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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Representation de systemes non lineairespar les series Volterra:
Calcul de domaines de convergenceet applications
Thomas Helie & Beatrice LarocheIRCAM-CNRS UMR9912, Paris, France & L2S, Univ. Paris Sud-CNRS UMR8506-SUPELEC, France
Ces tarvaux ont ete soutenus par le projet CONSONNES ANR-05-BLAN-0097-01.
CMAP, Ecole Polytechnique, Palaiseau11 mai 2010
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Vito Volterra [1860 (Ancone) - 1940 (Rome)] (source: wikipedia)
Vito Volterra est unmathematicien et physicienitalien. Il est surtout connu pourses travaux sur les equationsintegro-differentielles, la dis-location des cristaux, et ladynamique des populations.Il fut un opposant resolu au fas-cisme, n’hesitant pas a renonceraux honneurs academiques parconviction politique.
Royal Society (1910) - Royal Society of Edinburgh (1913)Un cratere de la Lune porte son nom
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Series de Volterra: principe et interet
Systeme differentiel non lineaire entree/sortie d’etat x
x ′(t) = F(
x(t) , u(t))
y(t) = G(
x(t) , u(t))
u −→Relationexplicite ? −→ y
en general, non !
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Series de Volterra: principe et interet
Systeme differentiel non lineaire entree/sortie d’etat x
x ′(t) = F(
x(t) , u(t))
y(t) = G(
x(t) , u(t))
u −→Relationexplicite ? −→ y
en general, non !
Cas lineaire (CI nulles)
F (x ,u) = Ax +B uG(x ,u) = C x +D u
Relation E/S: Convolutionpar le noyauh(t) = CeAtB +D
Interet: analyse & simulation
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Series de Volterra: principe et interet
Systeme differentiel non lineaire entree/sortie d’etat x
x ′(t) = F(
x(t) , u(t))
y(t) = G(
x(t) , u(t))
u −→Relationexplicite ? −→ y
en general, non !
Cas lineaire (CI nulles)
F (x ,u) = Ax +B uG(x ,u) = C x +D u
Relation E/S: Convolutionpar le noyauh(t) = CeAtB +D
Interet: analyse & simulation
Cas “faiblement” non lineaireF , G: analytique autour du pointd’equilibre (0,0)
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Series de Volterra: principe et interet
Systeme differentiel non lineaire entree/sortie d’etat x
x ′(t) = F(
x(t) , u(t))
y(t) = G(
x(t) , u(t))
u −→Relationexplicite ? −→ y
en general, non !
Cas lineaire (CI nulles)
F (x ,u) = Ax +B uG(x ,u) = C x +D u
Relation E/S: Convolutionpar le noyauh(t) = CeAtB +D
Interet: analyse & simulation
Cas “faiblement” non lineaireF , G: analytique autour du pointd’equilibre (0,0)
Relation E/S: Series de VolterraSommes de convolutions mutliplespar des noyaux calculables
Interet: idem.
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Lien avec les perturbations regulieres
Systeme faiblement non lineaire
x ′(t) = F(
x(t) , u(t))
F (X ,U) = ∑m,nDm,nF (0,0)
m!n! (X , . . . ,X ,U, . . . ,U)
y(t) = G(
x(t) , u(t))
G(X ,U) = ∑m,nDm,nG(0,0)
m!n! (X , . . . ,X ,U, . . . ,U)
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Lien avec les perturbations regulieres
Systeme faiblement non lineaire
x ′(t) = F(
x(t) , u(t))
F (X ,U) = ∑m,nDm,nF (0,0)
m!n! (X , . . . ,X ,U, . . . ,U)
y(t) = G(
x(t) , u(t))
G(X ,U) = ∑m,nDm,nG(0,0)
m!n! (X , . . . ,X ,U, . . . ,U)
On choisit l’entree comme la perturbation u(t) = εv(t)
(i) Poser x(t) = ∑k εk xk (t) et y(t) = ∑k εk yk (t)
(ii) Injecter ces decompositions dans les eq. du systeme.
(iii) Reclasser les equations selon les εk
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Lien avec les perturbations regulieres
Systeme faiblement non lineaire
x ′(t) = F(
x(t) , u(t))
F (X ,U) = ∑m,nDm,nF (0,0)
m!n! (X , . . . ,X ,U, . . . ,U)
y(t) = G(
x(t) , u(t))
G(X ,U) = ∑m,nDm,nG(0,0)
m!n! (X , . . . ,X ,U, . . . ,U)
On choisit l’entree comme la perturbation u(t) = εv(t)
(i) Poser x(t) = ∑k εk xk (t) et y(t) = ∑k εk yk (t)
(ii) Injecter ces decompositions dans les eq. du systeme.
(iii) Reclasser les equations selon les εk
On obtient une infinite d’EDO lineaires indexees par k
(iv) Resoudre analytiquement
(v) Chaque contribution homogene d’ordre k correspond a uneconvolution multiple sur u avec des noyaux calculables−→ noyaux de Volterra
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Quelques travaux fondateurs (1/3)
V. Volterra. Theory of Functionnals and of Integral andIntegro-Differential Equations. Dover Publications, 1959.
Point de vue “contr ole geometrique”:
R. W. Brockett. Volterra series and geometric control theory.Automatica, 12:167–176, 1976.
E. G. Gilbert. Functional expansions for the response ofnonlinear differential systems. IEEE Trans. Automat. Control,22:909–921, 1977.
M. Fliess. Fonctionnelles causales non lineaires etindeterminees non commutatives. Bulletin de la S.M.F.,109:3–40, 1981.
M. Fliess, M. Lamnabhi, and F. Lamnabhi-Lagarrigue. Analgebraic approach to nonlinear functional expansions. IEEETrans. on Circuits and Systems, 30(8):554–570, 1983.
A. Isidori. Nonlinear control systems (3rd ed.). Springer, 3rded. edition, 1995.
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Quelques travaux fondateurs (2/3)Point de vue “repr esentation entree/sortie” et “r ealisation”:
W. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wienerapproach. The Johns Hopkins University Press, 1981.P. E. Crouch and P. C. Collingwood. The observation space andrealizations of finite volterra series. SIAM journal on control andoptimization, 25(2):316–333, 1987.M. Schetzen. The Volterra and Wiener theories of nonlinearsystems. Wiley-Interscience, 1989.
Resultats theoriques de convergence:
F. Lamnabhi-Lagarrigue. Analyse des Systemes Non Lineaires.Editions Hermes, 1994. ISBN 2-86601-403-0.S. Boyd and L. Chua. Fading memory and the problem ofapproximating nonlinear operators with Voltera series. IEEETrans. on Circuits and Systems, 32(11):1150–1161, 1985.W. S. Gray and Y. Wang. Fliess operators on Lp spaces:convergence and continuity. Systems & Control Letters,46(2):67–74, 2002.
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Quelques travaux fondateurs (3/3)
Convergence (algorithme de calcul de domaines)
R. W. Brockett. Convergence of Volterra series on infiniteintervals and bilinear approximations. In V. Lakshmikanthan,editor, Nonlinear Systems and Applications, pages 39–46.Academic Press, 1977.
F. Bullo. Series expansions for analytic systems linear in control.Automatica, 38:1425–1432, 2002.
Z. K. Peng and Z. Q. Lang. On the convergence of theVolterra-series representation of the Duffing’s oscillatorssubjected to harmonic excitations. Journal of Sound andVibration, 305:322–332, 2007.
X. J. Jing, Z. Q. Lang, and S. A. Billings. Magnitude bounds ofgeneralized frequency response functions for nonlinear Volterrasystems described by narx model. Automatica, 44:838–845,2008.
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Point de vue qualitatif et domaines d’applications
Quelques comparaisons:
Relation distorsions auto-oscillationCas explicite E/S bifucation, chaos
General non oui ouiVolterra oui oui nonLineaire oui non non
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Point de vue qualitatif et domaines d’applications
Quelques comparaisons:
Relation distorsions auto-oscillationCas explicite E/S bifucation, chaos
General non oui ouiVolterra oui oui nonLineaire oui non non
Domaines d’applications
Electronique, Electromagnetisme, Mecanique, Ingenieriebio-medicale, etc
Theorie des systemes et Automatique, Theorie du signal,Identification et simulation
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Point de vue qualitatif et domaines d’applications
Quelques comparaisons:
Relation distorsions auto-oscillationCas explicite E/S bifucation, chaos
General non oui ouiVolterra oui oui nonLineaire oui non non
Domaines d’applications
Electronique, Electromagnetisme, Mecanique, Ingenieriebio-medicale, etc
Theorie des systemes et Automatique, Theorie du signal,Identification et simulation
Applications possibles aux EDP
En acoustique musicale: les nuances fortissimo
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Plan
Preambule
Partie 1: Algorithme de calcul de domaine de convergence[Helie,Laroche:IEEE CDC 2009]
Partie 2: Applications pour la synthese sonore
Tutoriel et methode pratique pour le calcul de noyaux
Application 1: Propagation non lineaire dans lesinstruments de type cuivre[Helie,Hasler: IJC 2004] et [Helie,Smet: IEEE MED 2008]
Application 2: resultats pour un modele non lineaire decorde[Helie,Roze: JSV 2008]
Conclusion et perspectives
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
PARTIE 1: Convergence
Algorithme de calcul de domaine de convergence pour dessystemes a entree simple et a non-lineairite analytique en l’etat
(Presentation de [Helie,Laroche:IEEE CDC 2009])
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
PARTIE 2: Applications pour la synthese sonore
Tutoriel et methode pratique pour le calcul de noyaux
Application 1: Propagation non lineaire dans lesinstruments de type cuivre[Helie,Hasler: IJC 2004] et [Helie,Smet: IEEE MED 2008]
Application 2: Resultats pour un modele non lineaire decorde[Helie,Roze: JSV 2008]
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
L’IRCAM: Institut de Recherche et CoordinationAcoustique/Musique [CNRS UMR 9912]
http://www.ircam.fr
Creation : en 1971 par Pierre Boulez
Vocation : interaction entre
• recherche scientifique (son &musique)
• developpement technologique• creation musicale contemporaine
Equipe Analyse-Synthese :
• modeles de synthese• procedes d’analyse des sons• outils de transformation des sons
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Tutoriel et methode pratique pour le calul de noyaux
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Series de Volterra (syst. stationnaire, entree simple)
Definition
Un syst. u→ hn y
→ est defini par la serie de Volterra hnn∈N∗
si
y(t) =+∞
∑n=1︸︷︷︸
Somme
∫
Rnhn(τ1 , . . .,τn)u(t − τ1). . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn
︸ ︷︷ ︸de multi-convolutions
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Series de Volterra (syst. stationnaire, entree simple)
Definition
Un syst. u→ hn y
→ est defini par la serie de Volterra hnn∈N∗
si
y(t) =+∞
∑n=1
∫
Rnhn(τ1 , . . .,τn)u(t − τ1). . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn
=∫R
h1(τ1)u(t − τ1)dτ1
Exemples:
Filtres lineaires: hn = 0 pour n ≥ 2
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Series de Volterra (syst. stationnaire, entree simple)
Definition
Un syst. u→ hn y
→ est defini par la serie de Volterra hnn∈N∗
si
y(t) =+∞
∑n=1
∫
Rnhn(τ1 , . . .,τn)u(t − τ1). . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn
= ∑+∞n=1 αn
(u(t)
)nFct. DSE
Exemples:
Filtres lineaires: hn = 0 pour n ≥ 2
Fct sans memoire: hn(τ1, . . .,τn) = αn δ (τ1, . . .,τn)
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Series de Volterra (syst. stationnaire, entree simple)
Definition
Un syst. u→ hn y
→ est defini par la serie de Volterra hnn∈N∗
si
y(t) =+∞
∑n=1︸︷︷︸
Somme
∫
Rnhn(τ1 , . . .,τn)u(t − τ1). . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn
︸ ︷︷ ︸de multi-convolutions
Exemples:
Filtres lineaires: hn = 0 pour n ≥ 2
Fct sans memoire: hn(τ1, . . .,τn) = αn δ (τ1, . . .,τn)
Cas general: n=1 (contrib. lin.), n=2 (quadratique), etc
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Proprietes et analogies avec les systemes lineaires
Un systeme est causal, si
τ < 0 ⇒ h(τ) = 0 (lineaire)τk < 0 ⇒ hn(τ1, . . .,τk , . . .,τn) = 0 (Volterra)
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Proprietes et analogies avec les systemes lineaires
Un systeme est causal, si
τ < 0 ⇒ h(τ) = 0 (lineaire)τk < 0 ⇒ hn(τ1, . . .,τk , . . .,τn) = 0 (Volterra)
Domaine de Laplace (/idem Fourier) on note (τ1:n) = (τ1, . . .,τn)
Fct. trsfrt H(s)=∫
R
h(τ)e−sτ dτ (lin.)
Noy. trsfrt Hn(s1:n)=∫
Rnhn(τ1:n)e
−(s1τ1+. . .+snτn) dτ1 . . .dτn (Volt.)
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Proprietes et analogies avec les systemes lineaires
Un systeme est causal, si
τ < 0 ⇒ h(τ) = 0 (lineaire)τk < 0 ⇒ hn(τ1, . . .,τk , . . .,τn) = 0 (Volterra)
Domaine de Laplace (/idem Fourier) on note (τ1:n) = (τ1, . . .,τn)
Fct. trsfrt H(s)=∫
R
h(τ)e−sτ dτ (lin.)
Noy. trsfrt Hn(s1:n)=∫
Rnhn(τ1:n)e
−(s1τ1+. . .+snτn) dτ1 . . .dτn (Volt.)
Pour un systeme causal stable: PAS de poles (ni singularites)
de H(s) pour ℜe(s) > 0 (lineaire)de Hn(s1:n) pour ℜe(s1)>0, . . . ,ℜe(sn)>0 (Volterra)
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Loi d’interconnexion: Somme
PSfrag replacements
an
bnu(t)
ya(t)
yb(t)
y(t)
Calcul de y(t) = ya(t)+yb(t)
![Page 29: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/29.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Loi d’interconnexion: Somme
PSfrag replacements
an
bnu(t)
ya(t)
yb(t)
y(t)
Calcul de y(t) = ya(t)+yb(t)
y(t) = ∑+∞n=1
∫Rn an(τ1:n)u(t − τ1) . . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn
+∑+∞n=1
∫Rn bn(τ1:n)u(t − τ1) . . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn
![Page 30: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/30.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Loi d’interconnexion: Somme
PSfrag replacements
an
bnu(t)
ya(t)
yb(t)
y(t)
Calcul de y(t) = ya(t)+yb(t)
y(t) = ∑+∞n=1
∫Rn an(τ1:n)u(t − τ1) . . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn
+∑+∞n=1
∫Rn bn(τ1:n)u(t − τ1) . . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn
=+∞
∑n=1
∫
Rn
[an(τ1:n)+bn(τ1:n)
]u(t − τ1) . . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn
![Page 31: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/31.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Loi d’interconnexion: Somme
PSfrag replacements
an
bnu(t)
ya(t)
yb(t)
y(t)
Calcul de y(t) = ya(t)+yb(t)
y(t) = ∑+∞n=1
∫Rn an(τ1:n)u(t − τ1) . . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn
+∑+∞n=1
∫Rn bn(τ1:n)u(t − τ1) . . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn
=+∞
∑n=1
∫
Rn
[an(τ1:n)+bn(τ1:n)
]u(t − τ1) . . .u(t − τn)dτ1 . . .dτn
Resultat: Noyaux equivalents cn
cn(τ1:n) = an(τ1:n) +bn(τ1:n)
T. Laplace: Cn(s1:n) = An(s1:n) +Bn(s1:n)
![Page 32: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/32.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Loi d’interconnexion: Produit
PSfrag replacements
an
bnu(t)
ya(t)
yb(t)
y(t)
Calcul de y(t) = ya(t)yb(t)
![Page 33: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/33.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Loi d’interconnexion: Produit
PSfrag replacements
an
bnu(t)
ya(t)
yb(t)
y(t)
Calcul de y(t) = ya(t)yb(t)
y(t) = ∑+∞p=1
∫Rp ap(θ1:p)u(t −θ1) . . .u(t −θp)dθ1 . . .dθp
×∑+∞q=1
∫Rq bq(σ1:q)u(t −σ1) . . .u(t −σq )dσ1 . . .dσq
![Page 34: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/34.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Loi d’interconnexion: Produit
PSfrag replacements
an
bnu(t)
ya(t)
yb(t)
y(t)
Calcul de y(t) = ya(t)yb(t)
y(t) = ∑+∞p=1
∫Rp ap(θ1:p)u(t −θ1) . . .u(t −θp)dθ1 . . .dθp
×∑+∞q=1
∫Rq bq(σ1:q)u(t −σ1) . . .u(t −σq )dσ1 . . .dσq
=+∞
∑n=1
∫
Rn
[∑
p,q≥1p+q=n
ap(θ1:p)bq(σ1:q)]u(t −θ1) . . .u(t −θp)
u(t −σ1) . . .u(t −σq )dθ1 . . .dθp dσ1 . . .dσq
![Page 35: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/35.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Loi d’interconnexion: Produit
PSfrag replacements
an
bnu(t)
ya(t)
yb(t)
y(t)
Calcul de y(t) = ya(t)yb(t)
y(t) = ∑+∞p=1
∫Rp ap(θ1:p)u(t −θ1) . . .u(t −θp)dθ1 . . .dθp
×∑+∞q=1
∫Rq bq(σ1:q)u(t −σ1) . . .u(t −σq )dσ1 . . .dσq
=+∞
∑n=1
∫
Rn
[∑
p,q≥1p+q=n
ap(θ1:p)bq(σ1:q)]u(t −θ1) . . .u(t −θp)
u(t −σ1) . . .u(t −σq )dθ1 . . .dθp dσ1 . . .dσq
Resultat: Noyaux equivalents cn
cn(τ1:n) = ∑n−1p=1 ap(τ1:p)bn−p(τp+1:n)
T. Laplace: Cn(s1:n) = ∑n−1p=1 Ap(s1:p)Bn−p(sp+1:n)
![Page 36: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/36.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Somme, produit et cascade de systemes
PSfrag replacements
y(t) y(t) y(t)f (t) f (t) f (t)an an
anbn bn
b1
Noyaux de transfert equivalents Cn
An et Bn: noyaux de transfert des 2 series
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Somme, produit et cascade de systemes
PSfrag replacements
y(t) y(t) y(t)f (t) f (t) f (t)an an
anbn bn
b1
Noyaux de transfert equivalents Cn
An et Bn: noyaux de transfert des 2 series
Somme: Cn(s1:n) = An(s1:n)+Bn(s1:n)
![Page 38: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/38.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Somme, produit et cascade de systemes
PSfrag replacements
y(t) y(t) y(t)f (t)f (t) f (t)an an
anbn bn
b1
Noyaux de transfert equivalents Cn
An et Bn: noyaux de transfert des 2 series
Somme: Cn(s1:n) = An(s1:n)+Bn(s1:n)
Produit: Cn(s1:n) =n−1
∑p=1
Ap(s1:p)Bn−p(sp+1:n)
![Page 39: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/39.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Somme, produit et cascade de systemes
PSfrag replacements
y(t)y(t) y(t) f (t)f (t) f (t) anan an
bn bnb1
Noyaux de transfert equivalents Cn
An et Bn: noyaux de transfert des 2 series
Somme: Cn(s1:n) = An(s1:n)+Bn(s1:n)
Produit: Cn(s1:n) =n−1
∑p=1
Ap(s1:p)Bn−p(sp+1:n)
Cascade avec un syst. lin.: Cn(s1:n) = An(s1:n)B1(s1:n)
avec s1:n = s1 + ...+sn.
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Syst. annulateur: Ressort NL f−→ hn z−→
Equation (repos avant t=0)
mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2
= f
![Page 41: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/41.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Syst. annulateur: Ressort NL f−→ hn z−→
Equation (repos avant t=0)
mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2
= f
Systeme annulateur (diagr. bloc)
PSfrag replacements
f z mz ′′+az ′+k1z
−f
k2[z]2
hn
−1
k2[·]2op. lin. 0
![Page 42: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/42.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Syst. annulateur: Ressort NL f−→ hn z−→
Equation (repos avant t=0)
mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2
= f
Systeme annulateur (diagr. bloc)
PSfrag replacements
f z mz ′′+az ′+k1z
−f
k2[z]2
hn
−1
k2[·]2op. lin. 0
Blocs elementaires → Noyaux de transfert equivalents
m d2
dt2 +a ddt +k1 → Q1(s) = ms2+as+k1, Qn = 0 si n≥2
k2[·]2 → interconnexion produit, puis ×k2
−1 → −δ1,n = −1 si n = 1 et −δ1,n = 0 sinon
![Page 43: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/43.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Syst. annulateur: Ressort NL f−→ hn z−→
Equation (repos avant t=0)
mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2
= f
Systeme annulateur (diagr. bloc)
PSfrag replacements
f z mz ′′+az ′+k1z
−f
k2[z]2
Hn
−δ1,nk2[·]2
Q10
Blocs elementaires → Noyaux de transfert equivalents
m d2
dt2 +a ddt +k1 → Q1(s) = ms2+as+k1, Qn = 0 si n≥2
k2[·]2 → interconnexion produit, puis ×k2
−1 → −δ1,n = −1 si n = 1 et −δ1,n = 0 sinon
![Page 44: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/44.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Syst. annulateur: Ressort NL f−→ hn z−→
Equation (repos avant t=0)
mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2
= f
Systeme annulateur (diagr. bloc)
PSfrag replacements
f z mz ′′+az ′+k1z
−f
k2[z]2
Hn
−δ1,nk2[·]2
Q10
Noyau d’ordre n du systeme annulateur
Hn(s1:n)Q1(s1:n)
+ k2
n−1
∑p=1
Hp(s1:p)Hn−p(sp+1:n)
+ −δ1,n = 0
![Page 45: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/45.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Syst. annulateur: Ressort NL f−→ hn z−→
Equation (repos avant t=0)
mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2
= f
Systeme annulateur (diagr. bloc)
PSfrag replacements
f z mz ′′+az ′+k1z
−f
k2[z]2
Hn
−δ1,nk2[·]2
Q10
Noyau d’ordre n du systeme annulateur
Hn(s1:n)Q1(s1:n)
+ k2
n−1
∑p=1
Hp(s1:p)Hn−p(sp+1:n)
+ −δ1,n = 0
![Page 46: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/46.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Syst. annulateur: Ressort NL f−→ hn z−→
Equation (repos avant t=0)
mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2
= f
Systeme annulateur (diagr. bloc)
PSfrag replacements
f z mz ′′+az ′+k1z
−f
k2[z]2
Hn
−δ1,nk2[·]2
Q10
Noyau d’ordre n du systeme annulateur
Hn(s1:n)Q1(s1:n)
+ k2
n−1
∑p=1
Hp(s1:p)Hn−p(sp+1:n)
+ −δ1,n = 0
![Page 47: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/47.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Syst. annulateur: Ressort NL f−→ hn z−→
Equation (repos avant t=0)
mz ′′ +az ′ +k1z +k2[z]2
= f
Systeme annulateur (diagr. bloc)
PSfrag replacements
f z mz ′′+az ′+k1z
−f
k2[z]2
Hn
−δ1,nk2[·]2
Q10
Noyau d’ordre n du systeme annulateur
Hn(s1:n)Q1(s1:n)
+ k2
n−1
∑p=1
Hp(s1:p)Hn−p(sp+1:n)
+ −δ1,n = 0
![Page 48: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/48.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Noyaux Hn du systeme f−→ hn z−→
Solution generale : equation algebrique recursive (n ≥ 1)
Hn(s1:n)=
δ1,n −k2
ordres < n︷ ︸︸ ︷n−1
∑p=1
Hp(s1:p)Hn−p(sp+1:n)
Q1(s1:n)
avec Q1(s) = ms2 +as +k1
![Page 49: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/49.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Noyaux Hn du systeme f−→ hn z−→
Solution generale : equation algebrique recursive (n ≥ 1)
Hn(s1:n)=
δ1,n −k2
ordres < n︷ ︸︸ ︷n−1
∑p=1
Hp(s1:p)Hn−p(sp+1:n)
Q1(s1:n)
avec Q1(s) = ms2 +as +k1
Premiers noyaux (n = 1,2,etc)
H1(s1) = [Q1(s1)]−1
H2(s1,s2) = −k2[Q1(s1)Q1(s2)Q1(s1 +s2)]−1
etc...
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
En resume:
On transforme un probleme faiblement non lineaireen une infinite de problemes lineaires qu’on sait resoudre.
![Page 51: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/51.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
En resume:
On transforme un probleme faiblement non lineaireen une infinite de problemes lineaires qu’on sait resoudre.
En pratique :
On tronque la serie pour avoir les premieres distorsions
![Page 52: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/52.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
En resume:
On transforme un probleme faiblement non lineaireen une infinite de problemes lineaires qu’on sait resoudre.
En pratique :
On tronque la serie pour avoir les premieres distorsions
Extension aux equations aux derivees partielles:
meme principe: cf. Applications
![Page 53: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/53.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
En resume:
On transforme un probleme faiblement non lineaireen une infinite de problemes lineaires qu’on sait resoudre.
En pratique :
On tronque la serie pour avoir les premieres distorsions
Extension aux equations aux derivees partielles:
meme principe: cf. Applications
Pour la simulation :
On construit des structures “faible cout” realisables a partirdes noyaux
![Page 54: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/54.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Application 1
Propagation non lineaire dans les instruments de type cuivre
[Helie,Smet: IEEE MED 2008]
![Page 55: Représentation de systèmes non linéaires par les séries ...articles.ircam.fr/textes/Helie10i/index.pdfW. J. Rugh. Nonlinear System Theory, The Volterra/Wiener approach. The Johns](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041618/5e3d7f549e91aa019e4fb37c/html5/thumbnails/55.jpg)
Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Application 2
Resultats pour un modele non lineaire de corde (Kirchhoff)
[Helie,Roze:JSV 2008]
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Model
The Kirchhoff equation (u: transverse displacement)
∀(x , t) ∈ Ω =]0;1[×R+∗
∂ 2u∂ t2 + = 1
∂ 2u∂x2 +
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Model
The Kirchhoff equation (u: transverse displacement)
∀(x , t) ∈ Ω =]0;1[×R+∗
∂ 2u∂ t2 +α
∂u∂ t
−β∂∂ t
∂ 2u∂x2 = 1+
∂ 2u∂x2 +
(α ,β ): damping
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Model
The Kirchhoff equation (u: transverse displacement)
∀(x , t) ∈ Ω =]0;1[×R+∗
∂ 2u∂ t2 +α
∂u∂ t
−β∂∂ t
∂ 2u∂x2 = 1+
∂ 2u∂x2 +φ(x)f (t)
(α ,β ): damping f (t): excitation force
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Model
The Kirchhoff equation (u: transverse displacement)
∀(x , t) ∈ Ω =]0;1[×R+∗
∂ 2u∂ t2 +α
∂u∂ t
−β∂∂ t
∂ 2u∂x2 =
[1+ ε
∫ 1
0‖∂u
∂x‖2dx
]∂ 2u∂x2 +φ(x)f (t)
(α ,β ): damping ε: nonlinear coefficient f (t): excitation force
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Model
The Kirchhoff equation (u: transverse displacement)
∀(x , t) ∈ Ω =]0;1[×R+∗
∂ 2u∂ t2 +α
∂u∂ t
−β∂∂ t
∂ 2u∂x2 =
[1+ ε
∫ 1
0‖∂u
∂x‖2dx
]∂ 2u∂x2 +φ(x)f (t)
(α ,β ): damping ε: nonlinear coefficient f (t): excitation force
Boundary and initial conditions
Dirichlet homegeneous: u(x = 0, t) = u(x = 1, t) = 0
At rest for t ≤ 0 : u(x , t) = ∂tu(x , t) = 0
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Equation satisfied by the Volterra kernels
Kirchhoff equation of the string
∂ 2u∂ t2 +α
∂u∂ t
−β∂∂ t
∂ 2u∂x2 −
[1+ ε
∫ 1
0‖∂u
∂x‖2dx
]∂ 2u∂x2 −φ(x)f (t) = 0
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Equation satisfied by the Volterra kernels
Kirchhoff equation of the string
∂ 2u∂ t2 +α
∂u∂ t
−β∂∂ t
∂ 2u∂x2 −
[1+ ε
∫ 1
0‖∂u
∂x‖2dx
]∂ 2u∂x2 −φ(x)f (t) = 0
Definition of the solution as a Volterra seriesPSfrag replacements
h(x)n
f (t) u(x , t)
Volterra kernels must be paremetrized in space: hn→ h(x)n .
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Equation satisfied by the Volterra kernels
Kirchhoff equation of the string
∂ 2u∂ t2 +α
∂u∂ t
−β∂∂ t
∂ 2u∂x2 −
[1+ ε
∫ 1
0‖∂u
∂x‖2dx
]∂ 2u∂x2 −φ(x)f (t) = 0
Cancelling system in the time domain
PSfrag replacements
h(x)n
∂ 2
∂ t2 +α ∂∂ t − (1+β ∂
∂ t )∂ 2
∂x2
∂∂x
.2 −ε∫ 1
0 dx
∂ 2
∂x2
0
f (t) u(x , t)
×(−φ(x))
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Equation satisfied by the Volterra kernels
Kirchhoff equation of the string
∂ 2u∂ t2 +α
∂u∂ t
−β∂∂ t
∂ 2u∂x2 −
[1+ ε
∫ 1
0‖∂u
∂x‖2dx
]∂ 2u∂x2 −φ(x)f (t) = 0
Cancelling system in the Laplace domain
PSfrag replacements
H(x)n
s2 +αs− (1+βs) ∂ 2
∂x2
∂∂x
.2 −ε∫ 1
0 dx
∂ 2
∂x2
0
f (t) u(x , t)
×(−φ(x))
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Equation satisfied by the Volterra kernels
Kirchhoff equation of the string
∂ 2u∂ t2 +α
∂u∂ t
−β∂∂ t
∂ 2u∂x2 −
[1+ ε
∫ 1
0‖∂u
∂x‖2dx
]∂ 2u∂x2 −φ(x)f (t) = 0
Cancelling system in the Laplace domain
PSfrag replacements
H(x)n
s2 +αs− (1+βs) ∂ 2
∂x2
∂∂x
.2 −ε∫ 1
0 dx
∂ 2
∂x2
0
f (t) u(x , t)
×(−φ(x))
[(s1:n)2 +α(s1:n)− (1+β (s1:n)) ∂ 2
∂x2
]H(x)
n (s1:n) .... etc
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Solution and realization (see details in [JSV 2008])
(Projection of Volterra kernels on the L2-modal basis B = ek (x) =√
2sin(kπx))
PSfrag replacements
f (t)
φ1
φk
φK
q[1]
q[k ]
q[K]
u[1]1 (t)
u[k ]1 (t)
u[K ]1 (t)
e1(x)
ek (x)
eK (x)
u1(x,t)
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Solution and realization (see details in [JSV 2008])
(Projection of Volterra kernels on the L2-modal basis B = ek (x) =√
2sin(kπx))
2. 2. 2.
PSfrag replacements
f (t)
φ1
φk
φK
q[1] q[1]
q[k ]q[k ]
q[K]q[K]
u[1]1 (t)
u[k ]1 (t)
u[K ]1 (t)
k K
w(t) =K
∑l=1
l2(u[l]
1 (t))2
−επ4
−εk2π4
−εK 2π4
u[1]3 (t)
u[k ]3 (t)
u[K ]3 (t)
e1(x)
ek (x)
eK (x)
u3(x,t)
(linear contribution, n = 1)
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
CONCLUSION
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Pour conclure: travaux en cours et perspectives
Convergence: Travaux en cours et generalisations
[IEEE TAC 2010]: Normes sur des horizons de tempsfinis/infinis avec ponderation exponentielle
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Pour conclure: travaux en cours et perspectives
Convergence: Travaux en cours et generalisations
[IEEE TAC 2010]: Normes sur des horizons de tempsfinis/infinis avec ponderation exponentielle
[soumis a IEEE CDC’2010]: systemes a entreesmultiples (notions d’entree principale et auxialiraires)
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Pour conclure: travaux en cours et perspectives
Convergence: Travaux en cours et generalisations
[IEEE TAC 2010]: Normes sur des horizons de tempsfinis/infinis avec ponderation exponentielle
[soumis a IEEE CDC’2010]: systemes a entreesmultiples (notions d’entree principale et auxialiraires)
[soumis a IFAC SSSC’2010]: Conditions initiales nonnulles, systemes de dimension infinie (/EDP)
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Pour conclure: travaux en cours et perspectives
Convergence: Travaux en cours et generalisations
[IEEE TAC 2010]: Normes sur des horizons de tempsfinis/infinis avec ponderation exponentielle
[soumis a IEEE CDC’2010]: systemes a entreesmultiples (notions d’entree principale et auxialiraires)
[soumis a IFAC SSSC’2010]: Conditions initiales nonnulles, systemes de dimension infinie (/EDP)
Perpectives
Convergence pour des systemes analytiques en l’etat etl’entree
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Pour conclure: travaux en cours et perspectives
Convergence: Travaux en cours et generalisations
[IEEE TAC 2010]: Normes sur des horizons de tempsfinis/infinis avec ponderation exponentielle
[soumis a IEEE CDC’2010]: systemes a entreesmultiples (notions d’entree principale et auxialiraires)
[soumis a IFAC SSSC’2010]: Conditions initiales nonnulles, systemes de dimension infinie (/EDP)
Perpectives
Convergence pour des systemes analytiques en l’etat etl’entree
Resolution d’EDP en noyaux de “Green-Poisson-Volterra”
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Pour conclure: travaux en cours et perspectives
Convergence: Travaux en cours et generalisations
[IEEE TAC 2010]: Normes sur des horizons de tempsfinis/infinis avec ponderation exponentielle
[soumis a IEEE CDC’2010]: systemes a entreesmultiples (notions d’entree principale et auxialiraires)
[soumis a IFAC SSSC’2010]: Conditions initiales nonnulles, systemes de dimension infinie (/EDP)
Perpectives
Convergence pour des systemes analytiques en l’etat etl’entree
Resolution d’EDP en noyaux de “Green-Poisson-Volterra”
Etude des series divergentes, troncature optimale
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Preambule Partie 1: Convergence Partie 2 : Applications Conclusion Quelques publications
Quelques publications
Convergence
Helie Thomas, Laroche Beatrice, On the convergence of Volterra series of finite dimensional quadraticMIMO systems. International Journal of Control, special issue in Honor of Michel Fliess 60 th-birthday.2008, vol. 81, n 3, p. 358-37
Helie Thomas, Laroche Beatrice, Computation of convergence radius and error bounds of Volterra series forsingle input systems with a polynomial nonlinearity. IEEE Conference on Decision and Control. Shanghai :2009, vol. 48, p. 1-6
Helie Thomas, Laroche Beatrice, Computation of convergence bounds for Volterra series of analytic singleinput systems. IEEE Transactions on Automatic Control. 2010 (to appear)
Applications
Helie Thomas, Hasler Martin, Volterra series for solving weakly nonlinear partial differential equations:Application to the Burgers equation with visco-thermal losses. International Journal of Control. 2004, vol.77, n 12, p. 1071-1082
Helie Thomas, Smet Vanessa, Simulation of the weakly nonlinear propagation in a straight pipe: applicationto a real-time brassy audio effect. Mediterranean Conference on Control and Automation. Ajaccio: 2008,vol. 16, p. 1580-1585
Helie Thomas, Roze David, Sound synthesis of a nonlinear string using Volterra series. Journal of Soundand Vibration. 2008, vol. 314, p. 275-306
Helie Thomas, Volterra series and state transformation for real-time simulations of audio devices includingsaturations: application to the Moog ladder filter. IEEE Transactions on Audio, Speech and LanguageProcessing. 2010