u× v · u =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
·(
u1u2u3
)
Algebra lineal
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
DEM Prop. 8
u× v · u =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
·(
u1u2u3
)
= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3
= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3
= 0
De manera analoga u× v · v = 0
Algebra lineal
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:
(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)
Algebra lineal
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:
(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)
Note que e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1 y e3 × e1 = e2
Algebra lineal
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Producto vectorial
Dados dos vectores u =
(
u1u2u3
)
y v =
(
v1v2v3
)
de R3, definimos u× v, el
producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector
u× v =
(
u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1
)
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
u1 u2 u3v1 v2 v3
∣
∣
∣
∣
∣
∣
Algebra lineal
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Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 =
Algebra lineal
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Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
Algebra lineal
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Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7
= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2
Algebra lineal
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Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7
= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)
= ‖u‖2‖v‖2sin2θ
Algebra lineal
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Teorema
Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los
vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.
‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange
‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial
DEM
‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v
= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7
= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)
= ‖u‖2‖v‖2sin2θ
‖u× v‖ ≤ ‖u‖‖v‖
Algebra lineal
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Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Algebra lineal
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Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
DEM: ⇒ si u es paralelo a v, v = λu, entonces,
u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0
.
Algebra lineal
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Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
DEM: ⇐ Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ ahora, como u, v 6= 0 entonces sinθ = 0, por lotanto θ = 0 o θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.
Algebra lineal
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Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Corolario
El area del paralelogramo cuyos lados no paralelos estan dados por los
vectores u y v de R3 esta dada por la magnitud del producto vectorial de
ellos, es decir, ‖u× v‖.
Algebra lineal
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Corolario
Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.
Corolario
El area del paralelogramo cuyos lados no paralelos estan dados por los
vectores u y v de R3 esta dada por la magnitud del producto vectorial de
ellos, es decir, ‖u× v‖.
DEM: Observe que h, la altura del paralelogramo, esta dada porh = ‖u‖ sin θ y el area del paralelogramo, es base por altura, tenemos
A = ‖v‖h = ‖v‖‖u‖ sin θ = ‖u × v‖
Algebra lineal
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Corolario
El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas por
los vectores u, v y w de R3 esta dado por el valor absoluto del producto
mixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM:
Algebra lineal
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Corolario
El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas por
los vectores u, v y w de R3 esta dado por el valor absoluto del producto
mixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Algebra lineal
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Corolario
El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas por
los vectores u, v y w de R3 esta dado por el valor absoluto del producto
mixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Observemos que h, la altura del paralelepıpedo, es la norma del vector
proyv×wu =u · (v × w)
‖v × w‖2v × w
Vol=(area del paral)(altura)=‖v × w‖ h=‖v × w‖ |u · (v × w)|‖v × w‖ = |u·(v×w)|
Algebra lineal
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Corolario
El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas por
los vectores u, v y w de R3 esta dado por el valor absoluto del producto
mixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.
DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w
Corolario
Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y solo si, u · (v×w) = 0
Algebra lineal
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Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y
d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a
n = c × d, son iguales.
Algebra lineal
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Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y
d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a
n = c × d, son iguales.
Algebra lineal
![Page 141: Repaso Algebra lineal - notasfabian.files.wordpress.com · Repaso Algebra lineal Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n nu´meros reales, la cual denotamos como x = x1 x2](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040710/5e11b6a55277d75a6508de85/html5/thumbnails/141.jpg)
Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y
d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a
n = c × d, son iguales.
DEM: ⊆ Sea X ∈ P. Entonces existen α, β ∈ R tal que PX = αc + βd .Luego,
PX · n = (αc + βd) · (c × d) = αc · (c × d) + βd · (c × d) = 0
por lo tanto, PX⊥n, de donde, concluimos que X ∈ H.
Algebra lineal
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Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)
El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y
d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a
n = c × d, son iguales.
DEM: ⊇ Sea X ∈ H. Entonces PX · (c × d) = 0 por el corolario anteriortenemos que PX , c y d son coplanares. Como c y d no son paralelos yson vectores distintos de cero entonces existen α, β ∈ R tal que
PX = αc + βd .
Luego, X ∈ P.
Algebra lineal
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Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)
Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.
P1||P2, si y solo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.
P1⊥P2, si y solo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.
Algebra lineal
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Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)
Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.
P1||P2, si y solo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.
P1⊥P2, si y solo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.
Algebra lineal
![Page 145: Repaso Algebra lineal - notasfabian.files.wordpress.com · Repaso Algebra lineal Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n nu´meros reales, la cual denotamos como x = x1 x2](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040710/5e11b6a55277d75a6508de85/html5/thumbnails/145.jpg)
Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)
Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.
P1||P2, si y solo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.
P1⊥P2, si y solo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.
EJEM: Determine si el plano P1 que contiene el punto P =
−253
y
tiene vectores directores c1 =
27−2
y d1 =
4−5−6
es paralelo o es
ortogonal al plano P2 definido por 3x − z = 4.
Algebra lineal
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Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector
normal n ∈ R3.
L||P, si y solo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.
L⊥P, si y solo si, d ||n; es decir, d = λn.
Algebra lineal
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Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector
normal n ∈ R3.
L||P, si y solo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.
L⊥P, si y solo si, d ||n; es decir, d = λn.
Algebra lineal
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Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)
Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector
normal n ∈ R3.
L||P, si y solo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.
L⊥P, si y solo si, d ||n; es decir, d = λn.
EJEM: Determine si la recta L :
x
y
z
=
2−13
+ t
2−7−2
es paralela u
ortogonal al plano P que contiene al punto M =
5−23
y tiene vectores
directores c1 =
0−21
y d1 =
20−3
.
Algebra lineal