reseni zadaci po avtomatizacija-dopolnitelni
DESCRIPTION
Автоматско управување и автоматизацијаTRANSCRIPT
Универзитет „Гоце Делчев“ – ШтипМашински факултет - Струмица
Дополнителна работа
Предмет:
Автоматско управување и автоматизација 1
Изработил: Ментор:
Струмица,2013
1. Да се определи одзивот на системот во временски домен y(t) ако неговата
Лапласова трансформација изнесува:
Y(s)= 5(s2+4 s+9)
5(s ᶟ+5 s2+8 s+6)
и да се нацрта пол и нула на дијаграмот.
РЕШЕНИЕ:
y (t )=?
Y (s )=5 (s¿¿2+4 s+5)
s (s3+5 s¿¿2+8 s+6)=5 ( s+2− j ) (s+2+ j )
s (s+3 ) (s+1− j ) ( s+1+ j )¿¿
Хевисајдовиот парцијален развој на дадената функција ќе биде:
Y (s )=[ As+B(s+1)2+1
+C11
s+
C21
s+3 ]=5 R(s)(s+1)2+1
R (s )=15
[ (s+1 )2+1 ]Y (s )=( s+2− j )(s+2+ j)
s(s+3)
ако замениме за s=−1+ j ќе биде
R (−1+ j )=(−1+ j+2− j )(−1+ j+2+ j)
−1+ j(−1+ j+3)=
−110
− ј710
следува дека R1=−110
, R2=−710
, a од релацијата А=R2
w, B=
R1w+R2σ
w
А=−710
, B=−810
другите коефициенти од парцијалниот развој ќе бидат:
C11= sY (s)|s=0=56
C21=(s+3)Y (s )|s=−3=−215
ако ги замениме сите вредности кои ги добивме, ќе добиеме:
Y (s )=5 [−710 s+1( s+1 )2+1
−110
1
(s+1 )2+1+561s−215
1s+3 ]
со користење на табелата за инверзна Лапласова трансформација
y (t )=256
u (t )−23
e−3 t−12
e−t (7cost+sint )
пол нула дијаграм
2. Даден е математичкиот модел од еден физички систем со диференцијална
равенка:
d ᶟ ydt ᶟ
+ (4+k) d ² ydt ²
+ (16+6k) · y= k(d ² xdt ²
+ 10x)
Да се определи во кои граници може да се менува вредноста на коефициентот
к за да системот биде стабилен.
РЕШЕНИЕ:
Со примена на Routh – овиот критериум за стабилност
[ D3+(4+k ) D2+(16+6k )] y (t )=k ( D2+10D ) x (t )
[ s3+(4+k ) s2+(16+6 k)] Y (s )=k s2 X (s )+10kX (s)
Y (s)X (s)
= k s2+10 ks3+ (4+k ) s2+(16+6k )
За да определиме во кои граници може да биде к за системот да биде стабилен ќе
го искористиме Рутовиот критериум за стабилност, според кој за карактеристична
равенка од 3-ти редa3 s3+a2 s
2+a1 s+a0
a3 s3+a2 s
2+a1 s+a0
s3a3a1
s2a2a0
s1C31=a2 ∙ a1−a3∙ a0
a2
s0a0
За системот да биде стабилен потребо е сите коефициенти во првата колона да
бидат поголеми од 0.
Routh-овата табела е
s3+(4+k ) s2+(16+10k )
s310
s2 (4+k )(16+10k )
s10 ∙(4+k)−(16+10k )
(4+k )0
s0(16+10k )
−(16+10k )(4+k )
=−16−10k4+k
За системот да биде стабилен потребно е
−16−10 k4+k
>0→k<−264
,
a потребно е и
(16+10 k)>0→k>−1,6
потребно е и 4+k>0→k>−4
3. Единечниот импулсен одзив на еден систем е
YϬ(t) = e ᵗ · (1-sint)⎺
Да се определи преносната функција Р(ѕ) на системот и диференцијалната
равенка со која што е опишан системот.
РЕШЕНИЕ:
yδ ( t )=e−t (1−sint )=e−t−e−t sint
Бараме Лапласова трансформација на двата дела одделно според табелата за
Лапласова трансформација
L {e−t }= 1s+1
за пресметување на Лапласова трансформација на e−t sint користиме особина за
Лапласова трансформација од придушени осцилации, односно
L {e−a t f (t)}=F (s+a)
L {sint }= 1
s2+1, a=1
L {e−t sint }= 1
(s+1)2+1
x(t)=δ(t)
x(s)=1
следува дека
P (s )=Y (s )X (s)
= 1s+1
− 1( s+1 )2+12
=1 ( s2+2 s+2 )−1(s+1)
( s+1 )(s2+2 s+2)= s2+2 s+2−s+1
s3+2 s2+2 s+s2+2 s+2= s2+s+1
s3+3 s2+4 s+2=
X (s)Y (s)
(s3 + 3s2 + 4s + 2) ·Y(s) = (s2 + s +1)·X(s)
(D3 +3D2 +4D +2)· Y(t)= (D2 + 2D +1)· X(t)
d3 yd t3
+3 d2 ydt
+4 dydt
+2Y ( t )=d2 xdt
+2 dxdt
+ X ¿)