UNIVERSIDAD ANDINANESTOR CACERES VELASQUEZ

FACULTAD DE INGENIERIAS Y CIENCIAS PURAS

CARRERA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

TEORA DE COLUMNAS, ANLISIS DEL EFECTO PI DELTA

Y ANLISIS DE UNA COLUMNA EN EDIFICIO

RESISTENCIA DE MATERIALES II

DOCENTE:Ing. Miguel Cordova Cano

INTEGRANTES:1.- Ren Oswaldo Mamani Mamani2.- Wilmer Pachauri Molleapaza3.- Elvis Huamullo Ccapa4.- Hubert Jonathan Quipe Mamani5.- Carlos Juvenal Aracayo Quispe6.- Jorge Luis Valencia Cusi7.- Leidy Vanessa Rosas Ramos

SEMESTRE: QUINTO A

JULIACA PERU

2014

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1 RESUMEN EJECUTIVO

2 INTRODUCCINUna columna en ingeniera estructural es un elemento estructural que transmite, a travs de compresin,el peso de la estructura sobre otros elementos estructurales que se encuentran debajo. Estas puedenser diseadas para resistir las fuerzas laterales del viento o de los movimientos ssmicos. Las columnasson frecuentemente usadas para soportar vigas o arcos sobre los cuales las partes superiores de lasparedes o techos descansan. Las primeras columnas eran construidas de piedras, sacadas de una piezasimple de roca, usualmente rotndolas sobre un aparato parecido a un torno. Otras fueron creadas demltiples secciones de roca, pegadas con mortero o en seco.

Las columnas modernas son construidas de acero, concreto vertido o prefabricado, o de ladrillo.Luego pueden ser revestidas en una cubierta arquitectnica o dejadas sin cubrir.

En el presente trabajo abordaremos la clasificacin y mtodos para dimensionar una columna, comovimos en el prrafo anterior este elemento estructural cumple un rol fundamental en edificaciones, espor eso que este modesto trabajo va evocado para a difundir algunos conceptos y metodologa dedesarrollo de los mismos.

Esperando que este trabajo sea del agrado del lector, as tambin como parte de su aprendizaje oreforzamiento de lo que a continuacin se ver.

2

ndice1 RESUMEN EJECUTIVO 2

2 INTRODUCCIN 2

3 MARCO TERICO 43.1 COLUMNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1.1 Columnas Largas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.2 Columnas Intermedias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.3 Columnas cortas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 EXCENTRICIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 COMPORTAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.4 PANDEO Y ESTABILIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.5 CARGA CRTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.6 FRMULA DE EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.7 PARA COLUMNAS CON OTRAS CONDICIONES DE SUJECIN . . . . . . . . . . . 9

3.7.1 Columna de Doble Empotrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.7.2 Columna empotrada en un extremo y libre en el otro . . . . . . . . . . . . . . . . 103.7.3 Columna empotrada - articulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.8 COLUMNAS INTERMEDIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.8.1 New York City Building Code: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.8.2 American Institute of Steel Construccin: AISC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.8.3 American association of State Highway officials: AASHO . . . . . . . . . . . . . 123.8.4 American Society of Civil Engineers: ASCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.9 COLUMNAS LARGAS CON CARGAS EXCENTRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.10 EFECTO PI-DELTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 MEMORIA DE CLCULO 134.1 RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 CARACTERISTICAS DE LA EDIFICACIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 PARMETROS UTILIZADOS EN EL ANLISIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 METRADO DE CARGAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.5 RESULTADOS OBTENIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 ANLISIS COMPARATIVO DEL MTODO CON ETABS 16

6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 166.1 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.2 RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7 BIBLIOGRAFA 16

3

3 MARCO TERICO

3.1 COLUMNAUna columna es un miembro esbelto relativamnete largo cargado a compresin. Esta descripcin seplanea en trminos relativos y no es muy til para el anlisis.

Figure 1: Pandeo de una columna esbelta debido a una carga P de compresin axial.

La medida de esbeltez de una columna debe tener en cuenta la longitud, el perfil de la seccintransversal y las dimensiones de la columna, ademas de la forma de sujetar los extremos de la columnaen las estructuras que generen las cargas y reacciones en la columna. La medida de esbeltez comn-mente utilizada es la relacin de esbeltez, definida como

=L

=

LI/A

Donde:L = Longitud real de la columna entre los puntos de apoyo o de restrccin lateral. = radio de giro mnimo de la seccin transversal de la columna

3.1.1 Columnas Largas

Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor de 10 veces la menor dimensin transversal ysu esbeltez mecnica se mayor igual a 100.

3.1.2 Columnas Intermedias

Se dice una columna larga cuando su longitud es mayor a 10 veces la menor dimensin transversal ysu esbeltez mecnica se encuentre entre 30 y 100.

3.1.3 Columnas cortas

Las columnas cortas tambin forman parte de esta clasificacin (se dice columna corta cuando nocumple que su longitud es mayor a 10 veces la menor dimensin transversal).

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Tipos de Columna Posible falla porC. Largas Flexin lateral o Pandeo

C. Intermedias Pandeo + aplastamientoC. Cortas Aplastamiento

Table 1: Muestra los tipos de Columna

3.2 EXCENTRICIDADCuando la carga no se aplica directamente en el centroide de la columna, se dice que la carga esexcntrica y genera un momento adicional que disminuye la resistencia del elemento, de igual forma,al aparecer un momento en los extremos de la columna debido a varios factores, hace que la carga noacte en el centroide de la columna (vase Figura 4). Esta relacin del momento respecto a la cargaaxial se puede expresar en unidades de distancia segn la propiedad del momento3, la distancia sedenomina excentricidad. Cuando la excentricidad es pequea la flexin es despreciable y cuando laexcentricidad es grande aumenta los efectos de flexin sobre la columna.

e =M

P

Donde:e = excentricidadM = Momento en el extremoP = Carga axial

Figure 2: Excentricidad de la Columna

3.3 COMPORTAMIENTODentro de los requisitos fundamentales de una estructura o elemento estructural estn: equilibrio,resistencia, funcionalidad y estabilidad. En una columna se puede llegar a una condicin inestable antesde alcanzar la deformacin mxima permitida o el esfuerzo mximo. El fenmeno de inestabilidad se

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refiere al pandeo lateral, el cual es una deflexin que ocurre en la columna (vase Figura 2); cuandoaparece incrementa el momento flector aplicado sobre el elemento, el aumento de la deflexin agrandala magnitud del momento flector, creciendo as la curvatura de la columna hasta la falla; este casose considera inestable. Por ello la resistencia de la columna sometida a compresin tiene dos lmites,el de resistencia para columnas cortas y el de estabilidad para columnas largas (vase Figura 1). Laestabilidad es as el nuevo parmetro que define adems de la resistencia y la rigidez.

Figure 3: Disminucin del esfuerzo de trabajo a compresin segn la esbeltez de la columna.

3.4 PANDEO Y ESTABILIDADPara ilustrar los conceptos fundamentales de pandeo y estabilidad, analizaremos una estructura ideal-izada, o modelo de pandeo, como se muestra en la figura 3.a. Esta estructura hipottica consiste endos barras rgidas AB y BC, cada una con longitud L/2, unidas en B por un pasador y mantenidas enposicin vertical por un resorte rotacional con rigidez R. 1

Esta estructura idealizada es anloga a la columna de la figura 1.a, debido a que las dos tienenapoyos simples en los extremos y estn comprimidas por una carga axial P. Sin embargo, la elasticidadde la estructura idealizada est concentrada en el resorte rotacional, en tanto que una columna realpuede flexionarse en toda su longitud (figura 1.b).

En la estructura idealizada las dos barras estn perfectamente alineadas y la carga axial P tiene sulnea de accin a lo largo del eje longitudinal (figura 3.a). En consecuencia, el resorte inicialmente noest sometido a esfuerzo y las barras estn en compresin directa.

Ahora suponga que la estructura es perturbada por alguna fuerza externa que causa que el puntoB se mueva una distancia pequea en sentido lateral (figura 3.b). Las barras rgidas giran ngulospequeos u y se desarrolla un momento en el resorte. El sentido de este momento tiende a regresarla estructura a su posicin recta original y por tanto se denomina momento restitutivo. Sin embargo,al mismo tiempo la tendencia de la fuerza axial de compresin es aumentar el desplazamiento lateral.

1La relacin general para un resorte rotacional es M = R, donde M es el momento que acta sobre el resorte, Res la rigidez a la rotacin del resorte y es el ngulo que gira el resorte. Por tanto, la rigidez a la rotacin tiene unidadesde momento divididas entre un ngulo, como lb-in/ rad o Nm/rad. La relacin anloga para un resorte traslacionales F = , donde F es la fuerza que acta sobre el resorte, es la rigidez a la traslacin del resorte (o constante delresorte) y es el cambio de longitud del resorte. As, la rigidez a la traslacin tiene unidades de fuerza divididas entreuna longitud, como lb/in o N/m.

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Figure 4: Pandeo de una estructura idealizada que consiste en dos barras rgidas y un resorte rotacional.

Por tanto, estas dos acciones tienen efectos opuestos: el momento restitutivo tiende a disminuir eldesplazamiento y la fuerza axial tiene a aumentarlo.

A continuacin considere qu sucede cuando se elimina la fuerza perturbadora. Si la fuerza axialP es relativamente pequea, la accin del momento restitutivo prevalecer sobre la accin de la fuerzaaxial y la estructura regresar a su posicin inicial recta. En estas condiciones, se dice que la estructuraes estable. No obstante, si la carga axial P es grande, el desplazamiento lateral del punto B aumentar ylas barras girarn ngulos cada vez mayores hasta que la estructura se colapsa. Ante estas condiciones,la estructura es inestable y falla por pandeo lateral.

3.5 CARGA CRTICALa transicin entre las condiciones estable e inestable ocurre para un valor especial de la fuerza axialconocido como carga crtica (identificada con el smbolo Pct). Podemos determinar la carga crtica denuestro modelo de pandeo al considerar la estructura en la posicin perturbada (figura 3.b) e investigarsu equilibrio.

Primero se considera toda la estructura como un cuerpo libre y se suma momentos con respecto alapoyo A. Este paso conduce a la conclusin de que no hay reaccin horizontal en el apoyo C. Segundo,consideramos la barra BC como un cuerpo libre (figura 3.c) y se observa que est sometida a la accinde las fuerzas axiales P y al momento MB en el resorte. El momento MB es igual a la rigidez a larotacin R por el ngulo de rotacin 2 del resorte; por tanto

MB = 2R

Como el ngulo es muy pequeo, el desplazamiento lateral del punto, se obtiene la siguiente ecuacinde equilibrio al sumar momentos con respecto al punto B para la barra BC (figura 3c):

MB P(L

2

)= 0

si se sustituye en MB = 2R se tiene:(2R PL

2

) = 0

esta ecuacin tiene dos soluciones triviales, donde de una solucin se despeja P, que es la cargacrtica

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Pcr =4RL

Si la carga axial es menor que Pcr , el efecto del momento en el resorte predomina y la estructuraregresa a la posicin vertical despus de una perturbacin pequea; si la carga axial es mayor que Pcr,el efecto de la fuerza axial predomina y la estructura se pandea:

Si P < Pcr, la estructura es estable.Si P > Pcr, la estructura es inestable.De la ecuacin de carga crtica observamos que la estabilidad de la estructura se incrementa al au-

mentar su rigidez o disminuir su longitud . Ms adelante en este captulo, cuando determinemoslas cargas crticas para varios tipos de columnas, veremos que estas mismas observaciones tambin sonvlidas.

3.6 FRMULA DE EULEREn el ao 1757, el matemtico Suizo Leonard Euler hizo un anlisis terico de la carga crtica paracolumnas esbeltas basada en la ecuacin diferencial de la elstica.

Figure 5: Diagrama de la columna esbelta

La figura muestra la lnea media de la columna en equilibrio bajo la accin de la carga crtica P. Sesupone supone que la columna tiene sus extremos articulados. La flecha mxima es lo suficientementemequea para que no exista diferencia apresiable entre la longitud inicial de la columna y su proyeccinsobre su eje vertical. En estas condiciones la pendiente dy/dx es pequea y puede aplicarse:

EId2y

dx2= M = P (y) = Py

Podemos escribir la ecuacin:

EId

dx

(dy

dx

)= Py

8

Multiplicando por 2dy

EI

(dy

dx

)2= Py2 + C1

De acuerdo ala figura para dy/dx = 0, y = sustituyendo en la ecuacin anterior entonces: C1 = P2:

EI

(dy

dx

)2= P

(2 y2)

dy

dx=

P

EI(2 y2) dy

2 y2 =

P

EIdx

Integrando: (y

)= x

P

EI+ C2

Por condicin de inicial y = 0 para x = 0 entonces C2 = 0

y =

(x

P

EI

)

Si y = 0 para x = L entonces se tiene:

0 =

(L

P

EI

)

npi = L

P

EI

P =n2EIpi2

L2para n = 1, 2, 3......

Luego la carga critica para columnas en bi-articuladas sin arriostramiento sera

PK =pi2EI

L2

3.7 PARA COLUMNAS CON OTRAS CONDICIONES DE SUJECIN3.7.1 Columna de Doble Empotrado

Por simetra, los puntos de inflexin estn en los cuartos de luz:

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Figure 6: Diagrama de una viga doble empotrada

Como el momento flector es nulo en estos diagramas de slidos aislado de la figura indican que lamitad central de la columna doblemente empotrada equivale a una columna articulada en sus extremosde longitud LE = L/2, lo cual reemplazando en la ecuacin PK = pi

2EIL2 se tiene:

PK =4pi2EI

L2

3.7.2 Columna empotrada en un extremo y libre en el otro

La carga critica es igual que en caso de la doblemente empotrado, pero teniendo en cuenta que escuatro veces ms larga, luego LE = 4L

PK =4EIpi2

L2E=

4pi2EI

(4L)2

Entonces se tiene:

PK =pi2EI

4L2

3.7.3 Columna empotrada - articulada

Para este caso se demuestra que el punto de inflexin se presenta a 0.7L del extremo articulado, locual se hace comparables nuevamente al caso fundamental.

PK =EIpi2

L2E=

pi2EI

(0.7L)2

Entonces se tiene:

PK =2pi2EI

L2

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Para que la frmula de Euler sea aplicable, la carga que produce en pandeo produce esfuerzosinternos, los cuales no deben exceder el lmite de proporcionalidad.

Para determinar ese esfuerzo reemplazamos en una ecuacin genrica de Euler: = radio de giro, luego como =

I/A

entonces:

I = A2

Si P = Kpi2EIL2 reemplazando en la ecuacin anterior:

P

A=Kpi2E

(L/)2

Se sabe que = L/ entonces PA =Kpi2E2

Sea PL = Limte de proporcionalidad= entonces

=Kpi2E

2 = pi

KE

Por debajo del valor obtenido mediante esta expresin la tensin que dara la carga de Eulerexcedera el lmite de proporcionalidad, por lo que la ecuacin de Euler no es aplicable.

Figure 7: Diagrama de Euler

CONDICIONES DE SUJE- K, COEFICIENTES A MULTIPLI- LE = LONG LIMITECIN (APOYOS) CAR CASO FUNDAMENTAL EFECTIVA (fv = 2 100)Extremos Empotrados 4 1/2 L 200Empotrado articulado 9/4 0.7 L 150Bi - Articulado 1 L 100Empotrado Libre 1/4 2L 50

3.8 COLUMNAS INTERMEDIASEn el caso de columnas Bi-articuladas de acero (2100) el limite de esbeltez por proporcionalidad es de100. las columnas que sobrepasan este valor llamadas largas cumplen con la frmula de Euler. Soncolumnas cortas si < 30. Para las columnas intermedias se han desarrollado una serie de ecuacionesparablicas empricas. Las mas conocidas son:

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3.8.1 New York City Building Code:

60 < < 120 T = 12651 +

2/18000

kg/cm2

< 60 T = 1055 kg/cm2

3.8.2 American Institute of Steel Construccin: AISC

120 < < 200 T = 12651 +

2/18000

kg/cm2

< 120 T = 1955-0.034 2 kg/cm2

3.8.3 American association of State Highway officials: AASHO

Extremos Remachados T = 1050 0.01752

Extremos Articulados T = 1050 0.0233 2kg/cm2

3.8.4 American Society of Civil Engineers: ASCE

Para aceros de Alta resistencia T =1687

1+2/9000kg/cm2

3.9 COLUMNAS LARGAS CON CARGAS EXCENTRICAS

Efecto de Esbeltez:P

A=

1+2/18000 = P

A

(1 +

2

18000

)

Efecto de Excentricidad: =MV

I=PeV

A2

= PA

(1 +

2

18000+eV

2

)Donde:

= Esbelteze = Distancia Excentrica = Radio de Giro

Se debe tomar el radio de giro () segn donde se encuentre la excentricidad, para tomar asi elradio de giro que soporta el momento de flexin.

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3.10 EFECTO PI-DELTAEn ingeniera estructural , el efecto P o P-Delta se refiere a los cambios bruscos en la planta decizalla , volcando momento , y / o el axial fuerza de distribucin en la base de una estructura lo sufi-cientemente alto o componente estructural cuando est sujeto a una crtica lateral de desplazamiento.

El efecto P-Delta es un momento desestabilizador igual a la fuerza de la gravedad multiplicada porel desplazamiento horizontal de una estructura sufre cuando se carga lateralmente.

En cierto sentido, el efecto P-Delta es similar a la carga de pandeo de una columna de slidoelstico, a pequea escala, dadas las condiciones de contorno de un extremo libre en la parte superiory un extremo abstiene por completo en la parte inferior, con la excepcin de que pueden existir unacarga vertical invariante en la parte superior de la columna.Una varilla firmemente plantados en elsuelo, dada una seccin transversal constante, slo se puede extender hasta el momento antes de quelas hebillas por su propio peso; en este caso el desplazamiento lateral para el slido es una cantidadinfinitesimal gobernado por pandeo de Euler.

4 MEMORIA DE CLCULO

4.1 RESUMEN

4.2 CARACTERISTICAS DE LA EDIFICACIN

4.3 PARMETROS UTILIZADOS EN EL ANLISIS

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4.4 METRADO DE CARGAS

Figure 8: Detalle de aligerados

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Figure 9: Faracmento de anlisis

Peso de la viga (Peso especfico = 2400 kg/m3)Largo Base Altura P.E. 2400 kg/m3M 0.25 0.35 210 kg/mPeso de la viga chata (Peso especfico = 2400 kg/m3)Largo Base Altura P.E. 2400 kg/m3M 0.25 0.20 120 kg/m

Peso de los Muros (Peso especfico = 1800 kg/m3)Largo Base Altura P.E. 1800 kg/m3M 0.25 2.40 1080 kg/m

Peso de la losa (Peso especfico = 300 kg/m2)Largo Base Altura P.E. 2400 kg/m3M 0.25 0.35 210 kg/m

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4.5 RESULTADOS OBTENIDOS

5 ANLISIS COMPARATIVO DEL MTODO CON ETABS

6 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

6.1 CONCLUSIONES

6.2 RECOMENDACIONES

7 BIBLIOGRAFA[1] A. Arteaga, P. Iberico: 1988,Resistencia de Materiales Teoria y Problemas Resueltos

[2] James M. Gere: 2008, Resistencia de Materiales[3] Robert L. Mott: 1998, Resistencia de Materiales Aplicada[4]Timoshenko: 2006,Mecnica de Materiales[5]

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