repaso de geometria
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Área: Geometría
Tema: Repaso
Profesor:
Ronald L. Guerra M.
Fecha de Elaboración:
27 de octubre de 2011.
CONCEPTOS IMPORTANTES:
Ángulo: Queda determinado
por dos semirrectas con unorigen común (el vértice)que se pueden superponermediante un giro.
Recta: Es un conjunto de
puntos en el cual un puntoque se encuentra entreotros dos tienes la mínimadistancia a éstos, seprolonga al infinito enambas direcciones.
Línea: Estructura con una
extensión en una soladirección
Segmento: Figura geométrica, parte de una
recta delimitada por dos puntos.
Cuerda: Segmento rectilíneo que une dos
puntos de una curva.
Secante: Recta que corta una
circunferencia en dos puntos.
Tangente: Recta que corta la
circunferencia en un punto.
Vértice: Punto de intersección de los lados
de un ángulo.
CONCEPTOS IMPORTANTES
Punto: Configuración geométrica
fundamental sin extensión(dimensión cero).
Paralela : Propiedad posicional de
varias rectas entre sí, la cualtienen la misma dirección.
Curva: Es una línea arbitraria sobre
el plano, la trayectoria de unpunto móvil, la intersección dedos superficies.
Perpendicular: Recta o segmentoque corta a otra rectaformando un ángulo de 90º.
Ángulo Recto: Ángulo cuyos
lados son perpendiculares
entre sí, mide 90 grados.
Ángulo Obtuso: Mide más de 90º
y menos de 180º.
Ángulo Agudo: Son los que miden
menos de 90º grados.
Ángulo Llano: Mide media vuelta,
esto es, 180º.
ÁNGULOS
a) Ángulos rectos: = 90 grados.
b) Ángulo agudo: < 90 grados.
c) Ángulo obtuso: < 180 grados > 90 grados
d) Ángulo llano: = 180 grados.
e) Ángulo entrante: < 360 grados >180 grados.
1. Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados
dan 90 grados.
2. Ángulos suplementarios: Son dos ángulos que sumados
dan 180 grados.
ÁNGULOS
< A o C = < B o D
Ángulos opuestos por el vértice.
C B C B
0
A D A D
< C o B + < B o D=<180 grados
ángulo adyacente.
Son dos ángulos que comparten un mismorayo en medio de sus lados. Además son complementarios osuplementarios.
LÍNEAS
Paralelas:
Diagonales:
Es una recta que no puede ir horizontal ni
vertical.
EJEMPLO
X +2y 4y
4y
92° 4y
x+2y = 92° por ser ángulos correspondientes
x = 92º - 2y
92°+4y = 180°
4y = 180º - 92º
4y = 88°
y = 88°/ 4= 22°
Verificación:
x+2y = 92°
48°+2(22) = 92°
92° = 92°
TRIÁNGULOS
Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a
180°.
Demostración: Partiendo de la teorema de dos paralelas y una secante
tenemos.
Ángulo llano o de 180°
Teorema: El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los
ángulos interiores no adyacentes.
EJEMPLOS
C B
75° 75°
A D
< AoC=75°
< BoD=75°
< AoC=<BoD
<CoA=<BoD
105°
75°
<CoB=?
<AoB=?
<CoB=105° por ser
suplementarios por el
ángulo de 75°
PROBLEMAS PROPUESTOS
B
55 30
Y X
D A E C
Y= 55+X
X=30+40
X=70
Y=55+70
Y=125°
X
100°
80° Y
180°-80=100
X=100/2
Y=50°+80°
Y=130° por ser un ángulo exterior.
TEOREMA DE PITAGORAS
B
a c
C A
b
C2=a2+b2
A2=c2-b2
B2=c2-a2
C2=a2+b2
C= a2+b2
A2=c2-b2
A= c2-b2
B2=c2-a2
B= c²-a²
POLIGONOS
Triángulos,Cuadrilateros,Pentágonos,Hexágonos,Octágonos,Décágonos,etc.
Triángulos
Equiláteros: sus tres lados son iguales.
Rectángulo: Tiene un ángulo de 90°.
Escaleno: Tiene dos lados iguales y uno desigual.
Isósceles: Tiene un ángulo mayor de 90°< de 180°.
Cuadriláteros
Cuadrado: Tiene sus 4 lados iguales.
Rectángulo: Tiene dos pares de lados iguales.
Trapecio: Tiene dos lados iguales y dos desiguales.
POLIGONOS
Rombo: Tiene dos pares de lados iguales.
Paralelogramo: Tiene dos pares de lados
iguales.
Axioma: El ángulo anterior de un triángulo
es igual a la suma de los ángulos interiores
no adyacentes.
TEOREMA DE TALES
3/6=5/10=1/2=1/2
7 7 3 3
7 3
Son semejantes
A A’
B B’
C C’
AA’B’B semejantes
BB’C’C
AB=A’B’
BC=B’C’
POLIGONOS REGULARES
Un polígono regular es unpolígono equilátero yequiangular, el radio de unpolígono regular es unsegmento que une al centrocon cualquiera de susvértices también llamadoradio de la circunscrita. Unaapotema es un segmento derecta perpendicular acualquiera de los lados delpolígono y que lo une con elcentro de la circunferenciacircunscrita.
Esta figura tieneapotema, circunferenciainscrita, radio y afuerade la figura se encuentrala circunferenciacircunscrita.
CUADRILATEROS
Los cuadriláteros constande dos figuras que sonParalelogramos yTrapecios; losParalelogramos puedenser las figuras deCuadrado, Rectángulo,Rombo, Romboide, etc.Y Trapecios sonTrapecio, TrapecioRectangular, TrapecioIsósceles, Trapezoide,etc.
Cuatro ángulos y lados
iguales.
Cuatro ángulos de 90°, los
lados opuestos son paralelos e
iguales.
Sus lados opuestos son
paralelos, ángulos agudos y dos
obtusos.
Dos lados opuestos son paralelos
y dos lados opuestos son
trasversales.
Dos lados opuestos son paralelos
dos lados opuestos son
trasversales e iguales.
TEOREMA DE LOS CUADRILATEROS
La suma de los ángulos de un cudrilatero es igual a 360°. Demostración:
B C ABC+ ACD=360°
A D 180°+180°=360°
360°
Teorema 1.- Propiedades del paralelogramo. Los lados opuestos de un
paralelogramo son iguales.
A B AD=BC AB=CD DB =una diagonal
D C
AD//BC DC//AB
ABD= BCD
TEOREMA DE LOS CUADRILÁTEROS
Las diagonales de un paralelogramo se corta de un punto
medio.
B C ABD= ACD
A D ABO= COD triángulos congruentes
AOD= BOC triángulos congruentes
TEOREMA 3.- Las diagonales de un rectángulo son iguales.
B C AOB= COD AB//CD
ABD= ACD BC//AD
A D ABC= BCD
O
O
PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS
TEOREMA 4.- Los ángulos continuas a cada uno de los
lados no paralelos de un trapecio son suplementarios.
La suma de los lados interiores de un polígono es igual a
180°. (n-2) 180°(n)-180°(n-2)= ángulos exteriores.
180°n-180°n+360°= ángulos exteriores.
La suma de sus < interiores y exteriores es
es igual a 180°.(n).
TEOREMA 5.- El número de diagonales de un polígono es
igual a la mitad del producto n o de n-3.
n(n-3) n(n-3)= 5(5-3)/2=5(2)/2=10/2=5/1
POLíGONOS REGULARES
Ángulos interiores180°(n-2), un ánguo interior 180°(n-2)/n, ángulos exteriores 180°(n)-180°n+360°= a un ánguloexterior 360°/n.
¿cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ladosinteriores suman 1440°?
1440°=180°(n-2)
1440°/180°=n-2 1440°/180°+2=n
1140°=180° (n-2)ángulos interiores de un poligono
180° (n-2) 1440|=180° (n-2)
1440°=180°n-360°
1440+360=180°n
1800=180°n 1800/1800=n 10°=n
LA CIRCUFERENCIA
La circuferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan deun punto interior llamado centro. El circulo es la superficie planalimitada por la circuferencia. La circuferencia divide al plano que lacontiene dos partes un exterior y la otra interior.
Ángulos en la circuferencia:
Ángulo central. Tiene su vértice en el centro de la circunferencia y suslados son radios. La medida del arco que se subtiende los extremosde los radios es igual al ángulo central.
Ángulo inscrito.-Es aquel que cuyo vértice coincide con cualquier puntode la circuferencia , existen tres casos:
1.-Con unos de sus lados que pasan por el centro de la circunferencia.
2.-El centro de la circunferencia se localiza en medio del ángulo inscritoo al interior de sus lados.
3.-El centro se encuentra fuera del ángulo inscrito.
LA CIRCUFERENCIA
1.- 2.- 3.-
ANGULOS Excéntricos.- También llamados interior, es
aquel que esta dentro de la circuferencia pero su vértice no
coincide con el vértice de esta.
LA CIRCUFERENCIA
Ángulo exterior.-Es aquel cuyo vértice se encuentra en la
parte exterior y sus lados pueden ser secantes o tangentes a
la circuferencia existen tres casos:
1.- Esta formado 2.-Esta formado por 3.-Esta formado
por dos secantes. una secantes y tangentes. Por 2 tangentes
LA CIRCUFERENCIA
El ángulo seminscrito tiene por medida la mitad del arco
superior de cuerda subtendido.
A
D <ABC=AB/2 AD//CB
<B=< A por ser alternos internos
C B AB=BD <BAD=un ángulo inscrito.
Ángulo excéntrico o interior tiene por medida la mitad de la
suma de los arcos comprendidos entre sus lados y la
prolongación de estos. D
<ABC=AC+DE/2
CD=cuerda <DCE=ángulo inscrito
C A
B
EL CIRCULO
Dos círculos son iguales y tiene radios iguales si los radios del mismo
circulo son iguales. Dos arcos son iguales cuando tiene los mismos
radios y coinciden sus extremos.
TEOREMA1.- Si una recta es perpendicular a un radio en el extremo de
este, la recta es tangente al circulo.
Radio DC=radio OC I AB
AB es tangente a la circuferencia
A C B
TEOREMA2.-La perpendicular trazada por el centro de un circulo a una
cuerda, biseca y los arcos subtendidos.
AB=cuerda OA=radio OB=radio
AOB es isósceles AOC rectángulo
A B OCB rectángulo
O
O
EL CIRCULO
TEOREMA 3.- En todo circulo dos paralelas intersecadas
arcos iguales.
G E H
C D
A B
AG-EC=CA EB-ED=BD CA=BD
AB//CD CD// GH AB y CD son secantes
EF= diámetro
F
PERÍMETRO Y ÁREA
Al referirnos a los cuerpos geométricos señalamos las caras
o limites de los sólidos se llama superficie las cuales
determinan su forma. El limite de la superficie señala el
perímetro.
Perimetro.-Es en consecuencia, el resultado al medir el
contorno de una figura geométrica que se representara con
una “P” mayúscula.
a b a b d
c b a c
P=a+b+c P=pi d P=4a P=a+b+c+d+f
P=2pi r P=a+a+b+b
df
PERIMETRO Y AREA
Formulas.-Una formula es la expresión de una ley o de un
principio general, simbolos o letras. Ejemplo: Area de un
triángulo, b*h/2, en donde “b” es igual a la base, “h” y el
“2” establece la mitad.
H
b b
AREA:
A A=a2 h A= b*h A=b*h
a A=a*a b b
A=&
h
h
PERIMETRO Y AREA
A= b*h/2 A=d*d/2 A=(b+b)h/2
A=pi r2
h
r