Tomado de: Beer, Ferdinad, Johnston, Russell; De Wolf John;

David Mazurek. MECANICA DE MATERIALES . 5ta ed. Mxico Mc Graw Hill

RESISTENCIA DE MATERIALES

ESFUERZO y DEFORMACION

SEMANA 5

1. Carga multiaxial. Ley de Hooke generalizada.

2. Deformacin unitaria cortante.

3. Anlisis adicional de las deformaciones bajo carga axial. Relacin

entre E, y G.

1. CARGA MULTIAXIAL. LEY DE HOOKE GENERALIZADA

Se conoce como Carga Multiaxial cuando un elemento estructural es sometido a cargas que actan en las direcciones de los tres ejes coordenados y que producen

esfuerzos normales x, y y z, todos distintos de cero. La deformacin axial de la barra es = x/E, es la deformacin bajo una carga axial en la direccin x:

Este resultado se extiende al caso de una carga multiaxial que cause el estado de esfuerzos mostrado en la Fig. La condicin resultante de deformaciones unitarias se describe por las siguientes relaciones, que se conocen como la Ley de Hooke Generalizada para carga multiaxial, de un material isotropico homogeneo. (2.28)

Problema Ejemplo 2.08 El bloque de acero de la Fig. es sometido a presin uniforme en todas sus caras. Sabiendo que el cambio de longitud del borde AB es de -1.2 x 103 in, ( ) Encuentre a) el cambio de longitud en los otros dos

bordes, ( , )

b) la presin p aplicada a las caras del bloque. Suponga E = 29 x 106 psi y = 0.29

SOLUCION a) Cambio de longitud de los otros dos bordes. Sustituyendo = = = en (2.28) se encuentra que las tres componentes de deformacin tienen el valor comn

= = = /(1 2) (2.29)

Ya que =

L = -1.2 x 103 in / 4 in

= -300 x 106 se obtiene = = = 300 x 10

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de donde se sigue que

b) Presin. Despejando la ecuacin (2.29) para encontrar p, se tiene que

2. DEFORMACIN UNITARIA CORTANTE El estado de esfuerzos en un material bajo las condiciones de carga ms generales involucra esfuerzos cortantes adems de esfuerzos normales. Los esfuerzos cortantes tienden a deformar un elemento cbico para que tome la forma de un paraleleppedo oblicuo. Los esfuerzos y mostrados en la figura hacen que los ngulos formados por las caras en las que actan aumenten o disminuyan por un pequeo ngulo xy; este ngulo, expresado en radianes, define la deformacin a cortante correspondiente a las direcciones x y y. Definiendo de manera similar las deformaciones a cortante yz y zx, se tiene las relaciones

La constante G se denomina el Mdulo de rigidez o Modulo de Cortante del material y se expresa en pascales o psi. Las relaciones obtenidas expresan la ley de Hooke para el esfuerzo y la deformacin unitaria cortantes, junto con las ecuaciones (2.28), representan la Ley de Hooke Generalizada para un material.

Problema Ejemplo 2.10

Sabiendo que la placa superior se mueve 0.04 in. bajo la accin de la fuerza, halle a) la deformacin unitaria promedio a corte del

material,

b) la fuerza P ejercida sobre la placa superior.

SOLUCION Identificamos los puntos A, B, C, D, E y F Se seleccionan ejes coordenados centrados en el punto medio C del borde AB como se muestra en la Fig.

Un bloque rectangular de material con Mdulo de Rigidez G = 90 ksi se une a dos placas rgidas horizontales. La placa inferior est fija, mientras que la placa superior se somete a una fuerza horizontal P (Fig.)

Problema Ejemplo 2.10

b) Fuerza ejercida sobre la placa superior.

Se determina el esfuerzo cortante en el material. Utilizando la ley de Hooke para el esfuerzo y la deformacin unitaria, se tiene que

a) Deformacin unitaria a corte. Por definicin, la deformacin unitaria bajo cortante es igual al ngulo

formado por la vertical (Eje Y) y por la lnea CF que une los puntos medios de AB y DE. Es un ngulo muy pequeo que debe expresarse en radianes:

3 ANLISIS ADICIONAL DE LAS DEFORMACIONES

BAJO CARGA AXIAL. RELACIN ENTRE E, y G

Las tres constantes E, y G no son independientes; satisfacen la relacin

Problema Modelo 2.5

Se marca un crculo con dimetro d = 9 in., cuyo espesor es t = in, en una placa de aluminio sin esforzar. Las fuerzas que actan despus en el plano de la placa causan esfuerzos normales = y = Para E = 10 x PSI y = 1/3 determine el cambio en a) la longitud del dimetro AB, b) la longitud del dimetro CD, c) el espesor de la placa, d) el volumen de la placa.