reseaux de neurones, logique floue et algorithmes...
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RESEAUX DE NEURONES, LOGIQUE FLOUE
ET ALGORITHMES GENETIQUES
Jalel ZRIDA
Ecole Supérieure des Sciences et Techniques de Tunis
etUnité Signaux et Système, ENIT
De nos jours, nos problèmes impliquent souvent des systèmes de plus en plus complexes et à une échelle très grande. S ajoute à cela une forte poussée vers une sophistication de plus en plus subtile mettant de fortes contraintes sur la solution désirée et faisant cette recherche de la solution une tâche phénoménale.Malgré les avancées technologiques extraordinaires qui ont poussé la puissance de calcul à des limites inimaginables, l approche analytique s est vue arriver à sa limite dans plusieurs cas de problèmes.Malgré que la capacité de calcul de la machine dépasse largement celle de l homme, ce dernier aborde et résout certains problèmes d une façon beaucoup plus efficace.
La théorie de la logique floue est l une des rares théories qui s est fixée le but de copier la performance humaine.L idée consiste à examiner comment est ce que l homme se fait pour lui-même un modèle de tout ce qu il l entoure et comment il utilise ce modèle pour se doter de stratégies avec lesquelles il arrive à
maîtriser et à asservir son environnement.
Les bases de la logique floue ont été établies en 1965 par le professeur Lotfi Zadeh de l université de Californie de Berkeley.
A cette époque, cette théorie n a pas été prise aux sérieux jusqu à ce que, dans les années 80, nombre d applications spectaculaires au Japon d abord puis en Europe se sont imposées dans le monde. Contrairement à la logique classique de Boole, la logique floue est un outil qui permet de manipuler des variables dites floues pouvant appartenir simultanément à des ensembles qui sont, selon la logique classique, disjoints. Cette appartenance est cependant caractérisée par un facteur d appartenance, un nombre entre 0 et 1 donnant le degré de confiance à cette appartenance.
âge
1
0
0 20 40 60 80 ans
âgéadultejeune
Considérons le problème de classifier les personnes selon leurs âges et considérons les trois ensembles jeune , adulte , et âgé . La logique classique de
Boole prendrait une décision qui ressemble à ce qui est représenté sur la figure suivante :
Pas logique !
âge
1
0
0 20 40 60 80 ans
âgéadultejeune
La logique floue, elle, donne une classification plus réaliste et plus humaine qui peut, par exemple, être
Plus logique !
Dans la vie quotidienne, la description d une situation donnée se fait toujours à l aide de variables linguistiques qui sont toujours à connotation floue mais
qui reste, en général, très acceptable. Par exemple, un automobiliste décrirait sa façon de conduire àl autoroute derrière un autre automobiliste :
Si la distance qui me sépare de la voiture devant moi est assez raisonnable, je roule normalement. Si cette distance décroît subitement, je freine fortement. Si cette distance change trop souvent, je vire légèrement àma gauche pour le dépasser.
.2température
1
0
0 10 20 30 40°
chaudfroid
15
.8
Afin de traiter numériquement ces variables linguistiques, des fonctions d appartenance sont utilisées pour quantifier leur signification. Prenons par exemple pour variable linguistique la température d un local. On peut la caractériser par deux ensembles flous : froid et chaud . Deux fonctions d appartenance sont associées à ces deux ensembles flous. Ces fonctions peuvent avoir l allure suivante :
Selon ces fonctions d appartenance, une température de 15°appartient à l ensemble flou froid avec un facteur d appartenance de 0.8 et appartient aussi à l ensemble flouchaud avec un facteur d appartenance de 0.2.
Cette allure trapézoïdale des fonctions d appartenance n est pas obligatoire, d autres allures telles triangulaires ou gaussiennes entre autres sont possibles. Une subdivision plus fine peut être essayée pour plus de précision ou de résolution. Par exemple, la variable température peut être décrite par trois ensembles flous : froid , tiède , et chaud .
L outil de modélisation en logique floue est la règle floue. Une règle floue est une assertion logique qui s exprime en terme de variables linguistiques floues reliées entre elles par des opérateurs logiques tels ETet OU. Ils existent deux types de règles floues : celles formant un critère et ayant la forme générale
et celles formant des implications et ayant la forme générale
où la condition ainsi que l opération dépendent de
variables linguistiques floues.
nxxxxJ ET OU ET OU
321
Opération
Alors
Condition,
Si
Inférence à une seule règle
Le cas d une inférence à une seule règle se présente chaque fois où une classification de plusieurs échantillons ou concurrents est désirée. Cette situation se présente le plus souvent avec de problèmes non techniques et se base sur un
critère de prise de décision J qui s exprime par une seule règle
ayant la forme
nxxxxJ ET OU ET OU
321
où les sont les variables linguistiques floues sont reliées entre elles par les opérateurs logiques ET et OU qui seront redéfinis selon le nouveau contexte de la logique floue.
ix
Déductions ou inférences floues (Cont )
Inférence à plusieurs règlesDans le cas où des décisions différentes sont à prendre selon les valeurs des variables linguistiques, plusieurs règles sont nécessaires pour l inférence. Ces règles ont la forme générale
où les conditions dépendent de variables linguistiques floues et sont reliées entre elles par des opérateurs logiques . Les opérations dépendent aussi d un certain nombre de variables linguistiques floues et sont reliées entre elles par des opérateurs logiques . Les règles sont également reliées entre elles par l opérateur OU. Une décision globale émanant des opérations produites par chaque règle sera finalement adoptée selon un processus qui sera décrit plus tard.
m.Opération Alorsm,Condition Si
Ou2,Opération Alors2,Condition Si
Ou1,Opération Alors1,Condition Si
Opérateur NON
Selon la logique classique, l ensemble complémentaire d un ensemble a est l ensemble
aNONac
défini comme étant l ensemble c des éléments de x qui n appartiennent pas à a. Dans la logique floue, ce concept s exprime en termes des fonctions d appartenance comme suit :
xxac
1
Opérateur ET
Selon la logique classique, l opérateur ET correspond à l ensemble cintersection de deux ensembles a et b, et on écrit
babac ET
Dans la logique floue, ce concept peut se réaliser en prenant le minimum des fonctions d appartenance. Ainsi
xxxbac
,min
x
1
0
x
1
0
x
1
0
Opérateur ET (Cont )La figure suivante représente la relation de l opérateur ET:
a
b
c
Opérateur OU
Selon la logique classique, l opérateur OU correspond à l ensemble cunion de deux ensembles a et b, et on écrit
babac OU
Dans la logique floue, ce concept peut se réaliser en prenant le maximum des fonctions d appartenance. Ainsi
xxxbac
,max
x
1
0
x
1
0
x
1
0
Opérateur OU (Cont )La figure suivante représente la relation de l opérateur OU:
a
b
c
Autre réalisations de l opérateur ET et de l opérateur OU
Opérateur ET
L opérateur ET peut aussi se réaliser à l aide du produit,
xxxbac
C est l opérateur produit.
x
1
0
x
1
0
x
1
0
Autre réalisations de l opérateur ET et de l opérateur OU (Cont ) Opérateur ET (Cont )
La figure suivante représente la relation de l opérateur produit :
a
b
c
Autre réalisations de l opérateur ET et de l opérateur OU (Cont ) Opérateur OU
L opérateur OU quant à lui peut aussi se réaliser à l aide de la somme, ou plus précisément la moyenne,
2/xxxbac
C est l opérateur somme.
x
1
0
Autre réalisations de l opérateur ET et de l opérateur OU (Cont ) Opérateur OU (Cont )
La figure suivante représente la relation de l opérateur somme :
a
x
1
0
b
c
x
1
0
Opérateur ET flou et opérateur OU flouOpérateur ET flou
L opérateur ET flou est défini par
xxxxxbabac 2
1,min
pour
1,0
Opérateur ET flou et opérateur OU flou (Cont ) Opérateur OU flou
L opérateur OU flou est défini par
pour
1,0
xxxxxbabac 2
1,max
Exemple d inférence à une seule règle
Engagement d un collaborateurExemple de critère qui sert à déterminer le profil souhaité et les aptitudes recherchées:
Critère:=
(formation OU expérience) ET
(indépendance OU aptitude à collaborer) ET âge
Exemple d inférence à une seule règle (Cont )
Tableau des données
0.2 0.8 0.5 0.8 0.6 0.3 0.2 0.9 1.0 0.60.6 0.4 0.7 1.0 0.50.4 0.5 0.2 1.0 0.81.0 0.5 0.7 0.1 0.6
FormationExpérience
IndépendanceAptitude à collaborer
âge
Candidats2 3 4 5Variables
f
e
i
a
gea
Exemple d inférence à une seule règle (Cont )
Calcul des facteurs d appartenance
geaiafegeaiafecr 31
,,min
efeffe 21
,max
aiaiia 21
,max
Exemple d inférence à une seule règle (Cont )
Tableau d évaluation des données
0.2 0.8 0.5 0.8 0.6
0.3 0.2 0.9 1.0 0.60.6 0.4 0.7 1.0 0.50.4 0.5 0.2 1.0 0.8
1.0 0.5 0.7 0.1 0.6
FormationExpérience
IndépendanceAptitude à collaborer
âge
Candidats
2 3 4 5Variables
f
e
i
a
gea
0.30 0.50 0.70 0.10 0.60
0.37 0.51 0.66 0.25 0.610.44 0.51 0.63 0.39 0.62
0.51 0.50 0.62 0.53 0.620.58 0.48 0.62 0.67 0.62
critère
00.175.050.025.000.0
cr
Exemple d inférence à plusieurs règles
Réglage de température d un local
On mesure la température à l aide d un capteur qui fournit la valeur de la grandeur à régler y.On forme alors l écart de réglage e comme étant la différence entre la grandeur de consigne w et la grandeur à régler y.Pour varier le flux de chaleur du radiateur, on intervient sur la position d une valve de mélange en l ouvrant ou en la fermant d une certaine quantité .u
Exemple d inférence à plusieurs règles (Cont )
Réglage de température d un local (Cont )
Règles d inférence
Variation de la position de la valve:=
SI écart positif, ALORS ouvrir la valve, OU
SI écart zéro, ALORS ne pas bouger la valve, OU
SI écart négatif, ALORS fermer la valve.
Exemple d inférence à plusieurs règles (Cont )
Réglage de température d un local (Cont )
Règles d inférence (Cont )
SI e positif, ALORS positif, OU
SI e zéro, ALORS zéro, OU
SI e négatif, ALORS négatif.
u
u
u
Exemple d inférence à plusieurs règles (Cont )
Réglage de température d un local (Cont )
Fonction d appartenance de l écart e
positif
zéropositif
0 21 3 4 5-1-2-3-4-5 température C
e
1
Exemple d inférence à plusieurs règles (Cont )
Réglage de température d un local (Cont )
Fonction d appartenance de l incrément de commande
ouvrirne pas bougerfermer
1
0.2 0.4 0.6-0.2-0.4-0.6 u
u
0
système
ueRéf. y
_
Le problème classique de l asservissement d un système est illustré par le diagramme en bloc suivant :
e
Le régulateur flou, comme tout régulateur, a pour tâche de produire une loi de commande u pour chaque combinaison de ses entrées e et de sorte que l erreur tend vers zéro le plus vite possible.
e
fuzzification inférence défuzzification
e x u
La structure interne de ce régulateur flou est représentée dans le diagramme fonctionnel suivant :
e
fu
où trois blocs appelés fuzzification, inférence, et défuzzificationsont utilisés et dont la fonctionnalité est décrite dans ce qui suit.
Le processus de la fuzzification consiste à simplement attribuer aux différentes variables linguistiques d entrée des fonctions d appartenance convenables. Cette opération est nécessaire vu que la mesure de la sortie y et la donnée de la référence ou consigne sont toujours exprimées en des variables qui sont netteset précises et que le régulateur flou ne peut traiter que des variables floues.
L inférence est le processus par lequel des actions ou opérations floues sont prises au fur et à mesure que des informations sur les entrées sont recueillies et ce selon les règles définissant le système. Ils existent plusieurs méthodes d inférence dont La méthode d inférence max-min : réalise le OUreliant les règles par le l opérateur max et le ALORSpar l opérateur min.La méthode d inférence max-produit : réalise le OUreliant les règles par le l opérateur max et le ALORSpar l opérateur produit.La méthode d inférence somme-produit : réalise le OU reliant les règles par le l opérateur somme et le ALORS par l opérateur produit.
Voici un exemple de calcul d une loi de commande d un système à deux entrées et à une sortie u. Pour simplifier, le système est supposé être décrit par uniquement les deux règles suivantes :
21 et xx
P.est AlorsEZ,est xETNest Si
OuN,est AlorsP,est xETEZest Si
21
21
ux
ux
On suppose que les variables ainsi que la sortie usont normalisées entre 1 et -1 et ont tous une même fonction d appartenance à trois sous-ensembles flous :
N pour négatif , EZ pour environ zéro et P pour positif
21 et xx
Cette fonction d appartenance a l allure suivante :
On se place à l instant où on mesure que , et et on se propose de calculer la commande
u à produire en utilisant la méthode d inférence max-min, max-produit, puis somme-produit.
-1
PN
EZ
1
75.02x
5.01x
Exemple (Cont )La méthode d inférence max-min
Nest Alors P,est ET EZest Si21
uxx
Pest Alors EZ,est ET Nest Si21
uxx
0.25
0.5
X1=-0.5
X2=0.75
0.5
0.50.75
0.50.25
min
min
min
min
max
0.25
Exemple (Cont )La méthode d inférence max-produit
Nest Alors P,est ET EZest Si21
uxx
Pest Alors EZ,est ET Nest Si21
uxx
0.25
3/8
X1=-0.5
X2=0.75
0.5
0.50.75
1/8
3/161/16
max
Exemple (Cont )La méthode d inférence somme-produit
Nest Alors P,est ET EZest Si21
uxx
Pest Alors EZ,est ET Nest Si21
uxx
0.25
3/8
X1=-0.5
X2=0.75
0.5
0.50.75
1/8
3/161/16
L étape précédente a produit une loi de commande exprimée en terme d une fonction d appartenance donc une loi de commande floue. Comme le système à asservir ne peut accepter que une commande définie et nette, cette fonction d appartenance doit être traduite en une commande non floue, nette et précise. Ce processus est connu sous le nom de défuzzification. Ils existent plusieurs méthodes de défuzzification dans la littérature dont une méthode qui est le plus souvent plus efficace que les autres, celle de la défuzzification par centre de gravité.La défuzzification par centre de gravité : Cette méthode calcule la loi de commande non floue en tant que l abscisse du centre de gravitéde la fonction d appartenance de la loi de commande ,
uu
RES
1
1
1
1
duu
duuu
u
RES
RES
La défuzzificationLe cas de la méthode d inférence somme-produit
La loi de commande par la méthode de défuzzification par centre de gravité se programme difficilement en général. Seul dans le cas où la méthode d inférence somme-produit est utilisé, la programmation de la loi de commande se simplifie énormément. En effet, dans ce cas, la fonction d appartenance de la loi de commande est donnée par
m
iOCRES
um
uii
1
1
iC : le facteur d appartenance de la condition i
uiO : le facteur d appartenance de l opération i
m : nombre total de règles
règle i : Si Condition i Alors Opération i
La défuzzificationLe cas de la méthode d inférence somme-produit
(Cont )
m
iiC
m
iiiC
m
iOC
m
iOC
m
iOC
m
iOC
RES
RES
S
Su
duu
duuu
duu
duuu
duu
duuu
u
i
i
ii
ii
ii
ii
1
1
*
1
1
1
1
1
11
1 1
1
1 11
1
1
1
duuSiOi
1
1
ii
Sduuuu Oi /1
1
*
représente la surface sous la fonction d appartenance du sous-ensemble flou impliqué dans la règle i.
représente l abscisse du centre de gravité de la fonction d appartenance du sous-ensemble flou impliqué dans la règle i.
Pour reprendre l exemple traité précédemment, comme la fonction d appartenance pour la loi de commande a l allure suivante :
RES
3/161/16
u-1 1
On a que
3/12/12/33/11
161
163
161
163
0
1
1
0
1
0
20
1
2
1
1
1
1
uduudu
duuduu
duu
duuu
u
RES
RES
Ce résultat s accorde bien entendu avec l autre formule, à savoir,
3/1
2
1
8
1
2
1
8
32
1
3
2
8
1
2
1
3
2
8
3
21
2
*
21
*
1
1
1
*
*
21
21
SS
SuSu
S
Suu
CC
CC
m
iiC
m
iiiC
i
i
Asservissement de la vitesse d un moteur à CC
1
v
1
.191s+.011
Transfer Fcn1
1.55
.014s+1.14
Transfer Fcn Sum2Sum1
Sum
26
Gain2
.06
Gain1
1.55
Gain
2
Cr
1
vref
Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)
ZOH1
ZOH
z
1
Unit Delay1
z
1
Unit Delay
Sum2
Sum1
Sumvref
Cr
v
Subsystem
Step1
Step
Scope
Mux
Mux
.1
GainFLC
Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)
ee
négatif
négatif
zéro
zéro
positif
positif
Sortie grande négative
Sortie négative
Sortie zéro
Sortie zéro
Sortie zéroSortie négative
Sortie positive
Sortie positive
Sortie grande positive
Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Temps (sec)
Vite
sse
Asservissement de la vitesse d un moteur à CC (Cont.)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Temps (sec)
Com
man
de (
Vol
ts)
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