resistencia de materiais. tema 4. relacións entre...

Resistencia de Materiais. Tema 4. Relacións entre movementos e deformacións

ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Fotografía. Ponte Salginatobel (Robert Maillart, Suiza, 1930).

Van principal: 90 m.

Contido. Tema 4. Relacións entre movementos e deformacións nos medios elásticos

2

1. Tensor de deformacións. 2. Direccións principais de deformación. 3. Direccións de deformación tanxencial máxima. 4. Condicións de compatibilidade.

Resistencia de materiais. Tema 4 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos

Fotografía. Ponte Rossgraben (Robert Maillart, Suiza, 1932).


4.1. Tensor de deformacións

3

Un medio elástico en equilibrio baixo un conxunto de accións exteriores defórmase e os seus puntos cambian de posición, así un punto P(x, y,z) terá unha nova posición P’(x’, y’, z’), onde o vector u é o vector de movementos:

A aplicación dun vector de movementos a cada punto equivale a expor que a presenza de accións exteriores

crea un campo de movementos no medio elástico. Nese campo de movementos o elemento diferencial PQ, de lonxitude dx, pasará a ser P’Q’, de lonxitude dr:

ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos

Resistencia de materiais. Tema 4

1

2

3

r x ur y vr z w

= + = + = += +

r x u

1

2

3

u u u1x y zdr dx

v v vd d d dr 1 dyx y z

dr dzw w w1x y z

∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = + ⇒ = + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂

r x u

∂ ∂ ∂= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

= ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂

u u udu dx dy dzx y zv v vdv dx dy dzx y zw w wdw dx dy dzx y z

yx

QQ'

P'

Px u

u+du

r

dxdr


4

A matriz anterior pode descompoñerse en: I é a matriz unidade, de modo que I·dx representa unha translación como sólido ríxido, R·dx é unha matriz que representa unha rotación elemental como sólido ríxido, e E·dx é unha matriz que representa a deformación que sufriu dx.

Os termos da diagonal εxx, εyy, εzz representan a aproximación lineal da variación lonxitudinal dun elemento situado no eixo x, y e z respectivamente.

A compoñente da deformación paralela ao vector dx é a deformación lonxitudinal e a outra compoñente

denomínase deformación tanxencial. E é o tensor de deformacións.



( )d d= + + ⋅r I R E x

R

∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ − ⋅ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ⋅ − ⋅ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − ⋅ − − ⋅ − ∂ ∂ ∂ ∂

1 u v 1 u w02 y x 2 z x

1 u v 1 v w02 y x 2 z y

1 u w 1 v w 02 z x 2 z y

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

u 1 u v 1 u wx 2 y x 2 z x

1 u v v 1 v w2 y x y 2 z y

1 u w 1 v w w2 z x 2 z y z

ε ε εε ε εε ε ε

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ + ⋅ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ + ⋅ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ + ⋅ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

E

QQ'

P'

P u

dx

drI·dx

R·dx

E·dx


5

Se supoñemos un rectángulo elemental de lados paralelos aos eixos coordenados, a variación de ángulo (tendo en conta só os termos de primeira orde) correspondente ao punto O pode expresarse como:

polo que: Os elementos de E situados fóra da diagonal principal representan a semisuma das deformacións tanxenciais

dos lados de rectángulos elementais paralelos aos eixos coordenados. Esa deformación recibe o nome de deformación angular. Por elo, E é o tensor de deformacións en teoría de pequenas deformacións, que se soe escribir como:



O

A C

B

B'

A'

O'

C'

xu

w

dz

dx∂

+ ⋅∂uu dxx

∂+ ⋅∂ww dzz

∂+ ⋅∂uu dzz

∂+ ⋅∂ww dxx

' ' ' ∂ ∂− = +

∂ ∂u wAOB A O Bz x

' ' 'xz1 AOB A O B2

ε = ⋅ −

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

u 1 u v 1 u w

x 2 y x 2 z x

1 u v v 1 v w

2 y x y 2 z y

1 u w 1 v w w

2 z x 2 z y z

x xy xz

xy y yz

xz yz z

1 12 2

1 12 21 12 2

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ + ⋅ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

E


6

Cando as deformacións son elevadas non se debe prescindir dos infinitésimos de segunda orde. O tensor de deformación en teoría de grandes deformacións:

Defínese o vector deformación εn dunha dirección n a aquel que contén a deformación unitaria nesa

dirección:



ε

ε

ε

γ

∂ ∂ ∂ ∂ = + ⋅ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + ⋅ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ⋅ + + ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + ⋅ + ⋅ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2

x

2 2 2

y

2 2 2

z

xy

u 1 u v wx 2 x x x

v 1 u v wy 2 y y y

w 1 u v wz 2 z z z

u v u u v v wy x x y x y x

γ

γ

∂⋅∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + ⋅ + ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

xz

yz

wy

u w u u v v w wz x x z x z x zv w u u v v w wz y y z y z y z

x xy xz

nx

ny xy y yz

nz

xz yz z

1 12 2 l

1 1 m2 2

n1 12 2

ε γ γεε γ ε γε

γ γ ε

⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

n E nε


7



Fotografía. Pasarela Töss (Robert Maillart, Suiza, 1933).



4.2. Direccións principais de deformación

8

A compoñente lonxitudinal ε da deformación será: e a deformación tanxencial: Denomínanse direccións principais de deformación a aquelas nas que só existe deformación lonxitudinal, é

dicir, nas que o vector deformación εn é paralelo a n: Para que este sistema de ecuacións homoxéneo teña solución debe anularse o determinante: Onde J1, J2, J3 son coeficientes independentes dos eixos coordenados e coñécense como invariantes do

tensor de deformacións:



( )ε ε= ⋅ = ⋅ ⇒ − ⋅ ⋅ =n n E n E I n 0ε

x xy xz3 2

xy y yz 1 2 3

xz yz z

2 22 2 0 J J J 02 2

ε ε γ γγ ε ε γ ε ε εγ γ ε ε

−− = ⇒ − ⋅ − ⋅ − =

−

[ ]x xy xz

T Tn xy y yz

xz yz z

2 2 2x y z xy xz yz

2 2 ll m n 2 2 m

2 2 n

l m n l m l n m n

ε γ γε γ ε γ

γ γ ε

ε = ε ε ε γ γ γ

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

n n E n =ε

2 212γ ε⋅ = −nε

1 x y z

2 2 22 xy xz yz x y x z y z

3

J1 1 1J4 4 4

J

ε ε ε

γ γ γ ε ε ε ε ε ε

= + +

= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅

= E

u

n

I·nR·n

E·n

u

n

I·nR·n

E·nε

4.2. Direccións principais de deformación

9

Sempre haberá tres raíces reais ε1, ε 2, ε 3, que reciben o nome de deformacións principais. As direccións asociadas a cada unha delas denomínanse direccións principais e obtéñense resolvendo: En estados tensionais bidimensionais o tensor de deformacións redúcese. Por exemplo, no plano xz: Se se calculan as deformacións principais da forma que se indicou anteriormente, pode comprobarse que: O círculo de Mohr permite representar o estado de deformacións nun punto dun sólido.



( ) , ,i i

2 2 2

0 i 1 2 3

l m n 1

ε− ⋅ ⋅ = =

+ + =

E I n

1 2 3ε ε ε≥ ≥

x xz

xz z

22

ε γγ ε

=

E

( )2 22 2

x z x z xz x z x z xz xz1 2

x z

tan 22 2 4 2 2 4

ε ε ε ε γ ε ε ε ε γ γε ε αε ε

+ − + − = + + = − + ⋅ = −


10



Fotografía. Ponte Schwandbach (Robert Maillart, Suiza, 1933). Van principal: 77 m.


4.3. Direccións de deformación tanxencial máxima

11

Utilizando as direccións principais de deformación como eixos de coordenadas, os planos nos que é máxima a deformación angular son:

Os valores de l, m, n que fan máxima a expresión anterior son: Pode comprobarse que os planos asociados a estas direccións forman ángulos de 45° cos de direccións

principais ε1, ε3 e conteñen ao da dirección ε2. O valor máximo da deformación angular é:



( ) ( )

1 2 3T 2 2 2

1 2 32

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

l m n

l m n

1 l m n l m n2

ε ε ε

ε ε ε ε

γ ε ε ε ε ε ε ε

= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

⋅ = − = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅

n

n

n

E n i j k

n

ε

ε

ε

.= = =2 2m 0 l n 0 5

1 3máx

12 2

ε εγ −⋅ =


12

1. Tensor de deformacións 2. Direccións principais de deformación. 3. Direccións de deformación tanxencial máxima. 4. Condicións de compatibilidade.


Fotografía. Ponte Vessy (Robert Maillart, Suiza, 1937). Van principal: 56 m.


4.4. Condicións de compatibilidade

13

O tensor de deformacións en teoría lineal permite obter as expresións dos movementos u, v, w de calquera punto do medio continuo:

Este sistema de 6 ecuacións só ten 3 incógnitas, polo que só terá solución se hai relacións entre elas. É dicir,

as compoñentes do tensor de deformacións non poden ter unhas expresións calquera, senón que teñen que cumprir certas condicións. Isto é debido a que non poden existir discontinuidades nin superposicións no medio elástico trala deformación.

Pode demostrarse que esas condicións que deben cumprir os elementos do tensor de deformacións son 6 ecuacións e denomínanse condicións de compatibilidade:



2 22 2y xy xy yzx z xz

2 2

22 2 2y xy yzx z xz xz

2 2

2 22 2y yz xy yzz x xz

2 2

2y x x y x y z z y x

2z x x z x z y z y x

2z y y z y z x z y x

ε γ γ γε ε γ

ε γ γε ε γ γ

ε γ γ γε ε γ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⋅ = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⋅ = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⋅ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

x y z

xy xz yz

u v wx y z

u v u w v wy x z x z y

ε ε ε

γ γ γ

∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

resistencia de materiais. tema 4. relacións entre...

Documents