resistencia de los materiales ii

7/21/2019 Resistencia de Los Materiales II

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COLUMNAS Y SOPORTES

1.-INTRODUCCION:

Una columna es un elemento sometido a compresión, lo

su icientemente del!ado respecto de su lon!itud para "ue #a$e la

acción de una car!a !radualmente creciendo rompa por le%ión lateral

o pandeo ante una car!a muc&o menor "ue la necesaria para romperla

por aplastamiento'

En esto se di erencia de un elemento corto sometido a compresión el

cual aun"ue este car!ado e%c(ntricamente e%perimenta una le%ión

lateral desprecia#le' Aun"ue no e%iste un limite per ectamente

de inido entre elemento corto ) columna se suele considerar "ue un

elemento a compresión es una columna si su lon!itud es mas de die*

+eces su dimensión trans+ersal menor, las columnas se suele di+idir

en dos !rupos lar!as e intermedias'

Las columnas lar!as se rompen por pandeo o le%ión lateral, La

intermedia por una com#inación de aplastamiento ) pandeo ) las

cortas por aplastamiento'

Una columna ideal es un elemento &omo!(neo de sección recta

constante, inicialmente rectas sometido a una car!a a%ial de

compresión'

Sin em#ar!o las columnas suelen tener siempre pe"ue-asimper ecciones de material ) de a#ricación as. como una ine+ita#le

e%centricidad accidental en la aplicación de las car!a'



2.- PANDEO Y ESTABILIDADSupón!ase "ue de#e dise-arse una columna AB de la lon!itud L ,

para soportar una car!a P /Fi!'01' 2ma!.nese "ue P es una car!a a%ial

c(ntricas ) "ue la columna tiene sus dos e%tremos articulados' Si el3rea trans+ersal A de la columna es tal "ue el +alor σ P!A deles uer*o en la sección trans+ersal es menor "ue el admisi#le σ"#$

para el material utili*ado ) si la de ormación %PL!AE cae dentro delas especi icaciones dadas podr.a concluirse "ue la columna se &adise-ado #ien'

Sin em#ar!o puede ocurrir "ue al aplicar la car!a la columna se

pandee en lu!ar de permanecer recta ) se cur+e repentinamente/Fi!'41' O#+iamente "ue una columna "ue se pandea #a$o la car!aespeci ica no esta #ien dise-ada'Supon!amos a&ora las #arras r.!idas AC ) BC conectadas en C por un pasador ) un resorte torsional de constante & /Fi!'51' Si las dos

#arras ) las dos uer*as P ) P' esta per ectamente alineadas elsistema permanecer3 en la posición de e"uili#rio "ue muestra lai!ura 6'a siempre "ue no sea pertur#ado . 7ero supon!as "ue C se mue+e li!eramente a la derec&a de modo"ue cada #arra orma a&ora un pe"ue-o 3n!ulo con la +ertical/Fi!'6'#1' 89ol+er3 el sistema a su posición de e"uili#rio ori!inal o seale$ara aun mas de dic&a posicion:' En el primer caso se dice "ue elsistema esta#le ) en el se!undo "ue es inesta#le'

2.1.- CARGA CRITICA



Colo"uemos una +i!a mu) es#elta +erticalmente ) articulada en suse%tremos mediante rotulas "ue permiten la le%ión en todasdirecciones'Apli"uemos una uer*a &ori*ontal H en su punto medio de manera"ue produ*ca le%ión se!;n la dirección de m3%ima le%i#ilidad como

se indica en la Fi!ura <'a' Como las tensiones de le%ión son proporcionales a la lec&a no e%perimentara +ariación al!una si sea-ade una uer*a a%ial P en cada e%tremo, como en la Fi!ura <'# )&aciendo "ue H disminu)a simult3neamente con el aumento de P demanera "ue la lec&a en el centro no +ari(' En estas condiciones elmomento lector ene el centro es

M H!2(L!2)*P %

= en el limite cuando H &a disminuido &asta anularse,M (P +, )%

Entonces como se indica en la Fi!ura <'c pero es la car!a criticanecesaria para mantener la columna le%ada sin empu$e lateralal!uno'

Un pe"ue-o incremento de P so#re este +alor critico &ar3 "ueaumente la lec&a % lo "ue incrementara M con lo "ue +ol+er3aumentar % ) as. sucesi+amente &asta "ue la columna rompa por

pandeo' 7or lo contrario si P disminu)e li!eramente por de#a$o de su+alor critico, disminu)e la lec&a lo "ue a su +e* &ace disminuir M ,+uel+e a disminuir % ) la columna +uel+e a endere*arse por completo'



As. pues la car!a critica puede interpretarse como la car!a a%ialm3%ima a la "ue puede someterse una columna permaneciendo recta,aun"ue en e"uili#rio inesta#le de manera "ue un pe"ue-o empu$elateral &a!a "ue le%e ) "uede le%ada como en la i!ura <'c'.-FORMULA DE EULE PARA COLUMNAS ARTICULADAS

En el a-o 0><?, el !ran matem3tico sui*o Leon&ard Euler &i*o unan3lisis teórico de la car!a critica para columnas es#eltas #asado enlas ecuación di erencial de la el3stica

EI # 2!#/ 2 MA&ora se sa#e "ue este an3lisis es +alido solamente &asta "ue lastensiones alcancen el limite de proporcionalidad'La i!ura @ muestra la l.nea media de la columna en e"uili#rio #a$o laacción de la car!a critica P ' Se supone "ue la columna tiene lose%tremos articulados /mediante rotulas o pasadores1de manera "ue no

puede tener despla*amientos laterales'La lec&a m3%ima % es lo su icientemente pe"ue-a para "ue no e%istadi erencia aprecia#le entre la lon!itud inicial de la columna ) su

pro)ección so#re un e$e +ertical'

En estas condiciones, las pendientes d) d% es pe"ue-a ) puedeaplicarse la ecuación di erencial apro%imada de la el3stica de una+i!a

EI # 2!#/ 2 M P(-Y) -PY (")El momento M es positi+o en la i!ura @ al le%ar la columna en elsentido indicado por lo "ue al ser la Y ne!ati+a &a de ir precedidadel si!no menos'La ecuación /a1 no se puede inte!rar directamente como se &acia enel anali*as de +i!as )a "ue all. M era unción de 3 solamente' Setrata en este caso de una Ecuación Di erencial lineal de coe icientesconstantes ) cu)a solución !eneral al no tener termino independiente,+iene dada por



Y C1S45(36P!EI)*C2C78(36P!EI ) (9)Aplicando las condiciones en los limites para B = ,lo "ue dac4 ) para B L,= de la "ue se o#tiene

0 C1S45(L6P!EI )Entonces para C0 en cu)o caso no e%iste le%ión en la columna o

para L6P!EI 5 /n ,0,4,5,etc'1

De dondeP 5 2 (EI 2!L2)) (+)

El +alor de n no tiene sentido )a "ue seria 7 ' 7ara los dem3s+alores de n la columna le%a en la orma indicada en la i!ura ?'

La mas importante de todas es cuando n 0'Las otras solucionesocurren para car!as ma)ores, pero solo son posi#les .sicamente si lacolumna tiene las su$eciones laterales ene l punto medio en los terciosde la lu*'

Entonces la car!a critica para una columna articulada en sus e%tremosesP+,;<;+"

(EI 2!L2)) (#)El +alor del es uer*o correspondiente a la car!a critica es es uer*ocritico ) se le asi!na por Critico de la ecuación /d1 ) &aciendo2 Ar4 donde A es el 3rea de la sección trans+ersal ) r el radio de !iro,se tiene

σ +,;<;+" P +,;<;+" !A 2EA, 2 !AL 2

La cantidad L!, es la “relación de esbeltez” de la columna'

=.-COLUMNAS CON OTRAS CONDICIONES DE DISE>O

=.1.-C7?@$5"8 E$ 7<,"#"8 E5 S@8 D78 E/<,4$78.-En la i!ura G apreciar una columna do#lemente empotrada, por simetr.a, los puntos de in le%ión est3n u#icados en los cuartos de lalu*, ) como el momento lector es nulo es estos los dia!ramas delsólido aislados de la i!ura ?'# indican "ue la mitad central de la



columna do#lemente empotrada e"ui+ale a una columna articulada ensus e%tremos de columna L4 L!2

2ntroduciendo la ecuación/d1 esta lon!itud e"ui+alente, la car!acritica "ue se o#tiene para este tipo de columna es

P EI 2!L42 EI 2!(L!2)2 =EI 2!L2 (4)En conclusión, la columna do#lemente empotrada es cuatro +ecesmas resistente "ue la do#lemente articulada'

=.2.-C7?@$5"8 C75 U5 E/<,4$7 E$ 7<,"#7 4? O<,7 L;9,4.-En la i!ura G se puede apreciar un caso /tipo m3stil1, las car!ascriticas en este caso, Fi!ura ?'# son i!uales pero teniendo en cuenta"ue esta ultima es cuatro +eces mas lar!a "ue la primera' En otras

pala#ras en la ecuación / 1 &a) "ue poner una lon!itud Le i!ual acuatros +eces la lon!itud real de la columna tipo m3stil con lo "ue lacar!a critica para este tipo de columna +iene dada por

P = EI 2!L42 = EI 2!(=L)2

P 1!=(EI 2!L2) ( )ue es una cuarta parte de la correspondiente al caso undamentaldo#lemente articulada .

=. .-C7?@$5" C75 U5 E/<,4$7 E$ 7<,"#7 4? O<,7 A,<;+@?"#7.-Este es otro tipo de columna "ue suele presentarse / i!ura G1' El

punto de in le%ión aparece a los '?L del e%tremo articulado, por lo"ue rempla*ando en la ecuación /d1 del caso undamental unalon!itud L4 0. L da como +alor de la car!a critica'

P EI 2!L42 EI 2!(0. L) 2 P 2EI 2!L2 ...( )



.-FORMULA DE LA SECANTE

Los es uer*os so#re una columna son de dos tipos primero ,loses uer*os normales uni ormemente distri#uidos producidos por lacar!a a%ial ) se!undo, los es uer*os normales producidos por elmomento le%ionante' Como se supone "ue el material de la columnasatis ace la le) de HooIe, lo es uer*os de#ido al momentole%ionante +aria linealmente a tra+(s de la sección ) se o#tienen a

partir de la ormula de le%ión' Entonces el es uer*o de compresiónm3%ima de la columna / en el lado cónca+o1 es

σ $"/ P!A* M $"/ !S

Siendo A el 3rea de la sección trans+ersal, S el modulo de la sección,sa#iendo adem3s "ue para una columna, se suponen "ue los es uer*osa compresión son positi+os' Sustitu)endo la e%presión para Mma%,tendremos

σ $"/ P!A* (P 4!S)S4+(&L!2)

Dic&a ecuación la podemos modi icar a una orma mas ;tile ectuando tres sustituciones '7rimero reempla*amos el modulo de lasección S por I!+, donde + es la distancia desde el e$e centroidal &astala i#ra e%terna so#re el lado cónca+o de la columna' Se!undointroducimos la notación

, 6A I

7ara el radio de !iro de la sección trans+ersal en el plano de le%ión'Tercero sustituimos & por P!EI ,con estas sustituciones resultara

σ $"/ P!A 1*(4 +!, 2)S4+((L!2,) EA P A )

A esta ormula se la conoce como ormula de la secante 'De esta ecuación podemos sacar dos relaciones importantes

R4?"+; 5 #4 4/+45<,;+;#"# 4 + ! ,2



R4?"+; 5 #4 4894?<4 L ! ,

5. - COMPORTAMIENTO ELASTICO E INELASTICO DECOLUMNAS

El comportamiento de una columna ideal se representa mediante laCur+a de Euler so#re un dia!rama de es uer*o de compresión medioP!A +ersus la relación de es#elte* L!, '

Esta cur+a es +alida solo en la re!ión CD por de#a$o del limite de proporcionalidad σ del material' El +alor de la relación de es#elte*

por encima del cual es aplica#le la Cur+a de Euler se o#tieneasi!nando σ +, cual a σ en al ecuación /JJ1 ) despe$ando L!, lue!o(L !,) representa el +alor critico de la relación de es#elte*,o#tenemos

(L !,)+ 6( 2E!σ ) ( )Si tomamos los e ectos de las e%centricidades en car!a o lasimper ecciones de la columna ) toda+.a se supone "ue el materialsatis ace la Le) de HooIe, entonces o#tenemos una cur+a tal como ladenominada F7,$@?" #4 ?" S4+"5<4 en la i!ura anterior' Esta cur+a

esta tra*ada para un es uer*o m3%imo i!ual al limite de proporcionalidad σ Lue!o cuando comparamos la cur+a para laFormula de la Secante con la Cur+a de Euler se de#e tener presentelas di erencias'Ene l caso de la Cur+a de Euler, el es uer*o P!A no solo es

proporcional a la car!a aplicada P sino tam#i(n es el es uer*om3%imo en la columna cuando ocurre el pandeo'



luencia ) tenemos σ +, σ . Las columnas de lon!itud intermediacomprenden a"uellos casos en donde la alla es un enómenocomple$o ) se &a usado datos de la#oratorio para !uiar el desarrollode ecuaciones de dise-o ) especi icaciones'Las ecuaciones emp.ricas "ue apresan es uer*os admisi#les o

es uer*os cr.ticos en unción de la relación e ecti+a de es#elte* seintrodu$eron &ace un si!lo ) &an e%perimentado un proceso continuode re inamiento ) me$ora' Al!unas ecuaciones emp.ricas t.picasutili*adas para apro%imar datos del la#oratorio, se muestran en lai!ura /''1' Como una sola ecuación no es adecuada para todos los+alores de L 4!, se &a desarrollado ecuaciones di erentes, cada unocon un ran!o de aplica#ilidad para los di+ersos materiales' En cadacaso de#e +eri icarse "ue la ecuación "ue +a a usarse es aplica#le

para el +alor de L 4!, de la columna seleccionada' Adem3s de#edeterminarse si la ecuación pro+ee el +alor del es uer*o critico para lacolumna en cu)o caso este +alor de#e di+idirse por el actor dese!uridad apropiado o si da directamente el es uer*o admisi#le'Las ecuaciones especi icas de dise-o #a$o car!a c(ntrica se considera

para tres materiales di erentes'

") A+4,7 E8<,@+<@,"?:Las ecuaciones mas usadas para el dise-o decolumnas de acero #a$o car!a c(ntrica se encuentra en lasespeci icaciones de American 2nstitute o Steel Construction' Comose +era una e%presion para#ólica se usa para predecir σ "#$ en lascolumnas de lon!itudes cortas e intermedias ) una relación del tipode Euler se utili*a para columnas lar!as' Estas relaciones sedesarrollaron en dos pasos



Fi!ura /00'4@1timos&enIo

1.-7rimero se o#tiene una cur+a "ue representa la +ariación de σ +,contra L !, /+(ase en la i!ura 1' Esta cur+a no incorpora nin!;nactor de se!uridad' La porción de AB de la cur+a es un arco de

par3#ola de inido por la ecuación de la orma

σ +, σ7 K & (L !, ) 2

mientras la porción BE es parte de la cur+a de Euler DBE de inida por la ecuación

σ +, 2 E !(L!,) 2

Nótese "ue, como σ +, σ para L !, 0 la constante σ 7 en la

ecuación /''1 de#e ser σ . 7or otra parte, tanto en lasespeci icaciones de la AISC como en las de otras se supone "ue en el

punto B donde la par3#ola se une a la cur+a de Euler, el es uer*ocritico es i!ual a la mitad del es uer*o de luencia, llamando C+ el+alor de L !, en ese punto la ecuación / 1 da por tanto

σ σ & C2

+

) & σ !2 C2

+ sustitu)endo para σ 7 ) K en la ecuación / 1

para L !, C + σ +, σ 1-( L !,) 2!2 C2+

) recordando / 1 "ue

para L !, C + σ +, E 2 !( L !,) 2

Haciendo σ +, σ ) L !, C + en la ecuación / 1 se &alla "ue

C2

+ 2 E! ( L !,) 2



2.-Se de#a introducir un actor de se!uridad para o#tener lasecuaciones inales de dise-o de la AISC "ue de inen σ "#$.

Como unción de L !,. 7ara L !, ≥ C + , esto es, para columnas lar!as,se usan un actor de se!uridad constantes de 0'>4' Di+idiendoel +alor o#tenido en la ecuación /''1, para σ +, , por este actor

de se!uridad ) o#ser+ando "ue las especi icaciones de la AISCesta#lecen "ue L !, no de#e pasar de 4 , se escri#e

L !, ≥ C + σ "#$ . cr !F'S' E 2 !1. 2 ( L !,) 2

7ara columnas cortas e intermedias, se utili*a la si!uiente e%presion para determinar el actor de se!uridad

F'S' < 5 5 G// L !,)! C +) K 1! ( / L !,)! C +)Di+idiendo la e%presion o#tenida en /'''''1 para σ +, por este actor

de se!uridad, se escri#eL !, C + σ "#$. +,!F'S' σ !F'S 0J0 4// L !,)! C +)2

Las ecuaciones o#tenidas pueden usarse con unidades SI o conunidades americanas'

9) A?@$;5;7: Muc&as aleaciones de aluminio est3n disponi#les parael uso en la construcción estructural ) de ma"uinas para cadaaleación las especi icaciones de la Aluminum Association

proporciona tres ecuaciones para el es uer*o admisi#le en lascolumnas #a$o car!a c(ntrica ' En la i!ura / 1 se muestra la+ariación de σ "#$ ' con L !, de inidas por estas ecuaciones . 7ara lascolumnas cortas σ "#$ es constante, para columnas intermedias, seusa una relación lineal entre σ "#$ ) L !, Q ) para columnas lar!as seutili*a una ecuación del tipo de Euler' A#a$o se dan lasespeci icaciones especi icas para el uso en edi icios ) estructurassimilares en unidades del S2 ) americanas para las aleacionescom;nmente utili*adas '

Aleación 6061-T6 L !, . : σ "#$ 1 8; 1 1 M "

. L !, : σ "#$ 20.2-0.12 (L !, ) 8;1 -0. (L !, ) M "

L !, ≥ :σ "#$ 1.000 8;! (L !, )2 2/10 M "!(L !, )2



Aleación 2014-T6 (Alclad):L !, . : σ "#$ 2 8; 1 M "12 L !, : σ "#$ 0. -0.2 (L !, ) 8;

212-1. (L !, ) M "L !, ≥ :σ "#$ =.000 8;! (L !, )2 2/10 M "!(L !, )2

+) M"#4," : 7ara el dise-o de columnas e madera , lasespeci icaciones del American 2nstitute o Tim#er Construction

proporciona ecuaciones para el es uer*o admisi#le en columnascortas, intermedias ) lar!as #a$o car!as c(ntricas' 7ara una columnacon sección rectan!ular de lados # ) d, donde d # la +ariación deσ "#$ con L !# se muestra en la i!ura .

7ara columnas cortas σ "#$ es constante e i!ual al es uer*o admisi#le para compresión paralela a la i#ra σ' "#$

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