repaso probabilidad
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Repaso probabilidadTRANSCRIPT
Escuela de Turismo y
Gastronomía
Estadística para los negocios II
Repaso general probabilidad y
distribuciones de probabilidad
La probabilidad
Se utiliza como una herramienta que
permite evaluar la confiabilidad de las
conclusiones, respecto a la población,
cuando se tiene información muestral.
Uso de las probabilidades:
1. Cuando se desconoce la población
2. Con conocimiento de la población
Cuando se conoce la población, la probabilidad
se usa para describir la posibilidad de observar
un resultado muestral en particular.
Cuando se desconoce la población, y sólo está
disponible una muestra de esa población, se
usa la probabilidad para hacer afirmaciones
sobre las características de dicha población
Es decir, hacer inferencias.
Definiciones:
• Variable aleatoria: Aquella variable, cuyos
resultados se pueden obtener de manera
experimental
• Experimento: Es el proceso mediante el cual
se obtiene una observación
• Evento simple: Es el resultado que se observa
en una sola repetición del experimento
• Evento: Colección de eventos simples,
denotados con frecuencia mediante una letra
mayúscula.
• Eventos mutuamente excluyentes: Aquellos
eventos de tal manera que cuando uno ocurre, el otro
no, y viceversa
• Espacio muestral: Conjunto de todos los eventos
simples
• Diagrama de Venn: Ilustración que permite
representar un evento
• Diagrama de árbol: Representación de un
experimento en etapas, donde cada nivel sucesivo de
la ramificación corresponde a un paso requerido para
generar el resultado final
CÁLCULO DE PROBABILIDADES
PARA EVENTOS SIMPLES
La probabilidad de un evento A es una
medida de la posibilidad de que ocurra
un evento A. De forma práctica, se
asocia con el concepto de frecuencia
relativa, entonces:
Frecuencia relativa Probabilidad del evento A
𝐹. 𝑅 =𝐹. 𝐴
𝑛
𝑃 𝐴 = lim𝑛→∞
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑛
Entonces…
Dado que P(A) se comporta como una
frecuencia relativa, P(A) debe ser una
proporción cuyos valores se encuentran
entre 0 y 1.
P(A) = 0 si el evento nunca ocurre
P(A) = 1 si el evento ocurre siempre
Pasos para calcular la
probabilidad de un evento
1. Liste los eventos simples del espacio muestral
2. Asigne una probabilidad apropiada para cada
evento simple
3. Determine qué eventos simples dan como
resultado el evento de interés
4. Sume las probabilidades de los eventos
simples que dan como resultado el evento de
interés
Axiomas de la probabilidad
1. La probabilidad es positiva y menor
o igual que uno 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1
2. La probabilidad de un suceso
seguro es 1 𝑃 𝐸 = 1
3. Si A y B son incompatibles, es decir
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 +𝑃(𝐵)
Propiedades de la probabilidad
1. La suma de las probabilidades de un suceso (𝐴) y su
contrario (𝐵) vale 1, por tanto la probabilidad del
suceso contrario es 𝑃 𝐵 = 1 − 𝑃 𝐴
2. La probabilidad de un suceso imposible es cero
𝑃 ∅ = 0
3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma
de sus probabilidades restándole la probabilidad de su
intersección 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es
menor o igual a la de éste 𝑆𝑖 𝐴 ⊂ 𝐵 → 𝑃 𝐴 ≤ 𝑃(𝐵)
Ejemplo
Un recipiente contiene una balota
amarilla y dos rojas. Usted cierra los
ojos y elige dos balotas del recipiente,
una a la vez, y registra sus colores.
¿Cuál es la probabilidad de que ambas
balotas sean rojas?
Ejercicio
• En un restaurante el jefe de talento humano está encargado de
programar el personal de tal manera que se pueda atender la
demanda de los diferentes servicios ofrecidos. La experiencia muestra
que:
• a. La probabilidad de que un cliente asista en la mañana y sea
atendido a tiempo es de 0.10
• b. La probabilidad de que un cliente visite el restaurante en la tarde
(medio día), y se presenten demoras en la atención es 3 veces la
probabilidad de que sea atendido a tiempo
• c. La probabilidad de atención con demoras en la mañana es de 0.05
• d. Atender un cliente en la noche a tiempo tiene una probabilidad de
0.12
• e. La probabilidad de atender un cliente en la noche (a tiempo o no)
tiene una probabilidad de 0.3
Distribución de probabilidad
para una variable discreta
La distribución de probabilidad de una
variable aleatoria discreta es una
fórmula, tabla o gráfica que da los
posibles valores de 𝑥 y la probabilidad
𝑝(𝑥) asociada con cada valor 𝑥.
Ejemplo lanzamiento monedas
Al lanzar dos monedas, siendo x el número de caras
observadas, la distribución de probabilidades está
dada por:
Eventos simples del lanzamiento de monedas
Histograma de probabilidades
0 1 2
P(x)
P(x)
1/2-
1/4-
Ejercicio
Una variable aleatoria x tiene una distribución de
probabilidad:
a. Encuentre 𝑝(2)
b. Construya el histograma de probabilidad para
𝑥
𝑥 0 1 2 3 4 5
𝑝(𝑥) 0.1 0.3 ? 0.1 0.05 0.05
Distribuciones discretas
1. Binomial: Función donde la variable
toma solamente dos valores. Se
utiliza principalmente(en el caso de
la ATH) para predecir preferencias
de los consumidores
Características de un experimento
binomial:
1. El experimento consta de 𝑛 ensayos idénticos
2. Cada ensayo produce uno de dos resultados
(éxito-fracaso)
3. La probabilidad de éxito en un solo ensayo es
igual a 𝑝 y es la misma de un ensayo a otro.
La probabilidad de fracaso es (1 − 𝑝) = 𝑞
4. Los ensayos son independientes
5. Se está interesado en 𝑥, el número de éxitos
observados durante los 𝑛 ensayos
Distribuciones discretas
2. Poisson: Función apropiada para la
modelación de datos que
representan la frecuencia de un
evento específico en una unidad de
tiempo o espacio. Ejemplo: Número
de llamadas que se reciben durante
cierto tiempo.
Distribuciones continuas
Una variable aleatoria continua puede
tomar cualquier valor de un número infinito
de valores de la recta La distribución de
probabilidad se crea a lo largo de la recta
Atención: Diferencia entre la distribución de
una distribución de probabilidad para una
variable aleatoria continua y una discreta
Distribución de probabilidad
normal
Distribución de probabilidad de una variable continua cuya
forma es similar a la de una campana.
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋𝑒−𝑥−𝜇 2
2𝜎2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1∞
−∞
Distribución de probabilidad
estándar
Corresponde a la distribución de probabilidad para 𝑧, donde la
media es cero y la desviación estándar 1.
𝑧 =𝑥−𝜇 𝜎
Proceso de estandarización
Ejercicio
Algunos estudios demuestran que el consumo de
servicios de alojamiento en Colombia está
normalmente distribuidos, con un gasto promedio
de $150.000 y una desviación estándar de
$117.350
Cuál es la probabilidad de que turista consuma
más de $380.000 en tal servicio?