2016/07/12[改訂](2016/06/28作成)

数学特論 Iレポート課題

1. レポート作成にあたって

各設問(合計10 問)に対して回答すること。電⼦ファイル(WORDやPDF)で作成

してもよい。⾃⼒で完成させることを原則とするが、書籍やインターネットとい

った情報源、受講者複数⼈で相談しながらレポートを完成させてもよい。ただ

し、剽窃(ひょうせつ)⾏為に厳密に対応するため、以下の注意点に従ってレポ

ートを作成すること。設問 06〜設問 10では、他受講者を参考にした内容よりも

オリジナリティーの⾼いものを⾼得点とする。

[情報源の明記(公共)]インターネットや参考書など、参考にした情報元を明記

すること。参考書は書籍名、著者、出版社を最低限記載する。インターネットの

場合は、URLを記載する。情報源を明記せず引⽤が判明した場合、該当設問の課

題点は０点とする。

[情報源の明記(受講者内)]数学の証明や計算について他受講者のレポートを参考

にした場合、参考元の名前と学籍番号を記載すること。参考元の記載がなく、コ

ピーと思われる同⼀の内容が⾒つかった場合、誰が提供したかコピーしたかに関

わらず、関わった全員の該当設問の課題点は０点とする。提供者は、むやみにレ

ポートを配布しないようにすること。

[コピーの禁⽌]設問の提供者を明記している場合でも、提供者の内容をそのまま

コピーしているとみなされる場合、該当設問の課題点は０点とする。

[複数⼈作業の場合]複数⼈で作業した場合、設問毎に関わった全員の名前と学籍

番号を記載すること。共同作業者の記載がないと、同⼀内容をコピーしたものと

みなし、全員の該当設問の課題点は０点とする。

2

2. レポート提出⽅法

レポートは、WORDやTeXによる⼊⼒、もしくは⼿書きのいずれでもよい。設

問毎に回答を準備し、単独で完成させなかった場合は、上記の注意点に従って関

連する受講者の⽒名と学籍番号を記⼊する。

レポート提出期限7 ⽉ 26 ⽇(⽕)(締切厳守)

締切後のレポート提出は原則受理しないのでご注意下さい。

質問については、オフィスアワーや授業前後に随時受けます。私に対する質問は

ヒントを与えるに留めます。設問に明記する必要はありません。

3. 設問

[設問 01]⼆項分布、幾何分布、超幾何分布、負の⼆項分布、Poisson分布の定

義を記載せよ。定義に⽤いたパラメーターをつかって、それぞれの平均、分散を

求めよ。平均、分散の結果のみならず、途中計算も書ける場合は記載することが

望ましい。[該当する内容の授業]確率論の基礎(離散)

[設問 02]正規分布、指数分布、Gamma分布、⼀様分布の定義を記載せよ。定義

に⽤いたパラメーターをつかって、それぞれの平均、分散を求めよ。平均、分散

の結果のみならず、途中計算も書ける場合は記載することが望ましい。[該当す

る内容の授業]確率論の基礎(連続)

[設問 03]初期値x(0)=1に対する以下の微分⽅程式の解を求めよ。[該当する内容

の授業]Poisson過程

𝑑𝑑𝑡x t = −𝜆𝑥 𝑡 , λ > 0, 0 ≤ 𝑡 < ∞

[設問 04]初期値x0(0)=1,x1(0)=0に対する以下の２つの微分⽅程式系の解を求め

よ。[該当する内容の授業]Poisson過程

3

𝑑𝑑𝑡𝑥1 t = −𝜆𝑥1 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 < ∞

𝑑𝑑𝑡𝑥2 t = 𝜆𝑥1 𝑡 − 𝜆𝑥2 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 < ∞

ヒント:線形微分⽅程式に対する定数変化法の公式を⽤いて、x1に関する微分⽅

程式の解を求めることができる。

[設問 05]初期値x0(0)=1,xk(0)=0に対する以下の微分⽅程式の解を求めよ。[該当

する内容の授業]Poisson過程

𝑑𝑑𝑡𝑥3 t = 𝜆𝑥342 𝑡 − 𝜆𝑥3 𝑡 , k = 1,2, . . , N, 0 ≤ 𝑡 < ∞

ヒント:k=3に対して設問 03、04の結果を⽤いることで解を得よ。続けて、得ら

れた解を⽤いてk=4の場合について解を求めよ。解の⼀般形が予想できた段階

で、n=kにおける解の具体型を仮定し、n=k+1の場合に予想が成り⽴つことを、

数学的帰納法を⽤いて証明せよ。

[設問 06]⾮負離散の確率変数ξの確率⺟関数𝑓< s ( s ≤ 1)は、確率𝑝3 = 𝑃(𝜉 =

𝑘)(k=0,1,2,…)に対して

𝑓D 𝑠 = 𝑝3𝑠3F

3G1

で定義される。このとき、以下の性質を証明せよ。[該当する内容の授業]分枝過

程

[06-1]𝑝1 = 𝑓 0 , 𝑝3 =H I 13!

, 𝑘 = 1,2, …

[06-2]平均𝐸 𝜉 = 𝑓(2)(1)

ヒント:確率⺟関数の⼀階微分、n階微分を⾏って無限級数を整理せよ。

4

[設問 07]実世界において、Poisson過程によって定式化できそうな現象を挙げ

よ。また、その根拠について述べよ。なお、根拠については、Poisson過程が適

⽤されているデータや記述を書籍、学術論⽂、インターネット等を通じて探索し

て情報源を引⽤しない限り、客観性のある根拠として認めない。[該当する内容

の授業]Poisson過程

[設問 08]実世界において、分枝過程によって定式化できそうな現象を挙げよ。

また、その根拠について述べよ。なお、根拠については、上記と同様、分枝過程

が適⽤されているデータや記述を書籍、学術論⽂、インターネット等を通じて探

索して情報源を引⽤しない限り、客観性のある根拠として認めない。[該当する

内容の授業]分枝過程

[設問 09]実世界において、確率微分⽅程式によって定式化できそうな現象を挙

げよ。また、その根拠について述べよ。なお、根拠については、上記と同様、分

枝過程が適⽤されているデータや記述を書籍、学術論⽂、インターネット等を通

じて探索して情報源を引⽤しない限り、客観性のある根拠として認めない。[該

当する内容の授業]ランダムウォーク、確率微分⽅程式

[設問 10]実世界において、Poisson過程、分枝過程、確率微分⽅程式“以外”で定

式化できそうな現象を挙げよ。また、その根拠について述べよ。まず、現象を簡

単に説明した後、現象の情報源(データや記述を書籍、学術論⽂、インターネッ

ト等)を引⽤すること。最後に、選定した現象が何故、指定した確率過程で表現

できそうか根拠を述べよ。