resolução de equações diferenciais do sistema massa-mola
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Análise do Comportamento Análise do Comportamento Dinâmico de Alguns Sistemas Dinâmico de Alguns Sistemas
MecânicosMecânicos
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Dados de IdentificaçãoDados de Identificação• Aluno BolsistaAluno Bolsista: Lucas Alves Guarienti: Lucas Alves Guarienti
• CursoCurso: Engenharia Civil: Engenharia Civil
• Professor OrientadorProfessor Orientador: Elisabeta D’ Elia Gallicchio : Elisabeta D’ Elia Gallicchio
• InstituiçãoInstituição:: Universidade Federal do Rio Grande do SulUniversidade Federal do Rio Grande do Sul
• UnidadeUnidade: Instituto de Matemática: Instituto de Matemática
• ÓrgãoÓrgão: Departamento de Matemática Pura e Aplicada: Departamento de Matemática Pura e Aplicada
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ObjetivosObjetivos Analisar fenômenos vibratórios, através da Analisar fenômenos vibratórios, através da
simulação e animação da respostasimulação e animação da resposta
Criar “procedures” a fim de: Criar “procedures” a fim de: Possibilitar a interação com o programa Possibilitar a interação com o programa
(alterar os parâmetros e a própria função em (alterar os parâmetros e a própria função em estudo), de modo a perceber rapidamente as estudo), de modo a perceber rapidamente as relações de causa e efeitorelações de causa e efeito
Facilitar a compreensão de alguns fenômenos Facilitar a compreensão de alguns fenômenos vibratórios, através da representação gráfica e vibratórios, através da representação gráfica e animação da resposta do sistemaanimação da resposta do sistema
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VibraçõesVibrações Vibração: movimento de um sistema em Vibração: movimento de um sistema em
torno da posição de equilíbriotorno da posição de equilíbrio
A oscilação de um sistema se caracteriza A oscilação de um sistema se caracteriza pela transferência de energia potencial em pela transferência de energia potencial em energia cinética, e se dissipa conforme o energia cinética, e se dissipa conforme o meio em que o fenômeno ocorremeio em que o fenômeno ocorre
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Classificação:Classificação:
Vibração conservativa: a energia do Vibração conservativa: a energia do sistema não se dissipa, não há força de sistema não se dissipa, não há força de amortecimentoamortecimento
Vibração dissipativa: a energia é perdida Vibração dissipativa: a energia é perdida devido à força de amortecimentodevido à força de amortecimento
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Vibrações Livres:Vibrações Livres:
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Sistema com 1 Grau de LiberdadeSistema com 1 Grau de Liberdade
F(t)xmk x
mc x
m
C
kF(t)
Da 2ª Lei de Newton: ΣF = m.adecorre:
ModeloFísico
00
00
VtX
XtX
C. Iniciais:
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Resolução da Equação HomogêneaResolução da Equação Homogênea
(Equação Característica)
02 mk
mc
0
xmkx
mcx
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Raízes da Equação CaracterísticaRaízes da Equação Característica
mk
2mc
2mc-
2
1,2
mk
2mc c n Freqüência de
vibração (freqüência natural circular):
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0
0
12222
2
2
1221121
2
1
xxkdtxdm
xxkxkdtxdm
Da 2ª Lei de Newton: ΣF = m.adecorre:
ModeloFísico
Sist 2GDL.gif
101
101
VtX
XtX
202
202
VtX
XtX
Sistema com 2 Graus de LiberdadeSistema com 2 Graus de Liberdade
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Sistema Forçado conservativo caracterizando os casos de ressonância e batimento
Sistema Forçado dissipativo submetido à Força Periódica
Determinação da Resposta do Sistema Forçado
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RessonânciaRessonância Ocorre quando a freqüência natural Ocorre quando a freqüência natural
de vibração de uma máquina ou de de vibração de uma máquina ou de uma estrutura coincide com a uma estrutura coincide com a freqüência de vibração de algum freqüência de vibração de algum agente externo, fazendo com que a agente externo, fazendo com que a amplitude de oscilação aumente amplitude de oscilação aumente exageradamente. exageradamente.
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Graficamente:Graficamente:
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BatimentoBatimento
Ocorre quando a freqüência natural Ocorre quando a freqüência natural de vibração de uma máquina ou de de vibração de uma máquina ou de uma estrutura tem um valor muito uma estrutura tem um valor muito próximo da freqüência de vibração próximo da freqüência de vibração do agente externo, fazendo com que do agente externo, fazendo com que a amplitude de oscilação cresça e a amplitude de oscilação cresça e decresça em intervalos regularesdecresça em intervalos regulares
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Graficamente:Graficamente:
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Carga PeriódicaCarga Periódica Todo movimento harmônico é periódico, mas nem Todo movimento harmônico é periódico, mas nem
todo movimento periódico é harmônicotodo movimento periódico é harmônico
É a mais freqüentemente usada na engenharia, É a mais freqüentemente usada na engenharia, por exemplo, a vibração de uma viga por exemplo, a vibração de uma viga (superposição de ondas senoidais de diferentes (superposição de ondas senoidais de diferentes amplitudes e freqüências)amplitudes e freqüências)
Exemplos: dente de serra, onda quadrada, onda Exemplos: dente de serra, onda quadrada, onda triangular, etctriangular, etc
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Espectro de FreqüênciasEspectro de Freqüências
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Análise de VigasAnálise de Vigas Determinar a Equação da Curva Elástica e a Equação do Determinar a Equação da Curva Elástica e a Equação do
GiroGiro
Previsão da deformação através do GiroPrevisão da deformação através do Giro
O material solicitado deve responder às condições impostas O material solicitado deve responder às condições impostas dentro do limite elásticodentro do limite elástico
Considera-se a viga como sendo uniforme e homogênea em Considera-se a viga como sendo uniforme e homogênea em sua constituiçãosua constituição
A equação da Curva Elástica é aplicável a qualquer materialA equação da Curva Elástica é aplicável a qualquer material
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Equação Diferencial da Curva Equação Diferencial da Curva ElásticaElástica
EIxM
dxxwd
2
2
Procedendo-se a integração uma vez, Procedendo-se a integração uma vez, obtém-se a Equação do Giroobtém-se a Equação do Giro
A segunda integração fornece a Equação A segunda integração fornece a Equação da Curva Elásticada Curva Elástica
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Análise do GiroAnálise do Giro
Premissa: análise dentro do campo das Premissa: análise dentro do campo das pequenas deformações e deslocamentospequenas deformações e deslocamentos
Simplificação:Simplificação: tg
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,2
2
LwLwtg
Giro: A capacidade de previsão da
deformação
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1º Caso1º Caso
EIPLxw
LxLxEIPxw
EIPL
LxEIP
EIPx
dxxwd
máx
máx
3)(
236
)(
2
2
)(
3
323
2
22
2
2
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2º Caso2º Caso
EIqLxw
LxLxEIqxw
EIqL
LxEIq
EIqx
dxxwd
máx
máx
8)(
)34(24
)(
6
6
2)(
4
434
3
33
2
2
2
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3º Caso3º Caso
EIqLxw
LLxxEIqxxw
EIqL
LLxxEIq
xLEIqx
dxxwd
máx
máx
4
323
3
323
2
2
3845)(
224
)(
24
6424
2)(
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4º Caso4º Caso
EIqLxw
LxLxEILqxxw
EIqL
LxLxEILq
Lx
EIqLx
dxxwd
máx
máx
4
4224
3
4224
2
2
2
2
7685)(
7103360
)(
360
73015360
16
)(
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Quadro ComparativoQuadro Comparativo
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ConclusõesConclusões A forma como a carga é distribuída A forma como a carga é distribuída
sobre a viga é preponderante para a sobre a viga é preponderante para a análise de sua deformaçãoanálise de sua deformação
A forma de vinculação (especificada A forma de vinculação (especificada pelas condições de contorno) também pelas condições de contorno) também é um fator importante na análise da é um fator importante na análise da deformaçãodeformação
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AgradecimentosAgradecimentos • Programa de Educação Tutorial (PET - Engenharia Programa de Educação Tutorial (PET - Engenharia
Civil)Civil)
• PROPesq-UFRGSPROPesq-UFRGS
• Professora Orientadora Elisabeta D’ Elia Gallicchio Professora Orientadora Elisabeta D’ Elia Gallicchio
• Professores Letícia Miguel e Francisco Gastal pelo Professores Letícia Miguel e Francisco Gastal pelo apoio e disponibilidade sempre demonstradosapoio e disponibilidade sempre demonstrados
• UFRGS UFRGS
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ReferênciasReferências ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary Value Problems ARTICOLO, G. Partial Differential Equations & Boundary Value Problems
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BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R.C., Equações Diferenciais Elementares e BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R.C., Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno, Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Problemas de Valores de Contorno, Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1999. Científicos Editora S.A., 1999.
CLAEYSSEN,J., GALLICCHIO, E., TAMAGNA, A., Sistemas Vibratórios CLAEYSSEN,J., GALLICCHIO, E., TAMAGNA, A., Sistemas Vibratórios
AmortecidosAmortecidos,, Porto Alegre, Editora da UFRGS, 2004. Porto Alegre, Editora da UFRGS, 2004.
![Page 31: Resolução de Equações Diferenciais do Sistema Massa-Mola](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022051200/5870bd751a28ab92488be74f/html5/thumbnails/31.jpg)
GALLICCHIO, E. & ALVES, W. R., Sistemas Vibratórios: Uma Abordagem Básica GALLICCHIO, E. & ALVES, W. R., Sistemas Vibratórios: Uma Abordagem Básica com Desenvolvimento Analítico, Prático-Experimental e Computacional - XIV com Desenvolvimento Analítico, Prático-Experimental e Computacional - XIV Slão de Iniciação Científica - UFRGS, 2002.Slão de Iniciação Científica - UFRGS, 2002.
HIBBELER, R.C., Mecânica: Estática, V. 1, Rio de Janeiro, Editora Campos, 1999.HIBBELER, R.C., Mecânica: Estática, V. 1, Rio de Janeiro, Editora Campos, 1999. INMAN, Daniel J., Engineering Vibration, Prentice-Hall Inc.,New Jersey, US, 1996.INMAN, Daniel J., Engineering Vibration, Prentice-Hall Inc.,New Jersey, US, 1996. THOMSON, Willian T., Teoria da vibração com aplicações, Editora Interciência, THOMSON, Willian T., Teoria da vibração com aplicações, Editora Interciência,
Rio de Janeiro, 1978. Rio de Janeiro, 1978. WHITE, Richard N.,GERGELY, Peter, SEXSMITH, Robert G., Structural WHITE, Richard N.,GERGELY, Peter, SEXSMITH, Robert G., Structural
Engineering - Introduction to Design Concepts and Analysis, V. 1, Canada, John Engineering - Introduction to Design Concepts and Analysis, V. 1, Canada, John Willey & sons Inc, 1972.Willey & sons Inc, 1972.